第7章 分形维数应用与MATLAB实现
如何利用Matlab技术进行多维数组操作
如何利用Matlab技术进行多维数组操作Matlab技术是一种强大的工具，可以用于处理和分析多维数组。
在科学和工程领域，多维数组是一种重要的数据结构，可以用于存储和处理各种类型的数据，例如图像、信号、矩阵等。
一、什么是多维数组多维数组是将数据组织成多个维度的数据结构。
在Matlab中，多维数组可以是二维、三维或更高维的。
例如，一幅图像可以表示为一个二维数组，其中每个元素代表一个像素的亮度值。
在Matlab中，可以使用矩阵操作来处理和修改图像的像素值。
二、创建多维数组在Matlab中，可以使用多种方式创建多维数组。
最简单的方法是使用赋值语句。
例如，可以使用以下语句创建一个3x3的矩阵：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];这个语句创建了一个3x3的矩阵A，并给每个元素赋予了相应的值。
除了赋值语句外，还可以使用内置函数来创建多维数组。
例如，可以使用以下语句创建一个3x3的单位矩阵：B = eye(3);这个语句使用了Matlab中的内置函数"eye"来创建一个3x3的单位矩阵B。
三、访问和修改多维数组一旦创建了多维数组，就可以使用索引操作符来访问和修改数组中的元素。
在Matlab中，数组的索引从1开始。
例如，可以使用以下语句访问矩阵A的第一个元素：A(1,1);这个语句返回了矩阵A第一行第一列的元素。
可以使用相同的方法修改数组中的元素的值。
例如，可以使用以下语句将矩阵A的第二行第二列的元素设置为10：A(2,2) = 10;四、多维数组的运算Matlab提供了丰富的函数和运算符来进行多维数组的操作。
以下是一些常用的操作：1. 矩阵加法和减法：可以使用"+"和"-"运算符来对两个矩阵进行逐元素的加法和减法。
例如，可以使用以下语句计算两个矩阵的和：C = A + B;这个语句将矩阵A和B的对应元素相加，结果存储在矩阵C中。
2. 矩阵乘法：可以使用"*"运算符来进行矩阵乘法。
Matlab实验报告：分形迭代
数学实验报告：分形迭代练习11.实验目的：绘制分形图案并分析其特点。
2.实验内容：绘制Koch曲线、Sierpinski三角形和树木花草图形，观察这些图形的局部和原来分形图形的关系。
3.实验思路：利用函数反复调用自己来模拟分形构造时的迭代过程，当迭代指标n为0时运行作图操作，否则继续迭代。
4.实验步骤：（1）Koch曲线function koch(p,q,n) % p、q分别为koch曲线的始末复坐标，n为迭代次数if (n==0)plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]);hold on;axis equalelsea=(2*p+q)/3; % 求出从p 到q 的1/3 处端点ab=(p+2*q)/3; % 求出从p 到q 的2/3 处端点bc=a+(b-a)*exp(pi*i/3);%koch(p, a, n-1); % 对pa 线段做下一回合koch(a, c, n-1); % 对ac 线段做下一回合koch(c, b, n-1); % 对cb 线段做下一回合koch(b, q, n-1); % 对bq 线段做下一回合end（2）Sierpinski三角形function sierpinski(a,b,c,n) % a、b、c为三角形顶点，n为迭代次数if (n==0)fill([real(a) real(b) real(c)],[imag(a) imag(b) imag(c)],'b');% 填充三角形abchold on;axis equalelsea1=(b+c)/2;b1=(a+c)/2;c1=(a+b)/2;sierpinski(a,b1,c1,n-1);sierpinski(a1,b,c1,n-1);sierpinski(a1,b1,c,n-1);end（3）树木花草function grasstree(p,q,n) % p、q分别为树木花草始末复坐标，n为迭代次数plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]);hold on;axis equalif(n>0)a=(2*p+q)/3;b=(p+2*q)/3;c=a+(b-a)*exp(pi*i/6);%d=b+(q-b)*exp(-pi*i/6);%grasstree(a,c,n-1);grasstree(b,d,n-1);endend5.主要输出：指令：koch(0,1,5); soerpinski(0,1,exp(pi*i/3),5); grasstree(0,i,5);Koch曲线Sierpinski三角形树木花草6.实验结论：以上图案的局部形状与原本图形用某种自相似性，这正是分形的特点。
煤焦SEM图像的表面孔洞分形维数的Matlab实现_张杰
收稿日期:2006-11-06作者简介:张杰(1962-),男,天津人,教授,主要从事煤的清洁燃烧技术方面的教学与研究工作。
文章编号:1673-9469(2007)02-0040-05煤焦SEM 图像的表面孔洞分形维数的Matlab 实现张 杰,张蕊蕊,胡卜元,白素芳,徐 璇(河北工程大学城建学院,河北邯郸 056038)摘要:利用Matlab 软件对煤焦燃烧过程中的SEM 图像进行分析处理,得到了煤焦表面孔的二值化图像及其对应矩阵,并针对二值化数字图像的特点,借助分形理论详细论述了计盒维数计算SPFD 的原理及方法,为研究燃烧过程中煤焦表面结构变化提供了一种计算方法。
