2010年高考数学陕西(理)(word版含答案)
2010年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修II)第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) (B) 7 (C) 6(D)(5)35(1(1+-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 （7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A3 B 3 C 23D 3 （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为(A)2 (B)2(C) (D)（10）已知函数()|lg |f x x =,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)(C) (D) 第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13)1x ≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，cot cot a b a A b B +=+且BF 2FD =，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18)(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分) 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-.[来源:学*科*网] （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围.答案解析一、选择题(1)A＝i.(2)B∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝＝.∴tan100°＝－tan80°＝－＝－.(3)B线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z＝x－2y得y＝－，当直线y ＝－在y轴上的截距最小时，z取得最大值，由图知，当直线通过点A时，在y轴上的截距最小，由，解得A(1，－1)．所以z max＝1－2×(－1)＝3.（4）A数列{a n}为等比数列，由a1a2a3＝5得＝5，由a7a8a9＝10得＝10，所以＝50，即(a2a8)3＝50，即＝50，所以＝5(a n＞0)．所以a4a5a6＝＝5.(5)C(1＋2)3(1－)5的展开式中x的项为(－)3＋(2)2＝2x，所以x的系数为2.(6)A分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，有·＝12(种)；②选A类选修课1门，B类选修课2门，有·＝3×6＝18(种)，所以不同的选法共有12＋18＝30(种)．（7）D不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的法向量为＝(1,1,1)，又＝(0,0,1)，∴cos〈，〉＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.（8）C∵log32＝＜ln2，要比较log32＝与5－＝，只需比较log23与＝log22，只需比较3与2，∵2＞22＝4＞3，∴log32＞5－.∴c＜a＜b.(9) B在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝|F1F2|·h，解得h＝（10）C函数f(x)＝lg|x|的图象如图所示．由图知0＜a＜1，b＞1.∵f(a)＝|lga|＝－lga＝lg＝f(b)＝|lgb|＝lgb，∴b＝.∴a＋2b＝a＋.令g(a)＝a＋(0＜a＜1)，g(a)在(0,1)上为减函数，∴g(a)＝a＋＞g(1)＝1＋2＝3.（11）D如图，设∠APO＝θ，·＝||2·cos2θ＝||2·(1－2sin2θ)＝(|OP|2－1)(1－2·)＝|OP|2＋－3≥2－3，当且仅当|OP|2＝，即|OP|＝时，“＝”成立．（12）B不妨取AB⊥CD，过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P.设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD＝×2××2×h＝h.当直径通过AB与CD的中点时，h max＝2＝2.故V max＝二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13){x|0≤x≤2}解析：∵－x≤1，∴≤x＋1.原不等式等价于，解得0≤x≤2.(14)－解析：∵α为第三象限的角，∴π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ，k∈Z.又∵cos2α＝－，∴2α为第二象限角．∴sin2α＝＝.∴tan2α＝＝－.∴tan(＋2α)＝＝＝－.(15)(1，)解析：y＝x2－|x|＋a＝.当其图象如图所示时满足题意．由图知，解得1＜a＜.(16)解析：如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即，解得，D(，－)．由D在椭圆上得：＝1，∴＝，∴e＝＝.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)解：由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，sinA－cosA＝cosB－sinB，从而sinAcos－cosAsin＝cosBsin－sinBcos，sin(A－)＝sin(－B)．又0＜A＋B＜π，故A－＝－B，A＋B＝.所以C＝.(18)解：(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋B·C，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.(2)X～B(4,0.4)，其分布列为P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，P(X＝1)＝×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，P(X＝2)＝×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6，P(X＝3)＝×0.43×(1－0.4)＝0.153 6，P(X＝4)＝0.44＝0.025 6.期望E(X)＝4×0.4＝1.6.（19）解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD. 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.作BK⊥EC，K为垂足．因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB.SB＝＝，DE＝＝，EB＝＝，SE＝SB－EB＝，所以SE＝2EB.(2)由SA＝＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝＝1，又AD＝1，故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF＝＝.连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE.所以∠AFG是二面角A—DE—C的平面角．连结AG，AG＝，FG＝＝，cos∠AFG＝＝－.所以二面角A-DE-C的大小为120°.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．(1) ＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)．设平面SBC的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥得n·＝0，n·＝0.故2b－2c＝0，－a＋b＝0.令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)．又设＝λ(λ＞0)，则E(，，)．＝(，，)，＝(0,2,0)．设平面CDE的法向量m＝(x，y，z)，由m⊥，m⊥，得m·＝0，m·＝0.故＋＋＝0,2y＝0.令x＝2，则m＝(2,0，－λ)．由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n，m·n＝0，2－λ＝0，λ＝2.故SE＝2EB.(2)由(1)知E(，，)，取DE中点F，则F(，，)，＝(，－，－)，故·＝0，由此得FA⊥DE.又＝(－，，－)，故·＝0，由此得EC⊥DE，向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角．于是cos〈，〉＝＝－，所以二面角A-DE-C的大小为120°(20)解：(1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即lnx－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x(lnx＋－1)＝lnx－x(ln－＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0.（21）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4. ①直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，即y－y2＝·(x－)．令y＝0，得x＝＝1.所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由①知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1.因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m＝±.所以l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.又由①知y2－y1＝±＝±，故直线BD的斜率＝±，因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(－1＜t＜1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，.由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径r＝＝.所以圆M的方程为(x－)2＋y2＝.（22）解：(1)a n＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即b n＋1＝4b n＋2.b n＋1＋＝4(b n＋)，又a1＝1，故b1＝＝－1.所以{b n＋}是首项为－，公比为4的等比数列，b n＋＝(－)×4n－1，b n＝－－.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，a n＜a n＋1.(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；(ⅱ)设当n＝k时，a k＜a k＋1，则当n＝k＋1时，a k＋2＝c－＞c－＝a k＋1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，a n＜a n＋1.当c＞2时，令α＝，由a n＋＜a n＋1＋＝c得a n＜α；当2＜c≤时，a n＜α≤3.当c＞时，α＞3，且1≤a n＜α，于是α－a n＋1＝(α－a n)≤(α－a n)，α－a n＋1≤(α－1)．当n＞时，α－a n＋1＜α－3，a n＋1＞3. 因此c＞不符合要求．所以c的取值范围是(2，]．。
