合同规范形矩阵

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线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题

第六章二次型本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.§1 二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数+++= 2222211121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122222--++++ (1)若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成j i nj i ij n x x a x x x f ∑==1,21),,,( (2)称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵，并求出二次型的秩.解写出二次型所对应的对称矩阵为A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=14002202214~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3.§2 化二次型为标准型一、二次型合同矩阵二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 即用(3)代入(1),还是变成二次型. 那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作Cy x =,其中矩阵)(ij c C =,把可逆的线性变换Cy x =代入二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,得二次型ACy C y Cy A Cy Ax x x x x f T T T T n ===)()(),,,(21定义 1 两个同阶方阵A B 、,若存在可逆矩阵C ,使B AC C T=,则称矩阵A B 、合同.若A 为对称矩阵,C 为可逆矩阵,且B AC C T=.则B 亦为对称矩阵,且).()(A r B r =证因为A 是对称矩阵, 即A A T=,所以B AC C C A C AC C B T T T T T T T T ====)()(即B 为对称矩阵. 因为AC C B T =,所以)()()(A r AC r B r ≤≤.因为11)(--=BC C A T ,所以)()()(1B r BC r A r ≤≤-, 故得).()(B r A r = 主要问题：求可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 将二次型(1)化为只含平方项,即用(3)代入(1),能使222221121),,,(nn n y k y k y k x x x f +++= (4) 称(4)为二次型的标准形.也就是说,已知对称矩阵A ,求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理2 任意二次型j inj i ij x x af ∑==1,)(ji ij a a =,总有正交变换Py x =,使f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ,其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值.推论任给n 元二次型Ax x x f T=)(,总有可逆变换Cz x =使)(Cz f 为规范形.二、二次型的合同标准形1、拉格朗日配方法化二次型成标准型(1) 对有完全平方的二次型,每一次配方都应将某个变量的平方项以及涉及这一变量的所有混合项配成完全平方,而使得这个完全平方式的外面不再出现这个变量.然后对剩下的不是完全平方的部分再按照此处理,直到全部配成完全平方为止,这样做,是为了保证所得的线性变换是非异的.如果不这样做,最后就需要检验所得的线性变换是否非异.例2 用配方法化二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=为标准形.解由于f 中含变量型1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得32312123222182292x x x x x x x x x f +++++=322322232168)(x x x x x x x +++++=上式右端除第一项外已不再含1x .继续配方，可得232322321)3()(x x x x x x f -++++= 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232113x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321132y x y y x y y y x 就把f 化成标准形（规范形）,232221y y y f -+=所用的变换矩阵为).0(100310211≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C C(2) 如果所给的二次型全由混合项组成,而没有平方项,例如133221321),,(x x x x x x x x x f ++=,则需要先做类似于⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x 之类的非异线性变换,使变换后的二次型由平方项,再按(1)处理.二次型经非异线性变换化为标准型后,还可以再作非异线性变换,化为标准形.例3化二次型3231212x x x x x x f -+=成标准型，并求所用的变换矩阵.解由于所给二次型中无平方项，所以令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211yx y y x y y x 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x 代入3231212x x x x x x f -+=得323122213y y y y y y f ++-=在配方,得.2)23()21(23232231y y y y y f +--+= 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=333223113332231123212321z y z z y z z y y z y y z y y z即.10023102101321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z y y y得2322212z z z f +-= 所用变换矩阵为.10011121110023102101100011011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C )02(≠=C2、正交变换化二次型成标准型寻求正交变换,化二次型为标准型,其步骤如下： (1) 写出二次型的矩阵A ,求0-=A E λ的所有相异的根n λλλ,,,21 (n s ≤,n 为A 的阶数)；(2) 对每个i λ(s ,,2,1 =i )求齐次线性方程组0)(=-x A E i λ的基础解系.如果i λ,基础解系只含1个解向量,则单位化.如果i λ,基础解系含有多于1个的解向量,则规范化,这样,总共得到n 个两两正交的单位向量.(3) 以所得的n 个两两正交的列向量得到矩阵P ,则P 为正交矩阵,正交变换Py x =化二次型Ax x T为标准形y y TΛ为对角阵,主对角线上第i ),,2,1(n i =个元素是P 的第i 个列向量所对应的特征值(k 重特征值出现k 次).经正交变换得到的标准形后,还可以再作非异的线性变换将标准后,还可以再作非异的线性变换将标准形化为规范形.但这一变换已不再是正交变换了.换言之,经正交变换,二次型一定可以化为标准型,但未必能化规范形.例4求一个正交变换Py x =，化二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=为标准形.解 (1)写出二次型f 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A (2) 求矩阵A 的特征值,写出特征多项式λλλλλλλλλλ------=-------=-------204622412204222212424222212)2)(7(6241)2(λλλλλ-+-=------=故特征值为2,7321==-=λλλ(3) 求矩阵A 的特征值所对应的特征向量 ①当71-=λ时, 解方程0)7(=+x E A ,由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001102101~5424522287r E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211ξ.