关键词:Matlab ;SPFD ;SE M ;计盒维数中图分类号:TK16 文献标识码:AStudy on surface pore fractal dimension of charSE M photographs by MatlabZHANG Jie ,ZHANG Rui -rui ,HU Bu -yuan ,B AI Su -fang ,XU Xuan(College of Urban Construction ,Hebei University of En gineering ,Handan 056038,China )Abstract :The overall process of the complex chemical reaction in the coal combustion can be learned bystudying the changes of SPFD .The 2-value digital image and matrix about the surface por e wer e studied by applying Matlab to analyze the SE M photographs of char samples during combustion .In accordance of the property of 2-value digital image ,the principle and method of calculating SPFD adopting box -counting di -mension wer e minutely discussed basing on the fractal theory .This article provides a kind of calculating method for the study of the surface structure changing in char combustion process .Key words :Matlab ;SPFD ;SE M ;box -counting dimension 煤炭是中国的基础能源,目前煤在中国能源结构中所占比重为70%左右。
第7章 分形维数应用与MATLAB实现
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•7.1 分形盒维数概述
分形盒维数分为以下几类。 （1）相似维数：若某图形是由把全体缩小成 1/a的b个相似形所组成，由于 ，则有 。 （2）Kolmogorov容量维数：用半径为 的d维球包覆某d维图形集合时，假定 是球的个数的最小值。容量维数 可用下式来定义： （3）盒子维数（box-counting dimension）：在双对数坐标纸上画出 对 的曲 线，其直线部分的斜率就是此分形对象的盒子孙维数 。 是小盒子的边长， 为 盒子数。 （4）信息维数（information dimension）：把小盒子编号，如果知道分形中 的点落入第i只盒子的概率是 ，定义“信息维数” ， 。 （5）关联维数（correlation dimension）：如果把在空间随机分布的某量坐 标X处中的密度记为 ，则关联函数 ， 表示平均。可以是全体平均，也可以是 空间平均。1983年，P. Grassberger和J. Procassia给出了关联维数的定义 。 （6）广义维数：H. G. E. Hentschel等提出了广义维数的概念，其定义是： ，其中 是 阶Renyi信息， 叫作q阶广义维数，有时也叫Renyi信息维数。 分形盒维数应用较广泛，在用数字图像盒维数法求得分维值时增大图像的 大小可以降低分维值计算的误差。信号时域短时分形盒维数进行低信噪比的带 噪信号的计算机仿真表明，该方法能较准确地检测低信噪比下的语音端点，并 且其算法也相对简单。
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•7.2 二维图像分形盒维数分析
图7- 1 大树分形计算
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
Rmax=sqrt((M-1)^2+(N-1)^2); %求最大距离 Nr=zeros(1,floor(Rmax)); for k=1:floor(Rmax) for i=1:M for j=1:N for m=1:M for n=1:N if k==1 TotalGary=TotalGary+double(abs(I(i,j)-I(m,n))); end if k<=sqrt((i-m)^2+(j-n)^2)&sqrt((i-m)^2+(j-n)^2)<(k+1) Nr(k)=Nr(k)+1; end end; end; end; end; end; k=[1:floor(Rmax)]; E=2.*TotalGary.*ones(1,floor(Rmax))./Nr(1,floor(Rmax)); [P ,s]=polyfit(log(k),log(E),1); D=3-P(1);
Matlab基础及其应用-数值微积分与常微分方程求解
6
6
6
1 −19
6 −19
6
7.2 数值积分
MATLAB基础与应用教程
7.2.1 数值积分的原理
基本思想是将整个积分区间[a，b]分成n个子区间[xi，xi + 1]， i = 1，2，…，n，其中x1 = a，xn + 1 = b。这样求定积分问题
就分解为下面的求和问题：
矩形法是用矩形面积近似曲边梯形的面积，如图7.2（aБайду номын сангаас所 示；梯形法是用斜边梯形面积近似曲边梯形的面积，如图 7.2（b）所示；而辛普生法是用抛物线近似曲边。
7.1 数值微分
MATLAB基础与应用教程
【例7.1】设f(x) = sinx，用不同的方法求函数f(x)的数值 导数，并在同一个坐标系中绘制f '(x)的三种方法所得导数
曲线。
x=0:pi/24:pi; %用5次多项式p拟合f(x),并对拟合多项式p求导数dp在假设点的函数值 p=polyfit(x,sin(x),5); dp=polyder(p); dpx=polyval(dp,x); %直接对sin(x)求数值导数 dx=diff(sin([x,pi+pi/24]))/(pi/24); %求函数f的导函数g在假设点的导数 gx=cos(x); plot(x,dpx,'b-',x,dx,'ko',x,gx,'r+');
的形式，即形参t为时间参量，形参y为待求解问题的自变量。
tspan指定求解区间，用二元向量[t0 tf ]表示。 y0是初始状态列向量。
options用于设置积分求解过程和结果的属性。
7.4 常微分方程的数值求解
MATLAB环境下图像分形维数的计算
