数数格点算出面积

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格点法求面积的公式

面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。

格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。

格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。

1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。

这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。

2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。

高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。

小学思维数学讲义：格点型面积-带详解

格点型面积模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理，则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【答案】46【例 8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。

数学实践活动教案10数格点算面积

初中数学实践课教案10 课题数格点算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律；(2) 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识（3）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。

三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。

四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念认识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.二．自主探究12．我们设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数ab为L ，写出下图中格点多边形的N 、L3．仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同．．格点多边形 1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S第二阶段课内活动一．对第一阶段活动的再认识1．认识格点多边形2．识别凹、凸多边形3．归纳格点多边形面积的求法4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=0来吗？活动二探究N=1满足N=1活动三探究N=2的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）观察上表，你又有了什么发现？活动四自主探究N=3时S 与L 之间的关系1．示范引领：画N=3的格点多边形2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S 与L 之间的关系活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L 之间的关系活动六归纳分析S 、N 、L 三者关系121-+=N L S三．规律的应用求下列多边形的面积四．共同交流课内活动体会。

运用皮克公式求格点多边形面积

运用皮克公式求格点多边形面积皮克公式，也被称为格子点定理，是数论中的一个重要定理，它可以应用于计算平面上包围着格点的多边形的面积。

格点是指坐标轴上的整数坐标点。

首先，我们先来了解一下多边形的一些基本概念。

一个多边形由一系列顶点以及连接这些顶点的线段组成。

对于一个简单多边形，也就是没有自相交的多边形，由顶点(v1, v2, v3, ..., vn)和对应的边长(l1, l2, l3, ..., ln)组成。

格点多边形是指多边形的所有顶点都是格点，即整数坐标点。

我们需要通过皮克公式来计算出包围格点多边形的格点个数，以及在边上的格点个数。

根据皮克公式，格点多边形的面积可以计算为：A=I+(B/2)-1其中A表示多边形的面积，I表示多边形内格点的个数，B表示多边形边上格点的个数。

要计算I和B，我们需要运用一些数论的知识和技巧。

首先，我们来计算多边形内的格点个数I。

这个问题可以转化为一个区域计数问题。

我们可以通过扫描线算法来计算出多边形内的格点个数。

扫描线算法的基本思想是，从多边形的最小的y坐标开始，向上逐行扫描，统计扫描线和多边形边的交点个数。

根据点的奇偶性，确定是格点的个数还是空白区域。

在实际计算中，我们可以采用以下步骤：1. 找到多边形的最小y坐标y_min和最大y坐标y_max。

2.对于每一行y，找到与多边形的边相交的点的x坐标，计算交点的个数。

3.根据点的奇偶性确定是否是格点。

4.统计所有的格点个数，得到多边形内的格点个数I。

接下来，我们来计算多边形边上的格点个数B。

这个问题可以转化为一个边界计数问题。

我们可以通过使用欧拉定理来计算边上的格点个数。

欧拉定理，也被称为多面体公式，是一个几何的定理，描述了几何体中的面、边和顶点之间的关系。

对于一个多边形，欧拉定理可以表示为：V+F=E+2其中，V表示多边形的顶点个数，F表示多边形的面的个数，E表示多边形的边的个数。

对于一个格点多边形来说，多边形的面的个数可以等于1，因此欧拉定理可以简化为：V=E+1将欧拉定理等式两边带入格点个数公式中，我们得到：B=V-1接下来，我们需要计算多边形的顶点个数V。

【讲义】四年级下第04讲_格点图形面积计算

第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个．一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．。

七年级下数学拓展课——数格点算面积

当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。
——希尔伯特
再见！
的格点数，那么有 S 2 N L 2
A
即：格点多边形面积等于图形内部所包含
格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
C
B
B
(a)
巩固：
1、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴” 成面积为1的等边三角形)．
⑴
⑵
⑶
⑷
2、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然
后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．
D
添补法：把不规则图形周围添
补上规则的小图形转化一个规
则的大图形，使总面积便于计
算。
（1）求下列多边形的面积
（2）不妨设S---格点多边形的面积，N--多边形内部的格点数，L--它的边上的格点数，那么S、N、L三者之间有没有关系呢？
图形序号 S N L
① 104
② 2.5 1 5
③
42 6
S、N、L三者之间有怎样的关系呢？
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S与L 之间的关系活动六归纳总结：格点多边形中S与L之间的关系
S N L 1 2
通过上面的探究，我们发现，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的格点的数目及图形内部的格点的数目，就可用公式算出。