②当232==λλ时, 解方程0)2(=-x E A ,由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000221~4424422212r E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102,01232ξξ.(4) 将32,ξξ正交化：取22ξη=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=5425101254102],[],[2223233ηηηξηξη(5) 将321,,ηηξ单位化,得,22131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξp ,01251222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ηηp .542531333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηηp(5) 可得正交矩阵P.53503253451325325231),,(321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==p p p P 若令Py x =则Ax x x x x x x x x x x x x x f T =++---=32312123222132184422),,(233222211y y y APy P y T T λλλ++== 2322212271y y y ++-= 注用正交变换法化二次型成标准型后,其平方项的系数就是矩阵A的特征值.而变换矩阵的各列,分别是这些特征值对应的规范正交的特征向量.例 5 已知,1001110101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a a A 二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2.(1) 求实数a 的值.(2) 求正交变换Qy x =将f 化为标准型. 解(1),3111101021001110101111010010122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a a a a a a a a A A T x A A x T T )( 秩为22)()(==∴A r A A r T可得 1-=a .(2) 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==422220202B A A T由0)6)(2(422220202=--=-------=-λλλλλλλE B解之得.6,2,0321===λλλ① 当01=λ时,由0)0(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11-1-1ξ.②当22=λ时,由0)2(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011-2ξ.③当63=λ时,由0)6(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ.将321,,ξξξ单位化,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==211613,011-212,11-1-313322111ξξξξξξr r r令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==6203161210612131),,(321r r r Q . 则Qy x =时,可得标准型232262y y Bx x f T +==. 例6 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-,若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. 解若二次型f 的规范形为2212y y +,说明f 两个特征值为正,一个为0.当2=a 时,三个特征值为 0,2,3,这时,二次型的规范形为2212y y +.§3 二次型及实对称矩阵的正定性二次型的标准形不是唯一的.标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的.一、惯性定理定理3(惯性定理) 设有实二次型Ax x f T =它的秩是r ,有两个实的可逆变换Cy x =与Pz x =.使)0(,2222211≠+++i r r k y k y k y k 及,2222211r r y z z z +++ λλ)0(≠i λ则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等. 正数的个数称为正惯性指数,负数的个数称为负惯性指数.例7 二次型,2223),,(323121232221321x x x x x x x x x x x x f +++++=求f 的正惯性指数.解：方法一：3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 2223212)(x x x x +++= 令⎪⎩⎪⎨⎧==++=33223211xy x y x x x y , 则22212y y f +=.故f 的正惯性指数为2.方法二：f 的正惯性指数为所对应矩阵特征值正数的个数,由于二次型f 对应矩阵.111131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A所以λλλλλλλλλλλ---=---=---=-211231001111310111131111E A λλλ---=2112310)4)(1(2123---=---=λλλλλλ=0 故4,1,0321===λλλ.故f 的正惯性指数为2. 二、正定性的判别定义10 设有实二次型Ax x f T=如果对于任何0≠x ,都有0)(>x f ,(显然0)0(=f ),则称f 为正定二次型,并称对称阵A 是正定的.记作0>A ；如果对任何0≠x ,都有0)(<x f ,则称f 为负定二次型,并称对称阵A 是负定的,记作0<A .定理4 实二次型Ax x f T=为正定的充分必要条件是:它的标准形的n 个系数全为正,即f 的正惯性指数为n .证设可逆变换Cy x =使21)()(ini i yk Cy f x f ∑===.先证充分性：设0>i k ),,2,1(n i =,任给0≠x ,故.0)(21>=∑=i ni i y k x f再证必要性: 用反证法,假设有0≤s k ,则当s e y =(单位坐标向量)时,0)(≤=s s k Ce f ,显然0≠s Ce 这与假设f 正定矛盾,故.0>i k推论对称阵A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.定理5 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正.即011>a ,022211211>a a a a,01111>nnn na a a a ; 对称阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.即，0)1(1111>-nrn rra a a a ),,2,1(n r =.这个定理称为霍尔维兹定理.注：对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念.例8设实二次型312322212x cx ax bx ax f +++=,当该二次型为正定二次型,c b a ,,应满足的条件?解写出f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c b c a A 0000因为该二次型为正定二次型,所以0)(,0,022>-=>>∴b c a A ab ac b a ,,∴应满足0,>>b c a .定理6实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵C ,使C C A T =,即矩阵A 与单位矩阵合同.证明先证充分性：若存在可逆矩阵C ,使C C A T=,任取非零向量x ,则0≠Cx (如果0=Cx ,由C 可逆,则0=x 矛盾),对任取的0≠x ,有0)()()(T >====Cx Cx Cx Cx C x Ax x x f T T T,从而矩阵A 正定.再证必要性：设对称矩阵A 为正定矩阵,因为A 为对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使A 对角化,即),,,(21n T diag AQ Q λλλ =Λ=,其中n λλλ,,,21 为A 的特征值,而A 是正定矩阵,所以0>i λ,记),,,(211n diag λλλ =Λ.则Λ=Λ21,从而T T T Q Q Q Q Q Q A ))((1111ΛΛ=ΛΛ=Λ=令T Q C )(1Λ=,则C 可逆,而且得到C C A T=. 所以可得EC C A T=,故矩阵A 与单位矩阵合同.定理7实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在正定矩阵B ,使2B A =.证明因为A 是正定矩阵，所以矩阵A 可以正交相似对角化。

