4第三章发展型模型方程的有限差分和有限体积方法
有限体积方法
有限体积方法引言有限体积法(FVM)是在物理空间上积分形式的守恒方程进行直接离散的数值方法。
与有限差分方法相比有限体积方法更具有一般性，适用于任意形式的网格，结构网格与非结构网格均适用。
有限体积法是一种基于将CFD中最基本的量在单元内的平均值，这是与有限差分及有限元方法区别的地方，后边两种方法的数值量都取为在网格点上。
FVM方法一个重要优势是跟守恒性离散这个重要的概念联系起来，它可以自动满足具有守恒性的离散。
另一个优点就是适用于任意的网格。
5．1 守恒性离散对于量U守恒律的一般积分形式可以由式(1.1.1)给出如下将上式的最终表面源项合并到通量项中得到该表达式的基本特点是存在表面积分以及在体积内U的时间变化只依赖于表面上的通量. 如图5.1.1所示可将一个体积元分解成三个亚体元,对于每个亚体元写出守恒律表达式将这些表面积分进行加和,内部线ADB以及DE总是两次出现,但是方向相反,将三部分积分守恒律相加,这些内部的贡献量就会抵消,只剩下外边界的贡献量.例如,对于有一个通量的贡献量而对于也有一个相似的项:这样这两项相加就可以抵消. 故要保证格式是守恒的,通量的数值离散必须满足这样一个基本性质.下面我们以一维守恒律的情形来说明这个问题结合图5.1.2来说明这个问题其中f是矢量通量的x方向分量, 参考上图, 定义一个一维有限体积网格,并把中间点定义为“单元面”. 例如, 对于元(i), 单元面就是i-1/2与i+1/2的中点.对该有限体积网格应用中心差分, 在i, i+1与i-1点处分别离散得到将以上三个方程加和就得到了与元AB(i-3/2, i+3/2)上的守恒律相容的离散方程,即从上式可以看出内部点的通量贡献已经抵消掉. 有时这种特性称为通量项的“telescoping property”, 对于元AB, 只考虑中间点i(不考虑i-1与i+1点),则离散形式可以直接写为从 5.1.7的两式对比中, 我们可以看到通量部分的离散具有统一的形式, 这就是我们所要强调的守恒的特性.如果我们要考虑方程(5.1.3)的非守恒形式, 则通量的导数就可以写为其中, a(u)为Jacobian函数, , 故非守恒形式可以写为利用图5.1.2所示的有限体积网格, 对非守恒形式在i点应用二阶中心差分得到其中是的值.同样,对于i+1点以及i-1点有,将9式中三个离散式子进行加和得到参考5.1.7b, 将5.1.8式直接在AB上进行离散,可得我们发现5.1.10a右边由元AB内部点贡献的通量部分并不能互相抵消掉, 表现出源项的特点,这导致计算机程序不能将之与物理源项相区分, 故非守恒形式的离散会产生内部源.这些项被认为在网格点处展开为一项的二阶形式. 在连续流情况下可以忽略它, 但是对于计算非连续流动,比如流动中有激波产生, 就会产生巨大的误差. 数值实验显示非守恒形式比守恒形式的精度更低,尤其是在遇到梯度大的地方,由于数值源项的存在会产生更大的误差.5.1.1 守恒的离散化的正式表示方法对于5.1.3式,如果离散成如下的形式就可以满足守恒性要求,为数值通量, 其为u在(2k)个邻域内点的函数.此外, 方程5.1.11与原方程相容性要求当所有的均相等时,有这些都可以直接推广到多维的情形, 以上条件必须分别对矢量通量的所有分量均成立.定理: 当趋近于0时,若离散方程5.1.11的解几乎处处收敛于某个函数值, 则是方程 5.1.3的弱解(可以存在有限个间断——Rankine-Hugoniot条件)5.2 有限体积方法基础有限体积方法是积分形式的守恒律方程的直接离散,这是有限体积方法与有限差分方法最大的区别,由于积分形式是守恒律的最一般的表达式,它不要求通量一定是连续的,这就是有限体积方法接近真实流动的原因.FVM需要按以下步骤来构建:1.划分网格,由空间离散得到有限体积,一个控制体积与每一个网格点都相关联2.在每一个有限体积上应用积分形式的守恒律.有限体积选择的条件由于具有普遍性,有限体积方法能够适用于任何类型的网格,结构与非结构.单元居中的方法: 未知量定义在网格单元的中心,网格线定义了有限体积及表面积, 此处, 变量与单元相关,如图5.2.1a及c. 流动变量是在整个单元的平均值, 可以认为是单元内部某些有代表性点的值, 例如单元中心点.单元顶点的方法: 未知量定义在网格角上,此处变量与网格点相关,例如单元顶点, 如图5.2.1b,d所示在相容的有限体积方法的体积的选择上,以下的限制条件必须得到满足:(i)它们的总数应该覆盖整个区域(ii)亚区域是允许重叠的,条件是表面的每一部分作为一个偶数个不同亚区域的部分而出现,这样整体的总积分守恒律就适用于任何相邻亚区域的组合域.(iii)通量沿单元表面必须由不依赖于当地单元的公式来计算.(iii)确保了守恒特性的满足,因为通量的内部边界的贡献量会抵消掉(相关的有限体积相加之后)5.2.2 有限体积离散的定义将积分型守恒律应用到每一个控制体积, 关联到网格点J, 因此对于依附于该点或单元上未知量的离散化方程可定义为:该方法的优点(对于无源项方程尤其有优势)是通量只在二维表面上计算,而不是三维空间中. 5.2.1可由其离散形式代替,对于参考图5.2.1a对于单元1(i, j), 用统一表示, 是ABCD面. 通量项在4条边AB, BC, CD, DA求和.式(5.2.2) 说明了有限体积法与有限差分及有限元法区别的一些重要特性: 1.