矩阵的合同相似与等价

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矩阵的合同相似与等价
甲方：___________________
乙方：___________________
日期：___________________
篇一：矩阵的合同，等价与相似的联系与区另U
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
20XX09113李娟娟
一、基本概念与性质
（一）等价：
1、概念。

若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称
矩阵A与B等价，记为AB。

2、矩阵等价的充要条件：
AB｛同型，且人r（A）=r（B）存在可逆矩阵P和Q使得PAQ=BO：
3、向虽组等价，两向虽组等价是指两向虽组可相互表出，有此
可知：两向虽组的秩相同，但两向虽组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：
1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P,使得ABPTAP
成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则AB二
次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似
1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：
AT~BT,Ak~Bk,A1~B1(前提，A,B 均可逆)
|E-A||EB|即A,B有相同的特征值(反之不成立)
A~Br(A)=r(B)
tr(A)tr(B) 即A,B的逆相等
|A|=|B|
3、矩阵相似的充分条件及充要条件：
①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A~B(EA)(EB)
二、矩阵相等、合同、相似的关系
(一)、矩阵相等与向H组等价的关系：
设矩阵A(1,2,,n) , B(1,2,,m)
1、若向虽组(1,2,,m )是向虽组(1,2,,n )的极大线性无关
组，则有mn,即有两向H等价，而两向H组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

2、若m=n,两向H组(1,2,,n ) ( 1,2,,m )则有矩阵
A,B
同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB 。

3、若ABr(A)r(B)两向虽组秩相同，两向虽组等价，即
有AB(1,2,,n)(1,2,,n)
综上所述：矩阵等价与向H等价不可互推。

(二)、矩阵合同。

相似，等价的关系。

1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等
价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。

2、合同、相似、等价之间的递推关系
①相似等价：A~BA,B同型且r(A)r(B)AB
②合同等价：ABA,B同型且r(A)r(B)AB
③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条
件时可以I、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B 一定可以
合同于对角矩阵当A~B时，|EA||EB|二次型f(x)XTAX与
g(x)XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数
ABAB
即有A~BABAB
H、存在一个正交矩阵P,即PTPE使得PTAPB即AB则有
1BPTAPPAP~A B即有ABA~B
用、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P,则
A~B 时有A~BABAB
IV、A~Br(A)r(B)、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B) 下面讨论r(A)r(B) 时A~B,AB,AB成立的条件。

由i、H、m的论述可知
存在正交矩阵P时，有PTP1,则
r(PTAP)r(A)记BPTA以U r(A)r(B)
此时ABA-BAB
即P为正交矩阵时，由r(A)r(B)A~B,AB,AB
(三)
1、矩阵等价：①同型矩阵而言
②一般与初等变换有关
③秩是矩阵等价的不变虽，同次，两同型矩阵相似的
本质是秩相等
2、矩阵相似：①针对方阵而言
②秩相等是必要条件
③本质是二者有相等的不变因子
3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵
②秩相等是必需条件
③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变虽；不变因子是矩阵相似的不
变虽；特征值是可对角化矩阵相似的不变虽，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变虽，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。

