第三章差分方程模型ppt课件
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差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
第三章差分方程模型 ppt课件
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单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本 息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …)
1. 一阶线性常系数差分方程 xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
求解公式
xk
c11k
c2k2
b 1 a1 a2
,
k 0,1,2,
1, 2～特征根 2 a1 a2 0 ~ 特征方程
c1, c2 ～常数, பைடு நூலகம்始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk
x
1
b a1 a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
x1(k 1) a11x1(k) a12x2 (k) a1n xn (k) b1 x2 (k 1) a21x1(k) a22x2 (k) a2n xn (k) b2 xn (k 1) an1x1(k) an2x2 (k) ann xn (k) bn
差分方程及其应用(周义仓,曹慧,肖燕妮编著)PPT模板
on)
第4章差分方 程的分支
4.3二维差分方程组平衡解和稳定 性的分支
4.3.2一个非线性差分方程 组平衡解的稳定性和分支
4.3.1常系数线性齐次方程 组平衡解的稳定性和相图
第4章差分方程的分支
4.4不变闭曲线的分支
01
4.4.1hopf分支
02
4.4.2不变闭曲 线族的分支
第4章差分方程的分支
02 4.6.2 平衡解的稳定
性
03 4.6.3模型(4.6.5)
的flip分支
04 4.6.4 模型(4.6.5)
05 4.6.5模型(4.6.5)
的鞍结点分支
的hopf分支
09
第5章差分方程在生态和传 染病问题中的应用
第5章差分方程在生态 和传染病问题中的应用
5.1人口和种群增长的 leslie矩阵模型
变化的描述
第1章绪 论
1.2差分方程的概念和 求解
1.2.1差分算 子及其性质
1.2.3不定 和
1.2.2初等 函数的差分
1.2.4差分 方程
第1章绪论
1.3简单差分方程的复杂 性态
01
1.3.1差分方 程的平衡解及
其稳定性
02
1.3.2虫口方 程的倍周期分
叉
03
1.3.3一个非 线性模型的混
沌性态
第1章绪 论
1.1一些应用差分方程 的例子
01 1 .1 .1 兔子对数 的递 02 1 .1 .2 从两个简 单问
推关系
题导出的差分方程
03 1 .1 .3 近似计算 与差 04 1 .1 .4 经济学中 两个
分方程
问题
05 1 .1 .5 随机现象 中概 06 1 .1 .6 一个种群 数量
第4章差分方 程的分支
4.3二维差分方程组平衡解和稳定 性的分支
4.3.2一个非线性差分方程 组平衡解的稳定性和分支
4.3.1常系数线性齐次方程 组平衡解的稳定性和相图
第4章差分方程的分支
4.4不变闭曲线的分支
01
4.4.1hopf分支
02
4.4.2不变闭曲 线族的分支
第4章差分方程的分支
02 4.6.2 平衡解的稳定
性
03 4.6.3模型(4.6.5)
的flip分支
04 4.6.4 模型(4.6.5)
05 4.6.5模型(4.6.5)
的鞍结点分支
的hopf分支
09
第5章差分方程在生态和传 染病问题中的应用
第5章差分方程在生态 和传染病问题中的应用
5.1人口和种群增长的 leslie矩阵模型
变化的描述
第1章绪 论
1.2差分方程的概念和 求解
1.2.1差分算 子及其性质
1.2.3不定 和
1.2.2初等 函数的差分
1.2.4差分 方程
第1章绪论
1.3简单差分方程的复杂 性态
01
1.3.1差分方 程的平衡解及
其稳定性
02
1.3.2虫口方 程的倍周期分
叉
03
1.3.3一个非 线性模型的混
沌性态
第1章绪 论
1.1一些应用差分方程 的例子
01 1 .1 .1 兔子对数 的递 02 1 .1 .2 从两个简 单问
推关系
题导出的差分方程
03 1 .1 .3 近似计算 与差 04 1 .1 .4 经济学中 两个
分方程
问题
05 1 .1 .5 随机现象 中概 06 1 .1 .6 一个种群 数量
差分方程初步-PPT精选文档
+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．
定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如 果 y1(t),y2(t),…,yn(t) 是 齐 次 线 性 差 分 方 程 yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关 的特解,则方程 的通解为： yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，
三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使 其 对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成 为 恒 等 式 , 则 称 yt=j(t) 为方程的解 .含有 n 个任意 ( 独立 ) 常数 C1,C2,…,Cn 的解
yt=j(t,C1,C2,…,Cn)
依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ………………
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．
经济数学 CH6 差分方程PPT精品文档29页
2020/4/16
8
蛛网模型
❖ 将需求曲线和供给曲线代 pt 入到均衡方程，得到：
❖ pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 ❖ 这是一个一阶非齐次线性
差分方程。
❖ 当价格不变时，供求达到 均衡。
❖ p*=(a+c)/b-(d/b)p* ❖ 均衡价格p*=(a+c)/(b+d)
p*
Pt-1
当(d/b)>1时，模型 是发散的；反之则是 收敛的。
a≠-1
yt
A(a)t
c ,a1 1a
假设t 0时，yt
y0,得到Ay0
c 1a
yt
(y0
c )(a)t 1a
c ,a1 1a
a=-1 y t A ( a )t c t A c t,a 1