点J的坐标是变量的准确位置,在控制体积内它将不会明确的标出.因此在控制体内联结到一个固定点,将之看作是整个控制元上该流动变量U的一个平均值(图5.2.1a). 5.2.2式中第一项代表在选定的控制体积上流动变量的平均值的时间变化率.2.网格坐标只出现在确定的单元体积以及侧面上. 因此, 参照图5.2.1a, 考察点1的控制元ABCD只有A,B,C,D的坐标将是需要用到的.3.当不存在源项的时候,有限体积方程式表示时间间隔内U的平均值变化等于相邻单元之间通量的交换量,对稳态流动,得到的数值解是通量进入控制体平衡的结果, 即例子: 图5.2.1a中AB面,对于1则通量贡献量为正,而8则为负.4. 有限体积也允许边界条件的自然引入, 例如固壁, 法向分量为0, 对连续方程. 在固壁处. 因此对(5.2.2)及(5.2.3)的相应的贡献变为0.5.2.3 数值格式的一般表达式假设守恒律的积分形式(5.2.1)对于控制体积, 从到进行积分有,引入单元平均守恒变量, 在时间的源, 单元与时间平均源, 以及每个边上的数值通量, 分别定义如下守恒的离散化采用如下形式:其中与任何网格点无关, 它是整个单元上的平均. 为了在离散化的水平上实现守恒,在给定的单元面上的数值通量的估计必须独立于其所属的单元.如果考虑空间离散完全由其数值通量来定义,时间积分项暂不处理,则以上的数值方法就会得到其一般形式. 一个一般的数值格式可以定义为对时间的常微分方程为定义残差为整个单元上的通量平衡减去源项贡献. 5.2.6是5.2.7的时间的向前差分,也有其他的时间离散方法,例如龙格-库塔法.守恒性条件可选择的公式在任意数量的单元上对5.1.2进行展开, J=1-N. 对所有的单元进行加和,削去所有单元内表面的贡献项得,定义为在整个单元的平均值,该格式的守恒性要求,在每一个时间步,如下的条件要得到满足,边界以及源项5.3 有限体积方法的实际应用5.3.1 二维有限体积方法如图5.2.1a,考察控制单元ABCD, 方程5.2.1可写为f, g为矢量通量F的直角坐标分量,对边AB,表面矢量可定义为对于单元,可以得到有限体积方程ABCD展开求和包括ABCD的四条边,对于一般的四边形,面积可由对角线矢量乘积表示,如图5.3.1, 平行四边形1234的面积是ABCD的两倍,因此, 为点A的位置矢量.对于单元ABCD,上式右边为正.通过单元表面通量的计算沿侧边通量分量,如的计算(a)对于中心离散格式以及单元中心化的有限体积方法,有以下做法:1.通量平均2.由于通量分量一般是U的线性函数,以下的式子与5.3.5不等价3.将取为通量在A及B处的平均这里,可以在A及B处求变量的值, 例如以及也可以进行通量的直接平均, 例如:可以看到, 5.3.7与5.3.10比5.3.8与5.3.11需要更少的通量计算(b)对于中心格式及单元-顶点的有限体积方法:5.3.7, 5.3.8是对通量的直接近似, 5.3.8是对应着对积分梯形公式的应用通过加和在单元ABCD四个边积分的贡献量(如图5.2.1b), 可以得到例子: 在笛卡儿网格下的中心离散格式. 在笛卡儿坐标, 均匀网格下,上述有限体积公式与有限差分的公式是一致的. 由可以得到(此处记, 同样其他的量也采用类似的记法)两边除以可以得到中心差分格式将5.3.5式应用到图5.2.1a, 方程E5.3.3变为而由5.3.8与5.3.11将推出如下的公式(c)单元-中心化有限体积的迎风格式(利用上游点求下游)对流通量以相关的对流速度传播方向的函数来计算,其中由图5.2.1a可以定义(d)对于迎风-单元顶点的有限体积方法(图5.2.1b), 可以定义例子:E5.3.2 “笛卡儿坐标网格中的迎风格式”考虑二维线性对流方程的离散如图5.2.1a所示, 在单元ABCD应用有限体积的公式:通量定义为, 选择方程5.3.14, AB,CD为竖直边,有对于水平边BC, DA有故其得到的格式为一阶迎风格式的推广, 具有一阶精度5.3.2 梯度的有限体积的计算对于任意一个体积，由高斯定理得此处，S是封闭的边界表面,定义平均化的梯度为以及对于二维控制单元,可以得到如图5.2.1d, 在公式两边应用梯形积分公式, 得到此处对所有的顶点求和,从1到6, 以及. 经过整理可得到对于y同样存在这样的关系计算单元面积: 当U=x时,方程5.3.21左侧为1. 对于任意一个单元的面积可用如下的式子进行计算,对任意一个四边形ABCD, 如图5.3.2, 可以得到以及对于y方向导数有,对于同一单元的封闭面与体有如下关系对于二维单元, 取, 可以推出如下的公式例子: E5.3.3 二维扩散方程考虑二维扩散方程对于扩散的通量分量(k为常数) 在图5.2.1a的网格上进行有限体积的离散,将整个单元ABCD的通量表示如下,在单元的格点A,B上计算导数, 对于单元(i, j),方程5.3.3可写为对于A点, U的导数取整个元1,6,7,8的平均值,由5.3.26得对于B可以得到与A类似的关系通过边AB对通量的贡献为E5.3.14与E5.3.15两式的加和, 并与相乘而得到的,同理通过BC通量的贡献为类似的关系对于C有最后,对于方程E5.3.13有, 可以写为该数值离散对应的是图4.2.3中Laplace算子的离散.更简单的办法为这样就推出了扩散方程的标准有限差分格式(对应图4.2.2)以上可以推广到多维的情况以及流行的结构及非结构网格上去.。
