线性空间和欧式空间

第六章线性空间和欧式空间

§ 1线性空间及其同构

线性空间的定义

设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫

做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯

一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。在数域K与集合V

的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k , 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。

加法满足下面四条规则：

1) ;交换律

2) ( ) ( )；结合律

3) 在V中有一个元素0,对于V中任一元素都有0 (具有这个性质的元素0称为V的零元素)；存在零元

4) 对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0( 称为的负元素).

存在负元

数量乘法满足下面两条规则：

5) 1 ; 存在1元

6) k(l ) (kl). 数的结合律

数量乘法与加法满足下面两条规则：

7) (k l) k l ；数的分配律

8) k( ) k k .元的分配律

在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；，，等表示集合V中任意元素。

例1. 元素属于数域K的m n矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成

数域K上的一个线性空间，记为M m,n(K)。

例2. 全体实函数(连续实函数)，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。

例3. n维向量空间K n是线性空间。

例4. 向量空间的线性映射的集合Hom K(K m, K n)是线性空间。

二. 简单性质

1. 零元素是唯一的。

2. 负元素唯一。

3 . 0 0, k0 0 , ( 1) 。

4.若k 0,则k 0或者0。

三. 同构映射

定义：设V,V是数域K上的线性空间.A Hom K(V,V )是一个线性映射.如果A是一- 映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。线性空间V与V'称为同构的线性空间。

定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。

同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。

同构线性空间分类维数

§ 2线性子空间的和与直和

子空间的和：设W,,W2是线性空间V的子空间，贝U集合W ( 1 2| 1叫或2 W2)也是一个线性子空间，称为W|,W2的和，记为W1 W2.

两个线性子空间的和W, W2是包含这两个线性子空间的最小子空间.

满足交换律、结合律

设1,|||, s与1,|||, t是V的两个向量组.则

L( 1, |||, s) L( 1,|||, t) L( 1,川，s, 1,|||, t)

线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。

定理：(维数公式)如果W i,W2是线性空间V的两个子空间，那么

dim(叫)+ dim(W2)=dim(W1 W0+ dim(W1 W2)

由此可知，和的维数要比维数的和来得小。推广到有限个线性子空间的和空间维数

推论：如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n,那么V1,V2必含有非零的公共向量。

直和：设W,,W2是线性空间V的子空间，如果W W2中的每个向量都能被唯一地表示成 1 2 1 W1, 2 W2 .则称W i W2为直和，记为W W2。

设W,,W2是线性空间V的子空间，则下列结论互相等价：

（1W W2是直和；

（2）W W2 0;

（3）dim（W W2） dimW i dimW?.

设W是线性空间V的一个子空间，那么一定存在V的一个线性子空间U ,使得

V W U

满足上述条件的线性子空间U称为W的补子空间.

推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和

设W W2,川，W m是V的线性子空间，则下列结论相互等价：

（1） W i W m是直和；

（2）对i 1, ,m< W i W j 0;

1 j m

（3） dim（W W m） dim W1 dimW m.

§ 3欧式空间

定义设V是实数域R上的有限维线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，

记作（，），满足以下四条公理：

1）对称性（，）（，）；

2）关于标量乘法线性性质（k , ） k（,）；

3）关于向量加法的线性性质（，）（，）（，）；

4）正定性（，）0,当且仅当0时，（，）0

这里，，是V任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间.

例1在线性空间R n中，对于向量

则内积⑴适合定义中的条件，这样 R n 就成为一个欧几里得空间.

n 3时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式 例2在R n 里，对于向量

(%*2, ,a n ),

(国学，b n ),

定义内积

(,)a i b i 2a 2b 2

na n b n .

则内积(i)适合定义中的条件，这样 R n 就也成为一个欧几里得空间. 对同一个线性空间可以引入不同的内积

，使得它作成欧几里得空间.

例3在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间 C(a,b)中，对于函数f(x), g(x)定

义内积

b

(f (x), g(x)) f (x)g(x)dx .

(2)

a

对于内积(2) , C(a,b)构成一个欧几里得空间.

同样地，线性空间 R[x], R[x]n 对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4令H 是一切平方和收敛的实数列

(x i ,x 2,

*),

x 2

n i

所成的集合，则H 是一个欧几里得空间，通常称为希尔伯特(Hilbert) 空间.

定义非负实数节厂~称为向量

的长度，记为 ^

显然，向量的长度一般是正数， 只有零向量的长度才是零， 这样定义的长度符合熟知的性质:

k | |k|| |

⑶

这里k R, V .

长度为i 的向量叫做 单位向量.如果，

0由⑶ 式，向量

定义内积

(a i ，a 2， ，a n )

(b 1,b 2,

也),

(,)a i b i

a 2

b 2

a n b

n

.