[第3讲]容斥原理

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第三讲容斥原理讲解

第三讲容斥原理讲解
解决容斥原理（重叠问题）：
①个数重叠：
例：某班参加语文小组的有28人，参加数学小组的有29人，有12个人都参加了，参加语文或数学小组的有多少人？
解：28+29=57（人）
57-12=45（人）
答：参加语文或数学小组的有45人。

②长度重叠：
例：把长38厘米和35厘米的两根铁丝焊接在一起，已知焊接部分长4厘米，这根铁丝焊接后长多少厘米？
解：38+53=91（厘米）
91-4=87（厘米）
答：这根铁丝焊接后长87厘米。

③面积重叠：
已知OA=5cm，求两张纸片覆盖面积之
和？
解：5*5=25（平方厘米）
25*4=100（平方厘米）
100*2=200（平方厘米）
200-25=175（平方厘米）
答：两张纸片覆盖面积之和是175平方厘米。

公式：
A+B-C=X(总人数)。

容斥原理公式大全

容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中的一种重要方法，常常用于求解集合的并、交、差等问题。

它的应用范围非常广泛，涉及到概率论、数论、组合数学等多个领域。

在实际问题中，我们经常需要利用容斥原理来解决一些复杂的计数问题。

下面，我们将介绍容斥原理的相关公式，希望能够对大家有所帮助。

1. 两个集合的容斥原理公式。

对于两个集合A和B，它们的元素个数分别为|A|和|B|，那么它们的并集元素个数为|A∪B|，则有：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。

这个公式非常直观，它的意义在于，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去A和B的交集元素个数，这样得到的结果就是A和B的并集元素个数。

2. 三个集合的容斥原理公式。

对于三个集合A、B和C，它们的元素个数分别为|A|、|B|和|C|，那么它们的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

这个公式是两个集合容斥原理的推广，它的推导过程可以通过画Venn图来理解。

在实际问题中，我们经常会遇到三个集合的容斥原理的应用，比如在概率论中的概率计算问题。

3. n个集合的容斥原理公式。

对于n个集合A1、A2、...An，它们的并集元素个数为|A1∪A2∪...∪An|，则有：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。

这个公式是容斥原理的一般形式，它适用于任意个集合的情况。

在实际问题中，当我们需要求解多个集合的并集元素个数时，可以利用这个公式来进行计算。

4. 容斥原理的应用举例。

下面通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。

假设有一个集合A，它包含了1到100之间所有能被2、3或5整除的整数，我们需要求集合A的元素个数。

这个问题可以通过容斥原理来解决。

首先，分别求出能被2、3和5整除的整数的个数，然后分别两两求交集的个数，最后再求三者的交集的个数，然后代入容斥原理的公式，即可得到集合A的元素个数。

初中数学重点梳理：容斥原理

容斥原理知识定位在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。

它的基本形式是：记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A个，属于集合B 的东西有B个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有BA 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有BA 个，则有：B A =A +B -BA 。

知识梳理知识梳理1.容斥原理容斥原理可以用一个直观的图形来解释。

如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ，由图可知：B A =A +B -BA 。

容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。

例题精讲【试题来源】【题目】在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？【答案】67【解析】根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。

A BAB在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：200-100-66+33=67(个)【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。

【答案】1633【解析】1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633【知识点】容斥原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。

容斥原理三集合公式

容斥原理三集合公式容斥原理是概率论和组合数学中的一种重要方法，用于计算多个集合的并集和交集的元素个数。

在实际问题中，我们经常会遇到需要计算多个集合的并集或者交集的情况，而容斥原理可以帮助我们快速有效地解决这类问题。

容斥原理的基本思想是通过对各个集合的贡献进行逐个排除和补偿，最终得到所求的结果。

容斥原理的应用非常灵活，可以用于解决各种不同类型的问题。

其中，三集合公式是容斥原理的一个经典应用，它适用于计算三个集合的并集和交集的元素个数。

接下来，我们将详细介绍容斥原理三集合公式的推导和应用。

假设我们有三个集合 A、B 和 C，我们希望计算它们的并集和交集的元素个数。

根据容斥原理，我们可以得到如下的三集合公式：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，|B| 表示集合 B 的元素个数，|C| 表示集合 C 的元素个数，|A ∩ B| 表示集合 A 和集合B 的交集的元素个数，|A ∩ C| 表示集合 A 和集合C 的交集的元素个数，|B ∩ C| 表示集合 B 和集合 C 的交集的元素个数，|A∩ B ∩ C| 表示集合 A、B 和 C 的交集的元素个数。

