专题三圆周运动_机械能守恒中的连接体问题
新高考物理机械能5-5 “机械能守恒定律中的连接体问题”面面观
[针对训练]
1．(多选)如图所示，有质量为 2m、m 的小滑块 P、Q，P 套在固定竖
直杆上，Q 放在水平地面上。P、Q 间通过铰链用长为 L 的刚性轻
杆连接，一轻弹簧左端与 Q 相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水
平，α＝30°时，弹簧处于原长。当 α＝30°时，P 由静止释放，下降到最低点时 α
变为 60°，整个运动过程中，P、Q 始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，
(1)求小球 m2 沿斜面上升的最大距离 s； (2)若已知细绳断开后小球 m1 沿碗的内侧上升的最大高度为R2，求mm12。(结 果保留两位有效数字) [解析] (1)设小球 m1 到达最低点 B 时，m1、m2 速度大小分别为 v1、v2 如图所示，由运动的合成与分解得 v1＝ 2v2
对 m1、m2 组成的系统由机械能守恒定律得 m1gR－m2gh＝12m1v12＋12m2v22
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 三点 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化关系。 提醒 (3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳
连接的系统，机械能则可能守恒。
[针对训练]
1.如图所示，物体 A 的质量为 M，圆环 B 的质量为 m，由绳子通过定滑轮
2．(多选)如图所示，水平地面上固定一足够长的光滑斜面，斜面顶
端有一光滑定滑轮，一轻绳跨过滑轮，绳两端分别连接小物块 A
和 B。已知斜面倾角 θ＝30°，小物块 A 的质量为 m，小物块 B 的质量为 0.8m，
小物块 B 距离地面的高度为 h，小物块 A 距离定滑轮足够远。开始时，小物块 A
和小物块 B 位于同一水平面上，用手按住小物块 A，然后松手。则下列说法正
机械能守恒和圆周运动的结合
欢迎来到本次演讲！我们将探索机械能守恒与圆周运动的奇妙联系，以及在 这一领域内的一些令人惊叹的应用。
机械能守恒的定义
机械能守恒是指在一个闭合系统中，机械能（动能和势能之和）的总量保持不变。这个概念是我们理解圆周运 动的基础。
圆周运动的基本概念
圆周运动是物体绕着一个固定轨道做匀速运动，如行星绕太阳运动。这种运 动的特点是速度的大小不变，但方向不断改变。
机械能守恒和圆周运动的联系
在圆周运动中，机械能守恒的原理发挥了重要作用。它使我们能够更好地理 解和分析物体在圆周运动过程中的能量转换。
圆周运动中的重力势能和动能 的转换
在圆周运动中，重力势能可以转换为动能，反之亦然。这一转换过程是圆周 运动中能量守恒的关键。
机械能守恒在圆周运动中的应 用
通过理解机械能守恒的原理，我们可以解释许多圆周运动现象，如摩天轮的 运动和卫星绕地球的轨道。
圆周运动中的角速度和角加速 度
角速度是描述物体在圆周运动中旋转快慢的指标，而角加速度则是描述旋转 加速度的指标。它们与机械能守恒密切相关。
结论和要点
通过机械能守恒理论的运用，我们能够更好地理解和分析圆
用机械能守恒定律解决连接体问题
用机械能守恒定律解决连接体问题1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE 1＝－ΔE 2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．例1 如图1所示，左侧为一个半径为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1＞m 2.开始时m 1恰在碗口水平直径右端A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．图1(1)求小球m 2沿斜面上升的最大距离s ；(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2.(结果保留两位有效数字) 当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开．答案 (1)2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)1.9 解析 (1)设重力加速度为g ，小球m 1到达最低点B 时，m 1、m 2速度大小分别为v 1、v 2 如图所示，由运动的合成与分解得v 1＝2v 2对m 1、m 2组成的系统由机械能守恒定律得m 1gR －m 2gh ＝12m 1v 12＋12m 2v 22 h ＝2R sin 30°联立以上三式得v 1＝ 22m 1－2m 22m 1＋m 2gR ，v 2＝ 2m 1－2m 22m 1＋m 2gR 设细绳断开后m 2沿斜面上升的距离为s ′，对m 2由机械能守恒定律得m 2gs ′sin 30°＝12m 2v 22 小球m 2沿斜面上升的最大距离s ＝2R ＋s ′ 联立以上两式并代入v 2得s ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2R ＝2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)对m 1由机械能守恒定律得： 12m 1v 12＝m 1g R 2代入v 1得m 1m 2＝22＋12≈1.9.。
机械能守恒定律——连接体问题PPT课件 人教课标版
方向竖直向上。
小结:
45
V垂
V V
VM
Vm
Vm
1、这类问题通常利用系统减少的重力势能等 于系统增加的动能列式比较简洁 2 、不可伸长是重要的隐含条件，任何绷紧 的绳相连的两物体沿绳方向速度大小相等
（三）连续媒质的流动问题
例3．一条长为L的均匀链条，放在 光滑水平桌面上，链条的一半垂于 桌边，如图所示 现由静止开始使 链条自由滑落，当它全部脱离桌面 时的速度为多大?