假 设 t0时 ， yt y0,得 到 Ay0 yt y0ct,a1
2020/4/16
13
练习
❖ 求解一阶线性差分方程：
❖ 一阶差分： △yt=yt+1-yt ❖ 二阶差分：
❖ △2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)
2020/4/16
1
❖ 一阶差分方程：yt+1=f(yt) ❖ 例子：一阶线性差分方程
❖ △yt=2→yt+1-yt=2 ❖ △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt ❖ 一阶线性差分方程一般形式：
如果f(y*) 1，那么均衡点是稳定的。 如果f(y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果f(y*) 1，无法判断。
f(y*)dyt1 dyt
差分方程模型PPT课件
回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布 人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和 密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离 散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和 补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型， 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出 预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部 分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健 康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别 在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性： 设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。
代数方程与差分方程模型 PPT
代数方程与差分方程模型
投入产出表
国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系
中国2002年投入产出表(产值单位:亿元)
产出 投入 农业 工业 建筑业 运输邮电 批零餐饮 其他服务 初始投入 总投入
农业
464 499
5 62 79 146 1663 2918
工业
788 8605
9 527 749 1285 4851 16814
原子弹爆炸的能量估计
爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播, 爆炸的能量越大,在一定时刻冲击波传播得越远、
冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来、
泰勒测量: 时刻t 所对应的“蘑菇云”的半径r
t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) 0、10 11、1 0、80 34、2 1、50 44、4 3、53 61、1 15、0 106、
σ
1 1 0 0 1
10
0
1
1 0 0 1 1 0 0 1 1
1
23
4
5
L5
7
8
L6
L7 L8
6
L1
9 L2 L3 L4
A
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0
0
0
0 1 0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
根据A和b, 由 Ax b 确定像素的衰减系数向量x
m
q 则 s
ysj j
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
j 1
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定、
投入产出表
国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系
中国2002年投入产出表(产值单位:亿元)
产出 投入 农业 工业 建筑业 运输邮电 批零餐饮 其他服务 初始投入 总投入
农业
464 499
5 62 79 146 1663 2918
工业
788 8605
9 527 749 1285 4851 16814
原子弹爆炸的能量估计
爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播, 爆炸的能量越大,在一定时刻冲击波传播得越远、
冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来、
泰勒测量: 时刻t 所对应的“蘑菇云”的半径r
t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) 0、10 11、1 0、80 34、2 1、50 44、4 3、53 61、1 15、0 106、
σ
1 1 0 0 1
10
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1 0 0 1 1 0 0 1 1
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L7 L8
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9 L2 L3 L4
A
0 1
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0 0
0 0
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0 1 0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
根据A和b, 由 Ax b 确定像素的衰减系数向量x
m
q 则 s
ysj j
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
j 1
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定、
差分方程讲解老师优秀课件
定理1.4 若数列{an}具有性质: 对一切n有2an c, c为一个常数, 则该数列的项遵从二次变化模式, 而且表达其通项的公式是一个二次多项式.