2008高考陕西数学理科试卷含答案(全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．复数(2)12i i i+-等于（ ） A ．i B ．i - C ．1D ．1-2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B ð中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ==，则a等于（ ）AB ．2CD 4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64B ．100C ．110D ．12050y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A B ．C ．-D ．-6．“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数3()2x f x +=，1()fx -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ）A ．2-B ．1C ．4D ．108．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD9．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，10．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ） A ．7 B ．5C ．4D ．311．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．(1)1lim2n a n n a∞++=+→，则a = ．14．长方体1111ABCD A BC D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::AB AD AA =A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为 ． 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火A B abl αβ炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sincos 444x x xf x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得1~i (123)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A AAB ，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．A 1 AC 1B 1BDC21．（本小题满分12分） 已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围． 22．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n = ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+ ．2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14．1215．② 16．96 三、17．解：（Ⅰ）2()sin2sin )24x x f x =-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．18．（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，，()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==⨯=．（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3． ξ的分布列为00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．解法一：（Ⅰ） 1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，2AB AC BC ==∴=，:1:2BD DC =，3BD ∴=，又3BD AB AB BC==， DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠= ，即AD BC ⊥．又1A A AD A = ，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂ 平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点， 则1CF AC AF =-=，11C F A A ==160C CF ∴∠= ．在Rt AEC △中，sin 6022AE AC ==⨯=在Rt BAE △中，tan 3AB AEB AE ===．AEB ∴∠= 即二面角1A CC B --为arctan解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，:1:2BD DC = ，13BD BC ∴= ．A 1 AC 1B 1BD CFE（第19题，解法一）（第19题，解法二）D ∴点坐标为03⎪⎪⎝⎭，，．∴2033AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，1(0)(00BC AA ==，，．10BC AA =，0BC AD = ，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A = ， BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥ 平面11ACC A，取0)AB ==，m 为平面11ACC A 的法向量，设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC == ，n n ．200m m ⎧+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，l n ∴==，，如图，可取1m =，则=⎭n ，010cos ⨯+<>==，m n 即二面角1A CC B --为arccos5． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，222282()048m m mk k m k ∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥ x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又12||||AB x x =-===．2168k +∴=2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x = ，4y x '∴=， ∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，，则22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --< ，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．21．解：（Ⅰ）222222()2(1)2()()()k x c x kx kx x ckf x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=， 即得220c k c ck --=，（*）0c ≠ ，0k ∴≠．由()0f x '=得220kx x ck --+=，由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k=-）． （Ⅱ）由（*）式得21k c =-，即21c k=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．（i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数． 1(1)012k kM f c +∴===>+， 221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得k（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==<22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k的取值范围为(2))-∞-+∞ ，． 22．解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+ ，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列．∴112121333n n n a --== ，332n n na ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+， 21121(1)3nx x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 2112111(1)3n x x x ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭2111(1)1(1)n x x x a ⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦2112(1)1n a x x=-+++ 2111n n n a a a x ⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭n a ≤，∴原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ≥21121(1)3nx x x ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭2212221(1)333n n nx x x ⎛⎫=-+++- ⎪++⎝⎭．∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 则2212111111133n n n n n n a a a n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭≥． ∴原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭， 则222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=+++ 0x > ，∴当23n x <时，()0f x '>；当23n x >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值212313n n nf a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+． ∴原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．B 卷选择题答案：1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D8．C 9．C 10．B 11．B 12．D。
2013年高考理科数学(陕西卷)解析版Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) [－1,1] (B) (－1,1)(C)(D)【答案】D【解析】,所以选D输入xIf x≤50 Theny=0.5 * xElsey=25+0.6*(x-50)End If输出y2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时,输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 61【答案】C【解析】,所以选C3. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若,为真；相反，若，则。
所以“”是“a//b”的充分必要条件。
另：当为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。
故选B5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】该地点信号的概率=所以该地点无信号的概率是。
2010年高考数学福建(理)(word版含答案)
是 输出 i 结束
C1 G
A． EH ∥FG B．四边形 EFGH 是矩形 C． 是棱柱 D． 是棱台
C B
0) 分别为双曲线 7．若点 O 和点 F (2，
x y 2 1(a 0) 的中心和左焦点，点 P 为双曲线 2 a
右支上的任意一点，则 OP FP 的取值范围为 ( A． [3 2 3， ) B． [3 2 3， )
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) C． [ ，
7 4
) D． [ ，
7 4
x ≥ 1， ， 8 ．设不等式组 x 2 y 3≥ 0 所表示的平面区域是 1 ，平面区域 2 与 1 关于直线 y≥ x
对于 1 中的任意点 A 与 2 中的任意点 B， 3x 4 y 9 0对称． | AB | 的最小值等于( A． )
EFGH 截去几何体 6．如图，若 是长方体 ABCD - A 1B 1C1D 1 被平面
否
s 11?