R O
M
m
根据运动效果，将VM沿绳方向 和垂直于绳的方向分解，则有：
45
VM cos45 Vm
0
V垂
VM
Vm
由机械能守恒定律得：
Vm
1 1 2 2 MgR 2mgR MV M mV m 2 2
解两式得：
4 gR(M 2m ) vM 2M m
方向水平向左
2 gR(M 2m ) vm 2M m
V0
R
O
解析：当列车进入轨道后，动能逐渐 向势能转化，车速逐渐减小，当车厢 占满环时的速度最小。
设运行过程中列车的最小速度为V， 列车质量为m m 则轨道上的那部分车的质量为： 2R
由机械能守恒定律得：
1 1 2 2Rm 2 mv 0 mv gR ………….(1) 2 2 L
L
由圆周运动规律可知，列车的最小速率为：
v gR
………….(2)
解①②得：
4gR v0 gR L
2
小结：此类问题特别要注意势能
和动能表达式中的质量是否相等
97年高考. 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接， 弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0， 如图所示。一物块从钢板正上方距离为 3x0的A处自由 落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不 粘连。它们到达最低点后又向上运动。 A 已知物块质量也为m时，它们恰能回到 3x0 O x0 O点。若物块质量为2m，仍从A处自由 m 落下，则物块与钢板回到O点时，还具 有向上的速度。求物块向上运动到达 的最高点与O点的距离。
圆周运动的连接体经典实用
圆周运动的连接体
练习6：如图,已知物体A、B、C与转轴的距离为 R B 2R A 2R C ，质量为 MA 2M B 3MC ，三物体与转盘的摩擦力因数相同，三物体随转 盘一起做匀速圆周运动，当转盘的转速逐渐增 加时，以下说法正确的是（ ）
圆周运动的连接体
备用习题
1．[2011·盐城模拟] 如图所示，OO′为竖直轴，MN 为 固定在 OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球 A、 B 套在水平杆上，AC 和 BC 为抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴 OO′上．当线拉直时，A、B 两球转动半径之 比恒为 2∶1，若转轴的角速度逐渐增大，则( )
圆周运动的连接体
圆周运动的连接体
答案例 4 C [解析] 球 B 在最高点时速度为 v0，有 mg＝m2vL20 ， 得 v0＝ 2gL，A 项错误；此时球 A 的速度为v20＝12 2gL，B 错 误；设杆对球 A 的作用力为 FA，则 FA－mg＝mv2L02，得 FA ＝1.5mg，C 项正确；设球 B 在最低点时的速度为 vB，据机械 能守恒定律有 2mgL－mgL＋12mv20＋12mv202＝－2mgL＋mgL ＋12mv2B＋12mv2B2，解得 vB＝ 256gL，D 项错误．
A. 物体A先滑动 B. 物体B先滑动 C. 物体C先滑动 D. 物体B、C同时先滑动
圆周运动的连接体
练习7：物体m用线通过光滑的水平板间的 小孔与砝码M相连,并且正在做匀速圆周运 动,如果减小M的质量,则物体m的轨道半径R, 角速度练习8：如图,细绳的异端系着质量M=0.6kg 的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑 小孔吊着质量m=3kg的物体,M的中点与原空 的距离为0.2m,已知M和平面的最大静摩擦 力为2N,现使的此平面绕中心轴线转动,问 角速度在什么范围m会相对水平面静止?
圆周运动连接体问题
圆周运动连接体问题圆周运动连接体问题，听起来是不是有点高深莫测？别担心，咱们一点点儿捋清楚，慢慢理解。
这其实就跟我们日常生活中看到的很多场景有关系，虽然表面上看不出什么复杂的数学公式，但如果你仔细琢磨，就能发现很多原理和规律其实都藏在我们身边。
比如，坐摩天轮时，你就能直观地体会到圆周运动。
你想啊，当你坐在摩天轮的车厢里，车厢沿着一条圆形轨道转圈，不停地上下波动，你就是这个运动的一部分。
圆周运动就是物体沿着圆形轨迹做运动的方式。
比如，地球围绕太阳转，月亮围绕地球转，甚至你拿着手机拍照时，那旋转的镜头，也是个小小的圆周运动。
圆周运动连接体问题，通俗点说就是研究那些参与圆周运动的物体，它们之间怎么相互影响的。
就拿你坐摩天轮这个事儿来说吧。
你和摩天轮的车厢之间是不是有一个“连接”？你坐在车厢里，车厢在转，你和车厢之间就形成了一个“连接体”，而这个连接体会让你感受到一种叫做“向心力”的力量，这个力量的作用就是把你拉向圆心。
你转的时候感觉身体有点往外甩，那就是因为你想要继续沿着圆轨道转，而这个拉力让你保持在轨道上。
这时候你可能会问了，为什么坐摩天轮会感觉到这种力？你不觉得奇怪吗？其实这个力叫做“离心力”，虽然它听起来像是你要飞出摩天轮了，但实际上，离心力并不是一种真正存在的力。
它只是你因为转动而产生的惯性力，换句话说，当你转动时，你的身体并不想随同车厢一起转，它宁愿“飞出去”。
而车厢则像一个老大哥，牢牢地把你拖住，保持你在车厢内。
而向心力就是那个“老大哥”，它使得你始终保持在车厢里，不会被甩出去。
如果你还觉得有点晕，没关系，咱再举个简单的例子。
你玩甩鞭子的时候，不也是一样的吗？你把鞭子在手里甩来甩去，鞭子的末端就会做圆周运动，而你手里拉住鞭子的部分就像是摩天轮上的车厢，保持着对鞭子末端的控制。
而那条鞭子的末端会感受到一个向心力，就是你的手施加在鞭子上的力，使得它不至于飞出去。
这个例子是不是更形象了点？你看，这些看似简单的动作，背后其实有很多物理原理在支撑。
高中物理学习细节(人教版)之机械能守恒定律：机械能守恒定律的应用之连接体问题(含解析)
一、机械能守恒定律在连接体问题中的应用机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：1．系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接。
这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系。
2．系统内两个物体通过轻绳连接。
如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒。
解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等。
3．系统内两个物体通过轻杆连接。
轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体的角速度相等。
【典例1】如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连．斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦．开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。
现将手撤去。
(1) 求A 物体将要落地时的速度为多大？(2) A 物体落地后，B 物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B 物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？(2)A 物体落地后，B 物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B 物体而言，只有重力做功，故机械能守恒，设其到达的最高点离地高度为H ，由机械能守恒定律得12mv 2＝ mg (H －h sin θ) 解得H ＝h＋sin θ2.【答案】 (1)gh－sin θ(2)h＋sin θ2【典例2】 如图所示，质量分别为2m 和m 的可视为质点的小球A 、B ，用质量不计且不可伸长的细线相连，跨在固定的底面半径为R 的光滑圆柱体两侧。
开始时A 球和B 球均与圆柱体轴心O 等高，然后释放两球，则B 球到达圆柱体最高点时的速度为多大？【审题指导】解答本题时应注意以下两点：（1）运动过程中，A 球和 B 球均受到细线的拉力作用，细线的拉力做功，A 球和B 球的机械能都不守恒。
（2）若选取A 球和B 球及细线组成的系统为研究对象，则运动过程中只有重力做功，系统的机械能守恒。
(完整word版)动能定理、机械能守恒和圆周运动的结合