通过这个公式，我们可以方便地计算三个集合的并集的元素个数。

首先，我们将三个集合各自的元素个数相加，然后减去两两集合的交集的元素个数，最后再加上三个集合的交集的元素个数，就可以得到并集的元素个数。

类似地，我们也可以利用三集合公式来计算三个集合的交集的元素个数。

只需要将公式中的并集符号改为交集符号，即可得到三个集合的交集的元素个数。

容斥原理三集合公式的推导并不复杂，但它在实际问题中的应用却非常广泛。

通过这个公式，我们可以轻松解决各种关于三个集合并集和交集的计算问题，为我们的工作和研究提供了便利。

总之，容斥原理三集合公式是概率论和组合数学中的重要工具，它可以帮助我们快速有效地计算三个集合的并集和交集的元素个数。

高中数学竞赛讲义-容斥原理

§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。

容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。

n阶集合的全部子集数目为。

例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。

那么，对于n=7。

求所有子集的“交替和”的总和。

2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。

化学数学都优秀8人。

这个班有5人任何一科都不优秀。

那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。

3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。

5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。

6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。

7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。

证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。

例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。

第3讲重叠问题(五培暑)

学校姓名成绩第3讲容斥原理例1、(l) -群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？(2)暑假里，小高和墨奠一起讨论金陵十八景他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景？(3)在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部中的一部动画片？练1、四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀其中语文成绩优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名同学？例2、渔乡小学举行长跑和游泳比赛，总共有60名同学参加. 只参加长跑比赛的人数是只参加游泳比赛人数的4倍，有10名同学两项比赛都参加了请问：只参加游泳而没参加长跑的同学有多少人？练2、某校参加数学竞赛和语文竞赛的同学总共有90名，只参加数学竞赛的人数是两项竞赛都参加的人数的5倍，其中12名同学两科竞赛都参加了，请问只参加语文竞赛的同学有多少人？例3、三位基金经理投资若干支股票张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支，张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支．请问：这三位经理一共买过多少支股票？练3、卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米和27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，而第一块和第三块则重叠了4平方分米如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少？例4、课间，王老师出了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2道题的人有6人，只答对第3道题的人有4人至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道题也没答对.(l)请问王老师的班上有多少名学生？(2)若既答对第】道又答对第2道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第3道题的同学有多少人？练4、高思学校有学生1 000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只订阅一种报刊的有600人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学校有多少人没有订报？选做题五年级一班有46名学生参加3项课外活动其中有二4人参加了数学小组．20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的4倍，又是3项活动都参加人数的8倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的3倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人请问参加文艺小组的人数是多少？。

数学———容斥原理

数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。

三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。

答案为A。

【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。

问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。

【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。

容斥原理及其应用

容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。

它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。

本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。

一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。

在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。

在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。

容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。

二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。

如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。

2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。

因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。

通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。

这就是容斥原理的基本推导过程。

接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。

假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。

2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。

这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。

容斥原理(数学技巧点拨系列)

容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。

例如在计数原理中使用间接法等等。

因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。

【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。

公务员考试数学运算：容斥原理和抽屉原理重难点讲解

2.容斥原理2——三个集合的容斥原理
如果被计Байду номын сангаас的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）
-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
2013国考行测暑期向前冲第六周系列3数学运算：容斥原理
和抽屉原理重难点讲解
容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算。中公教育专家在此进行详细解读。
一、容斥原理
在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示。公式：A∪B=A+B-A∩B
总数=两个圆内的-重合部分的
【示例一】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