有限元素法有限体积法有限差分法有限容积法的区别
1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限元法有限差分法有限体积法
有限元法有限差分法有限体积法
有限元法 (Finite Element Method)、有限差分法 (Finite Difference Method)、有限体积法 (Finite Volume Method) 都是
常见的数值方法，用于求解各种科学和工程问题的偏微分方程。
有限元法是一种离散化技术，将待求解的问题分解成多个简化部分，并分别通过逼近方法近似求解。
这种技术能提供问题在离散域的数值解，并且能够适应复杂的几何形状和物理特性。
有限差分法是一种通过近似求解微分方程的方法，通过将求解区域离散化成网格，并在网格交点处近似微分方程来进行计算。
这种方法对解析完全或者解析复杂的问题很有效，但是对于复杂的几何形状和物理特性有一定的限制。
有限体积法是一种通过求解离散的控制体积内的物理量平衡方程来求解偏微分方程的方法。
这种方法适用于处理包含物质交换或流量的宏观物理问题，并且能够直接处理不规则网格。
总的来说，这三种数值方法各有适用范围，需要根据实际问题的特点进行选择。
发展型模型方程的有限差分和有限体积方法公开课获奖课件
截断误差： L.T.E. O((x)2 (t)) 第5页
3. 蛙跳(Leap-Frog)格式
时间方向：中心差分。空间方向：中心差分。
u n1 j
u
n1 j
a
un j 1
u
n j 1
0
2t
2x
(3.1.4)
稳定性分析：
取
u
n j
=An
eikx
j
则
A e n+1 ikx j A e n1 ikx j a A e n+1 ikx j1 A e n+1 ikx j1 0
顺风格式(downwind scheme)：
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
0
t
x
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
t
x
(a 0) (a 0)
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
0
t
x
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
t
x
(a 0) (a 0)
稳定的条件：
u
n j
=An
eikx
j
则
A e n+1 ikx j
Aneikxj
a
A e A e n+1 ikxj1
n+1 ikx j1
0
t
2x
An +1
1+i
at x
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
《2024年发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》范文
《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》篇一一、引言发展型方程是一类描述物理现象随时间演化的数学模型，广泛应用于流体力学、热传导、电磁场等领域。
为了更准确地模拟这些复杂的物理过程，研究人员不断探索新的数值方法。
本文将介绍一种混合有限体积元方法在发展型方程数值模拟中的应用，并对其有效性进行验证。
二、混合有限体积元方法概述混合有限体积元方法是一种基于有限体积法的数值方法，它将有限元法和有限体积法的优点相结合，既保留了有限元法的灵活性和适应性，又具有有限体积法的守恒性和物理意义。
该方法通过在计算域内划分有限体积，并在每个体积上定义一组基函数来逼近未知函数，从而实现对发展型方程的离散化和求解。
三、混合有限体积元方法在发展型方程中的应用1. 离散化处理：将发展型方程在时间和空间上进行离散化处理，将连续的物理过程转化为离散的数学问题。
2. 定义基函数：在每个有限体积上定义一组基函数，用于逼近未知函数。
基函数的选取应满足一定的正交性和连续性要求。
3. 构建离散方程：根据离散化处理和基函数的定义，构建离散化的代数方程组。
这些方程组将用于描述物理现象在时间和空间上的演化过程。
4. 求解离散方程：采用适当的数值求解方法，如迭代法、直接法等，对离散方程进行求解。
求解过程中需注意保持数值稳定性和收敛性。
5. 结果分析：对求解结果进行分析和可视化处理，以便更好地理解物理现象的演化过程。
四、数值模拟与验证为了验证混合有限体积元方法在发展型方程数值模拟中的有效性，本文进行了以下几方面的数值模拟与验证工作：1. 对比不同离散化方法的结果：将混合有限体积元方法与传统的有限元法和有限差分法进行对比，分析各种方法的优缺点及适用范围。
2. 模拟典型物理现象：针对典型的物理现象，如热传导、流体流动等，采用混合有限体积元方法进行数值模拟，验证方法的准确性和可靠性。
3. 参数敏感性分析：对影响模拟结果的关键参数进行敏感性分析，探讨参数变化对模拟结果的影响及如何优化参数设置。
有限差分方法、有限元方法、有限体积方法
有限差分方法、有限元方法、有限体积方法有限差分方法、有限元方法、有限体积方法I．三者简介有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个过程。