动能定理和圆周运动相结合（专题）例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L的轻绳悬于O点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动?变式训练1-1如图所示，质量为m的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L，在O点正下方P处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P处的钉子作圆周运动。
那么钉子到悬点的距离OP等于多少？例题2课本80页第2题变式训练2-1如图所示，小球自斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端B进入半径为R的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C，已知A、B两点间高度差为3R，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。
例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。
求：⑴释放点距A点的竖直高度；⑵落点C与A点的水平距离。
变式训练3-1半径R=1m的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m，如图所示，有一质量m=1.0kg的小滑块自圆轨道最高点A由静止开始滑下，经过水平轨迹末端B 时速度A C D BO为4m/s，滑块最终落在地面上，试求:(1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大？(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？例题4如图，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC竖直，圆轨道半径为R一个质量为m的物体放在A处，AB=2R，物体在水平恒力F的作用下由静止开始运动，当物体运动到B点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力变式训练4-1如果在上题中，物体不是恰好过C点，而是在C点平抛，落地点D点距B点的水平位移为4R，求水平力。
变式训练4-2如图，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度。
圆周运动中的连接体问题、临界问题—人教版高中物理必修二课件(共15张ppt)
2
7
解析：C 错：两个人做圆周运动，向心力的大小相等，质量 不同，角速度相同，所以他们的运动半径不同．D 对：设甲的半 径为 R1，则乙的半径为 0.9 m－R1，故 m 甲 ω2R1＝m 乙 ω2(0.9 m－ R1)，解得 R1＝0.3 m．B 错：再根据 9.2 N＝m 甲 ω2R1 可知，角速 度 ω≈0.62 rad/s.A 错：两个人的角速度相同，半径不同，故他 们的线速度不相同．
互为向心力，角速度相同．设两球所需的向心力大小为 Fn，角 速度为 ω，则
对球 m1：Fn＝m1ω2r1， 对球 m2：Fn＝m2ω2r2， 由上述两式得 r1:r2＝1:2. 答案：D
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变式训练 2 甲、乙两名溜冰运动员，m 甲＝80 kg，m 乙＝40 kg，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的溜冰表演，如图所示．两 人相距 0.9 m，弹簧测力计的示数为 9.2 N，下列判断中正确的是
【答案】 D
2
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变式训练 3 如图所示，两绳系一质量为 0.1 kg 的小球，两 绳的另一端分别固定于轴的 A、B 两处，上面绳长 2 m，两绳拉 直时与轴的夹角分别为 30°和 45°，问球的角速度在什么范围内 两绳始终都有张力？(g 取 10 m/s2)
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解析：当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如
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rad/s 时，两绳始终都有张力．
答案：
10 3 3
rad/s<ω<
10
rad/s
2020年高三物理专题 机械能守恒中的三类连接体模型(解析版)
(一)系统机械能守恒的三类连接体模型连接体问题是力学部分的难点，本书通过对近几年高考题及各地模拟题的深入研究，总结出以下三类可以利用系统机械能守恒来快速解题的连接体模型。
速率相等的连接体模型1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
2．判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。
这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
[例1]如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。
现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。
已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。
开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。
求：(1)斜面的倾角α；(2)A球获得的最大速度v m。
[审题建模](1)细线不可伸长，A、B两球速率一定相等，但B与C球以弹簧相连，速率一般不同。
(2)弹簧的弹性势能与弹簧的形变量大小有关，无论弹簧处于伸长状态还是压缩状态。
【解析】(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。
A的加速度此时为零由牛顿第二定律得： 4mg sin α－2mg ＝0 则：sin α＝12，α＝30°。
(2)由题意可知，A 、B 两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A 沿斜面下滑至速度最大时的机械能守恒，同时弹簧的弹性势能相等， 故有：2mg ＝k Δx4mg Δx sin α－mg Δx ＝12(5m )v m 2得：v m ＝2gm 5k。
【答案】 (1)30° (2)2gm 5k[集训冲关]1.如图所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍。
机械能守恒和圆周运动的结合
一,知识回顾 1,机械能守恒定律 , (1)守恒条件:只有重力和弹簧弹力做功 )守恒条件: ①,物体仅受重力 物体还受其他外力的作用,但只有重力做功. ②,物体还受其他外力的作用,但只有重力做功. (2)表达式: )表达式: 1 1 2 2
mgh1 + 2 mv1 = mgh2 + 2 mv 2
F向A=mg
A
O
(2)根据 F向A )
求得 v A = gL 的运动过程, (3) A到B的运动过程,机械能守恒 ) 到 的运动过程 以最低点( ) 以最低点(B)点为零势面
1 1 2 2 mg × 2 L + mv A = mv B 2 2 vB = 5gL 2
2
vA = mg = m L
2
L
T
v
只有重力做功的两种情况
仅受重力
G G v0 G v0 G v0 G v0
还受其他外力 T
O
A
NO
B C
C
mg mg
指向圆心的拉力不做功
指向圆心的支持力不做功
返回
零势面的选择
仅受重力
G G v0 G v0 G v0 G 地面 v0
还受其他外力
A O
B 最低点所在的水平面
C 最低点所在的水平面 返回
①,h——相对于零势面的高度 相对于零势面的高度 ②,零势面的选取 a,一般选地面;b,很多时候物体运动的最低点. ,一般选地面; ,很多时候物体运动的最低点. 在图中明确初 明确初, ③,在图中明确初,末位置 习题1 (3)解题步骤 习题 (1) ) )
机械能守恒和圆周运动的结合
一,知识回顾 2,运用圆周运动向心力公式的技巧: ,运用圆周运动向心力公式的技巧: (1)公式: )公式:
机械能守恒和圆周运动的结合
课题：机械能守恒和圆周运动的结合教学目标提高学生对机械能守恒和圆周运动向心力公式两个知识点的运用能力，学会将两个知识点有机地结合起来进行解题。
通过习题的实践，教师的引导，使学生学会如何将知识进行整合和迁移。
教材分析重点：机械能守恒定律，圆周运动向心力。
