数学实验教程实验6(空间曲线与曲面)
空间曲面和曲线.ppt
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得:
f x2 y2 , z 0,
北京理工大学数学系
f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面的方程.
1
球 面
（3）抛物线
y2
2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
北京理工大学数学系
四.椭圆锥面
设C是椭圆，P为C外的定点，
过P和C上的每一点作直线， 所有这些直线形成的曲面
称为椭圆锥面。
所有直线称为母线， C称为准线， P称为顶点。
?与圆锥面的区别?
C P
3
3 9
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例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)， 求线段 AB的垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
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五、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
北京理工大学数学系
如图:投影曲线的研究过程.
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(整理)数学实验教程实验6(空间曲线与曲面)
实验6 空间曲线与曲面实验目的1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。
实验准备1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程实验内容1．绘制空间曲线2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域软件命令表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令实验示例【例6.1】绘制空间曲线绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。
【程序】：t=0:pi/30:9*pi;a=10; c=3;x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t;plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。
图6-1 空间曲线的绘制【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面绘制二元函数z =:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。
【程序】：参见Exm06Demo02.m 。
【输出】：见图6-2。
图 6-2 绘制空间曲面【例6.3】绘制Mobius 带Mobius 带的参数方程为122122cos sin cos ,[0,2],[,]sin uu x r u y r u r c v u v a b z v π=⎧⎪==+∈∈⎨⎪=⎩，，其中,,a b c 为常数，绘制其图形。
【程序】： clear syms u v; c=4.0;a=-2*pi;b=2*pi; c=-1; d=1;x=(c+1/2*v*cos(u/2))*cos(u); y=(c+1/2*v*cos(u/2))*sin(u); z=1/2*v*sin(u/2); ezsurf(x,y,z,[a,b,c,d]) 【输出图形】图6-2 Mobius 带【例6.4】 画出上半球面 2222(1)x y z r ++-=与圆锥面2222()r z x y =+所围成的立体的图形及其在xoy 平面与平面y=1上的投影。
06实验六 空间图形的画法
图6-4
绘制二元函数图形也可用简捷绘制的ezsurf指令，它的使 用格式为: ezsurf(f(x,y),[a,b,u,v]) 即可绘制函数在区域[a,b]×[u,v]上的图形。当省略区域 时，默认区间是[-2 ,2 ]×[- 2 , 2 ]。例如输入: ezsurf('x*exp(-x^2-y^2)') 则输出如图6-5所示。
图6-12
【例7】可以证明:函数z=xy的图形是双曲抛物面。在区 域-2≤x≤2，-2≤y≤2上作出它的图形。
输入: x=-2:0.1:2; y=-2:0.1:2; [xx,yy]=meshgrid(x,y); zz=xx.*yy; surf(xx,yy,zz) 输出如图6-13所示。
图6-13
例如，画出曲面 z x y 的图形。输入: x=-2:0.1:2; y=-2:0.1:2; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2+y.^2; surf(x,y,z) z x 2 y 2，见图6-2。 得到曲面
2 2
图6-2