线性代数中的几个等价关系

线性代数中的几个等价关系作者：李斐郭卉来源：《课程教育研究·上》2013年第08期【摘要】本文讨论了线性代数之中的四个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同；以及和四个等价关系相关的基本性质。

【关键词】等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0144-01一、等价关系的定义在一个给定的集合S上，我们可以定义元素之间的某种关系。

如果该关系满足三个性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation[1]），记为～。

自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于S中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于S中三个元素A、B、C，如果A～B，则有B～C，则有A～C。

二、等价关系与分类若集合S上具有等价关系～，则按照该等价关系对S中的元素进行分类，就是把具有等价关系的元素归为一类，称为等价类，使得S成为成为各等价类的无交并。

这样当S有一个等价关系，S也就有了一个分类标准。

反之，对于集合S，若给一个分类标准，则可以对S进行分类。

籍于此分类，我们对S中的元素可以定义一个关系～如下：A、BS，A～B当且仅当A和B属于同一类。

易于验证该关系是一个等价关系。

也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。

一般地我们有结论：集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。

三、线性代数中的四个等价关系3.1 矩阵的等价关系不妨设S是实数域上的矩阵组成的集合，对于矩阵A、B，如果A、B同型，即有相同的行数和列数，且A经过有限次初等变换成为B，则称A与B等价[2]。

矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？该“等”实际是指矩阵的行数和列数相等，同时矩阵的秩相等。

我们有如下关于矩阵等价的定理。

定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们同型且秩相等。

6.2 二次型的标准型

y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x 2 + 2 x 3 , y = x3 , 3
X = CY
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x 2 = y2 − 2 y3 , x = y3 , 3
1 −1 1 其中 C = 0 1 − 2 . 0 0 1
其中，r 为 A 的秩，其中，的秩， di ≠ 0 . 证明 (略) 6
第六章二次型
§6.2 二次型的标准形
三、二次型的的基本问题
问题一二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形? 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形化为标准形问题二如何化二次型为标准形如何化二次型为标准形? 常见的方法针对二次型拉格朗日(Lagrange)配方法。拉格朗日( )配方法。针对二次型所对应的对称阵针对二次型所对应的对称阵二次型所对应的行列对称初等变换法；行列对称初等变换法；正交变换法。正交变换法。
(3) 将 h(Z) 化为规范型
2 2 2 h( Z ) = z1 − z 2 + 16 z 3 ,
z1 = w1 , w1 = z1 , w2 = 4 z3，即 z2 = w3 , 令 z = (1 / 4)w , w = z , 3 2 3 2
代入得 h(Z )
A B= I
64748 64 4 4 4 7 8 T Pm L P2T P1T A P1 P2 L Pm
行变换列变换
Λ . I P1 P2 L Pm P 14 4 2 3
列变换
17
第六章二次型
§6.2 二次型的标准形

合同与相似概念区别

代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C AC =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理：因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。

这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。

“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。

《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。

对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C AC =。

而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容：双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。

线性代数知识点总结(第6章)

线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。

其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。

（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。

5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。

第六章二次型

第六章二次型二次型的出现，绝大多数以计算题形式出现。

从1999-2014年的16年间，共有9年考了计算题，还有2道选择题和3道填空题。

需要掌握的概念有二次型矩阵、二次型的秩、非奇异线性变换、标准型、规范型、矩阵合同以及矩阵的正定。

计算中需要掌握利用正交变换法将二次型化为标准型以及矩阵正定的判定方法。

考试内容：二次型及其矩阵表示；合同变换与合同矩阵；二次型的秩；惯性定理；二次型的标准形和规范形；用正交变换和配方法化二次型为标准形；二次型及其矩阵的正定性。

考试要求：1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

一、二次型的概念及求解标准型、规范型（1）这部分需要熟练掌握第五章中实对称矩阵的相关结论，如实对称矩阵总是可以对角化；特征值为实数；属于不同特征值的特征向量正交；特征值的重数与其线性无关特征向量的个数相等；实对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

（2）主要概念：二次型矩阵，二次型的秩，非线性变换、标准型、规范型（惯性定理）和矩阵合同。

（3）需要掌握的方法：正交变化法和配方法求二次型的标准型；如何求二次型的规范型（包括快速求出规范型和化为规范型所需的非奇异线性变换）；理解配方法和正交变换法得到的标准型的关系，及其和规范型的关系；如何判定两个实对称矩阵是否合同（规范型相同或特征值符号相同）。