也有采用递减序列进行像素点覆盖，递减序列 的构造有多种方法，普遍使用的是二等分序列，也 就是将图像逐次二等分．所采用的序列的最大值都 将取决于图像的大小．网格的最小值始终为１，这 是划分网格的极限．
根据分形维数的定义，块的尺寸越小，计算出 的图像的维数越精确，但对于存储在计算机内的分 形图像，只能分割到像素点尺寸，就不能再继续分 割下去了．因此，当讨论图像的分形性质时，可以取 一个像素点的尺寸作为尺度下限，为了避免奇异情 形的发生，在计算分形维数的过程中，要求有适当 多的测试点，至于尺度上限可根据具体情况和具体 要求进行确定．
（１．中国矿业大学资源与安全工程学院，北京１０００８３；２．中原工学院数理系，河南郑州４５０００７）
摘要：利用ＭＡＴＬＡＢ的图像处理和数值计算功能，对大气可吸入颗粒物的场发射电镜
（ＦＥＳＥＭ）图像进行处理，得到颗粒物边界的二值图像；编制ＭＡＴＬＡＢ程序，统计一系列以不同
像素数量为边长的正方形块覆盖二值图像时的个数，根据像素数量和正方形块个数之间的关系，
确定图像的计盒维数．结果表明：ＭＡＴＬＡＢ对分形图像的处理简单、方便，通过科赫曲线、谢宾
斯基填料等有规分形图形分形维数的计算表明该方法计算出的结果准确、可靠．对大气颗粒物的
分形维数的计算表明，不同不规则程度的颗粒物有不同的分形维数，可以通过颗粒物分形维数的
计算分析颗粒物的来源和输运过程．
分形维数--matlab
一维曲线分形维数的matlab程序function D=FractalDim(y,cellmax)%求输入一维信号的计盒分形维数%y是一维信号%cellmax:方格子的最大边长,可以取2的偶数次幂次(1,2,4,8...),取大于数据长度的偶数%D是y的计盒维数（一般情况下D>=1）,D=lim(log(N(e))/log(k/e)),if cellmax<length(y)error('cellmax must be larger than input signal!')endL=length(y);%输入样点的个数y_min=min(y);%移位操作，将y_min移到坐标0点y_shift=y-y_min;%重采样，使总点数等于cellmax+1x_ord=[0:L-1]./(L-1);xx_ord=[0:cellmax]./(cellmax);y_interp=interp1(x_ord,y_shift,xx_ord);%按比例缩放y，使最大值为2^^cys_max=max(y_interp);factory=cellmax/ys_max;yy=abs(y_interp*factory);t=log2(cellmax)+1;%叠代次数for e=1:tNe=0;%累积覆盖信号的格子的总数cellsize=2^(e-1);%每次的格子大小NumSeg(e)=cellmax/cellsize;%横轴划分成的段数for j=1:NumSeg(e) %由横轴第一个段起通过计算纵轴跨越的格子数累积N(e)begin=cellsize*(j-1)+1;%每一段的起始tail=cellsize*j+1;seg=[begin:tail];%段坐标yy_max=max(yy(seg));yy_min=min(yy(seg));up=ceil(yy_max/cellsize);down=floor(yy_min/cellsize);Ns=up-down;% 本段曲线占有的格子数Ne=Ne+Ns;%累加每一段覆盖曲线的格子数endN(e)=Ne;%记录每e下的N(e)end%对log(N(e))和log(k/e)进行最小二乘的一次曲线拟合,斜率就是Dr=-diff(log2(N));%去掉r超过2和小于1的野点数据id=find(r<=2&r>=1);%保留的数据点Ne=N(id);e=NumSeg(id);P=polyfit(log2(e),log2(Ne),1);%一次曲线拟合返回斜率和截距D=P(1);。
matlab用结构函数法计算分形维数程序__理论说明
matlab用结构函数法计算分形维数程序理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍使用结构函数法计算分形维数的程序和相关理论。
分形维数是描述自然界和人工物体中不规则结构复杂程度的重要指标之一，它能够定量衡量对象的自相似性和尺度变换特征。
而结构函数法是一种计算分形维数的常用方法，它通过测量对象的尺度不变性来实现对分形维数的求解。
1.2 文章结构本文共分为四个部分；引言部分即本章首先对文章进行概述和简介；接着第二部分将介绍分形维数的基本概念以及与结构函数法计算之间的关系；第三部分将详细介绍如何在Matlab环境下使用结构函数法来计算分形维数，并给出具体示例数据和结果展示；最后，第四部分将给出总结，回顾研究目的，总结各种方法并展望改进和应用前景。
1.3 目的本文旨在向读者介绍使用Matlab编写程序进行结构函数法计算分形维数的方法，并通过具体数据案例展示其有效性。
通过本文的阅读，读者将了解到什么是分形维数以及在实际研究中如何使用结构函数法来计算分形维数。
同时，本文还将讨论该方法的优缺点，并探究其未来的应用前景和改进方向。
以上是关于“1. 引言”部分的详细内容，希望能对您撰写长文提供帮助。
2. 正文:2.1 分形维数的基本概念分形维数是描述分形对象复杂程度的重要指标。
分形是一类特殊的几何结构，具有自相似性和无限细节等特征。
分形维数通常用于量化描述分形对象的粗糙程度和层级结构。
2.2 结构函数法与分形维数计算的关系结构函数法是一种常用于计算分形维数的方法，其基本思想是通过结构函数来测量物体在不同尺度下的信息量。
结构函数可以通过计算物体上不同区域内对应尺度上像素值差异的平均值来得到。
分析这些差异可以揭示出物体在不同尺度下的内在结构规律，从而计算出其分形维数。
2.3 Matlab中使用结构函数法计算分形维数的程序步骤在Matlab中使用结构函数法计算分形维数需要以下步骤：步骤1: 读取并预处理图像或数据集。
首先将图像或数据集转换为灰度图像，并进行必要的预处理操作（如噪声去除、平滑等），以便更好地提取其结构信息。
第7章分形维数应用与MATLAB实现
第7章分形维数应用与MATLAB实现分形维数是描述分形结构复杂性的一个重要指标，通过分形维数可以对分形物体的几何特征进行度量。
分形维数的应用十分广泛，可以应用于自然科学、工程技术、生物医学等多个领域。
