钢结构受弯构件(梁)的有关设计与计算

Wnp— 截 面 对 x 轴 的 截 面 塑 性 模 量 。
Wpx S1n S2n S1n 、S2n —中和轴以上、下净截面对中和轴的面积矩。
xp

Mp My
Wnp fy Wnx fy
Wnp Wnx
xp—截面绕x轴的塑性系数。
塑性系数与截面形状有关，而与材料的性质无关，所以又称截 面形状系数。
剪力中心S位置的一些简单规律 （1）双对称轴截面和点对称截面（如Z形截面），S与截 面形心重和； （2）单对称轴截面，S在对称轴上； （3）由矩形薄板中线相交于一点组成的截面，每个薄板中 的剪力通过该点，S在多板件的交汇点处。
常用开口薄壁截面的剪力中心S位置
2.弯曲剪应力计算
根据材料力学开 口截面的剪应力计算 公式，梁的抗剪强度 或剪应力按下式计算：
且材料强度又同时为最小值的概率较小，故将设计强度适当提高。
当和c异号时比同号时要提早进入屈服，而此时塑性变形能力高， 危险性相对较小故取 1 =1.2。 和c同号时屈服延迟，脆性倾向增 加，故取1 =1.1 。
受弯构件截面强度验算
1.受力计算简图（荷载、支座约束） 2.各内力分布图（弯矩、剪力） 3.根据截面应力分布的不利情况，确定危险点 4.计算危险截面的几何特性 5.计算危险点的应力和折算应力 6.强度验算
M
1
Mz
u
M
Mcos
x
A
A′
1l
M
取分离体如图，x、y、
y
yz
z为固定坐标，变形后截面
（4.2.10）
M、V—验算截面的弯矩及剪力；
In—验算截面的净截面惯性矩； y1—验算点至中和轴的距离； S1—验算点以上或以下截面面积对中和轴的面积矩；
如工字形截面即为翼缘面积对中和轴的面积矩。
1—折算应力的强度设计值增大系数。
在式（4.2.10）中将强度设计值乘以增大系数1，是考虑到折算
应力最大值只在局部区域，同时几种应力在同一处都达到最大值，

式中 ：
Vy Sx Ixt

fv
图4.2.3 工字形和槽形截面梁中的剪应力
（4.2.4）
工字型截面剪应力 可近似按下式计算
Vy ——计算截面沿腹板平面作用的剪力； Sx ——计算剪应力处以上或以下毛截面
对中和轴的面积矩；


V hw t w

fv
Ix——毛截面惯性矩； t——计算点处板件的厚度；
y
x
A
M
C
z
Mz
B D
图4.3.1 工字形截面构件自由扭转
特点：轴向位移不受约束，截面可自由翘曲变形；各截面翘曲变形 相同，纵向纤维保持直线且长度不变，构件单位长度的扭转角处处 相等；截面上只有剪应力，纵向正应力为零。
开口截面 自由扭转 剪应力分布
图4.3.2 自由扭转剪应力
按弹性分析：开口薄壁构件自由扭转时，截面上只有剪 应力。剪应力分布在壁厚范围内组成一个封闭的剪力流；剪 应力的方向与壁厚中心线平行，大小沿壁厚直线变化，中心
t
Y
13 235 b 15 235
fy局部稳定会有不利影响，应取x ＝1.0。
▲ 对于需要计算疲劳的梁，因为有塑性区深入的截面，塑
性区钢材易发生硬化，促使疲劳断裂提前发生，宜取 x= y =1.0。
4.2.2 抗剪强度 1.剪力中心
在构件截面上有一特殊点S，当外力产生的剪力作用在 该点时构件只产生线位移，不产生扭转，这一点S称为构件 的剪力中心。也称弯曲中心，若外力不通过剪力中心，梁在 弯曲的同时还会发生扭转，由于扭转是绕剪力中心取矩进行 的，故S点又称为扭转中心。剪力中心的位置近与截面的形 状和尺寸有关，而与外荷载无关。
tw—腹板厚度 lz—集中荷载在腹板计算高度上边缘的假定分布长度，可按下式计算：
跨中集中荷载： lz = a+5hy +2hR
梁端支座反力： lz = a+2.5hy +b a—集中荷载沿梁长方向的实际支承长度。对于钢轨上轮压取a=50mm； hy—自梁顶面至腹板计算高度上边缘的距离。 hR—轨道的高度，对梁顶无轨道的梁hR=0。 b—梁端到支座板外边缘的距离，按实际取，但不得大于2.5hy
缘其弱轴为1 -1轴，但由于有腹板作连续支承（下翼缘和腹板
下部均受拉，可以提供稳定的支承），压力达到一定值时，只
有绕y轴屈曲，侧向屈曲后，弯矩平面不再和截面的剪切中心重
合，必然产生扭转。梁维持其稳定平衡状态所承担的最大荷载
或最大弯矩，称为临界荷载或临界弯矩。
1Y 1
XX
Y
图4.4.1 工字形截面简支梁整体弯扭失稳
Mt tds t ds (4.34)
其中周边积分 ds恰好是截面壁厚中线所围成面积的2倍。
即：
M t 2At
任一点处的剪应力为： M t
2At
(4.3.5)
闭口截面的抗扭能力要比开口截面的抗扭能力大的多。
4.3.2 开口薄壁的约束扭转
o