难点：机械能守恒定律和圆周运动向心力两个知识点的综合运用。
教学过程我们已经对圆周运动、机械能这两章进行了复习，今天，让我们一起来回顾一下这两章的一些重要的知识点。
一、复习1、运用圆周运动向心力公式的技巧：（1）公式： r )Tπm(r m ωr v ＝m F 向2222==（2）解题技巧：公式左：受力分析，寻找向心力的来源；公式右；根据题目出现的v ，ω，T 选择公式习题1 （1）、（2）（定点A ）＋最低点的向心力由什么力提供？（拉力等于重力吗？）解答计算题时一定要有必要的文字表述2、机械能守恒定律（1）守恒条件：只有重力或弹簧弹力做功只有重力做功等同于物体仅受重力吗？只有重力做功可能出现几种情况？② ① 公式左 公式右③只有重力做功：①、物体仅受重力，只有重力做功——自由落体、抛体运动；②、物体除受重力外，还受其他外力的作用，但只有重力做功。
——摆球摆动的过程、小球冲上光滑圆环。
情况2中的摆球、小球冲光滑圆环物理模型属于圆周运动，而且它们指向圆心的力都有一个共同特点——不做功，满足机械能守恒定律，因而在实际运用中常把这两个知识点糅合起来，对同学们进行考查，这就是我们今天要讲的内容——机械能守恒和圆周运动的结合。
——机械能守恒和圆周运动的结合（2）表达式：2211k p k p E E E E +=+2222112121mv mgh mv mgh +=+注意：①、h ——相对于零势面的高度②、零势面的选取：（课件）一般选地面；摆球、圆形轨道选最低点。
③、在图中明确定位初、末位置（可用A 、B 、C 点表示），列出对应状态下面的k p E E 和。
巧用机械能守恒定律求解连接体问题
高中生·高考指导文"汪志杰若干个物体通过一定的方式连接在一起，就构成了连接体，其连接方式一般是通过细绳、轻杆或轻弹簧等物体来实现的．连接体问题涉及多个物体，具有较强的综合性，是力学中能力考查的重要内容，在高考中也经常出现．连接体问题的解题关键是寻找连接体之间的内在联系．解决连接体问题的有效方法，除常用的整体法与隔离法外，还可利用机械能守恒定律求解．一、轻绳连接模型解答此类问题应注意：连接体运动过程中，与绳子连接的物体沿着绳子方向的速度大小一定相等；轻绳内部张力处处相等，且与运动状态无关．因此，此类模型中的单个物体机械能一般不守恒，但系统机械能守恒．例１如图１所示，质量分别为ｍ和Ｍ的物块Ａ和Ｂ用不可伸长的细绳连接，Ａ放在倾角为α的固定斜面上，Ｂ能沿杆在竖直方向上自由滑动．杆到滑轮中心的距离为Ｌ，开始时将Ｂ抬高到使细绳水平．求当Ｂ由静止开始下落ｈ时的速度．（滑轮和绳的质量及各种摩擦均不计）解析设Ｂ下降ｈ时速度为ｖ１，此时Ａ上升的速度为ｖ２，沿斜面上升的距离为ｓ．选Ａ、Ｂ和地球组成的系统为研究对象，由于系统在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，其重力势能的减少量等于其动能的增加量，即有Ｍｇｈ－ｍｇｓ·ｓｉｎα＝１２Ｍｖ２１＋１２ｍｖ２２．①由于Ｂ下落，使杆与滑轮之间的一段绳子既沿其自身方向运动，又绕滑轮转动，故ｖ１可分解为图２所示的两个分速度．由图２知ｖ２＝ｖ１ｃｏｓθ＝ｖ１·ｈＬ２＋ｈ２!．②由几何关系知ｓ＝Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ．③联立①、②、③三式可解得ｖ１＝２（Ｌ２＋ｈ２）［Ｍｇｈ－ｍｇｓｉｎα（Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ）］ＭＬ２＋（Ｍ＋ｍ）ｈ２!．小结若系统内的物体通过不可伸长的轻绳相连接，则系统的机械能守恒．本题还需结合相关物体的速度关系式才能求解．例２如图３所示，质量均为ｍ的小球Ａ、Ｂ、Ｃ，用两条长均为Ｌ的细线相连，置于高为ｈ的光滑水平桌面上．Ｌ＞ｈ，Ａ球由静止状态从桌面边缘落下．若Ａ球、Ｂ球下落着地后均不再反弹，则Ｃ球离开桌面边缘时的速度大小是多少？（不计摩擦）解析本题的物理过程如下：Ａ球下落带动Ｂ球和Ｃ球运动．Ａ球着地前瞬间，Ａ、Ｂ、Ｃ三球速率相等，且Ｂ、Ｃ两球均在桌面上．因Ａ球着地后不反弹，故Ａ、Ｂ两球间细线松弛，Ｂ球继续运动并下落，带动小球Ｃ，在Ｂ球着地前瞬间，Ｂ、Ｃ两球速率相等．故本题的物理过程应划分为两个阶段：第一个阶段，从Ａ球开始下落到Ａ球着地瞬间；第二个阶段，从Ａ球着地后到Ｂ球着地瞬间．在第一个阶段，选三个球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×３ｍ×ｖ２１．①在第二个阶段，选Ｂ、Ｃ两球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×２ｍ×ｖ２２－１２×２ｍ×ｖ２１．②由①、②解得ｖ２＝１５ｇｈ!３．小结要重视对物体运动过程的分析，明确运动过程中有无机械能和其他形式能量之间的转换，对有能量形式转换的部分不能应用机械能守恒定律．二、轻杆连接模型由于轻杆不可伸长和压缩，所以沿杆方向速度相同．若轻杆一端固定，则杆转动时，杆上各点具有相同的角速度．求解此类问题需注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的变化．例３如图４所示，一轻杆上有质量均为ｍ的小球ａ和ｂ，轻杆可绕Ｏ点在竖直平面内自由转动，Ｏａ＝ａｂ＝Ｌ．将杆拉成水平后，由静止开始释放，求轻杆转动到竖直方向时ａ、ｂ两球的速度．◎高考题库◎巧用机械能守恒定律求解连接体问题５１高中生·高考指导解析设杆转到竖直方向时，ａ、ｂ的速度大小分别为ｖａ、ｖｂ，规定ｂ球到达的最低点所在的水平面为零势面，由机械能守恒定律得ｍｇＬ＋ｍｇ·２Ｌ＝１２ｍｖ２ａ＋１２ｍｖ２ｂ．又ｖｂ＝２ｖａ，由此可得ｖａ＝３０ｇＬ!５，ｖｂ＝２５３０ｇＬ!．小结此题易误认为ａ、ｂ两小球在下摆过程中各自机械能守恒，而事实上重力和轻杆对ａ、ｂ均做功，并使其机械能不守恒，但是ａ、ｂ组成的系统与外界没有能量交换，系统机械能还是守恒的．例４如图５所示，长为ｌ的轻质杆两端有质量均为ｍ的两个相同的小球Ａ和Ｂ，Ａ靠在竖直墙壁上，Ｂ与地面接触，两处均不计摩擦．开始时杆与水平面成６０°角，放手后Ａ下滑、Ｂ右滑．当杆与水平夹角θ为多大时，Ａ刚好脱离墙壁？此时Ｂ球速度为多大？解析设Ａ刚好脱离墙壁时Ａ、Ｂ的速度分别为ｖＡ、ｖＢ，Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，系统机械能守恒，有ｍｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．①又Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，两小球沿杆方向的速度相同，即ｖＡｓｉｎθ＝ｖＢｃｏｓθ．②由①、②两式解得ｖＢ＝２ｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）ｓｉｎ２θ!．③令ａ＝２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ，ｂ＝ｓｉｎθ，ｃ＝ｓｉｎθ，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３!．因为ａ＋ｂ＋ｃ３≥ａｂｃ３!，所以当ａ＝ｂ＝ｃ时，ａｂｃ有最大值，此时ｖＢ＝ｇｌａｂｃ!有最大值．由２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ解得ｓｉｎθ＝３!３，则θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３．将ｓｉｎθ＝３!３代入③式得ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．此时Ａ受墙壁的水平作用力减小到零，刚好脱离竖直墙壁．故当θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３时，Ａ刚好脱离竖直墙壁，此时ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．小结运用机械能守恒定律，应注意研究对象的选取和定律守恒的条件．本题中Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，整个系统机械能守恒，但是系统的某一部分的机械能并不守恒．意识到Ａ、Ｂ组成的系统机械能守恒并找出Ａ、Ｂ之间的速度关系是解本题的关键．三、轻弹簧连接模型求解此类问题的关键在于分析物体的运动过程，认清弹簧的状态及不同能量之间的转化关系．由两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统，应注意弹簧伸长或压缩到最大程度时弹簧两端连接的物体具有相同的速度，弹簧处于自然长度时弹性势能最小（为零）等隐含条件．