执行下面的程序: x=-2:0.015:2; y=-2:0.015:2; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2+y.^2; i=find(x.^2+y.^2>4); z(i)=NaN; surf(x,y,z) 同样得到曲面(见图6-3)。 由于自变量的取值范围不同，图形也不同。不过，后者比 较好地反映了旋转曲面的特点，因此是常用的方法。
图6-3
又如，参数方程: x 2sin cos , y 2sin sin , z 2cos 是以原 点为中心、2为半径的球面，其中 0 , 0 2 因此只要输入: t=0:0.1:pi; r=0:0.1:2*pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=2*sin(t).*cos(r); y=2*sin(t).*sin(r); z=2*cos(t); surf(x,y,z) 2 2 2 2 便作出了方程为 x y z 2 的球面(见图6-4)。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在理解和描述物体的形状和运动过程中起着至关重要的作用。
本文将探讨空间曲线与曲面的定义、性质以及其应用领域。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，在数学上通常表示为参数方程形式或者向量函数形式。
一条空间曲线由无数个点组成，这些点沿着曲线有一定的规律排列。
空间曲线具有以下性质：1. 长度：曲线的长度可以通过对参数范围进行积分计算得出。
长度为曲线上各点之间的距离之和。
2. 切线：曲线上的每一点都有一个唯一的切线与曲线相切。
切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处重合。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线曲率变化的速度。
曲率可以通过求曲线的曲率半径和弧长的比值得出。
二、空间曲线的应用空间曲线广泛应用于多个学科和领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
以下是空间曲线在相关领域中的应用举例：1. 物理学：在纳米尺度和宏观尺度的物理研究中，空间曲线被用于描述电磁场线、粒子轨迹、物质流动等。
通过分析空间曲线的性质，可以揭示物质的运动规律和相互作用方式。
2. 工程学：在工程设计和制造过程中，空间曲线用于描述物体的外形和运动轨迹。
例如，在航空航天领域，通过研究飞行器的曲线轨迹，可以优化设计以提高飞行效率和安全性。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的曲线建模技术使用空间曲线来表示和绘制三维对象。
空间曲线可以通过插值和逼近方法生成，使得计算机可以准确地表示和操作复杂的曲线形状。
三、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个二维平面，它由无数个点组成，并且在任意一点处都具有一个唯一的切平面。
在数学上，曲面可以用参数方程、隐函数方程或者二次方程等形式表示。
空间曲面具有以下性质：1. 切平面：曲面上的每一点都有一个唯一的切平面与其相切。
切平面是通过该点的一个二维平面，与曲面在该点处相切。
2. 法向量：曲面上的每一点都有一个对应的法向量，它垂直于曲面上的切平面。
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
空间曲线与曲面
y
x
y
O
x
O y
x
图6-5
图6-6
图6-7
§ 6.1 曲面和空间曲线的方程
6.1.4 旋转曲面 平面曲线C绕定直线L旋转形成的曲面叫旋转曲面，定直线L叫做旋转
曲面的轴，曲线C叫做旋转曲面的母线. 在旋转曲面中，过轴的半平面与旋转曲面的交线叫经线，显然，所有
的经线形状完全相同，它们的旋转轨迹能彼此重合. 与轴垂直的平面和旋 转曲面的交线是一个圆，称之为纬线或纬圆，它是由母线上的一点绕轴旋 转形成的.
§ 6.1 曲面和空间曲线的方程
本节将曲面(曲线)看成满足一定几何条件的动点的几何轨迹，从而得到 曲面(曲线)方程的概念，并建立圆柱螺线、球面、柱面、旋转曲面的方程.
6.1.1 曲面、空间曲线与方程 6.1.2 球面 6.1.3 柱面 6.1.4 旋转曲面
§ 6.1 曲面和空间曲线的方程
6.1.1 曲面、空间曲线与方程
(6.1.5)
的图形总是一张球面. 事实上，通过配方，可把方程(6.1.5)化为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 k
k 0时，方程6.1.5表示球心在点P0 (x0, y0, z0 ) ，半径为 k的球面；
k 0时，方程6.1.5表示的球面收缩为一点( 称为点球面)；
于是得方程组
§ 6.1 曲面和空间曲线的方程
x l
x0
y y0 m
z z0 n
,
F
(
x0
,
y0
,
z0
)
0,
G( x0 , y0 , z0 ) 0.
（6.1.6）
消去x0 , y0 , z0 得
F(x lu, y mu, z nu) 0, G(x lu, y mu, z nu) 0.