例6.1设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,300000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 与B （）（A ）合同且相似（B ）合同但不相似（C ）不合同但相似（D ）不合同且不相似例6.2二次型222123122313(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为例6.3已知二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换x Py =可化为标准型216f y =，则a =.例6.4设A 为n 阶实对称矩阵，()R A n =，ij A 是()ij n n A a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(,1,2,,)i j n = ，二次型1211(,,,)n n ij n i ji j A f x x x x x A ===∑∑ （I ）记12(,,,)T n X x x x = ,把12(,,,)n f x x x 写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(II)二次型()T g X X AX =与()f X 的规范型是否相同？说明理由。

第六章二次型总结

第六章二次型（一般无大题）基本概念1. 二次型: n 个变量12,,,n x x x L 的二次齐次函数212111121213131122222232322(,,,)222222n n nn n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x=++++++++++L L L L称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则()21211112121313112212122223232221122331112112122221212(,,,)2n n nn nn n n n n n nn nn n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax=+++++++++++++++⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=L L L L LL L L LL L L L M L因此，二次型也记AX X f T=,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 的秩称为二次型的秩，记作R （f ）=R （A ）. 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1）2.合同矩阵的定义及性质2.1合同矩阵定义设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得TC AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ≅.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数)合同是矩阵之间的另一种关系，它满足（1）反身性，即T A E AE =；（2）对称性，即若T B C AC =，则有()11TA C BC --=；（3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212TA C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.2.2 合同矩阵的性质性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3 矩阵合同与数域有关.例2 设,A B 均为数域F 上的n 阶矩阵,若,A B 合同，则()()r A r B =,反之，若()()r A r B =,问在F 上是否合同？证若A 与B 合同，即存在可逆矩阵C ，使T B C AC =.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A 与B 有相同的秩.反之，若()()r A r B =，则A 与B 在F 上不一定合同.例如，方阵A =1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，B =1101⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同. 例3 设=A 1200A A ⎛⎫⎪⎝⎭，B =1200B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.证由于1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，故存在满秩矩阵1C ，2C ，使得1111T B C A C =，2222T B C A C =，于是令1200C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有T B C AC =，即A 与B 合同.2．3 合同矩阵的判定定理1 两复数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 定理2 两实数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 2.4矩阵与合同矩阵的等价条件定理1 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A ，B 既相似又合同. 定理2 若n 阶矩阵A ，B 中有一个是正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同.定理3 若A 与B 相似且合同，C 与D 相似且合同，则00A C ⎛⎫⎪⎝⎭与00BD ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似且合同. 例5 已知A =400040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =410041000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，C =220220002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A ，B ，C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？分析矩阵A 的秩和矩阵B ,C 的秩不等，则A 不可能与B ，C 相似或合同，只有讨论B ， C 了.解 A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同.又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同.所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同.3.二次型的标准型, 规范性标准型: 二次型12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换x Cy =化为21rT T T i i i f x Ax y C ACy d y ====∑称为f 的标准形.(在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由()r A 唯一确定)规范形: 任一实二次型f 都可经合同变换化为规范形22222121p p r f z z z z z +=+++---L L ,其中r 为A 的秩, p 为正惯性指数，n p -为负惯性指数，且规范型唯一。

二次型和矩阵合同

⼆次型和矩阵合同1. ⼆次型含有n个变量x_{1},x_{2},...,x_{n}的⼆次齐次函数f(x_{1},x_{2},...,x_{n})称为n元⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式，如f(x) = ax^{2} \\ f(x,y) = ax^{2} + by^{2} + cxy \\ f(x,y,z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + exz + fyz它起源于⼏何学中⼆次曲线⽅程和⼆次曲⾯⽅程化为标准形问题的研究。

⼆次型中每⼀项都是⼆次的，没有⼀次项和常数项，之所以不研究包含⼀次项和常数项的⼆次⾮齐次多项式，是由于：⼀次项与常数项的改变不会影响函数图像的⼤致形状。

⼀个⼆次型可以⽤⼀个矩阵表⽰成如下的形式：f(x) = x^{T}Ax其中x是⾃变量组成的列向量。

⼀定都会找到⼀个对称的矩阵A来表⽰表⽰这个⼆次型，假如A不对称，那么必然有对称矩阵B = (A + A^{T}) / 2满⾜x^{T}Ax = x^{T}Bx因为实对称矩阵具有许多特别的性质，为了⽅便研究，规定⼆次型矩阵就是⼀个实对称矩阵。

更为关键的是：如果⼆次型矩阵是对称的，那么它将是唯⼀的。

⼆次型的图形：为了⽅便研究⼆次型，我们代⼊具体的函数值，研究⼀个具体的图形：x^{T}Ax = C这样就表⽰成⼀个曲线或者曲⾯，这个图形由取具体函数值的⾃变量全体构成的。

