数学实验教程实验6(空间曲线与曲面)

实验6 空间曲线与曲面

实验目的

1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面

2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。

实验准备

1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程

实验内容

1．绘制空间曲线

2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成

4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域

软件命令

表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令

【例6.1】绘制空间曲线

绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。

【程序】：

t=0:pi/30:9*pi;

a=10; c=3;

x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t;

plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。

图6-1 空间曲线的绘制

【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面

绘制二元函数22

2

2

sin x y z x y

+=

+在区域:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。

【程序】：参见Exm06Demo02.m 。 【输出】：见图6-2。

图 6-2 绘制空间曲面

【例6.3】绘制Mobius 带

Mobius 带的参数方程为

122122

cos sin cos ,[0,2],[,]

sin u

u x r u y r u r c v u v a b z v π=⎧⎪==+∈∈⎨⎪=⎩，，

其中,,a b c 为常数，绘制其图形。

【程序】： clear syms u v; c=4.0;

a=-2*pi;b=2*pi; c=-1; d=1;

x=(c+1/2*v*cos(u/2))*cos(u); y=(c+1/2*v*cos(u/2))*sin(u); z=1/2*v*sin(u/2); ezsurf(x,y,z,[a,b,c,d]) 【输出图形】

图6-2 Mobius 带

【例6.4】 画出上半球面 2

2

2

2

(1)x y z r ++-=与圆锥面22

2

2

()r z x y =+所围成的立体的图形及其在xoy 平面与平面y=1上的投影。 【步骤】：

【Step1】：写出它们的参数方程

上半球面参数方程：2sin cos sin sin [0,],[0,2]1cos x r v u

y r v u v u z r v ππ=⎧⎪

=∈∈⎨⎪=+⎩；

圆锥面参数方程：sin cos ,[0,2],[0,1]x y z ρθρθθπρρ=⎧⎪

=∈∈⎨⎪=⎩

【Step2】：绘制上半球面

Clear;clc;r=2/3;a1=0;a2=2*pi;b1=0;b2=pi/2;n1=40;n2=20;

%准备上半球面数据

[u,v]=meshgrid(linspace(a1,a2,n1),linspace(b1,b2,n2)); x=r*sin(v).*cos(u);y=r*sin(v).*sin(u);z=1+r*cos(v); 【Step3】：绘制圆锥面

[t,s]=meshgrid(linspace(0,2*pi,20),linspace(0,1,20));

x1=s.*sin(t);y1=s.*cos(t);z1=s;surf(x1,y1,z1); 【Step4】：绘制xoy 平面内的投影：只需要球面的投影即可

z2=zeros(size(u));mesh(x,y,z2); 【Step5】：绘制曲面在y=1内的投影

y3=zeros(size(u))+1; y4=zeros(size(t))+1;% 球面、锥面

mesh(x,y3,z);mesh(x1,y4,z1);

【输出图形】：

图6-4 空间曲面及其投影

【例6.5】绘制曲面3

3

1212,4,4z x y x y x y =+---≤≤的各种等高线。 【程序】： clear

[x,y]=meshgrid(-4:0.2:4); z=x.^3+y.^3-12*x-12*y; figure(1) mesh(x,y,z) figure(2)

[c,h]=contour(x,y,z); clabel(c,h) figure(3)

h1=[-28 -16 -8 0 6 18 26]; cl=contour(z,h1); clabel(cl) figure(4) contourf(z) figure(5)

contour3(z,10)

【图形】：略。

【例6.6】画出三圆柱面

2222221,22;1,22;1,22x y z x z y y z x +=-≤≤+=-≤≤+=-≤≤

相交的图形。 【程序】： clear

t=0:0.03:2*pi; s=[-2:0.03:2]'; x=(0*s+1)*cos(t); y=(0*s+1)*sin(t); z=s*(0*t+1); surf(x,y,z) hold on surf(x,z,y)

surf(z,x,y) hold off

view(-128,23);

light('position',[2 1 2]); lighting phong ; shading interp ; axis off

camlight(-220,-170); axis equal