空间曲线与曲面的基本概念与性质
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
空间中曲线与曲面方程
空间中曲线与曲面方程在三维空间中，曲线和曲面是几何学中重要的概念，在数学和物理学等领域有广泛的应用。
曲线是指在空间中表示为一系列点的集合，而曲面是在空间中表示为一系列点的集合的一个二维面。
本文将就空间中曲线与曲面方程进行探讨。
一、空间曲线的方程在三维空间中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是指将曲线的坐标用参数表示，例如(x(t), y(t), z(t))。
每个参数t对应曲线上的一个点。
一般方程则是通过给出曲线上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程的优势在于可以轻松描述曲线的形状，通常直接从曲线的定义出发，选择合适的参数方程。
而一般方程则更适合用于描述曲线的性质和特征。
二、空间曲面的方程空间中的曲面可以用参数方程、一般方程或者隐函数方程来表示。
参数方程类似于曲线的参数方程，将曲面上的点用参数表示，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
每个参数对应曲面上的一个点。
一般方程则通过给出曲面上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
隐函数方程则将曲面的方程化简为一个关于x、y、z的方程，例如F(x, y, z) = 0。
选择曲面的方程格式取决于具体的问题和需求。
参数方程可以直观地描述曲面的形状，适用于绘制和计算曲面上的点。
一般方程和隐函数方程更适合用于分析曲面的性质和特征。
三、曲线和曲面的方程求解对于空间中的曲线和曲面方程，求解其解析式是数学中一个重要的问题。
有时可以通过直接求解得到解析式，有时需要借助计算机和数值方法进行求解。
对于一些简单的曲线和曲面方程，可以通过代数运算得到解析式。
例如对于一条直线，可以通过给出直线上两点的坐标，然后通过两点间的直线方程求解出直线的解析式。
对于一些复杂的曲线和曲面方程，可以通过数值方法进行求解，如迭代法、线性插值等，以获得近似解。
四、曲线和曲面方程的应用曲线和曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
探索数学中的空间曲线与曲面
探索数学中的空间曲线与曲面数学中的空间曲线与曲面是一门精彩纷呈的学科，通过对曲线与曲面的探索，我们可以深入了解空间的几何特征和数学规律。
本文将通过数学模型和实例来探讨数学中的空间曲线与曲面，分析它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是在三维空间中的曲线，是由一系列点组成的集合。
它可以用参数方程或者隐函数来表示。
常见的空间曲线有直线、曲线和螺旋线等。
下面以参数方程为例，介绍几个常见的空间曲线：1. 直线：直线是最简单的空间曲线，可以用参数方程表示为：```mathx = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct```其中 `(x_0, y_0, z_0)` 是直线上的一个点，`(a, b, c)` 是直线的方向向量，`t` 是参数。
2. 曲线：曲线是具有一定弯曲的空间曲线，可以用参数方程表示为：```mathx = x(t)y = y(t)z = z(t)```其中 `x(t)`、`y(t)`、`z(t)` 分别是曲线在参数 `t` 下的坐标函数。
3. 螺旋线：螺旋线是一种具有环绕性质的空间曲线，它可以用参数方程表示为：```mathx = a * cos(t)y = a * sin(t)z = b * t```其中 `a` 和 `b` 分别是螺旋线的参数，`t` 是参数。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，是由一系列点组成的集合。
它可以用隐函数或者参数方程来表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆柱面等。
下面以隐函数为例，介绍几个常见的空间曲面：1. 平面：平面是最简单的空间曲面，可以用隐函数表示为：```mathAx+ By + Cz + D = 0```其中 `A`, `B`, `C` 和 `D` 是常数，且 `A`、`B`、`C` 不同时为零。
2. 球面：球面是由圆周绕着某个直径旋转而形成的曲面，可以用隐函数表示为：```math(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2```其中 `(a, b, c)` 是球心的坐标，`r` 是球的半径。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
本文将对空间曲线和空间曲面进行详细的介绍，并探讨它们的特性和性质。
一、空间曲线空间曲线是三维空间中的曲线，可以用参数方程或者向量方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点表示为参数 t 的函数，通常用向量形式表示。
向量方程则是直接用向量表示曲线上的点，一般形式为 r(t) =(x(t), y(t), z(t))，其中 x(t)，y(t)，z(t) 分别表示曲线在 x、y、z 轴上的坐标。
空间曲线可以分为直线和曲线两种形式。
直线是最简单的空间曲线，可以用一个点和一个方向向量来确定。
曲线则更为复杂，可以是一段圆弧、螺旋线或者任意曲线。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，可以用方程、参数方程或者向量方程来表示。
方程形式的空间曲面通常为 F(x, y, z) = 0，其中 F(x, y, z) 是一个关于 x、y、z 的函数。
参数方程和向量方程也可以用来表示空间曲面，其中参数方程将曲面上的点表示为参数 u、v 的函数，向量方程则直接用向量表示曲面上的点。