例５如图６所示，质量为ｍ１的物体Ａ经一轻质弹簧与其正下方地面上的质量为ｍ２的物体Ｂ相连，弹簧的劲度系数为ｋ，Ａ、Ｂ都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体Ａ，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，Ａ上方的一段绳沿竖直方向．在挂钩上挂一质量为ｍ３的物体Ｃ并从静止状态释放，已知它恰好能使Ｂ离开地面但不继续上升．若将Ｃ换成另一个质量为（ｍ１＋ｍ３）的物体Ｄ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次Ｂ刚离地面时Ｄ的速度的大小是多少？（重力加速度为ｇ）解析开始时，Ａ、Ｂ静止，设弹簧压缩量为ｘ１，有ｋｘ１＝ｍ１ｇ．①挂上Ｃ并释放后，Ｃ向下运动，Ａ向上运动．设Ｂ刚要离地时弹簧伸长量为ｘ２，有ｋｘ２＝ｍ２ｇ．②Ｂ不再上升，表示此时Ａ和Ｃ的速度为零，Ｃ已降到最低点．根据机械能守恒定律，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为$Ｅ＝ｍ３ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．③Ｃ换成Ｄ后，当Ｂ刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得１２（ｍ１＋ｍ３）ｖ２＋１２ｍ１ｖ２＝（ｍ１＋ｍ３）ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）－$Ｅ．④由③、④两式得１２（２ｍ１＋ｍ３）ｖ２＝ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．⑤由①、②、⑤三式得ｖ＝２ｍ１（ｍ１＋ｍ２）ｇ２（２ｍ１＋ｍ３）ｋ!．小结此题考查的知识点有胡克定律、共点力作用下物体的平衡、机械能守恒定律及其应用，其难点是系统弹性势能的增加量的计算和隐含条件（两种情况下弹簧弹性势能的增加量相等）的挖掘．四、轻盘连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间角速度和线速度的关系．例６如图７所示，半径为ｒ、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，◎高考题库◎５２圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴Ｏ，在盘的最右边固定一个质量为ｍ的小球Ａ，在Ｏ点的正下方离Ｏ点ｒ２处固定一个质量也为ｍ的小球Ｂ．放开盘，让其自由转动，求：（１）Ａ转到最低点时的线速度是多少？（２）在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度是多少？解析（１）该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒．设Ａ球转到最低点时的线速度为ｖＡ，此时Ｂ球的线速度为ｖＢ，则根据机械能守恒定律可得ｍｇｒ－ｍｇ·１２ｒ＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．由圆周运动的知识可知ｖＡ＝２ｖＢ．由上述两式可求得ｖＡ＝２５５ｇｒ!．设在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度为θ（如图８所示），则由机械能守恒定律可得３２ｍｇｒ＝ｍｇｒ（１－ｃｏｓθ）＋ｍｇｒ（１＋１２ｓｉｎθ），易求得θ＝ａｒｃｓｉｎ３５．五、轻支架连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系和重力势能为零的位置的选择．例７如图９所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在Ａ处固定质量为２ｍ的小球，Ｂ处固定质量为ｍ的小球，支架悬挂在Ｏ点，可绕过Ｏ点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时ＯＢ与水平面垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是Ａ．Ａ球到达最低点时速度为零Ｂ．Ａ球机械能减少量等于Ｂ球机械能增加量Ｃ．Ｂ球向左摆动所能达到的最高位置应高于Ａ球开始运动时的高度Ｄ．当支架从左向右回摆时，Ａ球一定能回到起始高度解析对三角支架和Ａ、Ｂ球组成的系统，在支架摆动过程中只有重力做功，遵守机械能守恒定律．支架向左摆动时，Ａ球的机械能减少，Ｂ球的机械能增加．根据机械能守恒定律可知Ｂ、Ｄ正确．设三角支架的边长为ｌ，当Ａ球摆到最低点时，Ｂ球向左到达Ａ球开始运动时的高度．因摆动中Ａ、Ｂ两球角速度ω相同，由ｖ＝ωｒ可知，Ａ、Ｂ两球的线速度大小也相同，设为ｖ．由机械能守恒定律得２ｍｇｌｃｏｓ６０°－ｍｇｌｃｏｓ６０°＝１２×２ｍ×ｖ２＋１２ｍｖ２，解得ｖ＝ｇｌ３!≠０．由于Ｂ球到达Ａ球开始运动时的高度时，Ａ、Ｂ两球都有一定的速度ｖ，两球还要继续向左摆动，使Ｂ球所能达到的最高位置高于Ａ球开始运动时的高度，所以选项Ａ错，选项Ｃ对．选Ｂ、Ｃ、Ｄ．小结对系统的机械能守恒，可依照题目采用适当的守恒形式．本题判断Ｂ、Ｄ选项采用的是“系统一部分机械能的减少量等于另一部分机械能的增加量”形式，即!ＥＡ＝!ＥＢ；在判断Ａ、Ｃ选项时，又采用了“系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量”形式，即!Ｅｋ＝!Ｅｐ．一般在初、末态总机械能不易简单写出，而机械能的增加或减少部分又较明显时，利用!ＥＡ＝!ＥＢ或!Ｅｋ＝!Ｅｐ求解会更简便些．从上面各例可以看出，在用机械能守恒定律解连接体问题时，要注意下面几个问题：１．准确地选取系统．应用机械能守恒定律必须准确地选择系统．系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械能不守恒．当研究一个问题涉及到的不是一个物体而是两个或两个以上的物体时，应具有整体意识，将不同的物体组成系统，这样往往会化繁为简、化难为易．２．选取具体的物理过程．在运用机械能守恒定律解题时必须选取具体的物理过程，确定初、末状态．选取物理过程必须遵循两个基本原则：一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化．有时可选全过程，而有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解．同时，要重视对物体运动过程的分析，把握守恒条件，明确哪些运动过程中系统机械能守恒．３．灵活选取机械能守恒定律的不同表达式来解题．在运用机械能守恒定律Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２时，必须选取零势面，而且在分析同一问题时只能选取同一零势面．在某些机械能守恒的问题中，运用Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２求解不太方便，而运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０则较为简单．运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０求解的一个特点是不必选取零势面，只要弄清楚过程中物体重力势能的变化即可．４．对相互关联的多个物体构成的连接体问题一定要搞清各物体速度之间的关系．（责任编校/冯宪ｘｙｘ１２１２１＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ）◎高考题库◎５３高中生·高考指导。
专题06 机械能守恒中的三类连接体模型(原卷版)
“强基计划”尖子生的自我修养系列(一)系统机械能守恒的三类连接体模型连接体问题是力学部分的难点，本书通过对近几年高考题及各地模拟题的深入研究，总结出以下三类可以利用系统机械能守恒来快速解题的连接体模型。
速率相等的连接体模型1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
2．判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。
这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
[例1]如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。
现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。
已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。