在自然科学中，分形维数被广泛应用于地理地貌、气象学、流体力学等领域。
例如，在地理地貌中，通过计算地形的分形维数可以揭示地形的形态特征，如地表的复杂程度、地面的起伏程度等。
在气象学中，通过计算云雾的分形维数可以揭示云雾的形态特征，如云雾的密度、结构等。
在流体力学中，通过计算流体流动的分形维数可以揭示流体流动的特征，如流体流动的无规则性、混沌性等。
在工程技术中，分形维数被广泛应用于图像处理、信号处理、网络优化等领域。
例如，在图像处理中，通过计算图像的分形维数可以对图像进行压缩、去噪等操作，提高图像的质量和处理效率。
在信号处理中，通过计算信号的分形维数可以对信号进行分析和识别，提取出信号的特征信息。
在网络优化中，通过计算网络的分形维数可以对网络结构进行优化，提高网络的传输和通信效率。
在生物医学中，分形维数被广泛应用于医学图像处理、疾病诊断、脑信号分析等领域。
例如，在医学图像处理中，通过计算病理图像的分形维数可以对病灶的形态特征进行量化，帮助医生进行病症的诊断和分析。
在疾病诊断中，通过计算生物信号（如心电图、脑电图等）的分形维数可以对疾病的发展和变化进行监测和分析，提供辅助诊断的依据。
MATLAB作为一种专门用于科学计算和数据可视化的工具，可以很方便地实现分形维数的计算和分析。
MATLAB提供了丰富的数学工具箱和图形工具箱，可以实现各种分形维数的算法和可视化方法。
通过调用相关函数和工具，用户可以快速、准确地计算和分析分形维数，并可视化展示分形结构的特征。
总之，分形维数在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
通过应用分形维数，可以深入了解和揭示物体的几何特征和复杂性，为科学研究、工程技术和生物医学提供有效的分析工具和方法。
基于MATLAB对混凝土SEM分形维数的计算
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｆ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ａ ｌ ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， ｔ ｈ ｅ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｆ ｒ ａ ｅ ｔ ａ ｌ ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｈ ａ ｓ ｂ ｅ ｅ ｎ ｐ ａ ｉ ｄ ａ ｔ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ａ ｓ ｉ ｔ ｉ ｍｐ ａ ｃ ｔ ｓ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｌ ｙ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｍａ ｎ ｅ ｕ ｖ ｅ ｒ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ． Ｕｓ ｉ ｎ ｇ ＭＡ Ｔ Ｌ ＡＢ ｉ ｍａ ｇ ｅ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ ｎ ｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ， ｔ ｈ ｅ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ａ ｌ
中图分类号 ： Ｔ Ｑ１ ７ ２ ． ６ ； Ｔ Ｕ５ ２ ８ ． １
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ７ — ０ ３ ８ ９ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ５ — ５ ９ — ０ ４
基于 ＭＡＴ Ｌ ＡＢ对混凝 土 Ｓ Ｅ Ｍ 分形维数 的计算
余 志龙 ， 赵利 军， 孟 凡 皓
（ 长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室 ， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ６ ４ ）
摘
Байду номын сангаас
实验三MATLAB的图形功能于分形共73页文档
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
实验三MATLAB的图形功能于分形
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
MATLAB技术图像分形分析
MATLAB技术图像分形分析近年来，随着图像处理技术的快速发展，图像分形分析在图像处理领域中发挥着重要的作用。
MATLAB作为一种强大的数学软件工具，提供了丰富的图像处理函数和算法，可以方便地实现图像分形分析。
本文将介绍MATLAB在图像分形分析中的应用，包括分形维数的计算、图像的压缩和恢复以及图像的特征提取等方面。
一、分形维数的计算分形维数是衡量图像分形结构复杂度的重要指标。
MATLAB提供了多种计算分形维数的方法，其中最常用的是盒计数法和基于小波变换的方法。
1. 盒计数法盒计数法是一种简单但有效的分形维数计算方法。
它通过在图像中不断细分大小不同的盒子，并统计每个盒子内包含的图像点数量来计算分形维数。
MATLAB中可以使用boxcount函数来实现盒计数法计算分形维数。
2. 基于小波变换的方法基于小波变换的分形维数计算方法通过计算图像在小波域上的特征参数来估计分形维数。
MATLAB中的wavelet toolbox提供了丰富的小波变换函数和工具，可以方便地实现基于小波变换的分形维数计算。
二、图像的压缩与恢复图像压缩是图像处理中的重要任务之一，而分形压缩是一种利用图像的自相似性进行压缩的方法。
MATLAB可以很方便地实现图像的分形压缩和恢复。
在图像分形压缩中，首先需要将原始图像进行分解，得到不同尺度的图像数据。