容斥原理常识型公式

容斥原理常识型公式容斥原理在概率论和组合数学中被广泛应用，是一种用于计算交集的公式。

它的核心思想是通过减去所有可能的重叠部分来计算集合的总数，从而得到最终的结果。

容斥原理的正确应用能够避免重复计数，使问题的解决更加简洁和准确。

要理解容斥原理，首先需要了解集合的概念。

集合是由一些元素组成的整体，而容斥原理的目的就是计算多个集合的交集的元素个数。

假设有两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，那么根据容斥原理，A与B的并集元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数再减去A与B的交集元素个数。

使用数学符号来表示，即|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。

这个公式可以扩展到多个集合的情况。

假设有三个集合A、B和C，它们的交集表示为A∩B∩C，那么根据容斥原理，A、B和C的并集元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数加上C的元素个数，再减去A与B的交集元素个数，减去A与C的交集元素个数，减去B与C的交集元素个数，最后再加上A、B和C的交集元素个数。

使用数学符号表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C|。

通过依次减去和加上各个集合的交集元素个数，我们可以计算任意多个集合的并集元素个数。

容斥原理的应用不仅限于计算集合的元素个数，还可以用于计算集合的概率。

假设有两个事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么根据容斥原理，A或B发生的概率等于A发生的概率加上B发生的概率减去A与B同时发生的概率。

使用数学符号表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

同样地，容斥原理可以推广到多个事件的情况。

通过理解容斥原理，我们能够更加灵活地解决各种与集合有关的问题。

它可以帮助我们避免重复计数，减少工作量，提高计算的准确性。

在实际应用中，容斥原理被广泛运用于概率计算、组合数学、统计学等领域，并在解决集合问题中起到了重要的指导作用。

06容斥原理讲课版

第3章容斥原理The Inclusion-Exclusion Principle回顾前一章——鸽笼原理：本章重点介绍容斥原理及其在排列组合中的应用：•容斥原理•再论可重复r −组合•错排问题•有限制排列与棋盘多项式•反演基本形式推广定理Ramsey 定理||q S =,i i S A S P 设集合是上具有性质的元素集,令1121||||||||ni n i q A A A A ===+++∑L 21213112321||(||||||)(||||)||i j n i j nn n n q A A A A A A A A A A A A A A ≤<≤−==++++++++∑L L Lq= 3法三门例S a a a A A A S=L 解令用分别表示中的学生选修日、德、法各种外语的学生集合.则 0||30,q S ==1123||||||15141443,q A A A =++=++=2q =++=++=3123||3,q A A A ==012330431933N q q q q −+−=−+−=[0]=1112233[1]432193314N q C q C q =−+=−×+×=2233[2]193310N q C q =−=−×=3[3]3N q ==3,14,10,3故不选修外语的学生有人分别选修一、二、三门外语的学生各有人人人.§3.2 重集的r−组合在§1.3中介绍了重集B={k1*b1, k2*b2, … , k n*b n}在重数k i= ∞ (i=1,2,…,n)与在重数k i≥r(i=1,2,…,n)时的r−组合数是相同的，下面以实例说明当重集B的元素具有任意给定的重数时，利用容斥原理求B的r−组合数。