空间曲面可以分为封闭曲面和非封闭曲面。
封闭曲面是指四面都封闭的曲面，比如球体或者圆柱体。
而非封闭曲面则是有开口的曲面，比如抛物面或者双曲面。
三、空间曲线的特性和性质1. 切线与法线：空间曲线上的每个点都有一个切线和一个法线。
切线是与曲线相切的直线，其斜率等于曲线在该点的导数；法线则垂直于切线，并与切线构成曲线的法平面。
2. 弧长和曲率：空间曲线的弧长是曲线上的两点间距离。
曲率是衡量曲线弯曲程度的指标，可以通过曲线的切线和法线计算得到。
3. 参数化表示：空间曲线的参数化表示可以使曲线更加灵活，方便计算和研究。
不同的参数化方式可以得到不同的曲线形状。
四、空间曲面的特性和性质1. 曲面方程：空间曲面可以用方程、参数方程或者向量方程表示。
方程形式的曲面方程通常是一个关于 x、y、z 的等式，可以反映曲面上点的坐标特性。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。
通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。
1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。
对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。
对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。
与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。
1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。
对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。
对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。
空间曲面与空间曲线资料
S
y
N(x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x=0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
如图，取，为参数
则球心在原点的球面方程等价于：
x R sin cos
y
R
si n
si n
z R cos
0 2
0
x
z
N M（x,y,z）
R
y
Qθ
P
为球心在原点、半径为R的球面的参数方程。
一般地,曲面的参数方程
x x(u, v) 可表示为： y y(u, v)
z z(u, v)
二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的 母线.
一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
解: 原方程可改写为 (x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 5的球面.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）求曲面方程． （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
空间几何中的曲线与曲面
空间几何中的曲线与曲面在空间几何中，曲线与曲面是两种重要的几何对象，它们在数学和物理学等领域中起着至关重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面，探讨空间几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质曲线是平面或空间中的一条连续有限点集。
在三维空间中，我们常见的曲线有直线、圆、椭圆等。
根据曲线的性质，可以将曲线分为开放曲线和闭合曲线两种。
开放曲线是指起点和终点不重合的曲线，例如直线。
闭合曲线是指起点和终点相重合的曲线，例如圆。
曲线的性质还包括曲率、切线、法线等。
曲线的曲率描述了曲线在某一点上的弯曲程度，切线是曲线在该点的切线方向，法线是曲线在该点的垂直于切线的方向。
二、曲线的应用曲线在现实生活中有着广泛的应用。
在物理学中，曲线被用于描述物体的运动轨迹。
例如，当我们研究一个抛体运动时，可以利用曲线来描述物体的运动轨迹，并通过曲线的方程来计算物体在不同时刻的位置和速度。
另外，在工程学和建筑学中，曲线也被广泛应用。
例如，在桥梁的设计中，曲线可用于描述桥梁的拱形结构，以提供更好的力学性能和美观性。
三、曲面的定义与性质曲面是空间中的一条连续无限点集，它可以由曲线沿某一方向无限延伸形成。
常见的曲面有球面、圆柱面、抛物面等。
曲面的性质包括曲率、切平面、法线等。
曲面的曲率描述了曲面在某一点上的弯曲程度，切平面是曲面在该点的切平面，法线是曲面在该点的垂直于切平面的方向。
四、曲面的应用曲面在科学研究和实际应用中也具有重要意义。
在物理学中，曲面被广泛应用于描述物体的形状和表面特性。
例如，在天文学中，天体的形状可以用曲面来描述，从而帮助我们研究它们的运动规律和属性。
另外，在工程学和设计领域，曲面也有广泛的应用。
例如，在造船工程中，曲面可以用于描述船体的外形，从而优化船体结构和流体力学性能。
总结空间几何中的曲线与曲面是空间中重要的几何对象，它们在数学和物理学等学科中具有广泛的应用价值。
通过对曲线与曲面的定义、性质和应用的讨论，我们可以更好地理解和应用空间几何中的曲线与曲面。
空间中的曲面和曲线
柱面,
平行于 x 轴;
平行于 y 轴;
平行于 z 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线
柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线
准线 yoz 面上的曲线 l2.
母线
故所求方程为
例1. 求动点到定点
方程.
特别,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面 .