开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。
求：(1)斜面的倾角α；(2)A球获得的最大速度v m。
[集训冲关]1.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。
当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。
将A由静止释放，B上升的最大高度是()A ．2RB.5R 3C.4R 3D.2R 32.[多选](2020·青岛一模)如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30°，质量分别为M 、m 的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。
开始时用手按住物体M ，此时M 到挡板的距离为s ，滑轮两边的细绳恰好伸直，而没有力的作用。
已知M ＝2m ，空气阻力不计。
松开手后，关于二者的运动，下列说法中正确的是( )A ．M 和m 组成的系统机械能守恒B ．当M 的速度最大时，m 与地面间的作用力为零C ．若M 恰好能到达挡板处，则此时m 的速度为零D ．若M 恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M 做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m 的机械能增加量之和3.(2020·福州质检)如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A 和B ，B 的下面通过轻绳连接物块C ，A 锁定在地面上。
高中物理专题：机械能守恒定律的应用 处理连接体
机械能守恒定律综合应用机械能守恒处理链条问题【例题1】如图8—53所示，光滑的水平桌面离地面高度为2L，在桌的边缘，一根长L的匀质软绳，一半搁在水平桌面上，另一半自然悬挂在桌面上，放手后，绳子开始下落，试问，当绳子下端刚触地时，绳子的速度是多大? 【变式1】如图5-5-9所示,总长L的光滑匀质铁链跨过一个光滑轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，其一端下落，刚铁链刚脱离滑轮的瞬间速度为多少？图5-5-9【变式2】如图5所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大。
机械能守恒定律处理连接体问题【例题1】如图5－3－6所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中 ( )．A．M、m各自的机械能分别守恒B．M减少的机械能等于m增加的机械能C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能D．M和m组成的系统机械能守恒【变式2】如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( )A．hB．1.5hC．2hD．2.5h【变式3】如图 4－4－5 所示，质量为 m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边定滑轮与质量为 M 的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降 h(h 小于桌面的高度)的距离，木块仍在桌面上，则砝码的速度大小为多少？图5-5-15【变式4】如图5-5-15所示，一轻绳的两端各系一小球（可视为质点），质量分别为M和m（M>m），跨放在一个光滑的半圆柱体上.两球由水平直径AB的两端由静止释放，当m刚好到达圆柱体的最高点C时，恰好脱离圆柱体.则两小球的质量之比为多少？（2）杆模型：①同一根杆上，转动的角速度w 相等，杆连接的物体没有外力作用时，物体与绳组成的系统机械能守恒，即动能和势能之和不变。
机械能守恒连接体问题
机械能守恒连接体问题
机械能守恒连接体是一种受力学原理控制的机械系统，它可以提供传动功率、减少摩擦和
消耗更少的能量。
机械能守恒连接体一般由两个活动分支和一条连接轴组成，它具有很强
的钢筋混凝土构件，便于受力分析和施工操作。
机械能守恒连接体有助于实现机械能的守恒，控制机械动力的流动，有效的减少损耗。
机
械能守恒连接体的拓扑结构具有优化力学分析的能力，其定向应用与传动系统有关，它可
以减少摩擦力、减小结构抗力，使结构受力分布更加均匀化，消除结构过度向外射电现象，使结构更为安全紧凑。
此外，机械能守恒连接体还具有有效地抑制动态传动系统中出现的振动、噪声及局部热源
的能力，有效地减少因转矩流动而造成的失稳现象，具有较低的摩擦损失。
总的来说，机械能守恒连接体具备了优异的受力特性，具有高效的传动能力，能够有效地抑制摩擦及噪声，减少结构受力的不均匀性，极大的满足了机械系统的受力要求。
它的发
展前景非常广阔，可以有效地改善机械系统的效率及耐久性。
专题06 机械能守恒中的三类连接体模型(原卷版)
“强基计划”尖子生的自我修养系列(一)系统机械能守恒的三类连接体模型连接体问题是力学部分的难点，本书通过对近几年高考题及各地模拟题的深入研究，总结出以下三类可以利用系统机械能守恒来快速解题的连接体模型。
速率相等的连接体模型1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
2．判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。
这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
[例1]如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。
现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。
已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。
开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。
求：(1)斜面的倾角α；(2)A球获得的最大速度v m。
[集训冲关]1.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。
当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。
将A由静止释放，B上升的最大高度是()A ．2RB.5R 3C.4R 3D.2R 32.[多选](2020·青岛一模)如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30°，质量分别为M 、m 的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。
开始时用手按住物体M ，此时M 到挡板的距离为s ，滑轮两边的细绳恰好伸直，而没有力的作用。
已知M ＝2m ，空气阻力不计。
松开手后，关于二者的运动，下列说法中正确的是( )A ．M 和m 组成的系统机械能守恒B ．当M 的速度最大时，m 与地面间的作用力为零C ．若M 恰好能到达挡板处，则此时m 的速度为零D ．若M 恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M 做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m 的机械能增加量之和3.(2020·福州质检)如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A 和B ，B 的下面通过轻绳连接物块C ，A 锁定在地面上。
专题三圆周运动_机械能守恒中的连接体问题
机械能守恒中的连接体问题【解题步骤】1.准确选择研究对象2.判定机械能是否守恒3.应用机械能守恒处理连接体问题例1：如图，在光滑的水平桌面上有一质量为M的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m的砝码相连，砝码到地面的高度为h，由静止释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车未离开桌子）小车的速度为多大练习1、一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的长方形物块，且M>m,开始时用手握住M，使系统处于如图示状态。
