灰色预测与决策

灰色预测与决策

灰色系统中的预测与决策部分主要包括序列算子生成；GM 预测模型即GM(1,1)，GM(1，N),GM(0，N),GM(2,1),Verhulst 及GM(r,h)模型和离散灰色模型等；灰色系统预测；灰色关联分析；灰色聚类评估；灰色决策模型等内容。

我们知道灰色系统理论是研究少数据，贫信息不确定性问题的新方法，是通过对原始数据的挖掘、整理中寻求其变化规律。而且传统的GM(1,1)模型利用的数据是近指数，低增长的数据，所以就需要我们对数据进行处理。这里可以用缓冲算子、初值化生成算子、均值化生成算子、区间值化生成算子减少干扰或函数变换即对数变换、平移变换、开方变换、余弦函数变换、正切函数变换、负指数函数变换、幂函数变换、中心位似函数变换等缩小级比偏差，使数据适于建模。

1、灰色预测部分:

1)、数据经过以上的处理后，基本适于建模，传统的预测模型有GM(1,1)模型，其原始形式如下： ()()b k ax k x =+)()(10，

其基本形式如下： ()()b k az k x =+)()(10，

此方程是用均值()()k z 1代替()()k x 1，使得数据更平滑，其中()()()()()()

k x k x k z 111121)(+-=，叫做方程的背景值，-a 是发展系数，b 是灰作用量。这里的a,b 是利用最小二乘法求出来的。

白化方程为：()

()b k ax dt

dx =+)(11 时间响应函数为：

()()()()a b e a b x t x t a +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1111)( 时间响应序列为：()()()a b e a b x k x ak +⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=+-∧1)1(01 还原值是：()()()()()

()()()()ak a e a b x e k x k x k x -∧∧∧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=1110110 模型的求解是先用最小二乘法将a,b 求出，再利用白化微分方程求出解。而将白化方程还原为基本模型的形式时，会出现误差，即用()()k z 1代替()⎰-k

k dt x 11出现的误差，很多学者

在此基础上提出了许多优化模型。

在实际应用与理论研究过程中，人们对GM(1,1)模型进行了诸多改进。按照改进对象来划分，主要有两大类：一是对灰色微分方程的背景值优化；二是对GM(1,1)模型白化微分方程的响应式的优化。

谭冠军从背景值()()k z 1的几何意义出发，首次提出GM(1,1)模型的背景值优化，给出一

个新的背景值计算公式，提高了模型精度，并且能较好地适应非等间距序列建模。现在对背景值的优化，主要是把背景值中的一次累加生成序列进行均值生成改为线性插值生成，即用()()()()()()()k x k x k z 11111∂-+-∂=代替原来的均值计算公式。而罗党等给出一种背景值优化的新方式，即用齐次指数函数来拟合一次累加生成序列，提出了一种背景值构造的方法，获得了较高的预测精度。不过，从GM(1,1)模型白化微分方程的形式可以看出，一次累加生成序列的指数函数形式是非齐次的，累减还原后是齐次形式。所以可以用非齐次指数函数来拟合一次累加生成序列，给出一种更为合理的背景值计算公式，优化GM(1,1)模型。

传统的GM(1,1)模型都是一序列()1X 的第一个分量

()()11x 作为灰色微分模型的初始条件，这样对新信息利用不够充分，所以我们可以利用()1X 的第n 个分量

()()n x 1作为灰色微分模型的初始条件，新信息得到充分利用，预测精度大为提高。而且在求解a,b 时，利用最小二乘法，以()()()()1101x x =∧为初始条件求解，并不要求拟合曲线过第一个数据点，所以有

些不妥。刘斌等利用

()()k x 1的模拟值和原始数据的1-AGO 序列的差值平方和最小，确定时间响应函数中常数C,从而构建了优化的GM(1,1)模型，还有其他学者利用

()()k x 1的模拟值和原始数据序列的最小二乘估计方法确定C ，这使得优化后的GM(1,1)模型模拟、预测精度有显著提高。

其他模型的求解与优化和GM(1,1)模型基本上是相似的。

2)、GM(1，n)模型：()()()()∑==

+N i i i k x b k az k x 211101)()( 其白化方程：()()()∑==+N i i i x b k ax dt dx 2

11111)( 近似时间响应式为：

()()()()()()()∑∑=-=∧++⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=+N i i i ak N i i i k x b a e k x b a x k x 2121111111110)1( 式子里边含有()(),,3,2,11N i k x i =+所以模型只能模拟，不能预测。

3)、GM(0,N) 模型：()()()()()()()()k x b k x b k x b a k x N N 113312211++++=

其不含导数，因此为静态模型，建模基础为原始数据的1-AGO 序列

4)、GM(2,1)模型：()()()()()()()b k z a k x a k x =++∂120101

白化方程为：()()()b x dt

dx dt x d =∂+∂+1211212

GM(2,1)模型适用于非单调的摆动发展序列

5)、Verhulst 模型：()()()()()()()

2110k z b k az k x =+ 白化方程：()

()()()

2111x b ax dt dx =+ Verhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S 型过程，常用于人口预测，生物生长，繁殖预测和产品经济寿命预测等。

6)、离散灰色模型：()()()()21111ββ+=+k x k x

其参数估计，模拟，预测均采用离散形式的方程，不存在离散模型与连续模型之间的近似替代，且在GM(1,1)模型中a 取值较小时，离散灰色模型与GM(1,1)模型可以相互替代。根据迭代基值的不同，离散灰色模型有三种形式，分别是以()()11∧x ，()()m x 1∧，()

()n x 1∧为迭代基值，还可以在迭代初始值增加一个修正项来消除迭代初始值对模型拟合值的影响，称作优化离散灰色模型。

7)、近似非齐次指数增长离散灰色模型()

()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+∧∧∧4113

2111111ββββx x k k x k x 此模型适用于原始数据序列近似服从非齐次指数增长

8)、多变量离散灰色模型：

()

()()()()()()()()()∑-=++=-++-+-+1

11111112111121h j h j j r k x r k x k x k x k x ββααα 9)、灾变预测：是对异常值时间分布的预测，是异常值可能在那些时间发生的预测。灾变预测是对异常值时间分布序列进行建模预测。