数格点算面积

L＝6 N＝7 S＝9
L＝8 N＝5 S＝8
把一个多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所
得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形；
把一个多边形的一边向两方延长，如果其他各边分别位于延长所得直线的两旁，这样的多边形叫做凹多边形.
活动七
请你在下面的网格中画出一个S＝9，N＝6的
格点多边形．
哥哥说：“我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17 棵树，弟弟的面积大！”
弟弟说：“我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树，哥哥的面积大！”
预备知识
如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么多边形叫做格点多边形.
A E
B
C
S=
1 2
D
L＋N－1
奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1859～1943）在1899年
发现了上述公式，并进行了证明.这个公式被称为“皮克定理”，该定理
被誉为有史以来“最重要100个的数学定理”之一.
活动六
请你在下面的网格中设计一个格点多边形，并利用上述定理求出各格点多边形的面积．
0 0 0
③
边上格点数L 面积S
4
1
6
2
8
3
活动二探究N＝1的格点多边形的S与L之间的数量关系．
① 图形序号
① ② ③
② 内部格点数N
1 1 1
③
边上格点数L 面积S
4
2
5
2.5
9
4.5
活动三探究N＝2的格点多边形的S与L之间的数量关系．
① 图形序号

数格点_算面积

请把自己的想法说给同学听听。
Ⅰ Ⅳ ⅡⅢ
如右图将图形分割成
4块进行计算
解：把图形分割成如下图所示的四块：
图形Ⅰ的面积是：3；图形Ⅱ的面积是：3；
图形Ⅲ的面积是：3；图形Ⅳ的面积是：9。
∴图形ABCDE的面积为3+3+3+9=18。
试一试：
如下图，一个三角形的面积为1，计算ABCDE的面积多少？
O
如果第一步为“左”或“右”，那么转 A
B
化为第（ 1）题，各有 6种路线。一共是
8+6×2=20（种）。
S ABCD
第二层：凹多边形
自主探索：
下图是一个 10×10的正方形，求正方形内的四
边形的面积是多少？
因为ABCD不是凸四边形，所以
请把自己的想法说给同学听听。
如在原题图上取格点E，则三角形BCE 及四边形AECD就都是凸的图形了。
②用拼割方法得：ABCD的面积=长方形的面积-四角上的四个
三角形的面积=96-(622+332+432+452)=54(6+4.5+6+10)=27.5
(面积单位)
H
B
G
A
E
D
F
2、下图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗” 多占的面积是几？
解：图形内部格点数为59，图形周界上格点数为 19。所以图形的面积为： 59+19÷2-1=67.5( 面积单位)。
（1）19 解：由三角形格点面积公式得， n=8，m=5。
A
E
解：因为不是凸四边形，所
以如在原题图上取格点，则
三角形及四边形都是凸的图

小学奥数：格点型面积(毕克定理)

小学奥数：格点型面积（毕克定理）之樊仲川亿创作板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通惯例定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 暗示多边形内部格点，L 暗示多边形周界上的格点，S 暗示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例 2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)【例 5】如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【例 6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55⨯的方格纸，小方格的面积是毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的鸿沟上有L 个格点，则它的面积为12L S N =+-．1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，而且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S暗示面积，N暗示图形内包含的格点数，L暗示图形周界上的格点数，那么有22=⨯+-，就S N L是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．【例 17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M 是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．。

四年级奥数巧箱格点与面积

巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。

巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。

做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。

【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。

图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。

图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。

填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。

（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。

■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。

我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。

如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。

做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。

心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。

问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。

格点求面积公式(一)

格点求面积公式(一)
格点求面积公式
1. 矩形格点面积公式
对于平面上的矩形格点区域，面积可以通过格点的个数来计算，
公式如下：
Area=(n+1)×(m+1)
其中，n表示矩形格点区域的纵向格点数，m表示矩形格点区域的横向格点数。

例子：假设有一个长为3，宽为4的矩形格点区域，即n=2，m=3。

根据公式计算可得：
Area=(2+1)×(3+1)=9
所以，该矩形格点区域的面积为9个格点。

2. 正方形格点面积公式
对于平面上的正方形格点区域，面积也可以通过格点的个数来计算，公式如下：
Area=(n+1)2
其中，n表示正方形格点区域的边长。

例子：假设有一个边长为5的正方形格点区域，即n=4。

根据公式计算可得：
Area=(4+1)2=25
所以，该正方形格点区域的面积为25个格点。

3. 三角形格点面积公式
对于平面上的三角形格点区域，面积同样可以通过格点的个数来计算，公式如下：
Area=(n+1)×(m+1)
2
其中，n表示三角形格点区域的高度（即底边上的格点数），m表示三角形格点区域的宽度（即最长斜边上的格点数）。

