第七章线性差分方程模型的辨识

第七章线性差分方程模型的辨识

根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。

线性差分方程模型的最小二乘估计

首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。

辨识问题的提法

设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述：

y(k) + a^y(Jc—1) + •• - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式：

A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k),

其中，

= 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1)

= 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n,

辨识问题的提法，已知：

(1)由方程描述的系统都是稳定的。

(2)系统的阶是n阶。

(3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数：

a】, b](i = 1,2, ・・・N + n),

参数最小二乘估计的慕本思根是，选择

b x(i = 1,2, ...N + n),

使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为：

A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),

其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。

现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小

最小二乘估计

将下式

A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\

改成以下形式

广义最小二乘估计

-般最小二乘法简称LS法，广义最下二乘法简称GLS

GLS的基本思想是，将相关残差啲用白噪声屮)，经过传递函数右的滤波器

的滤波输出來表示，即

e(k)=

€伙)

其中,

C((7_1)= 1 + Cig" + c2q~2 + …+ c p q~p cg・..p)为常数,p表示残差模型的阶,c,和p事先是未知的: {G (k)}为白噪声序列

根据方程的误差定义

A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),

可得：

A(q_1)y(k) 一B(q_1)u(k) =

C(q 丄)

进而，

AS")C(qT)y(k) 一B(qT)C(qT)u(k) =G (k)

由丁花(幻为白噪声，所以系统参数和噪声参数可以通过以上方程而得到无偏估计，为此定义谋差函数：

丿=》2⑹

刁[A(qT)C(q7)y(k) - B(q")C(qT)u(k)]2

现在的问题是，选择参数使得误差函数J的值为最小，由于参数a,b,c在上述方程中的关系不是线性的，所以不能用一般的LS法求解。要采用GLS法求解。GLS法的算法流程图如下图：

输入u(k)t y(k)

结束

对GLS法，当误差函数存在多个局部最小值时，B可能收敛到J的局部最小值而不是全局最小值，另外由于GLS法是一种迭代算法，一般都需耍反复计算几次才能获得结果，因此计算时间较长，所以有必要开发计算时间较短的新算法來解决这一问题。

多级最小二乘估计

多级最小二乘估计简称MSLS法，他是解决具有相关残差系统辨识的另一种有效方法，MSLS的主要特点是通过三级简单的LS估计，最后实现对系统参数和噪声参数的一致估计。MSLS比LS法优越性在于他没有迭代运算，所以计算时间较短，也不存在收敛问题。