高等数学课件--D112对坐标曲线积分教学案例
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (x d ,d y ,d z)
F ( x , y , z ) ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ))
F d s P ( x ,y ,z ) d x Q ( x ,y ,z ) d y R ( x ,y ,z ) d z
n
lim
0
k 1
P (k, k) x k Q (k ,k ) y k
记作
LP (x,y)dxQ (x,y)dy
都存在, 则称此极限为函数 F(x,y) 在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中, P(x,y),
Q(x,y)称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
第二节
第十一章
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y L
设一质点受如下变力作用
A
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))O
存在, 且有
LP (x,y)dxQ (x,y)dy P[(t) , (t)](t) Q [(t) ,(t)](t)dt
证明: 下面先证
LP(x,y)dx P[(t) , (t)](t)dt
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
n
根据定义
P(x,
L
y)dxl im 0 i1P(i
B x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “大化小”
F
A
WFAB cos
B FAB
“常代变” “近似和” “取极限”
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
1) “大化
小”.
把L分成 n 个小弧段, F 沿 Mk1Mk
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
n
P(x,
L
y)dx
l i0m k 1P(k,k)称xk为,对
x
的曲线积分;
n
LQ(x,y)dyl i0m k 1Q(k,k)称yk为,对 y 的曲线积分.
若记 ds(d x,dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 设 P (x,y),Q (x,y)在有向光滑弧 L 上有定义且
连续,
L
的参数方程为
x
y
(t) (t)
t:,则曲线积分
所做的功为 Wk, 则
y
F(k,k)
n
W Wk
L
M ykk
Mxk k1
B
k 1
A
2) “常代变”
O
x
有向小弧段 Mk1Mk 用有向线段 Mk1Mk ( xk,yk)
近似代替, 在 Mk1Mk 上任取一点 (k,k),则有
W k F (k, k)M k 1 M k
P (k ,k )Δ x k Q (k,k )Δ y k
同理可证
Q(x,
L
y)dyQ[(t) , (t)]
(t)
dt
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
特别是, 如果 L 的方程为 y(x )x ,:a b ,则
LP (x ,y )a b d x P [Q x,( x,(y x))d y ]Q [x,(x)](x)dx
例1. 计算 xydx, 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
A (1, 1)到 B (1 ,1 )的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L:A O OB y x
A:O y x ,x:1 0
O:y B x , x:0 1
O
x y x
x y d x x y d x x y d x
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 L i(i 1 , ,k ),
则 P (x,y)dxQ (x,y)dy L k P(x,y)dxQ(x,y)dy i1Li
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y
L
AO OB
A(1,1)
0
x(
x)dx
1
x
xdx 2 1x32dx4
1
0
0
5
解法2 取 y 为参数, 则 L:xy2, y:1 1
xydx1y2y(y2)dy2 1 y4dy4
L
1
1
5
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算 y2 dx , 其中 L 为 L
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
z (t)
P ( x ,y ,z ) d x Q ( x ,y ,z ) d y R ( x ,y ,z ) d z
P [(t) ,(t), (t)](t)
(t)
(t)
2020/7/30
同济版高等数学课件
定理 目录 上页 下页 返回 结束
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
,i)xi
设分点 x i 对应参数 t i , 点(i,i)对应参数 i , 由于
xixixi 1(ti)(ti 1 )(i)ti
n
LP(x,y)dxl i0m i1P[(i),(i)](i)ti
因为L 为光滑弧 , 所以 (t)连续
nΒιβλιοθήκη Baidu
l i0m i1P[(i),(i)](i)ti
P[(t) , (t)](t)dt
F ( x , y , z ) ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ))
F d s P ( x ,y ,z ) d x Q ( x ,y ,z ) d y R ( x ,y ,z ) d z
n
lim
0
k 1
P (k, k) x k Q (k ,k ) y k
记作
LP (x,y)dxQ (x,y)dy
都存在, 则称此极限为函数 F(x,y) 在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中, P(x,y),
Q(x,y)称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
第二节
第十一章
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y L
设一质点受如下变力作用
A
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))O
存在, 且有
LP (x,y)dxQ (x,y)dy P[(t) , (t)](t) Q [(t) ,(t)](t)dt
证明: 下面先证
LP(x,y)dx P[(t) , (t)](t)dt
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
n
根据定义
P(x,
L
y)dxl im 0 i1P(i
B x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “大化小”
F
A
WFAB cos
B FAB
“常代变” “近似和” “取极限”
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
1) “大化
小”.
把L分成 n 个小弧段, F 沿 Mk1Mk
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
n
P(x,
L
y)dx
l i0m k 1P(k,k)称xk为,对
x
的曲线积分;
n
LQ(x,y)dyl i0m k 1Q(k,k)称yk为,对 y 的曲线积分.
若记 ds(d x,dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P ( x ,y ) d x Q ( x ,y ) d y
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 设 P (x,y),Q (x,y)在有向光滑弧 L 上有定义且
连续,
L
的参数方程为
x
y
(t) (t)
t:,则曲线积分
所做的功为 Wk, 则
y
F(k,k)
n
W Wk
L
M ykk
Mxk k1
B
k 1
A
2) “常代变”
O
x
有向小弧段 Mk1Mk 用有向线段 Mk1Mk ( xk,yk)
近似代替, 在 Mk1Mk 上任取一点 (k,k),则有
W k F (k, k)M k 1 M k
P (k ,k )Δ x k Q (k,k )Δ y k
同理可证
Q(x,
L
y)dyQ[(t) , (t)]
(t)
dt
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
特别是, 如果 L 的方程为 y(x )x ,:a b ,则
LP (x ,y )a b d x P [Q x,( x,(y x))d y ]Q [x,(x)](x)dx
例1. 计算 xydx, 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
A (1, 1)到 B (1 ,1 )的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L:A O OB y x
A:O y x ,x:1 0
O:y B x , x:0 1
O
x y x
x y d x x y d x x y d x
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 L i(i 1 , ,k ),
则 P (x,y)dxQ (x,y)dy L k P(x,y)dxQ(x,y)dy i1Li
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y L P (x ,y )d x Q (x ,y )d y
L
AO OB
A(1,1)
0
x(
x)dx
1
x
xdx 2 1x32dx4
1
0
0
5
解法2 取 y 为参数, 则 L:xy2, y:1 1
xydx1y2y(y2)dy2 1 y4dy4
L
1
1
5
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算 y2 dx , 其中 L 为 L
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
z (t)
P ( x ,y ,z ) d x Q ( x ,y ,z ) d y R ( x ,y ,z ) d z
P [(t) ,(t), (t)](t)
(t)
(t)
2020/7/30
同济版高等数学课件
定理 目录 上页 下页 返回 结束
2020/7/30
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
,i)xi
设分点 x i 对应参数 t i , 点(i,i)对应参数 i , 由于
xixixi 1(ti)(ti 1 )(i)ti
n
LP(x,y)dxl i0m i1P[(i),(i)](i)ti
因为L 为光滑弧 , 所以 (t)连续
nΒιβλιοθήκη Baidu
l i0m i1P[(i),(i)](i)ti
P[(t) , (t)](t)dt