由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。

相似与合同不可互推，需要一定的条件。

而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变
换在不同基下的矩阵
篇二：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别
学号：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别
20XX年05月
矩阵间等价、合同、相似的联系与区别
xxxX
摘要本文将要分三个步骤来逐步深入的探究矩阵间的三种关系及区别：首先，简要介绍矩阵作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础学科的重要性,以及这一学科知
识的理论性及应用性的特点；其次，简要介绍矩阵的概念及基本运算，给出矩阵的秩和逆的解法；最后，给出矩阵等价、
合同、相似的定义，根据定义分析三者之间的联系与区别，并进一步给出具体例子使同学们有更加深刻的印象，组织学习小组联系实际自主学习将书面知识向实际能力转化，以自主创新的态度来对待生活中的难题,形成新思维使我们在未来学习工作中越走越顺.
关键词矩阵、矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同
The connection and distinction among three relationships of matrices
those are equivalent, contract, similar
Zhu Yan
(College of Mathematics and Information Science,
Henan Normal University, Xinxiang Henan 453007,China) Abstract The paper is divided into three steps to gradually in-depth exploration of three kinds of relationships among matrices and these differences: First, we have briefly introduced the
importance of the matrix as a professional basis discipline in Normal Colleges and Applied Mathematics in the paper, meanwhile, we have introduced the knowledge of this discipline included it ' s theory and application characteristics; Second, we have briefly introduced the concepts and basic operations of the matrix in the paper then the solution of the question about the rank of the matrix and the inverse are given in the paper;
Finally, we have introduced definitions of the matrix '
s equivalent, contract and similar in this paper, then, according to the definition we analyse the contact and distinction among those relationships , and further offers specific examples to analyse, so that students will have a more profound impression. Organized study groups practice self-learning and transforming the written knowledge to the actual ability of independent innovation attitude to deal with the problems in life, the formation of new thinking to make our future study and work farther and Shun.
Keywordsmatrix; matrix contract ; matrix equivalent; matrix similarity
目录
前言1 1矩阵的简介1
矩阵的简介1
矩阵的运算
矩阵乘积的行列式与秩
矩阵的逆2矩阵间的三种关系
矩阵的等价
矩阵的合同
矩阵的相似3矩阵的等价、合同、相似之间的联系与区别
矩阵间等价、相似、合同之间的联系
矩阵的等价、相似、合同之间的区别4总结参考文
献致谢
2 6 7 8 8 9 9 11 11 1
3 1
4 16 17
前言
随着科技的高速发展，数学在生产生活中的应用愈加宽广和深入，其中在经济方面尤为突出，马克思曾说过
门学科只有成功地应用了数学时,才真正达到了完善的地
步”.矩阵的作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础内容,是高
等代数的中心内容,同时也是数学科学联系实际的主要桥梁之一.矩阵
既是高等代数这一门数学专业课的重要内容,也是理、工科高等数学
的基础,随着我国科技进步和现代化建设的飞速发展,医、农、工以至
经济等社会科学各专业学生和工作人员,也越来越需要掌握它的基本
理论与方法了.矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法
以及保护个人帐号的矩阵卡系统(由深圳域提出)等等 .
“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵.矩阵就是可以
将多个变虽放在矩阵中，然后通过具体数据和关系构建矩阵方程，这在数学建模中很重要，可以解决许多实际问题.本
文将对矩阵的合同、矩阵的相似及矩阵的等价，这三类矩阵之间的关系就能行了解和探讨，并总结这三者的联系与区别1矩阵的简介矩阵的简介
矩阵(Matrix)本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方.
在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的
系数及常数所构成的方阵.这一概念由19
世纪英国数学家凯利首先提出.1812年柯西引入矩阵概念以来,矩阵理论已成为数学发展中的一个重要分支,既是学
习经典数学的基础 ,乂是一门最有实用价值的数学理论,
并且已成为现代科技领域处理大虽有限维空间形式与数虽关系的强有
力的工具.《线性代数》作为高等院校理工科学生必修的一门科目而
矩阵在线性代数中处于核心地位^ 由参考文献［1］、［2］我们看到，在线性方程组的讨论中，线性方程组的
一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程除了线性方程组之外，还有大虽的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有
关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.
用大写的拉丁字母A,B,，或者aij,bij, 来表示矩阵.有
时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把sn矩阵写成Asn,Bsn,,或者aijsn,bijsn, （注意矩阵符号与行列式的符
号的区别）.
设Aaijmn,bijlk ,如果ml,nk ,且aijbij ,对i1,2,,m;j1,2,,n 都成立，我们就说AB.即只有完全一样的
矩阵才叫做相等.
矩阵的运算
现在来定义矩阵的运算，以下定义在参考文献[3] — [6]
中均有出现，这些运算是矩阵之间一些最基本的关系.下面
要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置 .
为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵
全是由数域中的数组成的.
1.加法
定义1设
a11a12a1na22a2naAaijsn21
as1as2asn
是两个sn矩阵，则矩阵
Ccijsnaijbijsnb11b12b1nb21b22b2n,Bbijsnbs1bs2bsn
a11b11a12b12a1nb1na22b22a2nb2nab2121abas2bs2asnbsns 1s1
称为A和B的和，记为
CAB.
相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，也就是数的加法，所以它有