例子：考虑一个高度为3，宽度为4的三角形格点区域，即n=2，m=3。

根据公式计算可得：
$Area = = = $
所以，该三角形格点区域的面积为个格点。

以上就是几种常见的格点求面积公式，根据不同形状的格点区域，我们可以利用相应的公式来计算其面积。

小学奥数：格点型面积毕克定理

小学奥数：格点型面积（毕克定理）正方形格点问题板块一通常规定并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶)个单位是1点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！请同学们分析前几个例表示多边形面积，N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S用题的格点数．L．这个规律就是毕克定理．我们能发现如下规律：1??S?N2毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，L．则它的面积为1N??S?2【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例2】如图，的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．44?断下列图形哪些是格点多边形？判3】【例⑵⑴⑶⑷如图，计算各个格点多边形的面积．4【例】⑴⑵⑶⑹⑸⑷4【巩固】如果两格点之间的距离是2教师总结：面积数值均扩大，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(倍．)【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．IIIIII(a)(c)(b)【例6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．DAFCEB1cm1cm别计算图中两个格点多边形的面积．分【例7】⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？8】我【例面积单位的图形．求矩形内的箭形右图是一个的面积．】【例9ABCDEFGH8 12 HGFAEDCB，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？右图中每个小正方形的面积都是1 10】【例平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，小方格的顶点的方格纸，小方格的面积是1(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)【例11】5 5个点用个格点都不在一条直线上，并且使这77个格点，要求其中任意3称为格点．请你在图上选平方厘米．直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是21月)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题【例三个数字所占的面积之和是多少？、1，那么7、2下面的图形中，日开幕，每一个小方格的面积是1现个大小相同的小方格．)两个边长相等的正方形各被分成25邀请赛试题【例13】 (第六届“从小爱数学”2，右下角的阴影部)面积为块状将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(5.12cm2，求大正方形的面积．线状分()面积为7.4cm，求阴影四BQCQ，=2PF=，的面积是图中正六边形第六届“华杯赛”试题14【例】()ABCDEF54AP2的面积．CEPQ边形PPFFAAEBEQCCDD板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．表N表示图形内包含的格点数，L关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，倍与示图形周界上的格点数，那么有，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的22?N?L?S?2 2．周界上格点数的和减去，所形成的三角形都是等边三角形．计算21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”如图(a)，有【例15】ABC的面积．三角形AA ECCDF BB)a()b(的面积．1【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为的等边三角形，计算ABC ACB．求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)【例16】⑵⑴⑷⑶，求图中【例把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是】17128粗线所围成的三角形的面积．的面积是多少平方厘米？平方厘米，那么四边形如图，如果每一个小三角形的面积是】【例181ABCD，然后适当连接这些等分点，便得2)(把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分如图1，图19【例】中阴影部分平方分米，那么图2到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米．的面积是______【例20】将图中的图形分割成面积相等的三块．问：大正六角星形面积是多少平方厘米？】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，21【例中平方厘米．是CDNM是AB中点，ABCDEF(【例22】第五届“华杯赛”试题)正六边形的面积是6的面积是多少平方厘米？是EF中点．问：三角形MNP点，P QFFAAPMMPEEBBSRDCCDNN的面积是平方厘米．那么，三角形2ABC如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是】【例23平方厘米．_____。

八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计

八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解格点的概念，掌握格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点；
2.学会利用格点计算多边形面积的方法，特别是不规则多边形的面积计算；
3.能够运用三角剖分、拼凑等方法将复杂多边形转化为简单多边形，从而求解其面积；
4.掌握计算多边形面积的公式，如海伦公式、向量叉乘等，并能够灵活运用；
教学活动：使用多媒体动画演示格点多边形的形成过程，结合实物模型，让学生直观地理解多边形的构成。
3.设想三：采用分组讨论、合作探究的方式，引导学生发现并总结多边形面积计算的方法。
教学活动：设计具有挑战性的问题，让学生分组讨论、合作探究，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作能力。
4.设想四：设计丰富的例题和练习，巩固提高作业：选取一道生活中的实际问题，如测量不规则地块的面积，运用所学知识进行计算，并撰写解题报告。报告内容包括问题背景、解决方法、计算过程和结果。
3.创新作业：鼓励学生尝试编写一个程序（如使用Scratch、Python等编程语言），实现格点多边形面积的计算。此作业旨在培养学生的编程兴趣和跨学科综合运用能力。
（二）讲授新知
1.教学活动一：讲解格点的概念及基本性质
从定义入手，详细讲解格点的概念，并通过示例说明格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点。
2.教学活动二：介绍多边形面积计算方法
以具体的图形为例，讲解如何利用格点计算多边形面积，特别是不规则多边形的面积计算方法，如三角剖分、拼凑等。
3.教学活动三：推导面积计算公式
3.教学活动三：小组代表展示讨论成果
每个小组选派一名代表，展示他们的讨论成果，分享解题思路和经验。