具体地，首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据问题模型和Courant稳定条件来决定。
有限元方法（Finite Element Methods）的基础是变分原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式（利用泛函分析的知识将求解空间扩大）。
其次，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等）。
再次，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。
有限体积法 有限差分法 有限元法
有限体积法有限差分法有限元法
有限体积法、有限差分法、有限元法是数学建模中的常用方法，在数值计算与科学计算中有着重要的应用。
它们都是基于离散化的思想，将连续的问题离散化为有限个离散点，通过对这些点的计算得到问题的近似解。
有限体积法主要用于对流传输问题的求解，它将物理空间划分为一系列控制体积，并在每个控制体积内进行质量、能量守恒方程的求解，从而得到问题的解。
有限差分法则是一种离散化求解偏微分方程的方法，它将求解区域离散化为一系列网格点，利用有限差分公式对方程进行差分近似，从而得到问题的近似解。
有限元法是一种常用的数值分析方法，主要用于求解偏微分方程，特别是与结构力学相关的问题。
它将求解区域分割成一系列小单元，利用数学上的重要定理如拉格朗日定理和虚功原理，将问题转化为求解单元之间的相互作用，最终得到问题的数值解。
这三种方法都有其特点和优缺点，根据具体的问题需要选择合适的方法进行求解。
在实际应用中，它们广泛应用于流体力学、结构力学、电磁学、热传导等领域。
- 1 -。
常用数值分析方法4有限差分法与有限单元法
（3）把所有单元的这种特性关系按一定的条件（变形协调条件、连 续条件或变分原理及能量原理）集合起来，引入边界条件，构成一组以 结点变量（位移、温度、电压等）为未知量的代数方程组， 解之就可得 到有限个节点处的待求变量 。
（2）几何划分法：以几何区域 形状为依据来划分，如对矩形区 域可采用矩形离散化网格，非矩 形区域可采用三角形、四角形或 其他形状的网格，以适应温度场 分布的要求。
图4.2 扇形网格和三角形网格
差分方程的建立过程（之二）
——将微分方程转化为差分方程
微分方程转化为差分方程实际上就是以差分代替微 分、以差商代替微商的过程，是以有限小量去代替无限 微量的近似化过程。
4.1.2 有限差分法的主要步骤
1、构成差分格式
x 2 x 1 x
首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分
代替无限微分，即以x2 替微商（导数）d y
，x以1 差分x 方代程替代dx替．微以分差方商yx程22 及xy11边界yx条件代。
dx
2、求解差分方程
差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程（即：线性方 程组）。其求解方法有下列两种：（1）精确法，又称直接法， 即消元法；（2）近似法，又称间接法，即迭代法。
图4.5 受轴向载荷的变截面杆
1 前处理过程
(1) 求解域离散化
先将求解的问题分解为结点和单元。为简单起见，将杆划分成五个结 点和四个单元（如图4.6所示）。
给定的变截而杆简化为四个独立的部分，每部分的截面面积恒定（为 组成该单元的两个结点处的面积的平均值）。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》范文
《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》篇一一、引言在数学与物理的研究领域中，发展型方程作为一种常见的模型工具，在多个学科如热力学、流体力学以及物理学的各种其他领域内被广泛运用。
针对此类方程的求解，尤其是复杂的偏微分方程，往往需要使用高效、稳定的数值方法。
混合有限体积元方法，作为有限差分法和有限元法的一种混合形式，在处理这类问题上表现出了独特的优势。
本文将详细介绍发展型方程的混合有限体积元方法，并对其数值模拟进行深入探讨。
二、混合有限体积元方法混合有限体积元方法是一种基于有限体积法的数值计算方法，其核心思想是将计算区域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上对微分方程进行积分，从而得到一组离散的代数方程。
这种方法既保留了有限差分法的简单性，又具有了有限元法的灵活性。
对于发展型方程的求解，混合有限体积元方法首先将方程在时间上和空间上进行离散化处理。
在空间上，通过将求解区域划分为一系列控制体积，然后在每个控制体积上对原方程进行积分；在时间上，采用离散时间步长，逐步求解。
通过这种方法，可以将复杂的偏微分方程转化为一系列易于求解的代数方程。
三、数值模拟数值模拟是混合有限体积元方法的重要组成部分。
通过对控制方程进行离散化处理后，得到一组代数方程组。
然后，通过迭代法、直接法等方法对这组方程进行求解，从而得到数值解。
在求解过程中，需要注意选择合适的离散化方法和迭代策略，以保证求解的准确性和稳定性。
对于发展型方程的数值模拟，我们可以利用计算机软件进行模拟实验。
通过设定不同的初始条件和边界条件，可以观察到不同物理现象的变化过程和规律。
