高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。

3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。

4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。

8.三角形法则：

AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=⇔。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+

13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a b a b θ⋅=

⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。

（8）若ma na =，则m n =。 （9）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。

（10）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。（11）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。

题型2.向量的加减运算

1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += 。

2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。

3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = 。

5.已知点C 在线段AB 上，且3

5AC AB =,则AC = BC ，AB = BC 。

题型3.向量的数乘运算

1.计算：2(253)3(232)a b c a b c +---+-=

2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -= 。

题型4.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD 。

2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。

题型5.向量的坐标运算

1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。

2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。

3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。

4.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。

5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。

6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = 。

7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.1212e e e e +-和

B.1221326e e e e --和4

C.122133e e e e +-和

D.221

e e e -和 2.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55-- D.4

(1,)3--

题型7.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标。

2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求OA 的坐标。

题型8.求数量积

1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+，

（3）1()2a b b -⋅，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。

2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（2）a b ⋅，（3）(2)a a b ⋅+，

（4）(2)(3)a b a b -⋅+。

题型9.求向量的夹角

1.已知||8,||3a b ==，12a b ⋅=，求a 与b 的夹角。

2.已知(3,1),(23,2)a b ==-，求a 与b 的夹角。

3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。

题型10.求向量的模

1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b +，（2）|23|a b -。

2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（5）||a b +，（6）1||2

a b -

。 3.已知||1||2a b ==，

，|32|3a b -=，求|3|a b +。

题型11.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||

a e a =±】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 。 题型12.向量的平行与垂直 1.已知(1,2)a =，(3,2)

b =-，（1）k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？（2）k 为何值时向量ka b +与3a b -平行？

2.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-。

题型13.三点共线问题