第14讲 几类不同增长的函数模型(基础)

几类不同增长的函数模型

【学习目标】

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．

3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．

【要点梳理】

要点一：几类函数模型的增长差异

一般地，对于指数函数(1)x

y a a =>和幂函数(0)y x α

α=>，通过探索可以发现，在区间

()0,+∞上，

无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，x a 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α

的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α

．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，

图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α

，但由于log a x 的增长慢于x α

的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有log a x x α<．

综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)x

y a a =>、(0)y x α

α=>和log (1)a y x a =>都是增函

数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)x

y a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x α

α=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存

在一个0x ，当0x x >时，就有log .x

a x x a α<<

三类函数模型增长规律的定性描述：

1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示：

要点诠释：

当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．

要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型

若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．

常用的函数模型有以下几类：

（1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<．

（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数

2(0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++>．

（3）指数函数模型

()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当1b >时，为快速增长模型；当01b <<时，

为平缓减少模型．

（4）对数函数模型

()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当1a >时，为平缓增长模型；当01a <<时，

为快速减少模型．

（5）反比例函数模型

(0)k

y k x

=

≠．

当0k >时，函数在区间(),0-∞和()0,+∞上都是减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数．

（6）分段函数模型

当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．

【典型例题】

类型一、研究函数的变化规律并比较其大小

例1．（1）已知函数2

()2x

f x x =-，分别求()f x 在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．

（2）比较2x 与x 2的大小关系．

（3）通过作图，比较2x 、x 2、log 2x 的大小关系．

举一反三：

【变式1】13

2

223log 5-，

，三个数中最大的数是 ． 类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型

例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下： 方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某市每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法，具体规定如下：

用电量（千瓦时） 电费（元|千瓦时）

不超过200的部分 0.56 超过200至300的部分

0.64

超过300的部分 0.96

解答以下问题：（1）写出每月电费y （元）与用电量x （千瓦时）的函数关系式； （2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？

例3．设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m （万元）与总支出n （万元）近似地满足下列关系：9124m x =

-，217

544

n x x =-++，当m ―n ≥0时，称不亏损企业；当m －n ＜0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．

（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？

（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？

举一反三： 【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）

例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？

A

B O x =t