描述它的参考系(少了函数值那个维度)不同，⼆次型矩阵也不同，这涉及到合同的概念。

2. 矩阵合同在线性代数，特别是⼆次型理论中，常常⽤到矩阵间的合同关系。

定义：设A和B是两个n阶⽅阵，若存在可逆矩阵C，使得C^{T}AC = B则⽅阵A与B合同，A到B的变换C称为合同变换。

那矩阵A和B合同到底有什么意义呢？我们已经知道相似是相同的线性变换在不同基下的表⽰，那合同呢？下⾯针对⼀个⼆次型的图形来表述，即代⼊具体函数值之后的曲线或曲⾯。

第十三讲二次型的标准化

第十二讲合同变换与二次型的标准化教学目的：1. 介绍合同变换：另一种对角化途径，只用于对称阵；2. 对“可逆的矩阵变换”做个小结。

3. 介绍二次型及其矩阵形式；4. 介绍二次型标准化的概念：与合同变换的关系。

教学内容：第六章：§ 6.4 合同变换；第七章：§ 7.1 二次型及其标准形；§ 7.2 二次型的标准化；教案提纲：§ 6.4 合同变换一、合同变换：1. 概念：定义6.52.二、合同变换的实施例6.8，p.140小结：四个矩阵变换的比较：第七章二次型§ 7.1 二次型及其标准形一、二次型：1. 二次型的概念：定义7.1：两种写法：（7.1）式、（7.22. 二次型的矩阵形式：与实对称阵的一一对应，二、二次型的标准形：1. 标准形（法式）的概念：由二次曲面的标准方程引入，定义7.2与对角阵的对应；2. 标准化：与合同变换的对应。

AX X X f T =)( PY X =，使APY P Y AX X ==T T T TA 找可逆阵P ,使Λ=T AP P 为对角阵§ 7.2 二次型的标准化一、正交变换法：理论上没有新内容，用示例讲清实施步骤：二次型AX X X f T =)(→ A → 求特征值 → 求正交的特征向量组（SchmidtΛ==-T AP P AP P 1 → 例：()AX X x x x x x x x x x x f T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=21212122212112214),(， ()()313212212-+=--=--=-λλλλλλλE A ，特征值1213λλ=-=，，进而得特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111121p p 、，它们已经互相正交，单位化后即得到正交阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111121P 。

可对它作两方面验证：一方面， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==T -300160022111112112211111211AP P AP P ；另一方面，将相应的变换PY X =，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-22112122211211y y x y y x 代入原二次型，得()()()()=++++++=--221121221121222112122211214y y y y y y y y f()()()=-+++++-=21222221212122212121222y y y y y y y y y y ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-++=21212221212222213001322y y y y y y y y y y ；易见两者的一致性。

矩阵合同有相同的规范型么

矩阵合同有相同的规范型么
矩阵合同具有相同的规范型，主要包括以下内容：
一、合同双方的基本信息
1.1 甲方：
名称/姓名：
地址：
电话：
营业执照/身份证号码：
1.2 乙方：
名称/姓名：
地址：
电话：
营业执照/身份证号码：
二、各方身份、权利、义务、履行方式、期限、违约责任
2.1 甲方身份：
2.2 乙方身份：
2.3 甲方权利：
2.4 乙方权利：
2.5 甲方义务：
2.6 乙方义务：
2.7 履行方式：
2.8 期限：
2.9 违约责任：
三、需遵守中国的相关法律法规
甲、乙双方应当遵守中华人民共和国相关法律法规。

四、明确各方的权力和义务
各项条款的规定是甲乙双方权利和义务的核心内容，应当合法、公平、有效，明确各自的权利和义务，阐明合同的条款义务，明确合同性质、履行流程、合同价款和违约责任等内容。

五、明确法律效力和可执行性
5.1 本合同具有法律效力，是甲乙双方的法律文件。

5.2 本合同的规定是可执行的，任何一方发生违约行为都要承担相应的法律责任。

六、其他
本合同自双方签字盖章，生效日期为（）年（）月（）日，有效期为（）年（）个月（）日。

若双方需对合同内容
进行修改，则应通过协商的方式达成一致，并在书面文本上记录修改后的内容。

以上是矩阵合同具有相同规范型的主要内容。

当然，在实际编写合同时，根据不同的业务和合同类型，合同的具体条款设置会有所不同，但总体上应当符合法律要求，是公正、合法、公平、有约束力的合同文本。

高等代数中的几个等价关系中“等”的涵义

高等代数中的几个等价关系中“等”的涵义作者：李斐1 郭卉2来源：《考试周刊》2013年第38期摘要：本文分别具体讨论了高等代数课程中的几个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同中的“等”字背后的涵义.关键词：等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵一个给定的集合中的元素之间的一个关系如果满足下面三个性质：（1）自反性，（2）对称性，（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation［1］）。