§1.3 组合定理1.7课本p43定理2.5.11.3.2 重复组合r 个无区别的球放入n 证明：这是一个允许重复组合的典型问题。

数学教案 4年级-3 简单的容斥原理

2
统计语文满分时这 4 人又被统计了一次。那这四人就变成了“8 人“，我们该怎么办？（2）学生思考（3）反馈交流生：应该减掉 4 人师：怎样减？生：把数学满分的 25 人加上语文的 22 人，这样多算了 4 人，再减去 4 人。
师：是这样吗：师：他的想法棒不棒？生：棒，我也是这样想的师：能完成解答吗？生：能（4）学生完成算式和答话 [课件演示验证结果：解析答案：25+22－4=43(人)
25 人，那么参加语文，数学两科竞赛的有多少人？] （1）学生读题，寻找题中的信息师：这个题目中 56 人包括哪几种情况？生：有只参加一科的，有两科都参加的，还有两科都没有参加的。师：你能试着画出图示吗？（2）学生尝试完成图示，老师巡视师：从刚才同学画图的时候，我发现了一个问题，有的学生不知道两科都没有参加的 25 人该怎么
现在你能完成这个题目的解答吗？师：这两种理解你学会了吗？我要考考大家啦。 [巩固练习：大胆闯关第 3 题：
一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的有 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？] （1）学生读题，分析题意，获取信息（2）学生尝试解答，老师巡视（3）和自己的同桌交流自己的想法（4）点两名学生在班上说出自己的思路和解答师：虽然上面的问题越来越复杂，但是因为同学善于思考，不怕困难，学会了把复杂的问题简单化，所以老师相信再复杂的问题也是难不到同学们。师：为了让同学们能有更愉悦的心情面对艰巨的学习任务，皮皮学校决定开展多姿多彩的课余生活。周末，皮皮学校举办了一场画展，看看有哪些学生的画被展示了出来。 [课件出示画展画面,附上例 4 题目：
6

容斥原理

10厘米
当堂反馈2：
五（1）有50人，参加数学课外小组的有35人，参加语文课外小组的有30人，每人至少参加数学、语文中的一个组。问两个组都参加的有多少人？
分析：用数形结合的办法先画出图形再作解答。
参加两个课外小组的共有多少人？为什么这个人数比全班人数还多？
30+35－50＝15（人）
例3 64名小学生都订了语文、数学、科技报纸中的至少一种，其中订数学报的有28人，订语文报的有41人，订科技报的有20人，同时订语文、数学报的有10人，同时订数学、科技报的有12人，同时订语文、科技报的有12人，问：3种报纸都订的有多少人？分析：用数形结合的办法先画出图形再作解答。
分析：用数形结合的办法，先根据题意画出
线段图，看图，参加竞赛的人数应该怎样求？
做对二36人
8人
竞赛人数？
做对一24人
24+36－8＝52（人）答：参加竞赛的有52人。
当堂反馈1：
五（3）班学生在期中考试时，语文得 100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都得100分的有6人，五（3）班参加语文、数学考试中至少有1门得100分的共有多少人？分析：五（3）班参加语文、数学考试至少有1门得100分的人数等于语文得100分的人数加上数学得100分的人数。这里面有没有重复算的？重复算的人数要不要从中减去？ 12+17－6＝23（人）
解：10000÷5＝2000（个） 1000）……25
2000+1428－285＝3143（个）
当堂反馈4：
在1－1000的自然数中，能被5或9整除的数共有多少个？（1）在1－1000的自然数中，5的倍数有多少个？ 1000÷5=200（个）（2）在1－1000的自然数中， 9的倍数有多少个？ 1000÷9=111（个）……1

三项容斥原理公式

三项容斥原理公式好的，以下是为您生成的关于“三项容斥原理公式”的文章：在数学的奇妙世界里，容斥原理就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开很多看似复杂的谜题。

今天咱们就来好好聊聊三项容斥原理公式。

先给大家讲讲啥是容斥原理。

想象一下，咱们有三个盒子，盒子 A 里装着红色的球，盒子 B 里装着蓝色的球，盒子 C 里装着绿色的球。

我们想知道这三个盒子里一共有多少个球，但有些球可能同时在两个甚至三个盒子里。

这时候容斥原理就派上用场啦。

三项容斥原理公式可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| -|A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C| 。

看起来是不是有点复杂？别担心，咱们来一个个解释。

|A| 就表示盒子 A 里球的数量，|B| 表示盒子 B 里球的数量，|C| 表示盒子 C 里球的数量。

|A∩B| 呢，就是既在盒子 A 又在盒子 B 里的球的数量，|A∩C| 是既在盒子 A 又在盒子 C 里的球的数量，|B∩C| 是既在盒子 B 又在盒子 C 里的球的数量。