篇三：矩阵的等价，合同，相似的联系与区别
目录
........... 1 1 矩系...........................
关系...........................
同系...........................
关系........................... (22)
价、合同和相系........................... ...... 3 3矩阵的等价
另U .............................................
阵间的三种关
矩阵的等价
矩阵的合
关
矩阵的相似
矩阵的等
似之间的联合同和相似之间的区
语............................
................ 6 参考......... 文献
(6)
摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举
足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向虽、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质.其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化.
关键词：矩阵的等价；矩阵的相似；矩阵的合同；等价条件
引言：
在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系.本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即
相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合
同时，相似与合同一致.还有矩阵的相似与合同之等价条件.并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变虽.
1矩阵间的三种关系
矩阵的等价关系
定义1两个sn矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆
的s阶矩阵p与可逆的
n阶矩阵Q,使BPAQ
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备
的两个条件：(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方
阵).
(2) 存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q,使得BPAQ.
性质1
(1) 反身性：即AA.
(2) 对称性：若AB,则BA
(3) 传递性：即若AB, BC,贝U AC
定理1若A为mn矩阵，且r(A)r ,则一定存在可逆矩
阵P ( m阶)和
Ir
Q (n阶)，使得PAQ
B.其中Ir为r阶单位矩阵.0mn
推论1 设A、B是两mn矩阵，则AB当且仅当r(A)r(B).
矩阵的合同关系
定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵
P
使得PTAPB则称矩阵为合同矩阵(若数域p上n阶可逆矩阵p 为正交矩
阵)，由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必
须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域p上的n阶矩阵p,PTAPB
性质2
(1) 反身性：任意矩阵A都与自身合同.
(2) 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.
(3) 传递性：如果B与A合同，C乂与B合同，那么C 与A 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理3复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩
线性变换化为标准形:
22
fy12y2yr
矩阵的相似关系
定义3设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P1APB,则称矩阵A与B为相似矩阵(若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与
B
为正交相似矩阵)
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同
时具备两个条件
(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域p上n阶可逆矩阵P,使得P1APB
性质3
(1) 反身性AETAE ;
(2) 对称性由BCTACSP得AC1BC1;
(3) 传递性A1C1TAC1 和A2C2TA1C^P得A2C1C2AC1C2
总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
(4) P(k1A1k2A2)Pk1PA1Pk2PA2P (其中k1,k2 是任意常数)；
(5 ) P(A1A2)P(PA1P)(PA2P);
(6 )若A与B相似，贝U A响Bmffi似(m为正整数)；
⑺ 相似矩阵有相同的秩，而且，如果BPAP为满秩矩
阵，那么
B
1
1
T
T
111
111
(PAP)
11
PAP.
11
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似^
(8 )相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果BP1AP则有：BP1APP1APA
(9 )相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设BP1AP若B可逆，贝U B1(P1AP)1PA1P1从而A可逆.
且B1
与A1相似.
若B不可逆，则(P1
AP)不可逆，即A也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
定理4相似矩阵的特征值相同.
推论3相似矩阵有相同的迹.
2矩阵的等价、合同和相似之间的联系
(1)由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.
证明：设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1,使得
P1
1AP1B
此时若记PP11,QP1 ,则有PAQB因此由定义1得到n阶方阵
A,B等价
反过来，对于矩阵A1001
21
0,B等价，但是A与B并不相似
即等价矩阵未必相似.
定理6对于n阶方阵A,B,若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQB,(即A与B等价)，且PQE (E为n阶单位矩阵)，则A 与B相似.
证明：设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q, 使PAQB 即A与B等价.乂知PQE若记PP11 ,那么QP1也即P11AP1B,则矩阵A,B也相似.
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵.
证明：设n阶方阵A,B合同，由定义2有，存在n阶可逆矩阵P1,使得PT1AP1B记PPT1,QP1,则有PAQBS此由定义1得到n阶方阵A,B等价
若
篇四：如何判断矩阵的等价，相似，合同？
如何矩阵的等价，相似，合同？
(1) A 与B等价:A可以经一系列初等变换得
BPAQBr(A)r(B)
(A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等.
(2) A与B相似:P1APB,P可逆.
相似有四个必要条件：秩相同,特征值相同,特征多项式
相同，行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由
相似关系有传递性知A,B相似.
(3) A与B合同(仅限于对称矩阵):CTACB(C可逆)A与B 的正负惯性指数相同.
判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可.注:A,B合同A,B等价1011A,B 相似A,B等价,例A,B等价但不相似0101
在A,B实对称的前提下,A,B相似A,B合同.
【例1】判定下列矩阵哪些等价，哪些相似,哪些合同
111110100000A000,B001,C000,D011.
000000000011
【解】先看等价：r(A)1,r(B)2,r(C)1,r(D)1 ，故A,C,D 等价.
再看相似：r(A)r(C)r(D)1,r(B)2, 排除B,考虑A,C,D , A,C的特征值为1,0,0 , D的特征值为2,0,0，从而排除D仅仅考虑A,C, A的特征值为1,0,0 ,且二重特征值0对应两个线性无关的特征向虽。