EFGHB1C1 后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点，F
为线段 BB1 上异于 B1 的点， 且 EH ∥ A1D1 ， 则下列结论中不正确 的是 ．．． （ ） A1 D1 E H B1 F D A
线” ．给出定义域均为 D x | x 1 的四组函数如下： ① f ( x) x ， g ( x)
2
x；
② f ( x) 10 ④ f ( x)
x
2 ， g ( x)
2x 3 ； x
③ f ( x)
x ln x 1 x2 1 ， g ( x) ; ln x x
成立； （2）当 x (1 ， 2] 时， f ( x) 2 x ．给出如下结论： ① 对任意 m Z ，有 f (2m ) 0 ；
2010年高考数学山东(理)(word版含答案)
1 4
（C）
Hale Waihona Puke 1 3（D）7 12
（8）某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目 乙不能排在第一位， 节目丙必须排在最后一位， 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A）36 种 （B）42 种 （C）48 种 （D）54 种 （9）设 {an } 是等比数列，则“ a1 a2 a3 ”是“数列 {an } 是递增数列”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
1 1 π sin 2 x sin cos 2 x cos sin( )(0 π) ，其图象过点 2 2 2
π 1 ， ． 6 2
（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）将函数 y f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1 ，纵坐标不变，得到函数 2
a 2i b i(a，b R ) ，其中 i 为虚数单位，则 a b i （A） 1 （B）1 （C）2 （D）3
（B）平行于同一直线的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行
（3）在空间，下列命题正确的是 （A）平行直线的平行投影重合 （C）垂直于同一平面的两个平面平行
x （ 4 ）设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x) 2 2 x b(b 为常数） ，则
f (1)
（A）3
（B）1
（C） 1
（D） 3
（5） 已知随机变量 服从正态分布 N (1 若 P( 2) 0.0 则 P( 2 3 ， 2 ≤ ≤ 2 ) ， 2 ) ，
1 Sh ．其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 3
2010年高考数学上海(理)(word版含答案)
*
．
11．将直线 l2 : nx y n 0 、 l3 : x ny n 0 （ n N ） 、 x 轴、 y 轴围成的封闭图形 的面积记为 Sn ，则 lim S n
*
（1）证明： an 1 是等比数列； （2）求数列 Sn 的通项公式，并指出 n 为何值时， S n 取得最小值，并说明理由．
21． （本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 8 分． 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米 铁丝，骨架将圆柱底面 8 等分，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装 上底面） ． （1）当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米） ； （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为 0.3 米时， 求图中两根直线 A1 B3 与 A3 B5 所在异面直线所成角的大小 （结果用反三角函数值 表示） ． B1 B2 B3 B4 B8 B7 B6 B5
（A）充分不必要条件 （C）充要条件 16．直线 l 的参数方程是 （A） （1，2）
x 1 2t (t R) ，则 l 的方向向量 d 可以是 y 2 t
（B） （2，1）
1
（C） （ 2 ，1）
（D） （1， 2 ）
1 x 17．若 x0 是方程 ( ) x 3 的解，则 x0 属于区间 2
2 x 0 的解集为 x4
． ．
2．若复数 z 1 2i (i 为虚数单位） ，则 z z z
2011年高考数学陕西文(word版含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学【选择题】【1】．设a,b 是向量，命题“若=-a b ，则||||=a b ”的逆命题是（ ）． （A ）若≠-a b ，则||||≠a b （B ）若=-a b ，则||||≠a b（C ）若||||≠a b ，则≠-a b（D ）若||||=a b ，则=-a b【2】．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）．（A ）28yx =- （B ）24yx =- （C ）28yx = （D ）24yx =【3】．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）．（A ）2a ba b +<<（B ）2a ba b +<<<（C ）2a ba b +<<<（D 2a ba b +<< 【4】．函数13y x =的图像是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）【5】．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）．（A ）2π83-（B ）π83-（C ）82π-（D ）2π3【6】．方程cos x x =在(),-∞+∞内（ ）．（A ）没有根（B ）有且仅有一个根 （C ）有且仅有两个根（D ）有无穷多个根【7】．如下框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于（ ）．（A ）7 （B ）8 （C ）10（D ）11【8】．设集合22{||cos sin |,},{|||1,i }ixM y y x x x N x x ==-∈=<∈R R 为虚数单位，，则M N ⋂为( ). （A ）(0,1)（B ）(0,1] （C ）[0,1)（D ）[0,1]【9】．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）．（A ）直线l 过点(,)x y（B ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （C ）x 和y 的相关系数在0到1之间（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同【10】．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ）．（A ）1◯和20◯ （B ）9◯和10◯ （C ）9◯和11◯ (D) 10◯和11◯ 【填空题】【11】．设lg ,0,()10,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则((2))f f -=______．【12】．如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________．【13】．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________．【14】．设n +∈N ,一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n =_____． 【15】．（选做题）若不等式12x x ++-≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．【16】．（选做题）如图，,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=︒，且6,4,12AB AC AD ===，则AE = ．【17】．（选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线13cos sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩，：（θ为参数）和曲线21C ρ=：上，则AB 的最小值为 ．【解答题】【18】．如图，在△ABC 中，45,90,ABC BAC AD ∠=︒∠=︒是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使90BDC ∠=︒ ．（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ； （2）设1BD =，求三棱锥D ABC -的表面积．【19】．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点(0,4)，离心率为35．（1）求C 的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 【20】．叙述并证明余弦定理．【21】．如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线e x y =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P，2Q ；…；n P ，n Q ，记k P 点的坐标为(,0)(1,2,,)k x k n =．（1）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤)n ； （2）求112233n n PQ PQ PQ PQ ++++．【22】．如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：（1）试估计40分钟内不能．．赶到火车站的概率； （2）分别求通过路径1L 和2L 所用时间落在上表中各时间段内的频率；（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【23】．设()ln ,()()()f x x g x f x f x '==+． （1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a对任意x ＞0成立．【参考答案】 【1】．D提示：结合命题与逆命题的结构特点，即知选项（D ）正确. 【2】．C提示：依题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，又22p-=-，所以224p =⨯=，故所求抛物线的方程为28y x =.【3】．B提示：方法一：因为0a b <<，a <，22a b b bb ++<=，2a b +>2a ba b +<<<.方法二：取1,4a b ==，则由52,,422a b a b +====，即得2a ba b +<<<. 【4】．B提示：因为幂函数的图像必经过点()1,1，所以选项（A ）（D ）错误.又13111828⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故由此判断即知选项（C ）错误，选项（B ）正确. 【5】．A提示：由三视图知，对应几何体是这样的：在棱长为2的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为2，底面圆半径为1）.故所求体积为()3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-. 【6】．C提示：通过在同一坐标系内，分别作出函数y x =和cos y x =的图像（注意：它们都是偶函数），观察即知图像有且仅有两个交点．故方程cos x x =在(),-∞+∞内有且仅有两个根.【7】．B 提示：若3699x -<-成立，则698.52p +==，这显然不可能．若3699x -<-不成立，则3398.582x p x +==⇒=，满足3699x -<-不成立．综上，所求38x =. 【8】．