最后，|A∩B∩C| 就是同时在三个盒子里的球的数量。

我给大家举个实际的例子吧。

比如说咱们学校组织了三种兴趣小组，分别是数学小组、语文小组和英语小组。

参加数学小组的有 50 人，参加语文小组的有 40 人，参加英语小组的有 30 人。

其中既参加数学小组又参加语文小组的有 15 人，既参加数学小组又参加英语小组的有 10人，既参加语文小组又参加英语小组的有 8 人，而三个小组都参加的有 3 人。

那咱们来算算一共有多少同学参加了至少一个兴趣小组。

按照三项容斥原理公式，就是 50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 3 = 90（人）。

咱们再仔细想想这个过程。

就好像我们在统计同学们的选择时，一开始把每个小组的人数都单独算进去，但是这样就把重复参加的同学多算了，所以要减去两两重复的部分。

可这样一减，三个小组都参加的同学又被减多了，所以最后还得把他们加回来。

容斥原理的计数思想和应用

容斥原理的计数思想和应用1. 什么是容斥原理容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法。

它用于解决计数问题，特别是包含多个集合的计数问题。

容斥原理基于集合的概念，通过对某个集合的元素进行分类计数并减去重复计数的部分，从而得到准确的计数结果。

2. 容斥原理的推导容斥原理的推导可以通过一个简单的例子来说明。

假设有三个集合A、B和C，我们想计算这三个集合的并集中元素的个数。

如果直接将这三个集合的元素个数相加，会得到一个错误的结果，因为这样计算会将重复出现的元素计算多次。

根据容斥原理，我们应该先计算每个集合的元素个数，然后减去所有两个集合的交集的元素个数，最后再加上所有三个集合的交集的元素个数。

用公式表示，即为：$|A \\cup B \\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \\cap B| - |A \\cap C| - |B \\cap C| + |A \\cap B \\cap C|$这个公式就是容斥原理的基本形式。

3. 容斥原理的应用容斥原理在实际问题中有着广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景。

3.1. 二元关系的计数容斥原理可以用于计算二元关系的个数。

假设有n个人参加了某个活动，我们想知道其中互不相识的人对数目。

可以将每个人作为一个集合，然后根据容斥原理计算它们的并集的个数。

3.2. 排列组合问题的计数容斥原理可以用于解决排列组合问题中的计数问题。

例如，如果要计算n个元素的集合中满足某些条件的子集个数，可以使用容斥原理来计算。

3.3. 概率计算容斥原理可以用于计算概率。

例如，如果想计算同时满足A、B和C事件发生的概率，可以使用容斥原理计算。

3.4. 数论问题的计数容斥原理在数论问题中也有广泛的应用。

例如，计算整数集合中满足某些条件的整数个数，可以使用容斥原理来计算。

4. 容斥原理的限制容斥原理是一种强大的计数方法，但也有一些限制。

首先，容斥原理只适用于有限个集合的计数问题，对于无限集合的计数问题无法使用。

行测理-容斥原理(标准含讲解过程)

2.图解法求只A/只B，在公式中没有——>画图（从里向外、注意去重）
......
容斥原理
x = 34
容斥原理
◆例题5◆
某研究室有 12 人，其中 7 人会英语，7 人会德语，6 人会法语，4 人既会英语又
会德语，3 人既会英语又会法语，2 人既会德语又会法语，1 人三种语言都会。会且只
会一种语言的有多少人？
A.8
B.4
√C.5
D.6
A+B+C -A∩B-B∩C-A∩C +A∩B∩C=全-都不 A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
B.15
C.5
100
√D.3
A + B- A∩B = 全 - 都不
15 73 ？
图解法：
都=88-15 =73
?=76-73 =3
求只A/只B，在公式中没有——>画图
容斥原理
2.三集合
标准型公式：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=全-都不
B
A
+2 -1
+3 -1
-1 -1
+2 -1
+2 -1
2.三集合
非标准型公式：A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
B
满足两项：只具有其中两个属性（灰色区域）
A
+2
+3
+2
+2
A+B+C - 满足两项 - 满足三项×2 +都不 = 全 A+B+C-满足两项 - 满足三项×2=全-都不
C
都不