x
y
Mz
V1 M1
受弯构件的计算原理
•理解受弯构件的工作性能 •掌握受弯构件的强度和刚度 的计算方法； •了解受弯构件整体稳定和局 部稳定的基本概念， •理解梁整体稳定的计算原理 以及提高整体稳定性的措施； •熟悉局部稳定的验算方法及 有关规定。
§4.1 概述
承受横向荷载和弯矩的构件称为受弯构件。结构中的实 腹式受弯构件一般称为梁，梁在钢结构中是应用较广泛的一 种基本构件。例如房屋建筑中的楼盖梁、墙梁、檩条、吊车 梁和工作平台梁。
腹板的计算高度h0
ho
t1
t1
b
b
1）轧制型钢，两内孤起点间距;
2）焊接组合截面，为腹板高度;
3）铆接（或高强螺栓连接）时为铆钉（或高强螺栓）间 最近距离。
4.2.4 折算应力
《规范》规定，在组合梁的腹板计算高度边缘处，若同时受有
较大的正应力、剪应力和局部压应力c，应对这些部位进行验 算。其强度验算式为：
z
o V1 M1
图4.3.4 构件约束扭转
特点：由于支座的阻碍 或其它原因，受扭构件的截 面不能完全自由地翘曲（翘 曲受到约束）。
导致 截面纤维纵向伸缩 受到约束，产生纵向翘曲正 应力 ，由此伴生翘曲剪应 力 。翘曲剪应力绕截面剪 心形成抵抗翘曲扭矩M的能 力。根据内外扭矩平衡关系 构件扭转平衡方程为：
（4.2.3）
Mx、My ——梁截面内绕x、y轴的最大弯矩设计值；
Wnx、Wny ——截面对x、y轴的净截面模量；
x、y ——截面对x、y轴的有限塑性发展系数，小于； f ——钢材抗弯设计强度 。
▲ 截面塑性发展系数的取值见P110--~111表 4.2.1
b
▲ 当翼缘外伸宽度b与其厚度t之比为：
§4.4 梁的整体稳定
4.4.1 梁整体稳定的概念
如图梁受横向荷 载P作用下，当P增 加到某一数值时，梁 将在截面承载力尚未 充分发挥之前突然偏 离原来的弯曲变形平 面，发生侧向挠曲和 扭转，使梁丧失继续 承载的能力，这种现 象称为梁的整体失稳， 也称整体屈曲或侧向 屈曲。
原因
梁受弯时可以看做是受拉构件和受压构件的组合体。受压翼
4.4.2 双轴对称工字形截面简支梁纯弯作用下的整体稳定
（1）基本假定 1）弯矩作用在最大刚度平面，屈曲时钢梁处于弹性阶段； 2）梁端为夹支座（只能绕x轴，y轴转动，不能绕z轴转动，
只能自由挠曲，不能扭转）； 3）梁变形后，力偶矩与原来的方向平行(梁的变形属小变形
范围)。

u
υ
（2）纯弯曲梁的临界弯矩
2.抗弯强度计算
规范引入有限塑性发展系数x和y来表征截面抗弯强度的提高。 梁设计时只是有限制地利用截面的塑性，塑性发展深度取a≤h/8～
h/4。
梁的抗弯强度应满足： （1）绕x轴单向弯曲时
Mx fy f xWx R
（4.2.2）
（2）绕x、y轴双向弯曲时
式中：
Mx My f xWnx yWny
Wn x
（4.2.1）
Vmax
Wnx —截面绕 x 轴的净截面模量。
Mmax
当最大应力达到屈服点fy时，构件截面处于弹性极限
状态，其上弯矩为屈服弯矩My。
M y Wnx fy
随着Mx的进一步增大
截面全部进入塑性状态，应力分布呈矩形。弯矩达到最大
极限称为塑性弯矩Mp，截面形成塑性铰。
M p Wnp fy