求Array（1）当M由静止释放下落h高时的速度（2）如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是多少2、如图所示，一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。
一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。
开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B 上升。
物块A与斜面间无摩擦。
设当A沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。
求物块B上升的最大高度H。
3、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，求当甲上升到圆柱最高点时甲的速度。
例2.长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬间,求绳子的速度练习1、如图所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少h2.如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，已知小车的质量为M，小桶与沙子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是A．绳拉车的力始终为mgB．当M远远大于m时，才可以认为绳拉车的力为mgC．小车获得的动能为mghD．小车获得的动能为例题3.如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴.AO、BO的长分别为2L和L.开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：当A到达最低点时，A小球的速度大小v；匀速圆周运动一、物理量之间的转换例1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：，，A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A、B、C三点的线速度之比为__________，角速度之比为__________，周期之比为__________。
动能定理、机械能守恒和圆周运动的结合
动能定理和圆周运动相结合（专题）例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L 的轻绳悬于O 点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动? 变式训练1-1如图所示，质量为m 的小球用不可伸长的细线悬于O 点，细线长为L ，在O 点正下方P 处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P 处的钉子作圆周运动。
那么钉子到悬点的距离OP 等于多少？例题2课本80页第2题 变式训练2-1如图所示，小球自斜面顶端A 由静止滑下，在斜面底端B 进入半径为R 的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C ，已知A 、B 两点间高度差为3R ，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。
例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点在O 的正上方，一个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。
求： ⑴释放点距A 点的竖直高度；⑵落点C 与A 点的水平距离。
变式训练3-1半径R=1m 的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m ，如图所示，有一质量m=1.0kg 的小滑块自圆轨道最高点A 由静止开始滑下，经过水平轨迹末端B 时速度为4m/s ，滑块最终落在地面上，试求:(1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大？ (2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？例题4如图，光滑的水平面AB 与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC 竖直，圆轨道半径为R 一个质量为m 的物体放在A 处，AB=2R ，物体在水平恒力F 的作用下由静止开始运动，当物体运动到B 点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C 水平抛出，求水平力变式训练4-1如果在上题中，物体不是恰好过C 点，而是在C 点平抛，落地点D 点距B 点的水平位移为4R ，求水平力。
变式训练4-2如图，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A 点由静止出发到B 点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C ，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A ，试求滑块在AB 段运动过程中的加速度。
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机械能守恒中的连接体问题【解题步骤】1.准确选择研究对象2.判定机械能是否守恒3.应用机械能守恒处理连接体问题例1：如图，在光滑的水平桌面上有一质量为M的小车，小车与绳的一端相连，绳子的另一端通过光滑滑轮与一个质量为m 的砝码相连，砝码到地面的高度为h，由静止释放砝码，则当其着地前的一瞬间（小车未离开桌子）小车的速度为多大？练习Word文档1、一根细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别系住质量为M和m的长方形物块，且M>m,开始时用手握住M，使系统处于如图示状态。
求Array（1）当M由静止释放下落h高时的速度（2）如果M下降h刚好触地，那么m上升的总高度是多少？2、如图所示，一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。
一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。
开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。
物块A与斜面间无摩擦。
设当A沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。
Word文档求物块B上升的最大高度H。
3、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开始运动，求当甲上升到圆柱最高点时甲的速度。
Word文档例2.长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动一下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬间,求绳子的速度？练习Word文档1、如图所示，一粗细均匀的U形管装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？Ah2.如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，已知小车的质量为M，小桶与沙子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是A．绳拉车的力始终为mgB．当M远远大于m时，才可以认为绳拉车的力为mgC．小车获得的动能为mghD．小车获得的动能为Word文档Word 文档例题3.如图所示，质量分别为2m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴.AO 、BO 的长分别为2L 和L .开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；匀速圆周运动一、物理量之间的转换例1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：，，A 、B 、C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A 、B 、C 三点的线速度之比为__________，角速度之比为__________，周期之比为__________。
