高等数学 上交大 课件 PPT 第十章 重 积 分

在D 上二重积分不存在 .
D 1x
DMU
第一节 二重积分
注：如果 f (x, y) 在D上可积,可用平行坐标轴的直线
来划分区域D 时,
因此面积元素
也常记作 dxdy, 二重积分记作 y
f (x, y) dxd y.
D
引例1中曲顶柱体体积:
V f (x, y) d f (x, y)dxdy
y d
y 2(x)
x
y c
1(
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 , 则
D
D1
D2
D3
DMU
y
D2
D1
D3
o
x
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算 I x y d , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D2
为D 的面积, 则
1d d
D
D
DMU
第一节 二重积分
(5) 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
f (x, y) d (x, y) d
D
D
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
f (x, y)d f (x, y) d
D
D
(6) 设
D
DLeabharlann Baidu
引例2中平面薄板的质量:
D
x k
M (x, y) d (x, y)dxdy
D
D
DMU
第一节 二重积分
•二重积分的性质
(1) k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)
D
D
(3) f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d
D
D1
因此取D 为X - 型域 :
0 y x D : 0 x π
sin x dxd y
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
y yx
D xπ
o
πx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 交换下列积分顺序
2
x2
o 22 2 x
I
f (x, y)dxdy
2
dy
8 y2
f (x, y)dx
D
0
2y
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例
F(t)
t
dy
t f (x)dx,求 : F ' (t), F ' (2).
1
y
解
t
x
F (t) dx f (x)dy
1
1
（交换积分次序）
t
1 (x 1) f (x)dx
第一节 二重积分
二重积分存在定理 (证明略)
定理 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在D : x y
0 x 1 0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 O x y
1
(
y)
a 1(x)
c
x 2(y)
o
若 D (x, y) 1( y) x 2 ( y), c y d
x
则其体积可按如下两次积分计算
V
f (x, y) d
d
[
2 ( y)
f (x, y) dx
]d y
D
c 1( y)
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
说明: (1) 若D为 X - 型区域
b
b
b
(1)a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
b
b
(2)a kf (x)dx k a f (x)dx
DMU
第一节 二重积分
•定积分的概念和性质
(3) 区间可加性:
b
f (x)dx
c
f (x)dx
b
f (x)dx
a
a
c
b
(4)a dx b a
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解 积分域由两部分组成:
D1
:
0
y 0
1 2
x
x2, 2
D2
:
0
2
y
x
8 2
x2 2
2
y
x2 y2 8
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
D
:
2y x 0 y2
8 y2
y
1 2
x2 D1 D2
解
I
D
f
f (x) dxdy (x) f (y)
（轮换对称）
=1 2
D
f
f (x) (x) f (y)
D
f
f (x)
(x) f
(
y)
dxdy
1 f (x)
D
:
0
y
R2 x2
oR
y
0 x R 则所求体积为
x
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 I
f (x) dxdy (f (x) 0, D : x2 y2 R2 ).
D f (x) f ( y)
•定积分的概念和性质
1.定积分的引入：几何，曲边梯形的面积 ； 变速直线运动位移等.
2.定积分的定义：
b
n
f (x)dx lim f
a
0 i1
i xi
( f (x)在[a,b]上有界)
（1）化整为零，（2）以不变代变，
（3）做乘求和取极限.
3.定积分的性质： f (x), g(x)在[a,b]上可积
则I 2 f (x, y)d ,其中D2 (x, y) D : y 0
D2
即D2为D的位于x轴上边的那部分
3.设D关于原点对称则：
(1)若对任意点(x,y) D均有f( x, y) f(x,y),则I 0
(2)若对任意点(x, y) D均有f (x, y) f (x, y)
则I 2 f (x, y)d 2 f (x, y)d , 其中D1, D2如上定义
•二重积分的定义及可积性
定义 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域
DMU
被积函数
面积元素
y y 2(x) D
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx d y
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
D
即先对y后对x积分
y d
x 2(y)
(2)
若D为Y
-型区域
D
:
1(
y) c
x 2(y)
yd
y
x 1(y)
则
c
d dy
D1
D2
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
4.设D关于直线y=x对称（轮换对称），则：
(1) f (x, y)d f (y, x)d
D
D
(2)如果f (x, y) f ( y, x) 则 I 0
(3)如果f (x, y) f ( y, x) 则I 2 f (x, y)d D3 其中D3 {(x, y) D, y x)}
D 的面积为 ,
则有 m f (x, y)d M D
(7)(二重积分的中值定理)
在闭区域D上
连续, 为D 的面积 ,则 f (x, y)d f (, ) , D
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
直角坐标系下化为二次积分
设
则
z y 2(x)
y
表示以曲面
为顶的曲
D
顶柱体体积.如图所示.