It——截面扭转常数，也称抗扭惯性矩，量纲为（L）4；
——截面的扭转角
——杆件单位长度扭转角，或称扭转率； bi、ti—— 第 i个矩形条的长度、厚度；
It

k 3
biti3
k ——型钢修正系数。
(4.3.2)
板件边缘的最大剪应力t与Mt的关系为：
k的取值： 槽钢：
k=1.12
t

图4.2.4 腹板边缘局部压应力分布
腹板边缘处的局部承强度的计算公式为：
即要保证局
c
F
tw lz

f
式中：
（4.2.7）
部承压处的局部 压应力不超过材 料的屈服强度。
F—集中荷载，动力荷载作用时需考虑动力系数
—集中荷载放大系数（考虑吊车轮压分配不均匀），重级工作制吊车
梁=1.35，其它梁=1.0；
构件内力
弯矩 弯矩+剪力 弯矩+剪力，附加很小的轴力
受弯构件的设计应满足：强度、整体稳定、局部稳定
和刚度四个方面的要求。 前三项属于承载能力极限状态计
算，采用荷载的设计值； 第四项为正常使用极限状态的计
算，计算挠度时按荷载的标准值进行。
抗弯强度
强度 抗剪强度 局部压应力
承载能力极限状态
折算应力
整体稳定
fv——钢材抗剪设计强度。

max

1.2V hwtw

fv
4.2.3 局部压应力
当梁上有集中荷载（如吊车轮压、次梁传来的集中力、支座反 力等）作用时，集中荷载由翼缘传至腹板，且该荷载处又未设置支 承加劲肋时，腹板边缘存在沿高度方向的局部压应力。为保证这部 分腹板不致受压破坏，应计算腹板上边缘处的局部承压强度。
4.2.5 受弯构件的刚度
梁必须有一定的刚度才能保证正常使用和观感。梁的刚度可
用标准荷载作用下的挠度进行衡量。梁的刚度可按下式验算：
≤[]
（4.2.12）
——标准荷载下梁的最大挠度
[]——受弯构件的挠度限值，按附P384表2.1规定采用。
一般说来，梁的最大挠度可用材料力学、结构力学方法计算。
线处为零，壁内、外边缘处为最大t 。t的大小与构件扭转角 的变化率 成正比。此剪力流形成抵抗外扭矩的合力矩GIt 。
开口薄壁构件自由扭转时，作用在构件上的自由扭矩为：
式中：
M t GI t
Mt ——截面上的扭矩； GIt——截面扭转刚度； G ——材料剪切模量；
(4.3.1)
Mt
局部稳定
正常使用极限状态 刚度
§4.2 受弯构件的强度和刚度
4.2.1 弯曲强a)度
y
σ<fy
b)
σ=fy
c)
σ=fy
d)
σ=fy 塑性
a a
x
εy
弹性
全部塑性
塑性
M<My
M=My
My<M<Mp
M=Mp
1.工作性能图4.2.1 各荷载阶段梁截面上的的正应力分布
弹性阶段构件边缘纤维最大应力为：
Mx
z 2 c2 c 3 2 1 f （4.2.10）
My1
In
——弯曲正应力
c——局部压应力
、c c拉应力为正， 压应力为负。
VS1
I nx t w
——剪应力
y 1 x
y1
τ
σc
σ
图4.2.5 、 、c的共同作用

式中：
2 c2 c 3 2 1 f
M tt It
(4.3.3)
T形钢： I字钢： 角钢：
k=1.15 k=1.20 k=1.00
闭口薄壁构件自由扭转时，截面上的剪应力分
布与开口截面完全不同，在扭矩作用下其截面内部
将形成沿各板件中线方向闭合形剪力流。截面壁厚
两侧剪应力方向相同，剪应力可视为沿厚度均匀分

布，方向与截面相切。沿构件截面任意处t为常数。
Mz=Mt+M （4.3.6）
构件扭转
M z M t M （4.3.6）
M z GIt EIω （4.3.8）
I为截面翘曲扭转常数，又称扇性惯性矩。量纲为（L）6。
常用开口薄壁截面的扇性惯性矩Iω值
双轴对称工字形截面
I

I1
h2 2

Iyh2 4
I1——一个翼缘截面对y轴的惯性矩。
均布荷载下等 截面简支梁
5ql4 5 M xl 2 Mxl 2
384EIx 48 EIx 10EIx
集中荷载下等 截面简支梁
Pl3 Mxl2
48EIx 12EIx
式中， Ix——跨中毛截面惯性矩 Mx——跨中截面弯矩
§4.3 梁的扭转
4.3.1 自由扭转
截面不受任何约束，能够自由产生翘曲变形的扭转。