C 提示：因为222cos sin cos 2,1i 11ixx x x x x -=<⇒-<⇒<， 所以集合{|0M y =≤y ≤1}，{}11N x x =-<<，故[)0,1M N⋂=.【9】．A提示：因为线性回归直线必经过样本中心点(),x y ，所以选项（A ）正确.注意：由图知，直线l 的斜率小于零，所以x 和y 的相关系数必小于零，但x 和y 的相关系数并不是直线l 的斜率，故选项（B ）（C ）错误.因为无论n 为奇数或偶数，所有样本点都基本集中在直线l 的附近，至于直线l 两侧的样本点的个数是否相同显然是不确定的，故选项（D ）错误. 【10】．D提示：设开始时树苗集中在第x 个树坑旁边，则路程总和为()()2102010110201020x x +++-++++-⎡⎤⎣⎦()()201211220x x =+++-++++-⎡⎤⎣⎦()()()()21202120202121022x x x x x x ---⎡⎤=+=-+⎢⎥⎣⎦.又1,2,3,,20x =，从而易知当10x =或11x =时路程总和最小.故两个最佳坑位的编号为10◯和11◯. 【11】．2- 提示：因为()22100f --=>，所以()()()22210lg102f f f ---===-.【12】．1提示：方法一：设2z x y =-，又注意到1,1AB CD k k <<，于是平移直线l ：2y x z =-，分析即知当A l ∈时，z 取得最小值，故所求()min 22111x y -=⨯-=.方法二：将,,,A B C D 的坐标分别代入2x y -得11,2，显然其中1最小，故所求2x y -的最小值为1.【13】．567891011121381++++++++=提示：由所给等式可知：第五个等式左边第一个加项为5，然后依次增加1，且加项个数为9（注意：加项个数的规律为1,3,5,7,）；右边是29，即81（注意：右边的规律为22221,3,5,7,）.【14】．3或4提示：一元二次方程240x x n -+=有整数根，首先要满足164n ∆=-≥0，又n +∈N ，所以1,2,3,4n =.又由240x x n -+=变形得()224x n -=-，从而经检验即知3n =或4时方程根x 为整数.故所求充要条件是3n =或4. 【15】．(],3-∞提示：由题设得a ≤()min123x x ++-=，故所求a 的取值范围是(],3-∞.【16】．2提示：由题设知△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC =，所以64212AB AC AE AD ⨯===•. 【17】．1提示：因为曲线1C 的方程为()2231x y -+=，曲线2C 的方程为221x y +=，所以它们均表示圆，圆心和半径分别是()3,0,1和()0,0,1.又易知两圆相离，故所求min 3111AB =--=.【18】．（1）证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴ 当△ABD 折起后，,AD DC AD DB ⊥⊥． 又DB DC D ⋂=， ∴AD ⊥平面BDC ． ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）解：由（1）知，,,DA DB DB DC DC DA ⊥⊥⊥,1DB DA DC ===，∴AB BC CA ===从而111122DAB DBC DCA S S S ===⨯⨯=△△△， 1sin 602ABC S =︒=△∴表面积132S=⨯+=． 【19】．解：（1）将(0,4)代入C 的方程得2161b=， ∴4b =． 又35c e a ==，∴222925a b a -=，即2169125a -=， ∴5a =． ∴C 的方程为2212516x y +=． （2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-， 设直线与C 的交点为()11,Ax y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=，解得132x =232x =， ∴AB 的中点坐标12322x x x +==，()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭．注：用根与系数的关系正确求得结果，同样给分．【20】．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．或：在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法一：如图1，2aBC BC =•()()AC AB AC AB =--• 222AC AC AB AB =-+•222cos AC AC AB A AB =-+• 图1 222cos b bc A c =-+，即2222cos a b c bc A =+-．同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-． 证法二：已知△ABC 中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图2，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ． ∴2222(cos )(sin )a BCb Ac b A ==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++222cos b c bc A =+-． 图2同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【21】．解：（1）设11(,0)k k P x --，由e xy '=，得111(,e )k x k k Q x ---点处切线方程为111e e ()k k x x k y x x ----=-．由0y =，得11(2kk x x -=-≤k ≤)n ．（2）由110,1k k x x x -=-=-得，得(1)k x k =--，所以(1)e e k x k k kPQ --==． 于是，112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++112(1)11e e e 1e e...e 1e e 1n nn ---------=++++==--． 【22】．解：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， 则用频率估计相应的概率为0.44．（2）选择1L 的有60人，选择2L 的有40人， 故由调查结果得频率为：（3）1A ，2A 分别表示甲选择1L 和2L 时，在40分钟内赶到火车站；1B ，2B 分别表示乙选择1L 和2L 时，在50分钟内赶到火车站．由（2）知12()0.10.20.30.6,()0.10.40.5P A P A =++==+=，因为12()()P A P A >，所以甲应选择1L； 12()0.10.20.30.20.8,()0.10.40.40.9P B P B =+++==++=，因为21()()P B P B >，所以乙应选择2L ． 【23】．解：（1）由题设知1()ln g x x x=+， ∴21(),x g x x-'=令()g x '=0，得x =1． 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，故(0,1)是()g x 的单调递减区间． 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故(1,)+∞是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．（2）1ln g x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，设11()()2ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则22(1)()x h x x -'=-． 当1x =时，(1)0h =，即1()g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0,(1)0h x h ''<=， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减．当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 当1,()(1)0x h x h ><=时，1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即． （3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以1()()g a g x a -<对任意0x >成立1()1,g a a ⇔-< 即ln 1,a <从而得0e a <<，即a 的取值范围为(0,e)．【End 】。
2010年江苏高考真题(含答案)数学
2010年江苏高考数学试题一、填空题1．设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______________ 2．设复数z 满足z （2-3i ）=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______________3．盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是___4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm 。
5．设函数f （x ）=x （e x +ae -x ）,x ∈R ，是偶函数，则实数a =________________6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________7．右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________8．函数y=x 2（x>0）的图像在点（a k ,a k 2）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________ 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y —c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________ 10．定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________D C B AP 11．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是________12．设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是_________13．在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C CA B+=__ 14．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是______________二、解答题 15．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （-1,-2）,B （2,3）,C （-2,-1） （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长（2）设实数t 满足（AB tOC - ）·OC=0，求t 的值16．（14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC ，∠BCD=900（1）求证：PC ⊥BC （217．（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值 （2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大18．（16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为A,B ，右焦点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y①设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹②设31,221==x x ，求点T 的坐标③设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点 （其坐标与m 无关）19．（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列． ①求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）②设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。