然后，根据图像的自相似性特点，使用分形压缩算法对图像数据进行编码，将编码后的数据进行存储或传输。
最后，利用解码器对编码数据进行解码和恢复，得到还原的图像。
MATLAB提供了多种图像分形压缩算法的实现函数和工具箱，如基于Sierpinski gasket的分形压缩算法和Iterated Function System (IFS)的分形压缩算法等。
这些算法能够有效地压缩图像数据，并保持较好的恢复质量。
三、图像的特征提取图像分形分析还可以用于提取图像的特征信息。
图像的特征提取是图像处理和模式识别中的重要任务，它可以为后续的图像分类、目标检测等任务提供基础。
岩石表面裂纹的计盒分形维数matlab计算程序
岩石表面裂纹的计盒维数的matlab算法分形几何的产生源于两个数学问题，一是函数的可微性问题.另一个是维数问题，它的基本概念是分数维数，数字特征是幂律关系，几何或物理特征是自相似性。
它适用于描述自然界中一切不规则的、杂乱无章的现象，并提出了一种定量化的描述方法。
分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。
自然界中普遍存在着不规则现象，所以分形几何学又可以被称为描述大自然的几何学。
分形几何学建立以后，引起了各个学科领域的关注。
分形几何不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形理论是法国数学家Mamlelbort在20世纪70年代创建的一门研究学科，主要以不规则、复杂无序而又存在某种内在联系的几何形态为研究对象，与传统几何中的整形概念相对，是在传统几何空间基础上的一个重大提升。
它可以更加准确地描述自然界中物体、现象的特点、本质。
Mamlelbort提出：自然界中大多数几何对象都以分形的形式存在，不存在绝对意义的整形。
自相似性是分形理论的重要特性，系统的自相似性是：根据不同的时间尺度和空间尺度，自然界中结构、过程的特征都存在相似性。
具体表现在，某系统（某结构）的局部性质与整体性质相似，另外，部分与部分间也会存在自相似。
自相似的表现形式相对复杂，并不是对局部进行一定倍数的放大后和整体全部重合，这改变的只是系统的外部表现形式，系统（结构）的形态、复杂性、不规则程度，不会因为放大或者缩小等行为而产生变化。
分形可以依照自相似性的程度，来划分为：有规分形和无规分形，有规分形是指描述对象的自相似性程度非常高，能够通过数学模型来描述；无规分形是具有统计学意义上的分形。
维数是几何中重要的参量，用来表示空间中某一点所处位置所用到的独立坐标数目。
传统的欧式几何中一般采用整数来表示维数，例如：直线用一维表示，平面用二维表示，空间用三维表示。
分形几何中维数不一定用整数来表示，可以是分数。
虽然分形对象变化多样，但它们有着共同的特征存在，也就是可以通过分形维数来表征研究对象的不规则程度。
结构函数法计算分形维数的matlab程序代码_概述说明
结构函数法计算分形维数的matlab程序代码概述说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍结构函数法用于计算分形维数的Matlab程序代码的实现过程。
分形维数是一种用于描述不规则对象复杂度和粗糙度的数学概念，具有广泛的应用领域，包括图像处理、地质学、生物学等。
结构函数法是一种常用的计算分形维数的方法，通过对信号数据进行结构函数的计算和分析来获取其分形特征。
1.2 文章结构本文首先介绍了文章的背景和目标，概述了结构函数法计算分形维数的基本原理和流程。
然后详细介绍了Matlab程序代码的实现步骤和方法。
接着通过实际案例验证了程序代码的准确性，并进行了结果展示和分析。
最后总结文章所取得的主要研究成果，并提出存在问题与改进方向以及后续研究展望。
1.3 目的本文旨在提供一个完整而详尽的指南，帮助读者理解并掌握使用结构函数法计算分形维数的Matlab程序代码编写与实现过程。
通过该程序代码，读者可以快速而准确地计算各种信号数据的分形维数，并据此分析其复杂度和粗糙度特征。
本文的目标是为读者提供一个清晰、可操作的实践指南，以便他们能够在相关领域开展深入研究和应用。
2. 结构函数法计算分形维数2.1 分形维数简介分形维数是衡量分形结构复杂度的一种重要指标，用于描述物体在不同尺度下的自相似性。
在自然界和工程领域中，很多现象都具有分形特征，如云朵、山脉、树枝等。
分形维数可以帮助我们理解和研究这些复杂系统。
2.2 结构函数法原理结构函数法是一种常用的计算分形维数的方法。
其基本思想是通过测量数据集在不同尺度范围内的方差来估计分形维数。
首先，将原始数据按照一系列长度为r 的间隔进行划分，并计算每个间隔内数据值之差的平方和作为方差。
然后，对所有间隔长度r对应的方差进行统计处理，得到一个关于尺度r的函数D(r)。
最后，通过对D(r)进行线性回归拟合或使用其他方法来估计数据集的分形维数。
2.3 数据预处理在应用结构函数法计算分形维数之前，需要对原始数据进行预处理。
分形插值算法和MATLAB实验分析
一，分形插值算法——分形图的递归算法1，分形的定义分形（Fractal）一词，是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的，其原意包含了不规则、支离破碎等意思。
Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究，于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。
分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学，用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。
分形几何有其显明的特征，一是自相似性；分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。
其定义有如下两种描述：定义 1如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数r D ，则称该集合为分形集，简称分形。
定义 2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。