例：
求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：
旋转曲面方程为
交线为
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
,它与所给平面的
截线方程为
解
如图,
例
解答
交线方程为
在 面上的投影为
空间曲线的一般方程、参数方程．
( 必要时需作图 ).
三、柱面
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
的坐标也满足方程
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
定义3.
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
空间解析几何中的空间曲线与曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面在数学中，空间解析几何是研究空间中的点、直线、曲线和曲面等几何元素的学科。
其中，空间曲线和曲面是解析几何中的重要概念，对于研究空间中的形状和运动非常关键。
本文将介绍空间解析几何中的空间曲线与曲面，并对其相关性质进行探讨。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
常见的空间曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
下面以直线为例进行讨论。
1. 直线在空间解析几何中，直线可通过点和方向确定。
假设直线上有两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则直线的方向向量为AB(x₂-x₁,y₂-y₁, z₂-z₁)。
方向向量是指从点A指向点B的向量。
除了通过两个点来确定直线外，我们还可以使用点与方向向量的形式表示直线。
设直线上一点为P(x, y, z)，则直线的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中t为参数，同时a、b、c为方向向量AB的分量。
2. 抛物线、椭圆和双曲线在空间解析几何中，抛物线、椭圆和双曲线都是曲线的一种。
它们的方程可以通过二次方程来表示。
以抛物线为例，其方程一般形式为：Ax² + By² + Cz = 0其中A、B、C为实数，并且A和B不同时为零。
抛物线在空间中呈现出的形状取决于A、B和C的取值。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
常见的空间曲面包括平面、球面、圆锥曲面和椭球面等。
1. 平面在空间解析几何中，平面是由三个相互垂直的坐标轴确定的。
平面可以用一个点和一个法向量来表示。
假设平面上有一点P(x₁, y₁, z₁)，该平面的法向量为N(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0其中(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
2. 球面在空间解析几何中，球面是由一个固定点O和到该点距离相等的所有点构成的曲面。
空间曲线与曲面
实验七空间曲线与曲面实验目的1．掌握空间直线、平面的画法。
2．了解常见的空间曲线与曲面的画法。
与本实验相关的理论最基本的空间作图函数是Plot3 ，用于作所有二元函数的三维立方体图形，其格式是：Plot3D[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}，可选项]由于很多曲面和绝大多数曲线都不能用显函数的形式表示。
Mathematica 还提供了Parametric Plot3D参数作图函数，其格式是：Parametric Plot3D[{x[u，v]，y[u，v] ，z[u，v]} ，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}，可选项]Mathematica作三维图形的机理是先在XOY坐标面给定区域内计算出一系列格点的值，再用矩形“小瓦片”拟合张在上面的曲面上。
因而如果曲面的表面变化复杂，可通过设置更细的“瓦片”分割来改善。
这时候可增加选项PlotPoint―>n 来说明分割数n。
实验步骤一、画空间曲线注意空间曲线的参数方程只有一个参变量，如果要画出螺旋线x=10cost , y=10sint , z=2t 的图形，只要输入：Parametric Plot3D[{10cos[t]，10sin[t]，2t} ，{t，0，20}]空间直线也类似地处理。
例1：求过A（3，5，-2），B（3，5，-2）的直线方程，并画图。
分析：空间直线方程可由点向式写出，再改成参数式)2(4)2(535313----=--=--z y x 化为参数式是：t x 23-=，t y 25-=，t z 62+-=输入：Parametric Plot3D[{3-2t ，5-2t ，-2+6t} ，{t ，0，1}]二、画空间曲面例2：求过A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），的平面方程，并画图。
分析：平面方程可由截距式写出，y x z 2333--=。
输入：Parametric Plot3D[{3-3x-3y/2} ，{x ，-1，1}，{y ，-1，1}]例3：画出二元函数22),(y x y x f +=的图形。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是微积分和几何学中的重要概念，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