2012年高考真题——数学理(陕西卷)试题及答案word版
2012年陕西省高考理科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）、1、 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ C ）（A ） (1,2) （B ） [1,2) （C ） (1,2] （D ） [1,2] 2、 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ D ）（A ） 1y x =+ （B ） 3y x =- （C ） 1y x= （D ） ||y x x = 3、 设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ B ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 4、 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ A ）（A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能5、 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ A ）（A ）（B （C ）（D ） 356、 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ B ）（A ） x x <甲乙，m 甲>m 乙（B ） x x <甲乙，m 甲<m 乙 （C ） x x >甲乙，m 甲>m 乙 （D ） x x >甲乙，m 甲<m 乙7、 设函数()x f x xe =，则（ D ）（A ） 1x =为()f x 的极大值点 （B ）1x =为()f x 的极小值点 （C ） 1x =-为()f x 的极大值点 （D ）1x =-为()f x 的极小值点8、 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ C ）（A ） 10种 （B ）15种 （C ） 20种 （D ） 30种9、 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ C ）（A ）（B ） 2（C ） 12 （D ） 12-10、 右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ D ）（A ） 1000NP = （B ） 41000NP =（C ） 1000MP =（D ） 41000MP =二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、 观察下列不等式213122+< 231151233++<，222111712344+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 2222211111111++234566+++<、 12、 5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 1 。
(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直于底面，已知该 六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长 为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外 接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外 接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体 对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则 有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
历年真题：陕西高考理科数学试题含答案(Word版)
陕西高考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D 【答案】 B【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω 3.定积分1(2)xx edx +⎰的值为（ ）.2Ae + .1B e + .C e .1De -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.已知底面边长为1则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x =（B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+【答案】 A【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′= 第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，12.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若b a //，则=θtan _______.【答案】 21【解析】.21t a n θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即 14.猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是 【答案】 A 5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 （1） 省略 （2）21【解析】（1）C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a（2）.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角 的正弦值.【答案】 （1） 省略 （2）510【解析】 （1）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====（2）510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,,,(1)=><==<∴=======∴n AB n AB n FG n FE n z y x EHGF G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上（1）若=++，；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 （1） 22 （2）m-n=y-x, 1【解析】 （1）22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A （2）1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+= 19.（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.【答案】 （1）（800,0.2）（2000,0.5）（4000,0.3） （2） 0.896【解析】 （1）3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润（2）896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B，其中1C 的离心率为2. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.【答案】 （1） a=2,b=1 （2） )1-(38-x y =【解析】 （1）14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x yc b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线 （2）)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过21.（本小题满分14分） 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】 （1） nx x x g n +=1)(（2）,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 （1）+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx xx g xk xx g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x xxx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，， （2）,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x ax x x x a x x x ax x x x axx x x x g x ag x f（3）+∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++••••=++++=+++++=+=+=N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11--311-211-111-f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(，所以，恒成立式恒成立恒成立知，则由（令）（n g g g g a nx h x xxx x h nnnn g g g g nn n n g x x x g。
2012陕西高考理科数学试题和答案(word打印版).doc
2012陕西高考理科数学试题和答案(word打印版)2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）.1、集合}0lg |{>=x x M ，}4|{2≤=x x N ，则=N M （ ）A ．（1，2）B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]2、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1+=x yB ．3x y -= C ．xy 1= D ．||x x y = 3、设a ，R b ∈，i 是虚数单位，则“0=ab ”是“复数iba +为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、已知圆C ：0422=-+x y x，l 是过点P （3，0）的直线，则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能5、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111C B A ABC -，CB CC CA 21==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A ．55B ．35C ．552D ．53 6、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为甲x ，乙x ，中位数分别为甲m ，乙m ，则( ) A ．乙甲x x<，乙甲m m > B ．乙甲x x<，乙甲m m < C ．乙甲x x> ，乙甲m m > D ．乙甲x x >，乙甲m m <7、设函数x xe x f =)(，则（ ）A ．1=x 为)(x f 的极大值点B ．1=x 为)(x f 的极小值点C ．