对于定义 1 的理解需要一定的数学基础，不仅要知道什么是Hausdorff 维数，而且要知道什么是拓扑维数，看起来很抽象，也不容易推广。
定义 2 比较笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性，那么这个物质就是分形。
正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接受，同时也促进了分形的发展。
根据自相似性的程度，分形可分为有规分形和无规分形。
有规分形是指具有严格的自相似的分形，比如，三分康托集，Koch 曲线。
无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形，比如，曲折的海岸线，漂浮的云等。
本文主要研究有规分形。
2. 分形图的递归算法2.1 三分康托集1883 年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。
三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。
它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图2.1)。
其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。
几个分形的matlab实现(可编辑修改word版)
3 几个分形的matlab 实现摘要：给出几个分形的实例，并用 matlab 编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的数学美感关键字：Koch 曲线 实验 图像一、问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成ft 丘形图形如下图1在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch 分形曲线。
二、算法分析：考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。
图1中，设 P 1 和 P 5 分别为原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点 P 2 ， P 3 ， P 4 。
显然 P 2 位于线段三分之一处， P 4 位于线段三分之二处， P 3 点的位置可看成是由 P 4 点以 P 2 点为轴心，逆时针旋转60 而得。
旋转由正交矩阵 ⎛⎫ cos( ) A = - sin( ) ⎪ 3 ⎪⎪实现。
sin( ) ⎝ cos( ) ⎪ ⎭ 算法根据初始数据（ P 1 和 P 5 点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。
结点的坐标数组形成一个5 ⨯ 2 矩阵，矩阵的第一行为 P 1 的坐标，第二行为 P 2 的坐标……，第五行为 P 5 的 坐标。
矩阵的第一列元素分别为5个结点的 x 坐标，第二列元素分别为5个结点的 y 坐标。
进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。
设第 k 次迭代产生的结点数为 n k ，第 k + 1次迭代产生的结点数为 n k +1 ，则 n k 和 n k +1 中间的递推关系为 n k +1 = 4n k - 3 。
3 3三、实验程序及注释：p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标n=2; %n为结点数A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应m=4*n-3; %迭代公式q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标n=m; %迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线axis([0 10 0 10])四、实验数据记录：由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线：图2五、注记：１．参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线：此时，旋转矩阵为：图3 ⎛⎫ cos(2) -sin( ) ⎪2⎛0-1⎫A = ⎪= ⎪1 0程序和曲线如下：sin( )⎝ 2cos( ) ⎪⎝⎭2 ⎭p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标n=2; %n为结点数A=[0 -1;1 0]; %旋转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应m=5*n-4; %迭代公式q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(6:5:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:5:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标p(3:5:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标p(4:5:m,:)=q+2*d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标p(5:5:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于5k位置上的点的坐标n=m; %迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线axis([0 10 0 10])图4由于中间三分之一部分是一个正方形时，有很多连接的部分。
matlab二维分形维数代码
