浙江省2019年慈溪中学高考适应性测试数学试题(PDF)

所以 3 2 7 2 0 ，因为 0 1，所以 1 ，故 PQ 1 . 3 PD 3
a2 ( n 1) 20.(Ⅰ)因为
3 2

1 3
a2n1

(2n

1)

3 2

1 3
(a2n
6n) (2n 1) 3 2

1 3
a2
n
1 2

1，
a2n
(Ⅰ)求证：数列 {a2 n

3} 2
是等比数列；
(Ⅱ)设 Sn 是数列{an} 的前 n 项和，求满足 Sn 0 的所有正整数 n ．
21.(本小题满分
15
分)如图所示，椭圆
C
：
x a
2 2

y2 b2
1(a b
0) 的离心率为 1 2
，左、右焦点分别为 F1, F2 ，
椭圆 C 过点 (0, 3) ， T 为直线 x 4 上的动点，过点 T 作椭圆 C 的切线 TA ， TB ， A ， B 为切点.
即 2sin2 C cos2 C 2 2 sin C cos C sin2 C cos2 C
所以 sin2 C 2 2 sin C cos C 0 ，
又 sin C 0 ，所以 sin C 2 2 cos C ，故 tan C 2 2 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， cos C 1 ， sin C 2 2 ，
B. θ β
C.存在直线 EF ，使得 θ 50 D.存在直线 EF ，使得 β 50
9.若
a,b

R
，且当

x y
1, 1
时，恒有
ax

2by

2
成立，则以
a,
b
为坐标的点
P(a,b) 所形成的平面区域的面积为
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
10.若等边△ABC 的边长为 2 ，顶点 B,C 分别在 x 轴、 y 轴的非负半轴上滑动，
3
3
又 S△ABC

1 ab sinC 2

2 ab 3 3
2 ，所以 ab 9 .
因为 c2 a2 b2 2ab cosC ，
所以 24 a2 b2 2 ab (a b)2 4 ab (a b)2 12 ，
3
3
所以 (a b)2 36 ，故 a b 6 .
y

z

0.
A
微信公O众号Q：数学P 那玩C意
B y
取
x

1
，得
y z

0,
3,
所以
n

(1,
0,

3) ，
由于直线 CQ 与平面 BCD 所成角的正弦值为
6
，设
PQ

PD
(0



1)
，
8



B. {3, 5}
C.{1, 2, 4}
D.{1, 4,5}
2.已知 a,b R ， p ： a a b b ， q ： a b ，则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数
f
(x)

ln x ex
的大致图像是
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
2019 年慈溪中学高考适应性测试数学试题
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的. 1.若全集U {1, 2,3, 4,5} , A {1, 2} , B {2, 4} ,则 ðU ( A B)
A. {2, 5}
(Ⅰ)求证： A ， F2 ， B 三点共线； (Ⅱ)过点 F2 作一条直线与曲线 C 交于 P,Q 两点．过 P,Q 作直线 x 4 的垂线，垂足依次为 M , N ． 求证：直线 PN 与 MQ 交于定点．
22.(本小题满分 15 分)已知函数 f (x) (x 2)ex 1 ax3 1 ax2 ， a R .
因为 CP ( 3,1, 0) ， PD (0, 1,1) ，所以 CQ CP PQ CP PD ( 3,1 , ) .
设直线 CQ 与平面 BCD 所成角为 ，则
sin CQn
3(1 ) 6 ，
| CQ | | n | 2 2 2 2 4 8
率分别为 e1, e2 ，则
1 e12

1 e22

A. 3
B. 2
C. 3
D. 5
2
2
7.将函数 f (x) 2sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 ，纵坐标不变，然后向左平移 个单位长度，
2
6
得到 g(x) 图象，若关于 x 的方程 g(x) a 在 [ , ] 上有两个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是 44
A. [2, 2]
B. [1, 2)
C.[2, 2)
D. [1, 2)
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E 在棱 AB 上运动，点 F 在
对角线 BD1 上运动，设直线 EF 与平面 ABCD 所成的角为 ，
直线 EF 与平面 BDD1 所成的角为 β ，则
A. θ β
2[1 (1)2 (1)3 (1)n ] 6(1 2 3 n) 9n
33 3
3

2
1 [1 3
(1)n] 3

6
n(n
1)

9
n
1 1
2
3
(1)n 1 3n2 6n 3
(1)n 3(n 1)2 2 3
12. 64 , 40
13. 2 ， x x 1或0 x 1
15. x 2y 3 0 16. 60 三、解答题
17. 2 1 2
18.(Ⅰ)(方法一)由

2 sin C sin2 C
cos C 1, cos2 C 1,
消去 cosC 得
sin2 C (1 2 sin C)2 1 ， 即 3sin2 C 2 2 sin C 0 ，
18.(本小题满分 14 分)在 △ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 2 sin C cos C 1 . (Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若△ABC 的面积为 3 2 ，且 c 2 6 ，求 a b 的值.
19.(本小题满分 15 分)在四面体 D ABC 中， 1 AB AD CD 2 ， BD 2 2 ， AC 2 3 ， BC AC . 2