1-=x 为)(x f 的极大值点 D. 1-=x 为)(x f 的极小值点8、两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种 9、在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ）A ．23B ．22C ．21D ．21- 10、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A ．1000N P =B ．10004N P = C ．1000M P =D ．10004M P = 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分） 11、观察下列不等式232112<+ 353121122<++ 474131211222<+++ ••••••照此规律，第五个．．．不等式为________________________________.12、5)(x a +的展开式中2x 的系数为10，则实数a 的值为_____.13、右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽______米.14、设函数⎩⎨⎧≤-->=,0,12,0,ln )(x x x x x f D 是由x 轴和曲线)(x f y =及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则y x z 2-=在D 上的最大值为___ _.15、（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）若存在实数x 使3|1|||≤-+-x a x 成立，则实数a 的取值范围是__________________.B.（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，DB EF ⊥，垂足为F ，若6=AB ，1=AE ，则=⋅DB DF _______.C.（坐标系与参数方程选做题）直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=相交的弦长为___.三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
2021年高考真题——理科数学(陕西卷) Word版含解析
2021年一般高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学学校部共有110名老师，高中部共有150名老师，其性别比例如图所示，则该校女老师 的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，由于min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()n x n N ++∈的开放式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由于22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，由于“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】 B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.依据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ． 2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ．考点：程序框图．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系 式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ． 考点：线性规划．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 【答案】B【解析】试题分析：2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有 一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数争辩函数的极值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2021，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ． 【答案】22考点：1、抛物线的简洁几何性质；2、双曲线的简洁几何性质． 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标 为 ． 【答案】()1,1 【解析】试题分析：由于x y e =，所以xy e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，由于1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，由于121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，由于00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1． 考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表 示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），由于该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b = 与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ； （II ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II ）332．试题解析：（I ）由于//m n ，所以sin 3cos 0a B b A ， 由正弦定理，得sinAsinB 3sinBcos A 0 又sin 0B ≠，从而tan 3A ，由于0A π<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos ab c bc A而7b2,a 3πA =得2742c c ，即2230c c由于0c，所以3c .故∆ABC 的面积为133bcsinA 22.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =， D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II 6试题解析：（I ）在图1中，由于AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1A OC又CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC .(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1A OC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 由于11B=E=BC=ED=1A A , BC ED所以12222(E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B 得22BC(,,0),22 122A C(0,,)22，CD BE (2,0,0).设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z ，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z ，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，则1110n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n ，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =， 从而126cos |cos ,|332n n θ=〈〉==⨯， 即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为63. 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，T （分钟）25 30 35 40 频数（次）20304010T ET （II ）刘教授驾车从老校区动身，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后马上返回老校区，求刘教授从 离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设大事A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率． 试题解析：（I ）由统计结果可得T 的频率分步为T （分钟）25 30 35 40 频率0.2 0.3 0.4 0.1T25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设大事A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以大事A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P .考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立大事的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【答案】（I 3II ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用10AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程． 试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc，则原点O 到直线的距离22bc d a b c ==+， 由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率32c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b . (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且|AB |10.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k由124x x ，得28(21)4,14k k k 解得12k. 从而21282x x b .于是()22212121215|AB |1|410(2)22x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭由|AB |10，得210(2)10b ，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b . (2)依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且|AB |10.设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b ，2222244x y b ，两式相减并结合12124,y 2,x x y 得1212-4()80x x y y .易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x 因此AB 直线方程为1(2)12y x ，代入(2)得224820.x x b所以124x x ，21282x x b .于是()22212121215|AB |1|410(2)22x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭由|AB |10，得210(2)10b ，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简洁几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x 时， ()()n n f x g x ，当1x ≠时，()()n n f x g x ，证明见解析．