数学实验教程_实验5(微分方程)

实验5 微分方程

实验目的

1．理解方向场、积分曲线的含义

2．掌握利用软件求解微分方程的解析解的方法 3．掌握利用软件求微分方程数值解的方法 4．了解一种微分方程解的稳定性分析方法

实验准备

1．微分方程、方向场、积分曲线的定义 2．复习一阶微分方程的解法 3．复习常系数线性微分方程的解法 4．自学常微分方程的数值解法

实验内容

1．常微分方程的方向场与解曲线 2．常微分方程的解析解法 3．常微分方程的数值解法

软件命令

表5-1 Matlab 常微分方程命令

实验示例

【例5.1】微分方程的斜率场和积分曲线

画出方程2

1y y '=-的斜率场，以及积分曲线； 【原理】：

对一阶微分方程

实验5 微分方程 - 31 -

00(,),()dy

f x y y x y dx

== 如果解存在，设解为0(,)y y x y =，点0(,(,))x y x y 的切线与x 轴的夹角为α，斜率为

tan (,)f x y α=。斜率场就是在平面上的每一点处的切线矢量(cos ,sin )αα或

(cos ,sin )αα-构成的矢量场，从斜率场可以大致看到过某个点00(,)x y 的解曲线的走向。

注意：方程21y y '=-中，2(,)1f x y y =-：当||1y <时，夹角为锐角；当||1y >时，夹角为钝角；而1y =± 为奇解。 【步骤】：

【Step1】：确定绘制区域并划分网格； 【Step2】：计算切线矢量； 【Step3】：绘制斜率场； 【Step4】：定义微分方程；

【Step5】：选定初始值求解微分方程； 【Step6】：在同一个坐标系中绘制解曲线。 【程序】：参见Exm05Demo01.m 。 【输出】：见图5-1。

图5-1 斜率场和解曲线

【例5.2】常微分方程的解析解

（1）求方程组()()0,()4()0x t y t y t x t ''''+=-=满足条件(0)(0)0x y ==，(0)1,(0)2x y ''==的特解。

（2）求欧拉方程3

2

3

()()2()2()t y t t y t ty t y t t '''''-+-=的通解。

- 32 - 第一章 基础实验

【步骤】：

【问题1】程序代码：syms x y;f='D2x+y=0,D2y-4*x=0'; [x,y]=dsolve(f,'x(0)=0,Dx(0)=1,y(0)=0,Dy(0)=2')

输出结果：x =-1/2*exp(-t)*cos(t)+1/2*exp(t)*cos(t);

y =exp(-t)*sin(t)+exp(t)*sin(t)

【问题2】程序代码：syms t y;f='t^3*D3y-t^2*D2y+2*t*Dy-2*y=t^3';y=dsolve(f) 输出结果：y =1/4*t^3+C1*t+C2*t^2+C3*t*log(t) 【例5.3】常微分方程的数值解法

（1）求方程()cos sin ()y t t y t '=+在区间[0，20]上满足条件(0)1y =的数值解，并画出数值解的图形。

（2）求解初值问题3()()4()()

()3()(0)1,(0)8x t x t x t y t y t x t x y '⎧=---⎪

'=⎨⎪==-⎩

，并绘制斜率场及解曲线。

【步骤】：

【Step1】：单独定义微分方程； 【Step2】：利用ode 函数求解微分方程； 【Step3】：绘制解曲线。 【程序】：

【问题1】程序：参见Exm05Demo03_1.m ； 【问题2】程序：参见Exm05Demo03.m 。 【输出】：见图5-3。

05101520

1

23

4

问题（1）的图形

问题（2）的图形

图5-3

实验5 微分方程 - 33 -

实验练习

1．求解下列微分方程的解析解：

（1）求方程()2y t at '=的通解，其中a 为常数，并绘制积分曲线； （2）求方程()()

(),(1)2y t t y t t y t y '=

+=，并绘制方向场及解曲线；

（3）求方程组()()1,()()1

(0)2,(0)0

x t y t y t x t x y ''=+=+⎧⎨

=-=⎩的特解，并绘制解曲线。

2．用欧拉法求下列微分方程的数值解，步长0.1h =： （1）2()2(),(0)0.1t y t e y t y -'=-=； （2）3/2()320.032(),(0)0y t y t y '=-=。

3．流行病的一般模型。流行病的数学模型描述如下：设有一含L 个成员的群落，其中有P 个感染个体，Q 为未感染个体。令()y t 表示时刻t 感染个体的数量。对于温和的疾病，如普通感冒，每个个体保持活性，流行病从感染者传播到未感染者。由于两组间有PQ 种可能的接触，()y t 的变化率与PQ 成正比。故该问题可以描述为初值问题：

0()()(()),(0)y t ky t L y t y y '=-=

（1）用2

500,0.003,0.

2L k h ===

和初值条件(0)250y =，用欧拉法求其在[0，

60]内的近似解；

（2）估计平均感染个体的数目。