注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.
§1 数列的差分
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f(xk) 减函数
生产者的供应关系 供应函数 xk1h(yk) 增函数
§2 一阶线性差分方程
解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.
§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为
§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:
ak1 (1.07)k1c (1.07)k c 0.07(1.07)k c,
an
an
2an
1
0
1
2
2
1
1
2
3
0
3
2
4
3
5
2
5
8
7
注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.
§1 数列的差分
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f(xk) 减函数
生产者的供应关系 供应函数 xk1h(yk) 增函数
§2 一阶线性差分方程
解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.
§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为
§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:
ak1 (1.07)k1c (1.07)k c 0.07(1.07)k c,
an
an
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8
7
5 第3章 差分方程模型(一)
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
差分方程的解 {xk } 的极限 lim xk 刻画了动态过程
k
长期变化之后的结局. 极限 lim xk 与差分方程的平衡
k
点及渐进稳定性有密切关系. 对于一阶差分方程(3.1.2)式，令 xk 1 xk x ，就 得到一元代数方程 (3.1.5) x F ( x) (3.1.5)式的解 x x 就是(3.1.2)式的平衡点.
3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程
如果 r≠0，(3.2.4)式有且仅有平衡点 x b r . 容 易证明： 平衡点 x b r 是渐进稳定的当且仅当 −2<r<0. 平衡点 x b r 的渐进稳定性也属于全局渐 进稳定性.
3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化
是(3.1.2)式的常数解，并且有 xk 0, k 0,1, 2, .
3.1.4 平衡点和渐近稳定性
对于二阶差分方程(3.1.4)式，令 xk 2 xk 1 xk x 就得到一元代数方程 x F ( x, x) (3.1.6)式的解 x x 就是(3.1.4)式的平衡点.
第3章
差分方程模型
3.2节
一阶线性常系数 差分方程及其应用
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
一阶线性常系数齐次差分方程形如： (3.2.1) xk 1 (1 r ) xk , k 0,1, 2, 其中 r 是常数. 在建模的时候，(3.2.1)式中的 xk 是实 际对象在第 k 时段的状态值，参数 r 是相邻时段的用 前差公式计算的增长率： xk 1 xk (3.2.2) r , k 0,1, 2, xk 由(3.2.2)式可见， (3.2.1)式的模型假设为 “用前差公式 计算的增长率为常数”.
第三章_差分方程模型
第三章 差分方程模型§1、 差分方程设有未知序列{}k y ，称0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）为n 阶差分方程。
若有)(k y y k =，满足0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。
[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。
设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。
[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有⎩⎨⎧==+=++1,01012y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。
[例2] 汉诺塔问题将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。
现将此k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。
设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。
[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。
所以，差分方程为⎩⎨⎧=+=+01201y y y k k§2、 差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 0110=+++-++k n n k n k y a y a y a ——（1）其中n a a a ,,,10 为常数，且0,00≠≠n a a ，称为n 阶常系数齐次线性差分方程。
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3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …)
1. 一阶线性常系数差分方程 xk 1ak xb , x 0 已k 知 0 ,1 ,2 ,， a,b~常数
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利
： 单利本息：1+nr 复利本息：(1+r)n >1+nr 利滚利 ！
单利和复利 按单利计算的业务——零存整取
零存整取 ~ 每月固定存额，约定存款期限，到期 一次支取本息的定期储蓄. 方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.
a=7485.2(元), A1=1796447.27(元)
• 银行利率：基准利率、利率上限或下限. 选择商业 贷款的基准利率6.55%.