【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行争辩来推断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小．试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x 则(1)10,n F n1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x .又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x .由于n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x ，故111=+22n n n x x .(II)解法一：由题设，11().2nn n x g x 设211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x当1x 时, ()()n n f x g x当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x ,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22nnn n n n x x若1x ,()11111()22n n n n n n h x x x nxx----+'<++-11110.22nnn n n n x x所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h ，即()()n n f x g x .综上所述，当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x解法二 由题设，211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x当1x 时, ()()n n f x g x当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x .当2n时, 2221()()(1)0,2f xg x x 所以22()()f x g x 成立.假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x .那么，当+1nk 时，111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx12112kk x k x k .又11k+121111()22kk kk x k x k kx k x g x令1()11(x 0)kk k h x kx k x ，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x ,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x ,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h ，从而1k+1211()2kk x k x k g x故11()()k k f x g x .即+1n k ，不等式也成立.所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x .解法三:由已知，记等差数列为k a ,等比数列为k b ,k1,2,, 1.n 则111a b ，11n n n a b x ，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x 时, =k k a b ,所以()()n n f x g x .当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ，11n k -+≥.若01x , 11nk x ,()0k m x '<,当1x ,11n k x,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m ，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b ,11n n a b ，故()()n n f x g x综上所述，当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x考点：1、零点定理；2、利用导数争辩函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）由于DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA ADBC CD,又=2BC 32AB ，所以224ACAB BC ，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为3ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I ）(2233x y +=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将3ρθ=两边同乘以ρ可得223sin ρρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则2C 12t P =+C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I ）由23,3sin ρθρρθ==得，从而有(2222+3,+33x y x y ==所以.(II)设13(3t,t),3)22P 又,则22213|PC |331222t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II 12at bt + 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II试题解析：（I ）由||x a b ，得b ax b a则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a,1b（II =≤244t t41tt，即1t 时等号成立， 故max3+12+4t t .考点：1、确定值不等式；2、柯西不等式.。
【高三】全国高考理科数学函数试题汇编
【高三】全国高考理科数学函数试题汇编山高考理科数学试题的分类与编制2：功能一、1.函数y=ln（1-x）的定义字段为a.(0,1)b.[0,1)c.(0,1]d.[0,1][答：]d2．（普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若,则函数的两个零点分别位于区间()a、 B里面，B里面c.和内d.和内[答：]a3．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的大致图像是()[答：]a4．（高考四川卷（理））设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是()（a）（b）（c）（d）【答案】a5.（高考新课程标准1（科学））已知功能，如果≥, 的值范围是a.b.c.d.[答：]d6．（普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对））函数的反函数（a）（b）（c）（d）【答案】a7.（普通高校统一招生考试浙江数学（科学）试题（纯词版）已知为正实数，则a.b.c.d.[答：]d8．（普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知函数为奇函数,且当时,,则（a）（b）0（c）1（d）2【答案】a9.（高考陕西卷（理论））在图中所示的锐角三角形开放空间内，如需修建面积不小于3002的内部矩形花园（阴影部分），边长x（单位）的取值范围为(a)[15,20](b)[12,25](c)[10,30](d)[20,30][答：]C10的最大值。
（重庆市普通高校统一招生考试数学（理）试题（含答案）为（）a.9b.c.d.[答：]B11．（普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对））已知函数的定义域为,则函数的定义域为（a）（b）（c）（d）【答案】b12.函数图像和函数图像之间的交点数为a.3b.2c.1d.0[答：]B13．（高考四川卷（理））函数的图象大致是()[答：]C14．（普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版））已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则（a）（b）（c）（d）【答案】b15.（《普通高校统一招生考试广东数学（科学）卷（纯词版）》）在该领域定义的四个函数中，，，奇数函数的个数为（）a.b.c.d.[答：]C16．（普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯word版））若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是（a） 3（b）4（c）5（d）6【答案】a17.天津市高等学校统考数学（科学）试题（含答案）函数的零位数为（a）1（b）2（c）3（d）4【答案】b18.函数f（x）的图像向右移动一个单位长度，得到的图像与y=ex关于y轴对称，然后是f（x）=a.b.c.d.[答：]d19．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）设为函数的反函数,下列结论正确的是()（a）（b）(c)(d)[答：]B20．（普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对））若函数在是增函数,则的取值范围是（a）（b）（c）（d）【答案】d2、头衔21．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的定义域是_______________[答]22．（高考上海卷（理））方程的实数解为________[答]23．（高考上海卷（理））对区间i上有定义的函数,记,已知定义域为的函数有反函数,且,若方程有解,则[答]24．（高考新课标1（理））若函数=的图像关于直线对称,则的最大值是______.[答：]1625．（上海市春季高考数学试卷(含答案)）方程的解是_________________[答：]326．（高考湖南卷（理））设函数（1）注意设置，则相应零点的值设置为_(2)若______.(写出所有正确结论的序号)①②③ 如果【答案】(1)(2)①②③27.（《全国高等学校统一招生考试江苏卷（数学）》（带附加题的校对纯词版）是当时定义的一个奇函数，不等式的解集表示为：______【答案】28.（高考上海卷（理论））设为实常数，这是定义在R上的一个奇数函数。
20012010年高考试题——高考文科数学试题Word版含答案
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2010年高考数学湖南(理)(word版含答案)
N 2， 3
N 1 ， 4
2．下列命题中的假命题 是 ．．． A． x R ， 2
x 1
＞0
B． x N ， x 1 ＞0
2
C． x R ， lg x 1 3．极坐标方程 cos 和参数方程 A．圆、直线 C．圆、圆
D． x R ， tan x 2
．
15．若数列 an 满足：对任意的 n N ，只有有限个正整数 m 使得 am＜n 成立，记这样的
， 2， 3，…，n,…， 则得到一个新数列 ( an ) ． 例如， 若数列 an 是 1 m 的个数为 (an ) ， 1， 2，…，n 1，… ． 已 知 对 任 意 的 n N ， an n2 ， 则 则 数 列 ( an ) 是 0，
A B 图5Байду номын сангаасC
D
19． （本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况， 一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A， B 两点各建一个考察 基地．视冰川面为平面形，以过 A，B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系（图 6） ．在直线 x 2 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过