同时，我们还可以通过改变参数值，观察参数变化对物理现象的影响。
这些结果可以为理论研究和实际应用提供重要的参考依据。
四、结论混合有限体积元方法作为一种高效的数值计算方法，在处理发展型方程等问题上具有独特的优势。
通过将计算区域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上对微分方程进行积分，我们可以得到一组离散的代数方程，从而实现对复杂问题的求解。
第三章有限差分方法
第三章 有限差分方法§3.1 线性微分方程第三章 有限差分方法求解常微分方程和偏微分方程是物理学中最常见的问题，而用数值计算方法 求方程的解已经是一个发展得相当成熟的领域，这样的方法主要有有限差分和有 限元方法。
除了物理学的问题以外，数值方法在工程和气象等众多研究领域中也 得到广泛应用，由于数值求解微分方程的课题众多，本章中只能涉及针对物理学 中一些重要内容所采用的主要普适的方法。
对一些标准的微分方程形式，人们已 经开发了相应的程序库和软件包。
§3.1 线性微分方程3.1.1 微分方程的分类3.1.1.1 偏微分方程的类型微分方程是表达物理量、它对其变量的导数以及变量之间的一个关系。
只有一个变量的情形是常微分方程，多个变量下是偏微分方程。
如有两个独立变量时，二阶偏微分方程的一般形式是，a∂2φ ∂x2+b∂ 2φ ∂x∂y+c∂2φ ∂y 2+d∂φ ∂x+ e ∂φ ∂y+fφ+g=0，(3.1.1.1-1)其中的系数 a, b, c, d, e, f , g 可以是独立变量 x 和 y 的函数。
如果 b2 < 4ac ，称为椭圆形偏微分方程， b2 = 4ac 是抛物线型， b2 > 4ac 双曲线型。
例如，波动方程∂2φ ∂x2−1 v2∂ 2φ ∂t 2=0，(3.1.1.1-2)是双曲线型，而二维的Poisson方程，∂2φ ∂x2+∂ 2φ ∂y2= −ρ ( x, y) ，(3.1.1.1-3)是椭圆形。
抛物线型方程的例子是扩散方程，∂φ ∂t=∂ ∂x⎛ ⎜⎝D∂φ ∂x⎞ ⎟⎠+S( x,t) 。
(3.1.1.1-4)在数值计算中，方程类型之间的差别不是那么重要。
在（3.1.1.1-1）式中，我们假定了系数 a, b, c, d, e, f , g 不包含φ 及其高阶导数（否则方程就不是二阶的），这是线性的偏微分方程，否则就是非线性的偏微分方程。
《三类发展方程的混合有限体积元方法》范文
《三类发展方程的混合有限体积元方法》篇一一、引言在科学计算和工程应用中，发展方程的数值解法一直是研究的热点。
有限体积元方法作为一种有效的数值计算方法，在处理流体动力学、热传导、电磁场等众多领域的问题中，得到了广泛的应用。
本文将针对三类发展方程，即线性对流扩散方程、非线性反应扩散方程和波动方程，探讨混合有限体积元方法的求解策略。
二、混合有限体积元方法概述混合有限体积元方法是一种结合了有限元方法和有限体积方法的数值计算方法。
该方法在空间上采用有限元离散，时间上采用有限体积方法进行离散。
混合有限体积元方法既具有有限元方法的精度高、适用性强的优点，又具有有限体积方法的物理背景清晰、守恒性好的特点。
三、线性对流扩散方程的混合有限体积元方法对于线性对流扩散方程，我们首先根据问题的物理特性和几何条件，构建合适的计算网格和离散格式。
然后，在空间上采用有限元方法进行离散，得到一系列的半离散化方程。
接着，在时间上采用有限体积方法进行离散，结合数值通量条件和边界条件，形成全离散化方程组。
最后，利用迭代法或显式法等求解策略，对全离散化方程组进行求解。
四、非线性反应扩散方程的混合有限体积元方法对于非线性反应扩散方程，其求解过程与线性对流扩散方程类似。
首先，我们同样需要构建合适的计算网格和离散格式。
然后，在空间上采用有限元方法进行离散，得到一系列的非线性半离散化方程。
由于非线性项的存在，我们需要采用适当的数值处理方法，如牛顿迭代法或隐式法等，对非线性项进行线性化处理。
接着，在时间上采用有限体积方法进行离散，并考虑数值通量条件和边界条件，形成全离散化方程组。
最后，利用适当的求解策略对全离散化方程组进行求解。
五、波动方程的混合有限体积元方法对于波动方程，我们同样可以采用混合有限体积元方法进行求解。
在空间离散过程中，我们需要根据问题的特点选择合适的有限元基函数和离散格式。
在时间离散过程中，我们需要注意波动方程的守恒性质和稳定性条件，采用合适的数值通量条件和边界条件。
4第三章发展型模型方程的有限差分和有限体积方法
4第三章发展型模型方程的有限差分和有限体积方法
发展型模型方程的有限差分和有限体积方法是一种常见的数值计算方法，它可以用于求解模拟各种复杂物理过程所需要的发展模型方程，以及研究物理系统的发展特性。
主要用于多维动态系统的研究，包括液体、气体、固体以及受时变力影响的系统等。
有限差分法是有限元法的一种，是一种用于求解具有连续空间变量的常微分方程的数值求解方法，广泛应用于求解发展型方程，它可以尽可能地保留模型方程中物理参量的准确性。
有限差分法的主要思想是，采用一组有限的离散点对空间中的其中一种物理参量进行采样，然后对每一点求解局部模型方程，以获得有效且准确的数值解。
有限差分法可以模拟任何物理系统的发展过程，并可以求解出它们的时变特性，以便更好地研究它们的发展规律。
有限体积方法是求解发展型方程的另一种常用的数值方法，既可以求解一维的也可以求解多维的发展型方程。