• 还款方式：等额本息还款或等额本金还款.
等额本息贷款和等额本金贷款
等额本息还款~每月归还本息(本金加利息)数额相同. 等额本金还款~每月归还本金数额相同, 加上所欠本金 的利息. 所欠本金逐月减少 每月还款金额递减
例1 “房贷计算器”选择等额本息还款, 输入: 商业贷 款总额100万元, 期限20年, 年利率6.55%. 点击“开始 计算”得: 还款总额1796447.27元, 月均还款7485.2元.
xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n k=n递推至k=１
xn= na+ar(1+2+…+n)
a =3000, r =0.035/12, n =125 (月) xn= 196,012.50
等额本息贷款和等额本金贷款
房贷计算器的选项 • 贷款类别：商业贷款, 公积金, 组合型 年利率不同 • 计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算. • 按揭年数：可选１至30年. 选择20年.
• 由x0按照方程递推计算x1, x2, … • 求解公式 xkak(x01 ba)1 ba, k1 ,2,
a <1
k→∞,
xk
x
b 1a
~稳定平衡点
2. 二阶线性常系数差分方程
x k 2 a 1 x k 1 a 2 x k b , x 0 ,x 1 已k 知 0 ,1 ,2 , ， • 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
贷款到期时xn=0
(1r)n a x0r (1r)n 1
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额 r ~月利率 n ~贷款期限(月)
a~每月还款金额
a
x0r
(1r)n (1r)n 1
A1 ~还款总额 A1nax0rn(1(1r)rn)n 1
例1 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月)
an1
a12 a22
an2
a1n
a2
n
ann
x (k 1 ) A (k )x b , k 0 ,1 ,2 ,
3. 线性常系数差分方程组
x (k 1 ) A (k )x b , k 0 ,1 ,2 ,
• 由x(0)按照方程递推地计算x(1), x(2), … • 求解公式
3.1 贷款购房
贷款购房需考虑的问题
网上的房贷计算器
买多大的房子
一共贷多少钱
每月还多少钱
贷款购房——最简 单的差分方程模型来自输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本息 (本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
x ( k ) A k ( x ( 0 ) ( I A ) 1 b ) ( I A ) 1 b ,k 1 ,2 ,
A的特征根 <1
k→∞, x(k) x(IA)1b~稳定平衡点
4. 简单的非线性差分方程 例 离散形式的阻滞增长模型 xk 1xkr(1x N k)xk, k0,1 ,2,r,N~已知常数 • 由初始值x0按照方程递推计算x1, x2, …
x1(k1)a11x1(k)a12x2(k)a1nxn(k)b1 x2(k1)a21x1(k)a22x2(k)a2nxn(k)b2 xn(k1)an1x1(k)an2x2(k)annxn(k)bn
x(k)=[x1(k), x2(k), ,xn(k)]T b=[b1, b2, ,bn]T
a11
A
a21
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额 r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1] x0(1r)na(1rr)n1
• 求解公式 xkc11 kc2k 21a b 1a2, k0,1 ,2, 1, 2～特征根 2a1a20~ 特征方程
c1, c2 ～常数, 初始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk
x b 1a1 a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
3. 差分方程模型
• 差分方程~若干离散点上未知变量数值的方程 • .描述离散时间段上客观对象的动态变化过程. • 现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似
. 例 湖泊污水浓度 受上游河流的流量、污水 浓度等因素影响，湖泊污水浓度随时间变化. 每周对湖泊和上游河流监测一次, 获取数据. 建立湖泊污水浓度以周为时段的差分方程模型.
例 每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%） 零存整取 累计存入金额180,000元
计算器 到期本息总额196,012.50元
勤俭节约、科学理财
单利和复利 按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月 )xk ~存入k个月后的本息 x1=a+ar x2= x1+a+a2r