它可以用参数方程或者向量函数来表示。
例如，对于参数方程来说，一条空间曲线可以表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中x、y、z分别表示曲线上的点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)则是关于参数t的函数。
通过改变参数t的值，我们可以得到曲线上的不同点。
空间曲线有许多重要的性质。
其中之一是曲线的切线方向。
在曲线上的任意一点P，曲线的切线方向是通过该点的一条直线，它与曲线在该点的切线相切。
曲线的切线方向可以通过求曲线在该点的导数来得到。
另一个重要的性质是曲率。
曲线的曲率描述了曲线的弯曲程度。
曲线的曲率可以通过求曲线的曲率半径来得到。
曲率半径是曲线在某一点处的切线与曲线在该点的曲率圆的半径。
曲线的曲率半径越小，曲线的弯曲程度越大。
空间曲线在物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以通过描述物体的运动轨迹来研究物体的运动状态。
而物体的运动轨迹可以用空间曲线来表示。
另外，在电磁学中，我们可以通过描述电流在导线中的流动来研究电磁场的分布。
而电流的流动路径可以用空间曲线来表示。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
它可以用隐函数方程或者参数方程来表示。
例如，对于隐函数方程来说，一个空间曲面可以表示为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是关于x、y、z的函数。
通过满足隐函数方程的点，我们可以得到曲面上的点。
空间曲面也有许多重要的性质。
其中之一是曲面的法线方向。
在曲面上的任意一点P，曲面的法线方向是垂直于曲面在该点的切平面的方向。
曲面的法线方向可以通过求曲面在该点的梯度来得到。
另一个重要的性质是曲面的曲率。
曲面的曲率描述了曲面的弯曲程度。
曲面的曲率可以通过求曲面的主曲率来得到。
曲面和空间曲线讲解
play
返回
例7 求yO z 平面上的曲线 f (y, z) = 0 绕z 轴旋转
一周所得空间曲面的方程.
解 设M1(0, y1, z1)是曲线 f (y, z) = 0上的一个 点， M(x, y, z) 是M1 在旋转过程中所产生
x
的任一点，则有
z
d M1(0, y1, z1)
准线: xOy 平面上的抛物线 y 2 = 2x.
母线: 与z 轴平行.
z
o x
y2 2x
y
S ：抛物柱面
返回
例5
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,
b 0)
S
{( x,
y,z) |
x2 a2
y2 b2
1}
准线: xOy 平面上的双曲线
z
x2 a2
y2 b2
1
母线: 与z 轴平行.
O
y
x
S ：双曲柱面
返回
例6 y = x
在 xy 平面上, y = x 是一条直线.
z
在空间直角坐标系 O - xyz 中，y = x 是一张平面. 它也可 以看成是以xy 平面上的直线 y = x 为准线，母线平行于z 轴 的柱面.
o x
y
y x
返回
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕该平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.
f ( x2 z2, y) 0
同样可讨论平面曲线
L’:
f
(
x, z) y0
0
绕x轴或z轴旋转所成的曲面方程.
返回
例 10 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一
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实验6 空间曲线与曲面
实验目的
1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面
2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。
实验准备
1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程
实验内容
1．绘制空间曲线
2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成
4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域
软件命令
表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令
【例6.1】绘制空间曲线
绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。
【程序】：
t=0:pi/30:9*pi;
a=10; c=3;
x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t;
plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。
图6-1 空间曲线的绘制
【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面
绘制二元函数22
2
2
sin x y z x y
+=
+在区域:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。