有限体积法的基本思想是，将空间中的物理参量分割成若干个有限的体积元，每一个体积元都满足局部的模型方程，然后再求解相互连接的每一个体积元，以获得全局的解。
有限差分和有限体积法
有限差分和有限体积法
有限差分法和有限体积法是计算数学中常用的两种数值方法，主要用于求解微分方程或积分方程的数值近似解。
有限差分法是一种离散化方法，其核心思想是将微分方程中的连续函数用有限个点的函数值去逼近。
具体地，将求解区域离散化为有限的网格点，将连续函数在网格点处的函数值作为离散后的点值，再借助差分运算将微分方程中的导数转化为点值之差，从而得到含有点值的代数方程组，用解代数方程组的数值方法求解得到近似解。
有限差分法常用于求解常微分方程、偏微分方程和积分方程，比如泊松方程、热传导方程、对流扩散方程等。
需要注意的是，有限差分法和有限体积法的数值差分误差与网格大小、边界条件、时空离散化方式有关，因此在应用中需要对参数进行适当选择和优化，从而减小数值误差，增加数值精度。
总的来说，有限差分法和有限体积法虽然是两种不同的数值方法，但其都是以离散化为核心思想，将微分方程转化为代数方程组进行数值求解。
它们在数值计算领域中应用广泛，常常用于科学计算、数值模拟等方面，具有较广泛的应用前景。
《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》范文
《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》篇一一、引言发展型方程是一类描述物理现象随时间演化的重要数学模型，广泛应用于流体力学、热传导、电磁场等领域。
混合有限体积元方法作为一种有效的数值计算方法，能够较好地处理复杂几何形状和流动问题。
本文旨在探讨发展型方程的混合有限体积元方法及其在数值模拟中的应用。
二、混合有限体积元方法概述混合有限体积元方法是一种基于有限体积法的数值计算方法，它将传统的有限体积法与混合有限元法相结合，具有较高的灵活性和适应性。
该方法将计算区域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上对未知函数进行插值和近似，通过求解离散化的控制方程，得到数值解。
三、发展型方程的混合有限体积元方法针对发展型方程的数值求解，混合有限体积元方法具有以下优势：1. 适用于复杂几何形状：该方法能够较好地处理具有复杂边界条件和几何形状的问题，无需对计算区域进行过于复杂的网格划分。
2. 灵活性高：该方法允许在每个控制体积上选择合适的插值和近似方式，以更好地适应问题的特点。
3. 守恒性：该方法在离散化过程中能够保持物理量的守恒性，从而提高数值解的准确性和稳定性。
针对发展型方程的混合有限体积元方法的具体实现步骤如下：1. 将计算区域划分为一系列控制体积，并确定每个控制体积的边界和形状。
2. 在每个控制体积上对未知函数进行插值和近似，选择合适的插值基函数和近似方式。
3. 根据控制方程，将偏微分方程离散化为代数方程组。
4. 利用迭代法或直接法求解代数方程组，得到数值解。
四、数值模拟以某流体动力学问题为例，采用混合有限体积元方法进行数值模拟。
首先，根据问题的特点和需求，建立相应的发展型方程。
然后，将计算区域划分为适当的控制体积，并在每个控制体积上选择合适的插值和近似方式。
接着，根据控制方程，将偏微分方程离散化为代数方程组。
最后，利用迭代法或直接法求解代数方程组，得到数值解。
通过与实际物理现象进行比较和分析，验证了混合有限体积元方法在数值模拟中的有效性和准确性。
计算流体力学中有限差分法、有限体积法和有限元法的区别
有限元法，有限差分法和有限体积法的区别1. FDM1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》范文
《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》篇一一、引言随着计算科学与技术的快速发展，数值模拟技术已成为解决复杂工程和科学问题的重要手段。
在众多数值方法中，发展型方程的混合有限体积元方法因其高效、稳定和适应性强的特点，在流体动力学、热传导、电磁场等领域得到了广泛应用。
本文旨在探讨发展型方程的混合有限体积元方法，并对其在数值模拟中的应用进行深入研究。
二、混合有限体积元方法概述混合有限体积元方法是一种基于有限体积法的数值方法，其核心思想是将计算区域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上对未知函数进行近似。
该方法具有较好的稳定性和收敛性，同时可以灵活处理复杂几何形状和边界条件。
在求解发展型方程时，混合有限体积元方法能够有效地捕捉到解的局部特征和变化趋势。
三、发展型方程的混合有限体积元方法发展型方程是一类描述物理现象随时间演化的偏微分方程，如热传导方程、扩散方程等。
在混合有限体积元方法中，首先需要将计算区域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义未知函数及其导数的近似值。
然后，通过求解离散化的控制体积方程，得到未知函数的近似解。
该方法的关键在于选择合适的近似方式和离散化策略，以保证解的准确性和稳定性。
四、数值模拟本文以热传导方程为例，对混合有限体积元方法进行数值模拟。
首先，建立热传导问题的数学模型，将实际问题抽象为发展型方程的形式。