3 2
a2n

3 2
a2n

3 2
a2n

3 2
3
所以数列 {a2n

3} 2
是以
a2

3 2


1 6
为首项，
1 3
为公比的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a2n

3 2

1 6
(1)n1 3

1 2
(1)n 3
，则
a2n


1 2
(1)n 3

3 2
；
由
a2n

1 3
a2n1

(2n
1)
，得
a2n1

3a2n

3(2n
1)


1 2
(1)n1 3

6n

15 2
，
故
a2n1

a2n

1 2
[( 1 )n1 3

(1)n ] 6n 9 3

2(1)n 3
6n 9 ，
所以 S2n (a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2n1 a2n )
(Ⅰ)求证： BC 平面 ACD ；
(Ⅱ)设 P 是 AB 中点，点 Q 在线段 PD 上，若直线 CQ 与平面 BCD 所成角的正弦值为
6 ，求 PQ 的值．
8
PD
D
Q
C
A
P
B
20.(本小题满分
15
分)已知数列 {an}
中，
a1

1，
an1

1

3
an

n,
an 3n,
n为奇数, n N* . n为偶数，
A. 2 2
B. 2
C. 3 2 2
D. 6 4
5.若无穷数列{an} 的通项公式为 an n n ， n N* ，则数列 an 的项中
A.有最小项，无最大项
B.有最大项，无最小项
C.既有最小项，也有最大项
D.既无最小项，也无最大项
6.若椭圆、双曲线均是以直角三角形 ABC 的斜边 AC 的两端点为焦点的曲线，且都过 B 点，它们的离心
现象的模型.它是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行，水平
间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，
微信公众号：数学那玩意
一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔
的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落
， z
.
12.在 (1 2 x)6 的展开式中，所有项的系数和为 x
， x3 项的系数为________．
13.若函数
f
(x)

2x x,

x, x 1, x 1,
则满足 f ( f (x)) 2 的 x
，
不等式 f (x) f ( 1) 的解集是
．
x
14.如图,高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机
因为 AD CD 2 ， AC 2 3 ，取 AC 中点 O ，
连 OD ， OP ，则 DO AC ， OP AC ，
所以 DO 平面 ABC .
z
建立如图的空间直角坐标系 O xyz ，
D
其中 O(0, 0, 0) ， D(0, 0,1) ， C( 3, 0, 0) ， B( 3, 2, 0) ，


所以 BD ( 3, 2,1) ， CB (0, 2, 0) .
设平面 BCD 的一个法向量为 n (x, y, z) ，
x
因为
n n

CB BD
，所以
nnCBDB

0 0
，即
2
y 0, 3x 2
3
2
(Ⅰ)若 a 1 时，求证：当 x 1 时， f (x) 3 x2 3 x 2 ；
2
42
(Ⅱ)若函数 f (x) 有 4 个零点，求实数 a 的取值范围.
2019 年慈溪中学高考适应性测试数学试题参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
A
A
C
D
B
D
A
B
二、填空题 11. 5 ，1 2i
方程是
.
16.某公司销售部派 5 人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市工作，要求每个城市都有人去，每人
只去一个城市，且在这 5 人中甲、乙不去广州，则不同的分派方案共有
种.(用数字作答)
17.若正实数
a,
b,
c
满足
a(a

b

c)

bc
，则
b
a
c
的最大值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
M 为 AB 的中点，则 OA OM 的最大值是
A. 9
B. 5 7
C. 4 3
D. 3 5
2Hale Waihona Puke Baidu
2
二、填空题：本大题共 7 小题,多空题每题 6 分，单空题每题 4 分,共 36 分.
11.已知复数 z 满足 z 1 i 3 i (其中 i 为虚数单位），则 z 的值为
显然，当 n N* 时， {S2n} 单调递减，
14. 1 ，1 16
所以 sin C 2 2 或 sin C 0 (舍去). 3
把 sin C 2 2 代入 2 sin C cos C 1 得 cos C 1 ，
3
3
所以 tan C 2 2 .
(方法二)由 2 sin C cos C 1 两边平方得，
2sin2 C cos2 C 2 2 sin C cos C 1 ，
19.(Ⅰ)因为 BC AC ， AB 4 ， AC 2 3 ， 所以 BC 2 .
又 BC 2 CD2 BD2 ，所以 BC CD .
BC AC,
由

BC

CD,
得 BC 平面 ACD .
AC CD C ,
（Ⅱ）由于 BC 平面 ACD ， BC 平面 ABC ， 所以平面 ABC 平面 ACD .
下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的 5 个出口处各放置
一个容器接住小球．那么，小球落入1 号容器的概率是
，若取 4 个小球进行试验，设其中落入
4 号容器的小球个数为 x ，则 x 的数学期望是
.
15.已知圆 C ： (x 2)2 y2 9 ，点 P 是圆 C 上的动点，点 M (1, 2) ，当 MPC 最大时， PM 所在直线的