答案：1：1：3 1：2：2 2：1：1 二、圆周运动的多解问题： 例2 如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h 处沿OB 方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B ，则小球的初速度v=________，圆盘转动的角速度=________。
变式： 如图所示，小球Q 在竖直平面做匀速圆周运动，当Q 球转到图示位置时，有另一小球P 在距圆周最高点为h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q 球的角速度应满足什么条件？三、向心力及向心加速度概念类问题：1. 向心力（1）定义：做匀速圆周运动的物体受到的合外力总是指向圆心的，这个力叫做向心力。
①向心力是按力的作用效果来命名的力。
它不是具有确定性质的某种力②向心力的作用效果是改变线速度的方向。
做匀速圆周运动的物体所受的合外力即为向心力，它是产生向心加速度的原因，其方向一定指向圆心，是变化的（线速度大小变化的非匀速圆周运动的物体所受的合外力不指向圆心，它既要改变速度方向，同时也改变速度的大小，即产生法向加速度和切向加速度）。
③向心力可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力。
（2）大小：。
（3）方向：总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心力是变力。
2. 向心加速度（1）定义：根据牛顿第二定律，做圆周运动的物体，在向心力的作用下，必须要产生一个向心加速度，它的方向与向心力方向相同，即总是指向圆心。
（2）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
（3）大小：Word文档（4）方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变，不论加速度的大小是否变化，的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
说明：向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度，对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度，对于非匀速圆周运动，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度。
选择题训练：1、某质点绕圆轨道作匀速圆周运动，下列说法中正确的是（）A．因为它速度大小始终不变，所以它作的是匀速运动B．它速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动C．该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态D．该质点作的是加速度大小不变的运动，是匀变速运动2、关于向心加速度的物理意义，下列说确的是（）A．它描述的是线速度方向变化的快慢B．它描述的是线速度大小变化的快慢C．它描述的是角速度变化的快慢D．以上说法都不正确3、下列关于圆周运动的说法中错误的是：（）A．做匀速圆周运动的物体，所受的合外力一定指向圆心B．做匀速圆周运动的物体，其加速度可能不指向圆心C．做圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心D．做圆周运动的物体，其合力不指向圆心时，加速度也一定不指向圆心4、如图3所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO/匀速转动，下列关于小球受力的说法中正确的是（）Word文档Word 文档图A ．小球受到重力、弹力和向心力作用B ．小球受到重力和弹力作用C ．小球只受到一个水平指向圆心的向心力作用D ．小球受到重力和弹力的合力是恒力5、如图4所示，在匀速转动的圆筒壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对 桶壁静止，则：A 、物体受到4个力的作用．B 、物体所受向心力是重力提供的．C 、物体所受向心力是弹力提供的．D 、物体所受向心力是静摩擦力提供 6、如图1所示的皮带传动装置中，轮A 和B 同轴，A 、B 、C 分 别是三个轮边缘的质点，且RA=RC=2RB ，则三质点的向心加速度之比aA ：aB ：aC 等于 （ ）A ．4：2：1B ．2：1：2C ．1：2：4D ．4：1：47、A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上，摩擦因数均为μ，A 的质量为2m ，B 、C 的质量均为m ，A 、B 离轴为R ，C 离轴为2R ，则当圆台旋转时：(设A 、B 、C 都没有滑动，如下图所示)( ABC ) A.C 物的向心加速度最大 B.B 物的静摩擦力最小图3图4C.当圆台转速增加时，C比A先滑动图8D.当圆台转速增加时，B比A先滑动8、关于物体做匀速圆周运动的说确的是（）A．匀速圆周运动角速度不变B．物体在恒力作用下不可能作匀速圆周运动C．向心加速度越大，物体的速度方向变化越快D．匀速圆周运动中向心加速度是一恒量9、物体做匀速圆周运动的条件是（）A.物体有一定的初速度，且只受到一个始终和初速度垂直的恒力作用B.物体有一定的初速度，且合力方向始终跟速度方向垂直C.物体有一定的初速度，且合力大小不变、方向始终指向圆心D.物体有一定的初速度，且合力大小不变、方向始终跟速度方向垂直10、关于向心力，下列说法中正确的是（）A.向心力不改变做圆周运动物体速度的大小B.做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的C.做圆周运动的物体，合外力就是向心力D.做匀速圆周运动的物体，合外力就是向心力四、向心力来源问题Word文档Word 文档对于匀速圆周运动的问题，一般可按如下步骤进行分析：①确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。
②明确运动情况，包括搞清运动速率v ，轨迹半径R 及轨迹圆心O 的位置等。
③分析受力情况，对物体实际受力情况做出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F （即提供向心力）。
④选用公式F=m R v 2=mR ω2=mR 22⎪⎭⎫ ⎝⎛T π解得结果。
例1、如图所示，汽车以速度V 通过一半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力的说确的是A. 汽车受重力、支持力、向心力B.C. 汽车的向心力是重力D. 汽车的重力和支持力的合力是向心力例2：汽车质量m 为1.5×104 kg ，以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径均为15 m ，如图3-17所示．如果路面承受的最大压力不得超过2×105 N ，汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过路面的最小压力是多少？Word 文档 例3、如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O 点，在O 点正下方的P 点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时：（ ）①小球的瞬时速度突然变大②小球的加速度突然变大③小球的所受的向心力突然变大④悬线所受的拉力突然变大A. ①③④B. ②③④C. ①②④D.①②③例4长为L 的细线，拴一质量为m 的小球，一端固定于O 点，让其在水平面做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图（a ）所示，求摆线L 与竖直方向的夹角为时；（1）线的拉力F ；（2）小球运动的线速度的大小；（3）小球运动的角速度及周期。
θ O P例5、匀速圆周运动中的临界问题与极值问题：在光滑平面中，有一转轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳的一端，绳的另一端固定一质量为m的小球B，绳长，小球可随转轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使球不离开水平面，转轴的转速最大值是D.A. B. C.Word文档。