【程序】：参见Exm06Demo02.m 。
【输出】：见图6-2。
图 6-2 绘制空间曲面
【例6.3】绘制Mobius 带
Mobius 带的参数方程为
122122
cos sin cos ,[0,2],[,]
sin u
u x r u y r u r c v u v a b z v π=⎧⎪==+∈∈⎨⎪=⎩，，
其中,,a b c 为常数，绘制其图形。
【程序】： clear syms u v; c=4.0;
a=-2*pi;b=2*pi; c=-1; d=1;
x=(c+1/2*v*cos(u/2))*cos(u); y=(c+1/2*v*cos(u/2))*sin(u); z=1/2*v*sin(u/2); ezsurf(x,y,z,[a,b,c,d]) 【输出图形】
图6-2 Mobius 带
【例6.4】 画出上半球面 2
2
2
2
(1)x y z r ++-=与圆锥面22
2
2
()r z x y =+所围成的立体的图形及其在xoy 平面与平面y=1上的投影。
【步骤】：
【Step1】：写出它们的参数方程
上半球面参数方程：2sin cos sin sin [0,],[0,2]1cos x r v u
y r v u v u z r v ππ=⎧⎪
=∈∈⎨⎪=+⎩；
圆锥面参数方程：sin cos ,[0,2],[0,1]x y z ρθρθθπρρ=⎧⎪
=∈∈⎨⎪=⎩
【Step2】：绘制上半球面
Clear;clc;r=2/3;a1=0;a2=2*pi;b1=0;b2=pi/2;n1=40;n2=20;
%准备上半球面数据
[u,v]=meshgrid(linspace(a1,a2,n1),linspace(b1,b2,n2)); x=r*sin(v).*cos(u);y=r*sin(v).*sin(u);z=1+r*cos(v); 【Step3】：绘制圆锥面
[t,s]=meshgrid(linspace(0,2*pi,20),linspace(0,1,20));
x1=s.*sin(t);y1=s.*cos(t);z1=s;surf(x1,y1,z1); 【Step4】：绘制xoy 平面内的投影：只需要球面的投影即可
z2=zeros(size(u));mesh(x,y,z2); 【Step5】：绘制曲面在y=1内的投影
y3=zeros(size(u))+1; y4=zeros(size(t))+1;% 球面、锥面
mesh(x,y3,z);mesh(x1,y4,z1);
【输出图形】：
图6-4 空间曲面及其投影
【例6.5】绘制曲面3
3
1212,4,4z x y x y x y =+---≤≤的各种等高线。
【程序】： clear
[x,y]=meshgrid(-4:0.2:4); z=x.^3+y.^3-12*x-12*y; figure(1) mesh(x,y,z) figure(2)
[c,h]=contour(x,y,z); clabel(c,h) figure(3)
h1=[-28 -16 -8 0 6 18 26]; cl=contour(z,h1); clabel(cl) figure(4) contourf(z) figure(5)
contour3(z,10)
【图形】：略。
【例6.6】画出三圆柱面
2222221,22;1,22;1,22x y z x z y y z x +=-≤≤+=-≤≤+=-≤≤
相交的图形。
【程序】： clear
t=0:0.03:2*pi; s=[-2:0.03:2]'; x=(0*s+1)*cos(t); y=(0*s+1)*sin(t); z=s*(0*t+1); surf(x,y,z) hold on surf(x,z,y)
surf(z,x,y) hold off
view(-128,23);
light('position',[2 1 2]); lighting phong ; shading interp ; axis off
camlight(-220,-170); axis equal
图6-5 三正圆柱面的交
【例6.7】旋转曲面的生成
用动画演示由曲线sin ,[0,]y z z π=∈绕轴旋转产生的旋转曲面的过程。
【步骤】：
【Step1】写出曲面的参数方程：旋转曲面的方程为：2
2
2
sin x y z +=，
其参数方程为sin cos sin sin ,[0,],[0,2]=⎧⎪
=∈∈⎨⎪=⎩
x v u
y v u v u z v ππ。
【Step2】画出旋转面在区间20,,1,2,
,n u k k n π
∈=⎡⎤⎣⎦内的图形；
采用镂空技术：将不需要画出的部分的Z 值赋值为NaN 。
【Step3】连续显示这些图形，形成动画。
【程序】：参见Exm06Demo05.m 。
【输出】：
图6-6 旋转曲面的生成
实验练习
1．绘制空间曲线
（1）2
1cos ,sin ,2sin ,[0,4]t
x t y t z t π=+==∈； （2）10
1010cos cos ,cos sin ,sin ,[0,24]t t t
x t y t z t π===∈。
2．绘制下列曲面
（1）()sin(),(,)[3,3][3,3]z x y x y x y =+-∈-⨯-； （2）2
233()
(3),(,)[2,2][2,2]x
y z x xy y e x y -+=++∈-⨯-；
（3）3
2
,cos ,sin ,,[0.3,8],[0,2]r at bt c x r v y r v z t t v π=++===∈∈，,,a b c 为参数。
3．画出抛物面2
2
z x y =+与平面12y z +=的交线以及所围成的公共区域。
4．用动画演示曲线2
1x y =-绕轴旋转产生旋转曲面的过程。