1
2 图4
3
4 5 月均用水量／吨
18． （本小题满分 12 分） 如图 5 所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点． （I）求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值； （II）在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F//平面 A1BE？证明你的结论． A1 B1 C1 D1 E
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）
2010年高考数学(理)真题(Word版)——全国2卷(试题+答案解析)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学(必修+选修II)第I 卷一．选择题（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + （2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y ex +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜ （6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 （7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位（8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若＝a ，＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则等于( ) （A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）3 （10）若曲线12y x-=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 （11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． （14）若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．（18）（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n .（Ⅰ）求limnn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312nn a a a n+++…＞．（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1＝AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE ＝3EB 1.（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．（20）（本小题满分12分） 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF = ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．（22）（本小题满分12分）设函数()1xf x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．答案解析一、选择题 （1）A解析：231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）D解析：由y ＝，得ln(x －1)＝2y －1，解得 x ＝e 2y －1＋1，故反函数为y ＝e 2x－1＋1(x ∈R )．故选D 。
2008年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)
+ ), 即y=sin(2x+ )=sin2(x+ ). ∴只需将函数y=sin2x的图像向左平移 个单位长度即得函数y=cos(2x+ )的图像,选A. 9、答案： D 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 且f(-1)=-f(1)=0. 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴当x＜-1或0＜x＜1时,f(x)＜0, 当-1＜x＜0或x＞1时,f(x)＞0. 又不等式 ＜0, ∴解集为(-1,0)∪(0,1). 10、答案： D 解析:动点M在以原点为圆心的单位圆上, 所以直线 + =1过点M,只需保证原点到直线的距离
B C A ∴O′E= a.∴sin∠O′AE= . 12、答案： B 解析:方法一:4种花都种有 =24种;只种其中3种花: · · · =48种;
只种其中2种花: · =12种. ∴共有种法24+48+12=84种. 方法二:A有4种选择,B有3种选择,C可与A相同,则D有3种选择,若C与A不 同,则C有2种选择,D也有2种选择. ∴共有4×3×(3+2×2)=84. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中 横线上． 13．答案： 9 解析:由题意得可行域如图中阴影部分所示,则由图可得目标函数z=2x-y 的最大值为y=2x-z,过点(3,-3)时,此时z=9.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ 卷） 理科数学（必修+选修Ⅰ） 第Ⅰ卷
参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这 一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ） s t O A． s t O s t O s t O B． C． D． 3．在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D．
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14．铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 CO2 排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表： a A B 50％ 70％ B（万吨） 1 0.5 C（百万元） 3 6
某冶炼厂至少要生产 1.9（万吨）铁，若要求 CO2 的排放量不超过 2（万吨）则购买铁 矿石的最少费用为 （万元） ． 15． （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A． （不等式选做题）不等式 x 3 x 2 ≥ 3 的解集为 B． （几何证明选做题）如图，已知 Rt△ABC 的两条 直角边 AC，BC 的长分别为 3cm，4cm，以 AC 为直 径的圆与 AB 交于点 D，则 BD
DA
． D B
A O C
．
C． （坐标系与参数方程选做题）已知圆 C 的参数方程为
x cos ， （ 为参数）以 y 1 sin
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 1 ，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16． （本小题满分 12 分） 已知 an 是公差不为零的等差数列， a1 1 ，且 a1，a3，a9 成等比数列． （Ⅰ）求数列 an 的通项； （Ⅱ）求数列 {2 n } 的前 n 项和 Sn ．
i 在复平面上对应的点位于 1 i
（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（A）第一象限
3．对于函数 f ( x) 2sin x cos x ，下列选项中正确的是 （A） f ( x ) 在（ ， ）上是递增的 （C） f ( x ) 的最小正周期为 2 π
5
π π 4 2
（B） f ( x ) 的图象关于原点对称 （D） f ( x ) 的最大值为 2
（B） S S
2
n ≥ 10
否
1 主视图 左视图
是 7．若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是
x S n
2
俯视图
1 （A） 3
（C）1
2 （B） 3
（D）2
输出 x 结束
8．已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 x2 y 2 6 x 7 0 相切，则 p 的值为 （A）
45°
D
北
60°
A
B
°
C
18． （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA ⊥平面 ABCD， AP AB 2 ，
BC 2 2 ，E，F 分别是 AD，PC 的中点．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面 BEF； （Ⅱ）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小．
（A）
1 2
（B）
4 5
（C）2
（D）9
6．右图是求样本 x1 ， x2 ，…， x10 平均数 x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 （A） S S xn 开始 输入 x1，x2， ，xn
n 1，S 0 n n 1
xn n （C） S S n 1 （D） S S n
1 2
（B） 1
（C）2
（D）4
9．对于数列 an ， “ an1 an (n 1 2， ) ， ”是“ an 为递增数列”的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表 ，当各班人数除以 10 的 余数大于 时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数 ．．6 ． 关系用取整函数 y [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 （A） y 10
a
17． （本小题满分 12 分） 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3) 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏 东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到 达 D 点需要多长时间？ 北
a 3 4． x x R 展开式中 x 的系数为 10，则实数 a 等于 x
（A）－1 （B）
1 2
（C）1
（D）2
2 x 1， x 1 5．已知函数 f ( x ) = 2 若 f ( f (0)) 4a ，则实数 a 等于 x ax， x ≥ 1
则 m= ．
3 3 2
y 3
y 3x2
12 ． 观 察 下 列 等 式 ： 1 2 3 为 ．
， 1 2 3 6
3 3 3
2
，
13 23 33 43 102 ， „ ， 根 据 上 述 规 律 ， 第 ．五 ．个 ．等 ．式 ．
13．从如图所示的长方形区域内任取一个点 M ( x，y) ，则点 M 取自 阴影部分的概率为 ． O 1 x
2010 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题， 每小题 5 分，共 50 分） ． 1．集合 A= x | 1≤ x ≤ 2 ，B= x | x 1 ，则 A∩(ðR B) 2．复数 z （A） x | x 1 （B） x | x ≥1 （C） x |1 x ≤ 2 （D） x |1≤ x ≤ 2
x
（B） y
x 4 x 3 （C） y 10 10
（D） y
x 5 10
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） ．
1 ） b （ 1 ， 11． 已知向量 a （2， ， m） ， （ 1 ， 2） ， 若a b∥c ， c