然后，利用混合有限体积元方法对模型进行离散化处理，得到一系列控制体积方程。
接着，通过求解这些方程，得到未知温度场的近似解。
最后，对结果进行分析和可视化处理，以便更好地理解问题的本质和特点。
五、结果与讨论通过数值模拟，我们得到了热传导问题的近似解，并对其进行了详细的分析和讨论。
结果表明，混合有限体积元方法能够有效地求解发展型方程，捕捉到解的局部特征和变化趋势。
同时，该方法具有较高的计算效率和稳定性，能够适应复杂几何形状和边界条件。
然而，在实际应用中，我们还需要根据具体问题的特点和要求，选择合适的近似方式和离散化策略，以获得更准确的解。
《2024年发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》范文
《发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟》篇一一、引言发展型方程是一类描述物理现象随时间演化的重要数学模型，广泛应用于流体力学、热传导、电磁场等领域。
混合有限体积元方法作为一种有效的数值计算方法，能够较好地处理复杂几何形状和流动问题。
本文旨在探讨发展型方程的混合有限体积元方法及其在数值模拟中的应用。
二、混合有限体积元方法概述混合有限体积元方法是一种基于有限体积法的数值计算方法，其基本思想是将计算区域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上对偏微分方程进行积分，从而得到一组离散的代数方程。
该方法具有较好的守恒性、灵活性和适用性，可处理复杂几何形状和流动问题。
三、发展型方程的混合有限体积元方法针对发展型方程的数值求解，我们采用混合有限体积元方法。
首先，将计算区域划分为适当的控制体积，并在每个控制体积上对发展型方程进行积分。
然后，利用高斯定理等将积分方程转化为离散的代数方程组。
在离散化过程中，我们需要考虑边界条件和初始条件，以保证数值解的准确性和稳定性。
四、数值模拟本文以某个具体的发展型方程为例，采用混合有限体积元方法进行数值模拟。
首先，我们建立合适的物理模型和数学模型，确定计算区域、边界条件和初始条件。
然后，利用混合有限体积元方法对发展型方程进行离散化，得到一组离散的代数方程组。
最后，采用适当的数值方法（如迭代法、直接法等）求解代数方程组，得到数值解。
五、结果分析通过对数值模拟结果的分析，我们可以得到发展型方程的解随时间的演化过程。
首先，我们可以观察解的变化趋势和周期性，了解物理现象的演化规律。
其次，我们可以分析解在不同物理参数下的变化情况，探讨物理参数对物理现象的影响。
最后，我们可以将数值解与实际物理现象进行对比，验证数值模拟的准确性和可靠性。
六、结论本文研究了发展型方程的混合有限体积元方法及数值模拟。
通过将计算区域划分为控制体积，并在每个控制体积上对发展型方程进行积分，我们得到了离散的代数方程组。
《三类发展方程的混合有限体积元方法》范文
《三类发展方程的混合有限体积元方法》篇一一、引言在科学计算和工程应用中，发展方程的数值解法一直是研究的热点。
有限体积元方法作为一种有效的数值计算方法，在处理发展方程时具有广泛的应用。
本文将探讨三类发展方程的混合有限体积元方法，包括其基本原理、应用领域及数值解法的优势。
二、发展方程概述发展方程是一类描述物理现象随时间演变的数学模型，广泛应用于流体动力学、传热学、弹性力学等领域。
发展方程的求解往往需要利用数值方法进行近似计算。
三、混合有限体积元方法混合有限体积元方法是一种结合了有限元方法和有限体积方法的数值计算方法。
该方法在空间上采用有限元离散，在时间上采用有限体积离散，具有较高的计算精度和稳定性。
四、三类发展方程的混合有限体积元方法1. 线性发展方程的混合有限体积元方法线性发展方程是一类具有线性特性的偏微分方程，广泛应用于各种物理现象的描述。
对于线性发展方程，混合有限体积元方法可以通过离散化空间和时间域，将原问题转化为一系列易于求解的子问题。
通过迭代求解，可以得到原问题的近似解。
2. 非线性发展方程的混合有限体积元方法非线性发展方程是一类具有非线性特性的偏微分方程，具有更复杂的物理背景和更广泛的应用领域。
对于非线性发展方程，混合有限体积元方法需要采用更复杂的离散化策略和求解算法。
通过引入适当的数值技巧和迭代策略，可以有效地求解非线性发展方程。
3. 抛物型发展方程的混合有限体积元方法抛物型发展方程是一类描述热传导、扩散等物理现象的偏微分方程。
对于抛物型发展方程，混合有限体积元方法可以通过离散化空间和时间域，并利用离散化的空间信息来近似求解原问题。
该方法在处理抛物型发展方程时具有较高的计算精度和稳定性。
五、数值实验与结果分析为了验证混合有限体积元方法在处理三类发展方程时的有效性，我们进行了大量的数值实验。
实验结果表明，混合有限体积元方法在求解线性、非线性和抛物型发展方程时均具有较高的计算精度和稳定性。
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O
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a ut
x
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u
n j
a(ux )nj
t
1 2!
