竖曲线的作用及线形

x y x
纵 距：
x2 y= 2R
竖曲线起点桩号: 竖曲线起点桩号 QD=BPD - T 竖曲线终点桩号: 竖曲线终点桩号 ZD=BPD + T
（3）逐桩设计高程计算 切线高程： 切线高程：
H T = H n −1 + in ( Lcz − BPDn −1 )
H T = H n + in ( Lcz − BPDn )
（4）竖曲线外距 ： ）竖曲线外距E：
T12 上半支曲线x 上半支曲线 = T1时： E1 = 2R T2 2 下半支曲线x 下半支曲线 = T2时： E2 = 2R
E1 = E2 = E
x
故 T1 = T2 = T
T2 E= 2R Rω 2 L ω T ω 或 E= = = 8 8 4
h
x
4.3.3 竖曲线的最小半径和最小长度
HS = HT ± y
设计高程： 设计高程：
（凸竖曲线取“-”，凹竖曲线取“+”） 凸竖曲线取“ ，凹竖曲线取“ ） 其中： 竖曲线上任一点竖距； 其中： y——竖曲线上任一点竖距； 竖曲线上任一点竖距 直坡段上， 直坡段上，y=0； ；
x2 y= 2R
x——竖曲线上任一点离开起（终）点距离。 竖曲线上任一点离开起（ 竖曲线上任一点离开起 点距离。
ω
（3）凸形竖曲线最小长度 : ） 竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的3秒行程 竖曲线最小长度相当于各级道路计算行车速度的 秒行程 。
2.凹形竖曲线最小半径和最小长度 设置凹竖曲线的主要目的：缓和行车时的离心力引起的冲击力。 设置凹竖曲线的主要目的：缓和行车时的离心力引起的冲击力。 目的 确定凹竖曲线半径的依据： 确定凹竖曲线半径的依据：以离心加速度为控制指标 。 依据 （1）凹竖曲线半径： ）凹竖曲线半径：
1. 凸形竖曲线最小半径和最小长度 依据：凸形竖曲线最小半径应以满足视距要求为主。 依据：凸形竖曲线最小半径应以满足视距要求为主。 （1）当L≥S时：视距长度 S=d1+d2 ） 时
d12 h1 = ，则d1 = 2 Rh1 2R
S = d1 + d 2 = 2 R ( h1 + h2 )
R= S2 2( h1 + h2 )
y=
1 2 x + i1 x 2R
式中： 式中：R——抛物线顶点处的曲率半径 ； 抛物线顶点处的曲率半径 i1——竖曲线顶（底）点处切线 ——竖曲线顶 竖曲线顶（ 的坡度。 的坡度。
B
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A
2．竖曲线要素计算公式： 竖曲线要素计算公式： 切线纵坡：竖曲线上任一点切线的斜率： 切线纵坡：竖曲线上任一点切线的斜率： i = （1）竖曲线长度L L = xB – xA = Ri2-Ri1 =R(i2-i1)=Rω （2）竖曲线切线长T： L Rω T= = T = T1 = T2
α1
i1
α2
竖曲线的作用 竖曲线的作用 （1）缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的冲击。 缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点的冲击。 （2）保证公路纵向的行车视距： 保证公路纵向的行车视距： 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 将竖曲线与平曲线恰当的组合， （3）将竖曲线与平曲线恰当的组合，有利于路面排水和改善行车的视 线诱导和舒适感。 线诱导和舒适感。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 竖曲线的线形：可采用圆曲线或二次抛物线。 曲线的线形：可采用圆曲线或二次抛物线。 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 特点：抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。 特点：抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。 竖曲线在变坡点两侧一般是不对称的 但两切线保持相等。 竖曲线在变坡点两侧一般是不对称的，但两切线保持相等。 不对称 相等