matlab二维分形维数代码MATLAB是一种强大的数学软件工具，可以用来进行各种数学计算和数据处理。
其中，二维分形维数是一个非常有趣的概念，可以帮助我们理解复杂的几何形状的特征。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB来计算二维分形维数，并探讨其在实际应用中的意义。
让我们来了解一下什么是分形维数。
分形维数是一种描述复杂几何结构的方法，它可以用一个小数来表示一个形状的维数，而不仅仅局限于整数维度。
在二维空间中，我们可以通过测量一个形状的长度和面积之间的关系来计算它的分形维数。
具体来说，如果一个形状的长度和面积之间的关系是一个幂函数，那么这个形状的分形维数就是这个幂函数的指数。
在MATLAB中，我们可以使用一些现成的函数来计算二维分形维数。
例如，可以使用boxcount函数来计算一个二维图形在不同尺度下的盒子数，然后根据盒子数和尺度之间的关系来估计分形维数。
另外，还可以使用fractal_dimension函数来直接计算一个二维图形的分形维数。
通过计算二维分形维数，我们可以更好地理解自然界中的各种复杂结构，比如云朵、树叶、河流等。
分形维数可以帮助我们揭示这些结构的规律和特征，进而更好地理解它们的形成原因和演化过程。
此外，二维分形维数还可以应用于图像处理、信号处理、地理信息系统等领域，帮助我们分析和处理各种复杂数据。
总的来说，MATLAB提供了丰富的工具和函数，可以帮助我们计算和分析二维分形维数。
通过深入研究分形维数，我们可以更好地理解复杂结构的特征和规律，从而推动科学研究和技术应用的发展。
希望本文能够帮助读者更好地理解二维分形维数的概念和应用，并激发对MATLAB的学习和探索。
感谢您的阅读！。
分形维数 matlab
分形维数 matlab分形维数是度量分形特征的重要方法。
它是通过对分形对象进行测量来确定对象的尺寸和形状复杂性的。
在matlab中，可以使用多种方法来计算分形维数。
本文将介绍matlab中计算分形维数的方法，包括盒维数、哈斯特指数和多重分形维数。
一、盒维数法盒维数法是最基本的计算分形维数的方法之一。
它通过测量覆盖分形对象所需的最小正方形数来计算分形维数。
具体计算方法为：1.将分形对象放置在一个正方形网格中。
2.选取一个长度为l的正方形框，将其移动滑动网格，去覆盖分形对象。
3.计算分形对象被框覆盖的次数，这就是盒维数的结果。
在matlab中，可以使用下面的代码计算盒维数：% 定义分形对象x = linspace(-1, 1, 100);y = x.^2;% 计算盒维数D = boxcount(x, y);disp(['盒维数：' num2str(D)]);二、哈斯特指数法1.将信号分解成一系列尺度不同的信号，即小波系数。
2.计算每个尺度下的信号的自相关函数。
% 定义信号load noisysignals.mat;[~, ~, H] = haursd(signal);三、多重分形维数法多重分形维数法是一种区间分析法，它通过对分形对象进行分割，分析分割后各段的分形特征来计算分形维数。
具体计算方法为：1.将分形对象分割为多个区间，求出每个区间的分形特征，如盒维数或哈斯特指数。
2.根据分形特征和区间的尺寸关系，计算每个区间的分形维数。
3.通过对所有区间的分形维数作图，得到分形维数的分布情况。
plot(q, fDq, 'r-');xlabel('q');title('多重分形维数');。
MATLAB中的分形数学方法介绍
MATLAB中的分形数学方法介绍分形是一种迷人且富有挑战性的数学领域，在现代科学和工程中有着广泛的应用。
MATLAB作为一种出色的计算工具，提供了丰富的分形数学方法和相关函数，使得研究者能够更方便地探索和实现分形数学的各种应用。
本文将介绍一些常见的MATLAB中的分形数学方法以及它们的应用。
首先，让我们从最经典的分形图像开始，即“分形树”。
分形树是一种具有自相似性质的图形，它的分支结构在各个层次上都呈现出类似的形状。
在MATLAB中，我们可以使用递归算法来生成分形树。
首先定义一个起始点，然后在每一个分支处分别生成更小的分支，直到达到指定的层数。
接下来，我们介绍分形图像中的另一个重要概念：分形维度。
分形维度是描述分形图像复杂性的一个重要指标，它可以帮助我们量化和比较不同分形图像的特征。
在MATLAB中，我们可以使用盒计数法来计算一个图像的分形维度。
该方法通过在图像上放置越来越小的盒子，并统计图像中相应位置包含的点的个数，从而得到一个关于盒子尺寸的函数。
通过对这个函数进行线性拟合，我们可以得到图像的分形维度。
除了生成图像和计算分形维度外，MATLAB还提供了其他一些强大的分形数学方法。
例如，通过MATLAB的迭代函数系统，我们可以构建一些令人惊叹的分形图案。
迭代函数系统是指由一系列函数和相应的权重所构成的系统，通过重复应用这些函数，并根据权重分配概率来生成图像。
通过调整函数和权重的选择，我们可以创造出各种各样的分形图案。
此外，MATLAB还提供了许多用于分形分析和建模的工具。
例如，我们可以使用MATLAB的分形相关函数来计算一个时间序列数据的分形维度，从而分析其复杂性和变化规律。
此外，MATLAB还提供了一些用于生成分形地形模型的函数，这对于地理信息系统和仿真研究非常有用。
综上所述，MATLAB为分形数学提供了丰富的工具和函数，使得研究者能够更方便地探索和实现分形数学的各种应用。
无论是生成分形图像、计算分形维度还是进行分形分析和建模，MATLAB都能够提供强大的支持。
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第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•7.1 分形盒维数概述