a
2
(u
xx
)nj t 2
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(t)3
(3.1.13)
Lax-Wendroff方法或Cauchy-Kowalewski方法：把Taylor展开式中的时间 导数项用空间导数代替。是推导差分格式的常用技巧。
u n1 j
1 cx
u
n j
则
u n1 j
1 2
u
n j
1 2
1
c x
1
c x
u
n j
1 2
u
n j
1 2
1
c x
un1 j
所以，MacCormack格式：
一种形式
预测步：u
n1 j
u
n j
c
xu
n j
校正步：u
n j
1
1 2
u
n j
u n 1 j
c
xu
n j
1
另一种形式
预测步：u
n1 j
讨论双曲型模型方程：一阶线性对流方程
u a u 0 t x
(3.1.1)
线性对流方程的差分格式和流体力学中Euler方程的差分格式以及NavierStokes方程中对流项的差分格式有密切的关系，因此，掌握其差分格式的构造 方法具有非常重要的意义。
本节中，介绍的差分格式构造方法包括： (1) 基于导数逼近 (2) 基于特征理论 (3) 基于时间展开 (4) 基于算子分裂
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
0
t
x
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
t
x
(a 0) (a 0)
稳定的条件：
a t c 1
x
无条件不稳定
为了综合考虑a 0和a 0两种情况，迎风格式可以改写为：
u n 1 j
u
n j
a
a
u
n j
un j 1
a
a
un j 1
u
n j
0
t
(2) a 0时，(3.1.6)的稳定条件是 c a t 1；a 0时，(3.1.6)无条件不稳定。 x
迎风格式(upwind scheme)：
顺风格式(downwind scheme)：
u n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j
0
t
x
u n 1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
t
x
(a 0) (a 0)
)n1 j
t
O
(t )3
u
n j
at 2
[ux )nj
ux
)n1 j
]
O
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对ux
)nj
和ux
)n1 j
用中心差分离散
ux
)
n j
un j 1
un j 1
2x
,
u
x
)
n1 j
u u n1
n1
j 1
j 1
2x
则 即
at 4x
u n 1 j 1
u
n j
1
at 4x
u n1 j 1
at 4x
un j 1
3.1.1 基于导数逼近的差分格式
构造差分格式的最简单的方法。 采用前差、后差和中心差等离散方法，直接近似微分方程中的导数项。
1. Euler显式格式
时间方向：前差。空间方向：中心差。
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j 1
0
t
2x
(3.1.2)
稳定性分析： 则
取
u
n j
=An
eikx
j
A e n+1 ikxj Aneikxj
u
n j
at 4x
un j 1
u
n1 j
u
n j
a
t 4x
u u n1 n1
j 1
j 1
a 4x
un j 1
un j 1
0
Crank-Nicolson格式是无条件稳定的。
3.1.4 基于算子分裂方法的格式
1. MacCormack格式：两步格式（预测步+校正步）
Lax-Wendroff格式：
u
n j
c
xu
n j
校正步：u
n1 j
1 2
u
n j
u n 1 j
c
xu
n1 j
对于线性对流方程，MacCormack格式和Lax-Wendroff格式是等价的。
但是，对于非线性问题，如流体力学方程组，二者不等价，MacCormack格式
更为简单有效。
2. 两步的Warming-Beam格式
Warming-Beam格式：ux用二阶迎风差分离散，uxx也用迎风离散，则
un1 j
u
n j
c 2
un j 1
un j 1
c2 2
un j 1
2u
n j
un j 1
改写成算子形式
u n1 j
1
c 2
x
x
c2 2
x
x
u
n j
1
c 2
x
x
c2 2
x
x
u
n j
1 2
1 2
1
c x
c x 2
1
c x
u
n j
1 2
u
n j
1 2
1
c x
1
c x
u
n j
令
3. 由插值点内插出P点的值，差分格式才是稳定的。
CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件：An numerical method can be convergent only if its numerical domain of dependence contains the true domain of dependence of the PDE, at least in the limit as dx and dt go to zero.
或
记 c a t ，则
x
u n1 j
(1
c)u
n j
cu
n j 1
截断误差： L.T.E. O((x) (t))
稳定条件： 0 c 1 (a 0)
(2) 采用B、D两点线性插值
uP
uB
uD uB 2x
(x
at)
u
n1 j
1 2
un j 1
u
n j 1
a
u
n j 1
u
n j 1
0
t
G
at x
sin(k
x)
at x
sin(kx)
2
1
1
1
at x
sin(k
x)
2
0
1
at x
2
sin(kx)
0
稳定性的条件： c a t 1。 无量纲数c at ，称为CFL数或courant数。
x
x
截断误差：L.T.E. O((x)2 (t)2)
Courant – Friedrichs – Lewy
(3.1.5) (3.1.6)
稳定性分析：
(1) a 0时，(3.1.5)无条件不稳定；a 0时，(3.1.5)的稳定条件是 c a t 1。 x
a
0时，解析解u ( x,
t)
u0
(
x
at)，波动从左向右传播，u
nj 1不受u
n 的影响，
j 1
(3.1.5)违背了波的传播特性，从而造成格式的不稳定。
首先，由 u(xA ) uA，u(xB ) uB，u(xC ) uC 可以确定a0，a1，a2。
然后，把P点坐标代入 u(x) a0 a1x a2x2，得
即
uP
uB
uC uA 2x
(x
at)
uA
uC 2x2
2uB
(x
at )2
un1 j
u
n j
t
a
3u
n j
4u
n j 1
u
n j2
un1 j
u(xj
, (n
1)t)
uO
uP
u(xj
at,
nt)
由于P不在网格点上，P点的值必须通过A、B、C、D等点插值获得。
(1) 采用B、C两点线性插值
uP
uB
uC uB x
(x
at)
u n1 j
un j 1
u
n j
u
n j 1
x
(x
at)
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
t
x
(迎风格式)
A e A e n+1 ikx j1
n+1 ikx j1
a
0
2t
2x
An +1 An
An1 An