随机过程-习题-第4章-01

4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求：

（1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先，

{}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ======

根据泊松过程的独立增量性质可知

{}{})

(1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e

k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是，

{}21

122!

)(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----=

==

(2) 解：该过程的均值为

[]()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==∑∑+∞=--+∞

=-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >)

[]

()[])]

([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-=

其中，

)()]()([1212t t t N t N E -=-λ

12

1212)]([t t t N E λλ+=

于是，12t t >时的相关函数为

[]121212

12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-=

同理可得21t t >时的相关函数为

[]221221)()(t t t t N t N E λλ+=

所以，泊松过程的相关函数为

[]{}2121221,min )()(t t t t t N t N E λλ+=

所以，泊松过程过程不是平稳过程。

4.2 设有一个最一般概念的随机电报信号{)(t ξ}，它的定义如下：

（1） )0(ξ是正态分布的随机变量),0(2σN ； （2） 时间τ内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即

λτ

λττ-=e k k P k !

)(},{ (k =1,2,…)

（3） 不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0,2σ)，这个脉冲幅度延伸到下

一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。

（4） 不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。 它的样本函数如图4-2。

图4-2

(1) 试求它的二元概率密度。 (2) 试问该过程是否平稳？

(1) 解：设t 1

)()(2)(1)(21x f x f t t ξξ

其中，)(1)(1x f t ξ和)(2)(2x f t ξ分别是)(t ξ在t 1和t 2时刻的概率密度函数。发生情况②的概率就是t 1和t 2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率，即

21121,1!

)(}Pr{t t e e k t t k k -=-==-∞

=-∑τλτλτ

λτ

处于不同脉冲内和

显然，t 1和t 2 处于同一脉冲内的概率为λτ-e 。在这种情况下，两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为

)()(121)(1x x x f t -δξ

因此，t 1和t 2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为

)(2exp 21

2exp 21

]1[),(12221)(222

212)

(21)()(121221x x x e x x e

x x f t t t t t t -⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=----δσπσσπσλλξξ (2). 由此可见该过程是平稳过程，并且可以推导其多维PDF 也是只与各时刻间的间隔有关，因此是严平稳过程。

4.3 设1ξ、2ξ为独立同分布随机变量，且均匀分布于(0，1)上，又设有随机过程

)(sin )(21t t ξξη=

求 (1) )(t η均值； (2) )(t η的相关函数 (1) 解：由于1ξ、2ξ是独立的，因此

)]([sin ][)](sin [)]([2121t E E t E t E ξξξξη==

1ξ、2ξ都均匀分布于(0，1)上，所以

2

1

][1=

ξE t

t

t t E cos 1d )(sin )]([sin 10

222-=

=⎰ξξξ 于是，

t

t

t E 2cos 1)]([-=

η (2) 相关函数为

)](sin )([sin ][)]()([22122

121t t E E t t E ξξξηη=

其中

3

1

][21=

ξE 和

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡++---=

+--=⎰212121211

022*********)sin()sin(21d )]}(cos[)]({cos[21)]

(sin )([sin t t t t t t t t t t t t t t E ξξξξξ 所以，

⎦

⎤⎢⎣⎡++---=2121212121)sin()sin(61)]()([t t t t t t t t t t E ηη

4.4 设)(t ξ是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为0。如定义

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

=|)()(|)()(121)(τξξτξξηt t t t t 试证明

[]

)(cos 1

)}({1τπ

ηξk t E -=

-

其中，2/)()(ξξξσττC k =，)(τξC 代表)(t ξ的协方差函数，)0(2

ξξ

σC =代表)(t ξ的方差。

证明：由给出的)(t η定义式可知它有两种可能的取值，即

⎪⎩⎪⎨⎧<+>+=0

)()(,00

)()(,1)(τξξτξξηt t t t t

因为)(t ξ是实正态平稳随机过程，且均值为0，所以联合正态分布为

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡-+---=

+)1(22exp 121),(222222

)()(r y rxy x r y x f t t σπστξξ 其中，

)(/)(2

τστξξξk C r ==

参考《概率随机变量和随机过程》（西安电子科技大学译本）之第226至229页可以