在高等代数课程中有几个重要的等价关系，就是矩阵的等价，向量组的等价，矩阵的相似，矩阵的合同这四个等价关系。

既然称之为等价关系，那么这里的“等”字是否意味着什么相等呢？本文主要探讨这些等价关系中“等”字的涵义。

希望通过讨论，丰富对等价关系的感性认识，加深对代数学中这一基础概念——等价关系的理解。

一、矩阵的等价对于矩阵A、B，如果A经过有限步初等变换成为B，则称矩阵A与B等价［2］。

根据矩阵初等变换的定义，可以验证矩阵之间的这样的关系满足等价关系的三个性质，因此称之为矩阵的等价。

矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？如果矩阵A和B等价，也就是A经过有限次的初等变换可以变成B，可见A与B首先得同型，即有相同的行数和列数；否则，A无论如何都不能变换成B。

其次，A和B应该有相同的秩，即r（A）=r（B）；因为初等变换不改变矩阵的秩。

反之，如果矩阵A和B同型且有相同的秩，是不是A与B等价呢？答案是肯定的。

一个矩阵通过初等变换总会变换成它的标准型，其标准型中左上角的单位子矩阵的阶等于该矩阵的秩。

如果矩阵A和B同型且有相同的秩，则A和B有相同的标准型，即A和B与同一个标准型等价，因此矩阵A和B等价。

可见矩阵等价中的“等”字，实际是指它们同型且有相同的秩。

我们把上面的讨论归结为下面的定理。

定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们的行数、列数和秩都对应相等。

二、向量组的等价设向量组A：α■，α■，…，α■；B：β■，β■，…，β■，若向量组B中的向量都能由A中的向量线性表示；反之亦然。

二次型的可逆变换和合同变换

二次型的可逆变换和合同变换二次型的可逆变换和合同变换1. 引言在高中数学课程中，我们学习了二次型的概念和性质。

二次型在数学和工程学科中有着广泛的应用，而了解可逆变换和合同变换在二次型中的作用和意义，则能更好地理解和应用这一概念。

本文将通过深入探讨二次型的可逆变换和合同变换，从而全面理解它们在数学中的重要性及实际应用。

2. 二次型的定义和性质回顾让我们回顾一下二次型的基本定义和性质。

二次型是指一个关于n个变量的二次多项式，且其中各项系数均为实数。

在二次型中，我们将其表示为一个n维列向量x乘以一个对称矩阵A再乘以x的转置。

记作Q(x) = x^T · A · x，其中x为列向量。

具体来说，二次型的系数矩阵A是一个n×n的对称矩阵。

回顾二次型的性质，我们知道它与矩阵的特征值和特征向量密切相关。

特征值和特征向量是矩阵A的重要性质，而它们也为我们理解和分析二次型提供了有力的工具。

3. 可逆变换与二次型接下来，我们将讨论可逆变换在二次型中的作用。

可逆变换是指能够将一个向量空间中的向量一一对应地映射到另一个向量空间中的向量的变换。

在二次型中，可逆变换能够保持二次型的主要性质不变，例如二次型的正定性、半正定性等。

具体而言，如果我们对二次型中的自变量进行一个可逆变换，即将自变量x替换为y，那么原二次型的表达式Q(x)将变为Q(y)。

而通过适当的变换，我们可以使得新的二次型满足一些特定的性质，比如对角化，从而更容易进行分析和计算。

4. 合同变换与二次型除了可逆变换，合同变换也在二次型中发挥着重要的作用。

合同变换是指通过一个正规矩阵（即实对称可逆矩阵）将一个二次型转化为另一个等价的二次型，从而保持二次型的本质特征不变。

合同变换的实质是将二次型所在的向量空间进行旋转、缩放和反射等操作，进而得到一个新的二次型。

新的二次型与原二次型在性质上是相似的，但表达形式可能不同。

通过合同变换，我们可以将原二次型化简为最简形式，即只有对角线上有非零元素，而其他位置都为零。

二次型

设 f ( x) am x m am 1x m 1 a1x a 0 ，对 n 阶矩阵 A 规定：
f ( A) am A m am 1A m 1 a1A a 0E 为 A 的一个多项式.
√ 设 Amn , Bns , A 的列向量为 1 , 2 , , n , B 的列向量为 1 , 2 , , s ，AB 的列向量
向量线性表示.
8
m 维列向量组 1 , 2 , , n 线性相关 r ( A) n ； m 维列向量组 1 , 2 , , n 线性无关 r ( A) n .
9 10
r ( A) 0 A .
若 1 , 2 , , n 线性无关，而 1 , 2 , , n , 线性相关,则可由 1 , 2 , , n 线性表示,且表示法惟一.
1 , 2 , , n 线性无关.
线性方程组的矩阵式
x11 x2 2 x n n a11 a12 a1 n x1 b1 a a22 a2 n , x x2 , b2 A 21 am1 am 2 amn xn bm Ax
初等行变换 (I)的解法：构造(A B) (E X )
（当B为一列时, 即为克莱姆法则）
(II)的解法：将等式两边转置化为AT X T BT ，用(I)的方法求出X T，再转置得X
√ Ax 和 Bx 同解（ A, B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断1 , 2 , , s 是 Ax 0 的基础解系的条件： ① 1 , 2 , , s 线性无关； ② 1 , 2 , , s 是 Ax 0 的解； ③ s n r ( A) 每个解向量中自由变量的个数 .