100A相似于对角阵C000,从而A,C相似.
000
最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,D, C的特征值为1,0,0 , D的特征值为2,0,0 , C的正惯性指数为1, 负惯性指数为0, D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0, C,D合同.
111300【例2】判断A111,B000是否等价，相似，合同, 111000
【解】r(A)r(B)1 ,二者等价；
300A为对称阵一定相似于对角阵B000;从而A一定合
同于对角阵B. 000
篇五：线性代数关于等价、相似、合同的对比
定义如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B, 则称A 与B等价，记为A~&等价具有反身性即对任意矩阵A,有A与A等价；对称性若A与B等价，贝U B与A等价
传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。

用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以
下两类：
(1) 设A是n阶可逆矩阵，B是nx m矩阵，求出矩阵
X满足AX= B原理：AX= B时
(2) 设A是n阶可逆矩阵，B是m^ n矩阵，求出矩阵X满足XA= B。

解：由方程XA= B
XA4 B A 解为x= B A
-1
-1
-1
-1
-1
要注意的是，矩阵方程X住B的解为x= B A
T
TT
T
T
T
T
而不可以写成x= AB。

T
T
-1
T
-1
T
因为X满足XA= BX满足AX= B 从而有X= (A) B=
(BA)
T
-1
所以，可以先用上述方法求解 A X= B,再把所得结果X
转置即得所需的X= BA
定义(向虽组的等价)如果向H组R能由向H组S线性
表出，反之，向虽组S也能由向虽组R线性表出，则称向虽组R与S等价。

向虽组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三
个同维向H组，则有
定义设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p 使得B=pAP。

则称A和B是相似的，记为A〜B。

-1
当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=PAPM,我们就说A经过相似变换变成了B。

同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：
(1) 反身性A〜A,这说明任意一个方阵都与自己相似。

事实上，有矩阵等式
-1
(2) 对称性若A〜B则B〜A,这说明A和B相似与B 和A相似是一致的。

事实上，有
(3) 传递性若A〜B, B〜C则A〜CP,这说明当A和B 相似，B和C相似时，A和C一定相似。

事实上，由B=PAP C=QBQ即可推出C=QPAPQ =PQ A (PQ
定理相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同
的特征值，相同的迹和相同的行列式。

需注意的是一定有相同的特征
向虽。

-1
-1
-1-1
-1
定理阶方阵A与对角阵PAP =特征向虽。

-1
相似的充分必要条件是A有n个线性无关的
两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向虽，则A 一定与对角阵八相似.
定义如果一个同维向H组不含零向且其中任意两个向虽都正交（两两正交），则称该向虽组为正交向虽组。

定义若
是R中的一个正交向H组，且其中每个向H都是
n
单位向虽，则称这个向虽组为标准正交向虽组。

（正交单位向虽组）定理正交向虽组必线性无关。

必有向H组正交，且
是标准正交组。

（正交单位向虽组）
则称A为正交矩阵。

则称A与B正交相似。

定义如果n阶实方阵A满足
定义设A, B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得
定理（对称矩阵基本定理）对于任意一个n阶实对称
矩阵A, 一定存在n阶正交矩
阵P,使得
对角矩阵中的n个对角元就是A
的n个特征值。

反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。

定理两个有相同特征值的同阶对称
矩阵一定是正交相似矩阵定义设A, B都是n阶方阵，若
存在可逆阵P使得。

则称A与B合同。

由上面的定义可见矩阵A与矩阵B相似与合同是两个完全不同的的概念，但是若Q正交。

则
,所以A与B正交相似与A与B正交合同是一回事。

合同关系也有
反身性：即任给方阵A,有
所以，A与A合同；
则
对称性：若A与B合同，则存在可逆阵P使
得
所以B与A也合同。

传递性：因为A与B合同，B与C合同，则存在可逆阵P, Q,使得
A与C合同。

定理实对角矩阵定理设n阶矩阵
为正定矩阵当且仅当
中的所有对角元全大于零。

注意PQ一定可逆，所以
是正定矩阵，则A中所有对角元
定理设A与B是两个合同的实对称矩阵，则A为正定矩阵当且仅当B为正定矩阵。

定理同阶正定矩阵之和必为正定矩阵。

定理n阶对称矩阵定理n阶对称矩阵推论（1） n阶对称矩阵（2） n阶对称矩阵
是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵是正定矩阵
的n个特征值全大于零的n个顺序主子式的正惯性指数为n.
合同于单位矩阵。

（3）任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵.
篇六：等价、相似、合同的关系
矩阵等价、相似与合同的区别与联系
篇七：5矩阵的等价、相似、合同。