4.3.4 逐桩设计高程计算
（1）纵断面设计成果 变坡点桩号 BPD 变坡点设计高程 H 竖曲线半径 R
R
H
4.3.4 逐桩设计高程计算
（1）纵断面设计成果 变坡点桩号 BPD 变坡点设计高程 H 竖曲线半径 R
（2）竖曲线要素的计算公式 变坡角ω= i2- i1 变坡角 曲线长： 曲线长：L=Rω 切线长： 切线长：T=L/2= Rω/2 2 外 距： E = T 2R
4.3
竖曲线
11讲 （第11讲） 教学内容： 教学内容： 1 竖曲线的作用及线形 2 竖曲线要素的计算公式 3 竖曲线的最小半径和最小长度 4 逐桩设计高程计算 重点解决的问题： 重点解决的问题： 1. 竖曲线线形有何特点？ 竖曲线线形有何特点？ 2．怎样确定竖曲线最小半径？ ．怎样确定竖曲线最小半径？ 3. 怎样计算任意点设计高程？ 怎样计算任意点设计高程？
[ 例 4-3] ： 某 山 岭 区 一 般 二 级 公 路 ， 变 坡 点 桩 号 为 k6+100.00 ， 高 程 为 138.15m，i1=4%，i2=-5%，竖曲线半径 ， ，竖曲线半径R=3000m。 。 ， 试计算竖曲线要素以及桩号为k6+060.00和k6+180.00处的设计高程。 处的设计高程。 试计算竖曲线要素以及桩号为 和 处的设计高程 解：1．计算竖曲线要素 ． ω=i2- i1= - 0.05-0.04= - 0.09<0，为凸形。 ，为凸形。 曲线长 L = Rω=3000×0.09=270m × 切线长 外 距
v2 V2 离心加速度： 离心加速度：a = gR = 13R
根据试验，认为离心加速度应限制在 ～ 比较合适。 根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较合适。但考虑到不因冲击 试验 而造成的不舒适感，以及视觉平顺等的要求，我国《标准》规定采用a=0.278 m/s2 而造成的不舒适感，以及视觉平顺等的要求，我国《标准》规定采用
2 2
y=
dy x = dx R
1 2 x 2R
1 2 y= x + i1 x 2R
（3）竖曲线上任一点竖距 ： ）竖曲线上任一点竖距h：
xA xP h = PQ = y P − yQ = − ( y A − i1 x) i1 = R 2R 2 2 xP x A x A = − − ( x A − xP ) 2R 2R R
2.凹形竖曲线最小半径和最小长度 设置凹竖曲线的主要目的： 设置凹竖曲线的主要目的：缓和行车时的离心力 目的 确定凹竖曲线半径的依据： 确定凹竖曲线半径的依据：以离心加速度为控制指标 。 依据 （1）凹竖曲线半径： ）凹竖曲线半径： 凹形竖曲线的最小半径、长度，除满足缓和离心力要求外， 凹形竖曲线的最小半径、长度，除满足缓和离心力要求外，还应考虑两 种视距的要求： 种视距的要求： 一是保证夜间行车安全，前灯照明应有足够的距离； 一是保证夜间行车安全，前灯照明应有足够的距离； 二是保证跨线桥下行车有足够的视距。 二是保证跨线桥下行车有足够的视距。 （2）凹竖曲线最小长度： ）凹竖曲线最小长度： 《标准》规定竖曲线的最小长度应满足3s行程要求 。 标准》规定竖曲线的最小长度应满足 行程要求
2 2 d 2 t2 2 h2 = − ，则d 2 = 2 Rh2 + t 2 2R 2R
2 t 2 = d 2 − ( L − l ) = 2 Rh2 + t 2 − ( L − l )
S
t1 + l = 2 Rh1 + t12 ,
t1 =
Rh1 l − l 2
B
d 12 2R
Rh2 L − l t2 = − L −l 2
LczLcz-BPDn-1 HT in-1 in y Lcz1
Hn H T BPDn HS Lcz2 in+1
BPDn-1 Hn-1 -
（3）逐桩设计高程计算 切线高程： 切线高程：
H T = H n −1 + in ( Lcz − BPDn −1 )
H T = H n + in ( Lcz − BPDn )
V2 V2 R= = 13a 3.6
另一种算法： 另一种算法：
或 Lmin
V 2ω = 3.6
Gv 2 GV 2 F= = ， gR 127 R
V2 R= 127( F / G )