DMU
第一节 二重积分
•定积分的概念和性质
4.平面图形的面积
5.平行截面面积已知的立体体积：
b
V a s(x)dx
y
s(x)
y
x
a bx
DMU
第一节 二重积分
•引例
1.曲顶柱体的体积
曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 ,
母线平行于 z 轴的柱面. 求体积: “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
o
x
即先对x后对y积分
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
则有 f (x, y) dx d y
Db
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
(5)比较:f (x) g(x)
x [a,b]
则 b f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
(6)估值:m f (x) M
x [a,b]
则m(b-a)
b
f (x)dx M (b a)
a
(7)中值 : f (x)在[a,b]连续,则 b f(x)dx f( )(b a) a [a,b]或 (b-a)
解法1
y＝x 所围D的闭区域. 将D看作X-型区域, 则
D
:
11
y x
x 2
I
2
dx
x xyd y
2
11
1
1 2
x
y2
xd x 1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2 将D看作Y-型区域, 则
D
:
y 1
x y
2 2
y y2 y x 1
o 1 x 2x
2
I dy
k 1
DMU
D
k
第一节 二重积分
4)“取极限”
(k )
( k ) max P1P2 P1,P2 k
令 max ( k ) 1k n n
y D
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
2. 平面薄片的质量
x
设D 的面积为 ,则 M
若
非常数 , 仍可用“大化小, 常代变,近似和, 求 极限
t
F ' (t) (t 1) f (t)
1 (1,1)
F ' (2) f (2)
t
0
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
利用对称性计算二重积分 1.设D关于y对称则： (1)若对任意一点(x, y) D均有f (x, y) f (x, y),则I 0
(2)若对任意点(x, y) D均有f (x, y) f (x, y)
2(x0) o a x0 b x
设曲顶柱的底为
D
(
x,
y)
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
1(x0 )
任取
平面
截柱体的
y 1(x)
截面积为
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
故曲顶柱体体积为
y
V
b
[
f
D
2
(x,
(x)
y)
f
d (x,y)
d
b a
y
A( x)d ]d x
x
x
d
y
DMU
第一节 二重积分
1)“大化小”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
f (k , k )
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
小曲顶柱体
(k ,k )
2)“常代变”
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
第十章 重积分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
DMU
第十章 重积分
第一节 二重积分 第二节 直角坐标系中二重积分的计算 第三节 极坐标系及一般曲线坐标系中二重积分的计算 第四节 二重积分的应用 第五节 三重积分（一） 第六节 三重积分（二） 第七节 含参变量的积分
DMU
第一节 二重积分
1
y2xyd x
2 1
1 2
x
2
y
2dy
y
2 1
2y
1 2
y3
dy 9 8
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算 x y d , 其中D 是抛物线
及直线
D
所围成的闭区域. 解 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
y
2 y2 x y
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
例 计算二重积分
exyds 其中D {(x, y) x y 1}
D
答案为 e e1
-1
1
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
则I 2 f (x, y)d ,其中D1 (x, y) D : x 0
D1
即D1为D的位于y轴右边的那部分
2.设D关于x轴对称则：
(1)若对任意点(x, y) D均有f (x, y) f (x, y),则I 0
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
(2)若对任意点(x, y) D均有f (x, y) f (x, y)
2 y2
x y d 1dyy2 xy d x
D
2 1
1 2
x2
y
y2 d y 1
y2
2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算 sin x dxd y, 其中D 是直线
Dx
所围成的闭区域. 解 由被积函数可知,先对 x 积分不行,
1)“大化小” 分D 为 n 个小”区域 1, 2, , n ,
DMU
第一节 二重积分
2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),
3)“近似和”
n
(k , k ) k
k 1
4)“取极限”
令
max(
1k n
k
)
n
M
lim
0
k
1
(
k
,
k
)
k
DMU
y
(k ,k )
x k
第一节 二重积分