合同规范型矩阵性质

合同规范型矩阵性质合同规范型矩阵性质甲方（编号）：_____________企业或个人______________ 乙方（编号）：_____________企业或个人______________ 首先，甲方和乙方本着平等自愿的原则，达成以下协议：一、甲方和乙方的基本信息：甲方名称：________注册地址：__________乙方名称：________注册地址：__________联系人姓名：______联系方式：_______联系人姓名：______联系方式：_______二、各方身份：甲方为________________，乙方为_______________三、各方的权利、义务、履行方式、期限、违约责任：1.甲方的权利、义务、履行方式、期限、违约责任：（1）甲方应向乙方提供_____________服务/产品；（2）甲方提供的服务/产品应符合国家相关标准和规定；（3）甲方服务/产品的交付时间为__________________；（4）甲方违约责任：由于甲方原因导致的服务/产品未能按期交付，甲方应承担赔偿责任，赔偿金额为订单总金额的____________%。

2.乙方的权利、义务、履行方式、期限、违约责任：（1）乙方应按时支付订单货款；（2）乙方支付的货款应符合国家相关税收规定和标准；（3）乙方应在甲方服务/产品交付后__________内提出异议或投诉；（4）乙方违约责任：由于乙方原因导致的支付延误，乙方应承担赔偿责任，赔偿金额为订单总金额的____________%。

四、需遵守中国的相关法律法规：甲乙双方应严格遵守《合同法》、《消费者权益保护法》、《中华人民共和国公司法》等国家相关法律法规。

如因甲乙双方违反法律法规导致争议，应提交至______________仲裁委员会解决。

五、明确各方的权力和义务：1.甲方有权拥有所提供服务/产品全部知识产权；2.乙方有权享有甲方提供的服务/产品所有权；3.甲方应当妥善保管乙方提供的个人信息；4.乙方有权了解甲方提供服务/产品的全部情况；5.甲乙双方应按约定的时间、数量、质量交付并支付货款；六、明确法律效力和可执行性：本合同自双方签字、盖章生效，应对甲方和乙方具有法律效力。

合同矩阵规范型相同

合同矩阵规范型相同
合同矩阵规范型同：
甲方（以下简称“出售人”）：
地址：
法定代表人：
身份证号码：
联系电话：
乙方（以下简称“购买人”）：
地址：
法定代表人：
身份证号码：
联系电话：
鉴于，出售人拥有并有权处置以下不动产（以下简称“房屋”）：
地址：
建筑面积：
土地使用权：
产权方式：
现有权属证明：
根据出售人与购买人协商一致，双方依据《中华人民共和国合同法》等相关法律法规，达成以下协议：
一、出售人具有合法的房屋权利，可以合法处置以上房屋。

二、出售人将以上房屋出售给购买人，购买人确认并同意购买上述房屋。

三、出售人将以上房屋交付给购买人，并在出售人与购买人签署合同之日起，将相关不动产权证书及有关文件转交给购买人。

四、出售人应对上述房屋所产生的产品质量问题、合法合规问题、侵权问题、拆迁问题等承担全部法律责任。

如上述问题由购买人造成，则由购买人承担全部法律责任。

五、购买人应按照双方的约定，以合法合规的方式进行房屋的使用，不得违反法律法规或危害公共利益。

如购买人违反此项约定，应自行承担全部法律责任。

六、本合同自双方签署之日起生效，有效期为自房屋交付之日起xx 年。

七、如本合同有任何争议，应协商解决。

协商不成，双方可向有管辖权的人民法院提起诉讼。

八、本合同一式两份，双方各执一份，具有同等法律效力。

以上内容是本合同的全部内容，并按为出售人和购买人双方充分理解和自愿达成的协议。

出售人：
签名：
日期：
购买人：
签名：
日期：。

合同的矩阵有相同的规范型

合同的矩阵有相同的规范型合同的矩阵有相同的规范型双方基本信息：甲方（公司名或个人姓名）：_______地址：_______联系电话：_______统一社会信用代码/身份证号：_______法定代表人/个人代表：_______乙方（公司名或个人姓名）：_______地址：_______联系电话：_______统一社会信用代码/身份证号：_______法定代表人/个人代表：_______一、各方身份甲方：________________（此处需体现甲方身份，如供应商、服务商等）乙方：________________（此处需体现乙方身份，如购买方、用户等）二、权利与义务2.1 甲方权利与义务：（a）提供产品/服务并确保产品/服务质量符合国家相关标准；（b）按照约定方式和期限供货/提供服务；（c）如有任何质量/服务问题，及时解决或提供必要的赔偿。