分形盒维数分为以下几类。 （1）相似维数：若某图形是由把全体缩小成 1/a的b个相似形所组成，由于 ，则有 。 （2）Kolmogorov容量维数：用半径为 的d维球包覆某d维图形集合时，假定 是球的个数的最小值。容量维数 可用下式来定义： （3）盒子维数（box-counting dimension）：在双对数坐标纸上画出 对 的曲 线，其直线部分的斜率就是此分形对象的盒子孙维数 。 是小盒子的边长， 为 盒子数。 （4）信息维数（information dimension）：把小盒子编号，如果知道分形中 的点落入第i只盒子的概率是 ，定义“信息维数” ， 。 （5）关联维数（correlation dimension）：如果把在空间随机分布的某量坐 标X处中的密度记为 ，则关联函数 ， 表示平均。可以是全体平均，也可以是 空间平均。1983年，P. Grassberger和J. Procassia给出了关联维数的定义 。 （6）广义维数：H. G. E. Hentschel等提出了广义维数的概念，其定义是： ，其中 是 阶Renyi信息， 叫作q阶广义维数，有时也叫Renyi信息维数。 分形盒维数应用较广泛，在用数字图像盒维数法求得分维值时增大图像的 大小可以降低分维值计算的误差。信号时域短时分形盒维数进行低信噪比的带 噪信号的计算机仿真表明，该方法能较准确地检测低信噪比下的语音端点，并 且其算法也相对简单。
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•7.3 基于短时分形维数的语音信号检测
3.5 3
2.5
赋值
2
1.5
1
100
200
300
400
500 t
600
700
800
900
1000
图7- 2 信号为正方形网格所覆盖
第七章 分形维数计算如式（7.2）所示。
MATLAB优化算法案例分析与应用
log N dF log log C
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•7.2 二维图像分形盒维数分析
图7- 1 大树分形计算
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
Rmax=sqrt((M-1)^2+(N-1)^2); %求最大距离 Nr=zeros(1,floor(Rmax)); for k=1:floor(Rmax) for i=1:M for j=1:N for m=1:M for n=1:N if k==1 TotalGary=TotalGary+double(abs(I(i,j)-I(m,n))); end if k<=sqrt((i-m)^2+(j-n)^2)&sqrt((i-m)^2+(j-n)^2)<(k+1) Nr(k)=Nr(k)+1; end end; end; end; end; end; k=[1:floor(Rmax)]; E=2.*TotalGary.*ones(1,floor(Rmax))./Nr(1,floor(Rmax)); [P ,s]=polyfit(log(k),log(E),1); D=3-P(1);
短时分形盒维数
log Nk log Nk 2 Dk dF 1 log2 log 2 Dk 2
% 求一维信号分形维数 clc,clear,close all % 清屏、清工作区、关闭窗口 warning off % 消除警告 feature jit off % 加速代码执行 data = csvread('lod78.csv'); samplerate = 365; % 采样率 freqsol = 400; % 频率分辨率 timesol = 800; % 时间分辨率 df = dbox(data,samplerate); % 分形维数 disp(['分形维数为: ',num2str(df)])
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•第7章 •分形维数应用与MATLAB实现
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学 的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分 形维数反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不 规则性的量度。分形理论在现在图像处理和信号分析处理领 域应用越来越广泛，本章主要借助分形维数理论，对二维图 像和语音信号进行分析计算，让读者真正掌握分形盒维数的 计算。
1.5
Frequency
1
0.5
0
1
2
3
4 Time
5
6
7
图7- 4 时频分析
第七章
MAT形盒维数反应数据的细微特征的变化 ，能够从数据的局部反应数据的整体趋势，因此分形盒维数在图像和信号处 理领域广泛应用。本章基于分形盒维数计算，针对二维图像盒维数计算和语 音信号的盒维数计算展开讨论，并在MATLAB辅以验证，有助于广大读者进 行分形盒维计算的理解。
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•7.3 食品价格趋势预测
24、胡萝卜 0.2727 0 0.2727 0 0.4545 0.2876 0.1091 0.1785 0.1636 0.2612 0.2833 0.0932 0.1303 0.1741 0.3191 0.2766 0.0827 0.1380 0.1642 0.3385 0.2773 0.0829 0.1434 0.1617 0.3347 0.2779 0.0841 0.1431 0.1627 0.3322 0.2779 0.0842 0.1424 0.1630 0.3324 25、青椒 0.5000 0.0833 0 0.1667 0.2500 0.4077 0.0417 0.1276 0.1218 0.3013 0.3783 0.0659 0.0927 0.1143 0.3488 0.3614 0.0547 0.1055 0.1167 0.3617 0.3606 0.0565 0.1019 0.1159 0.3652 0.3596 0.0555 0.1027 0.1163 0.3660 0.3597 0.0556 0.1024 0.1162 0.3660
第七章
MATLAB优化算法案例分析与应用
Original Signal 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
图7- 3 原始信号
第七章
x 10 2
4
MATLAB优化算法案例分析与应用
Spectrogram of Original Signal