根据试验结果， 控制在0.025之内就可以满足行车安全和舒适的要求。 之内就可以满足行车安全和舒适的要求。 根据试验结果，将F/G控制在 控制在 之内就可以满足行车安全和舒适的要求 V2 V 2ω R= 或 Lmin = 3. 2 3.2 制定了凹竖曲线最小半径指标（ 《标准》按离心加速度a=0.278 m/s2 制定了凹竖曲线最小半径指标（F/G=0.0284）。 标准》 离心加速度 ）
4.3
竖曲线
4.3.1 竖曲线的作用及线形
竖曲线：纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段曲线来缓和， 竖曲线：纵断面上两个坡段的转折处，为了便于行车用一段曲线来缓和， 称为竖曲线。 称为竖曲线。 变坡点：相邻两条坡度线的交点。 变坡点：相邻两条坡度线的交点。 变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值之差代替， 变坡角：相邻两条坡度线的坡角差，通常用坡度值之差代替，用ω表示 ω=α2-α1≈tgα2 - tgα1=i2 - i1 ω<0：凸形竖曲线： ：凸形竖曲线： ω>0：凹型竖曲线 ： i3 凹型竖曲线 ω>0 i2 ω 凸型竖曲线 ω<0
T= L 270 = = 135 2 2
T2 135 2 E= = = 3.04 2 R 2 × 3000
竖曲线起点QD＝ 竖曲线起点 ＝（K6+100.00）- 135 = K5+965.00 ） 竖曲线终点ZD＝ 竖曲线终点 ＝（K6+100.00）+ 135 = K6+235.00 ） 2．计算设计高程 ． 判断计算点位置： 判断计算点位置： K6+060.00<BPD=K6+100.00，上半支曲线 ， K6+180.00>BPD=K6+100.00，下半支曲线 ，
2 R L ( h1 + h2 ) L 2 S = ( h1 + h2 ) + = + L 2 ω 2
Lmin = 2 S −
2( h1 + h2 )2
ω
最小半径： 最小半径：
Rmin =
Lmin
ω
2 2S 2( h1 + h2 ) = − 2
ω
ω
4
当采用停车视距， 当采用停车视距，
Lmin = 2 ST −
4.3.2 竖曲线要素的计算公式
1．竖曲线的基本方程式： 竖曲线的基本方程式： （1）包含抛物线底（顶）部； y = 1 x 2 ）包含抛物线底（ 2R 式中： 式中：R——抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径
A
B
4.3.2 竖曲线要素的计算公式
1．竖曲线的基本方程式： 竖曲线的基本方程式： 1 2 y= x （1）包含抛物线底（顶）部； ）包含抛物线底（ 2R （2）不含抛物线底（顶）部。 ）不含抛物线底（
2 d2 h2 = ，则d 2 = 2 Rh2 2R
S
Lmin = Rω S 2ω = 2( h1 + h2 )2
1. 凸形竖曲线最小半径和最小长度 （2）当L<S时：视距长度 S=t1+L+t2 ） 时
d12 t12 h1 = − ，则d1 = 2 Rh1 + t12 2R 2R
2 t1 = d1 − l = 2 Rh1 + t1 − l
2
x h
h=
( xP − x A ) x = 2R 2R
2 2
x
( L − x) 2 下半支曲线的竖距h： 下半支曲线的竖距 ： h = 2R
若设计算点离开竖曲线终点的距离为 x’，则 x’= L – x
x '2 h= 2R
（3）竖曲线上任一点竖距 ： ）竖曲线上任一点竖距h：
( xP − x A ) 2 x 2 = h= 2R 2R
ω
2( h1 + h2 )2 = 2( 1.2 + .1 )2 = 4
当采用会车视距时， 当采用会车视距时， L = 2 S − 9.6 min H ω 当采用超车视距时， 当采用超车视距时，
Lmin = 2 S C − 9 .6
2( h1 + h2 ) 2 = 2( 1.2 + 1.2 ) 2 = 9.6
A
视距长度：S = t1 + L + t2 =
Rh1 L Rh2 + + l 2 L−l
(有极小值）
视距长度： S = t1 + L + t 2 =
令
dS = 0, dl
Rh1 L Rh2 + + l 2 L−l
(有极小值 ）
解此得 l= h1 h1 + h2
Rh Rh2 ds = − 21 + =0 2 dl l (L − l)