2.2 乙方权利与义务：（a）按照合同约定支付产品/服务费用；（b）在期限内验收产品/服务，并反馈任何质量/服务问题；（c）在不影响甲方利益的情况下，对甲方的商业机密和知识产权保密。

三、履行方式与期限3.1 甲方履行方式：_________________________（此处需填写具体内容，如提供实物产品/线上服务等）3.2 乙方履行方式：_________________________（此处需填写具体内容，如付款方式及渠道等）3.3 合同期限：_____________至_____________（此处需填写具体时间，注意与履行方式保持一致）四、违约责任4.1 甲方违约责任：（a）未按时供货/提供服务的，应按合同总金额的__%支付违约金；（b）产品/服务质量出现问题的，应承担必要的赔偿责任。

4.2 乙方违约责任：（a）未按时支付产品/服务费用的，应按合同总金额的__%支付违约金；（b）未及时提出质量/服务问题或擅自更改产品/服务的，应承担相应责任。

五、遵守中国相关法律法规甲乙双方应在履行此合同过程中，遵守中华人民共和国相关法律法规，如发生法律纠纷应按法定程序解决。

矩阵合同有相同的规范型

矩阵合同有相同的规范型矩阵合同甲方（出租方）：地址：法定代表人：联系人：电话：乙方（承租方）：地址：法定代表人：联系人：电话：合同条款：第一条合同目的甲方同意向乙方出租矩阵场地并提供相关服务，乙方同意支付租金并履行本合同规定的其他义务。

第二条矩阵场地介绍矩阵场地是指甲方专门为进行人工智能、机器学习等科技领域研究开发而提供的场地服务。

第三条租金及支付方式1.租金按照以下方式支付：（1）合同签订时，乙方需缴纳尾款，金额为合同总价的50%；（2）乙方需在每季度初缴纳租金，租金不得迟于当季第五个工作日。

2.如乙方未按照本条规定履行付款义务，甲方有权向乙方收取违约金，直至乙方全部履行付款义务。

第四条使用期限及相关安排1.租期自合同签订之日起双方确认，至指定结束日止。

2.甲方应保证在租期内向乙方提供的设施、配套服务等满足合同规定的效果和品质，保证租赁期间租赁物不受损坏和过度使用。

3.甲方与乙方应协商租赁期间的相关安排，并在书面协议中进行记录，并在租赁期间遵守协议。

第五条违约责任1.若乙方未按合同约定支付租金，甲方有权要求乙方支付逾期付款的利息并收取违约金。

2.若甲方未按合同约定向乙方提供租赁物或者服务，则甲方应当赔偿乙方因此遭受的损失。

第六条法律效力本合同经甲、乙双方签字盖章后生效。

本合同适用中国法律。

如双方发生争议，应当遵循协商解决原则。

若协商不成，甲、乙双方均有权向有关仲裁机构提起仲裁。

本合同一式两份，甲、乙双方各执一份，具有同等法律效力。

签署人：甲方：（盖章）乙方：（盖章）。

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合同规范形矩阵合同规范形矩阵
第一部分：合同基本信息
合同编号：
合同名称：
签订日期：
甲方姓名/公司名称：
乙方姓名/公司名称：
地址：
电话：
传真：
电子邮件：
第二部分：合同条款
1. 合同双方信息
甲方身份：（个人/公司）
乙方身份：（个人/公司）
2. 权利和义务
甲方权利和义务：
（1）提供商品或服务
（2）收取货款或服务费（3）保证商品或服务质量（4）保密客户信息
（5）其它
乙方权利和义务：
（1）接受商品或服务
（2）支付货款或服务费（3）对商品或服务进行评价（4）保密公司信息
（5）其它
3. 履行方式
甲方履行方式：
（1）提供商品或服务
（2）送货/安装/调试等（3）其它
乙方履行方式：
（1）接受商品或服务
（2）支付货款或服务费
（3）其它
4. 期限
合同期限：
商品或服务期限：
5. 违约责任
甲方：
（1）出现质量问题给予赔偿
（2）未按照约定时间提供商品或服务
（3）泄露客户信息
（4）其它
乙方：
（1）未按照约定时间支付货款或服务费
（2）擅自取消订单
（3）造成商品质量问题
（4）其它
6. 相关法律法规
甲方：
（1）需遵守有关商品质量监管等相关法律法规
乙方：
（1）需遵守有关消费者权益保护等相关法律法规
7. 法律效力和可执行性
本合同生效后，双方均有权利和义务依照本合同约定履行。

如有争议，双方应通过协商解决；如无法协商，应提交本合同签订地的仲裁委员会进行仲裁。

仲裁结果为本合同的最终裁决。

本合同自签订之日起生效，有效期至合同履行完毕。

如本合同内容与国家法律法规规定不符，则以国家法律法规为准。

8. 其他条款
本合同一式两份，甲、乙双方各执一份，具有同等法律效力。

除本合同规定外，未尽事宜由双方协商处理。

甲方：
签字：
乙方：
签字：。