第七章数学模型电子教案
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1 经济稳定
北方民族大学信息与计算科学系
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
1. 使 尽量小，如 =0
y
g
需求曲线变为水平 y0 以行政手段控制价格不变
0
2. 使 尽量小，如 =0 y
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0
f
x g
f
x0
x
北方民族大学信息与计算科学系
模型的推广 生产者管理水平提高 xk1h(yk)
平衡点稳定条件 2
1, 2
2
比原来的条件 1放宽了
北方民族大学信息与计算科学系
7.2 差分形式的阻滞增长模型
x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口)
x(t)rx(1 x) N
t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
yk ~某种群第k代的数量(人口) yk 1yk rk y (1 y N k)k , 1 ,2 , 若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N y*=N 是平衡点
x
北方民族大学信息与计算科学系
yk f(xk) xk1h(yk) yk g(xk1)
设x1偏离x0
x 1 y 1 x 2 y 2 x 3
xk x0,yk y0
xk x0,yk y0
P 1 P 2 P 3 P 0P 1 P 2 P 3 P 0
P0是稳定平衡点
P0是不稳定平衡点
k 2 k 1 k
0
北方民族大学信息与计算科学系
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
1, 2~特征根，即方程 22 0的根
平衡点稳定，即k, xkx0的条件:
1, 2
1
()28
1,2
4
(1)的平衡点y*=N
(2)的平衡点 x* r 11 r1 b
讨论 x* 的稳定性
北方民族大学信息与计算科学系
稳定性知识
一阶非线性差分方程 xk1f(xk)(1)的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 稳定性判断 x*也是(2)的平衡点
f (x*) 1 x*是(2)和(1)的稳定平衡点
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
xk1
h
y k
y k1
2
设供应函数为 x k 1 x 0 [y k ( y k 1 ) /2 y 0 ]
需求函数不变 y k y 0 (x k x 0 ) 2 x x x 2 ( 1 ) x , k 1 , 2 ,
91 0.4118 0.6154 0.4794
92 0.4118 0.6154 0.8236
93 0.4118 0.6154 0.4794
94 0.4118 0.6154 0.8236
f (x*) 1 x*是(2)和(1)的不稳定平衡点
北方民族大学信息与计算科学系
xk 1bk(x 1xk)
xf(x)b(1 x x) x* 1 1
f(x*)b(12x*)2b
b
f (x*) 1 1b3
x* 稳定
br1
另一平衡 点为 x=0
f(0)b1
不稳定
b3(f(x*)1) x* 不稳定 y
yx
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g P4
曲线斜率
y
P0
Kf Kg y0
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
0
P3 f
g P4
P2
P0
Kf Kg
P1
x0
x
北方民族大学信息与计算科学系
方程模型 yk f(xk)
在P0点附近用直线近似曲线 y k y 0 (x k x 0 )( 0 )
xk1 h(yk)
讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？
北方民族大学信息与计算科学系
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
yk1yk rk y(1y N k) (1) yk1(r1)yk1(rr1)Nyk
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
x k 1 bk(1 x x k) (2 )
记br1 一阶(非线性)差分方程
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
北方民族大学信息与计算科学系
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
需求函数
yk f(xk)
减函数
供应函数
xk1h(yk) 增函数
y
f
g
y0
P0
wk.baidu.com
0
x0
yk g(xk1)
P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
x（ k 振荡地 ）x*
yf(x)
x
0
x 0
x 1 1/2 x * x 2 1
x（ k 不）x*
北方民族大学信息与计算科学系
k b=1.7 b=2.6 b=3.3
0 0.2000 0.2000 0.2000
1 0.2720 0.4160 0.5280
2 0.3366 0.6317 0.8224
3 0.3796 0.6049 0.4820
x k 1 x 0(y k y 0 )( 0 )
xk 1x0(xkx0)x k 1 x 0 ()k(x 1 x 0 )
1 (1/) xk x0 P0稳定 Kf Kg 1 (1/) xk P0不稳定 Kf Kg
方程模型与蛛网模型的一致 K f 1/ Kg
北方民族大学信息与计算科学系
(1)1b2
b/4
x*11/b1/2
x（ k 单调增）x*
x1 0 x 0 x 1 x 2 x * 1/ 2
yf(x)
1x
北方民族大学信息与计算科学系
xk 1bk(x 1xk)
(2)2b3
x*11/b1/2
y
yx
b/4
(3) b3
y
yx
b/4
yf(x)
0 x0
x 1 1/ 2 x * x 2 1
x
第七章数学模型电子教案
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北方民族大学信息与计算科学系
第七章 差分方程模型
7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 差分形式的阻滞增长模型
北方民族大学信息与计算科学系
7.1 市场经济中的蛛网模型
供大于求
现 象
增加产量
价格下降 价格上涨
减少产量 供不应求
描述商品数量与价格的变化规律
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
结结果果解解释释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
yky0(xkx0)
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
xk 1x0(yky0)
~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量
~ 消费者对需求的敏感程度 小, 有利于经济稳定
~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定
北方民族大学信息与计算科学系
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
1. 使 尽量小，如 =0
y
g
需求曲线变为水平 y0 以行政手段控制价格不变
0
2. 使 尽量小，如 =0 y
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0
f
x g
f
x0
x
北方民族大学信息与计算科学系
模型的推广 生产者管理水平提高 xk1h(yk)
平衡点稳定条件 2
1, 2
2
比原来的条件 1放宽了
北方民族大学信息与计算科学系
7.2 差分形式的阻滞增长模型
x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口)
x(t)rx(1 x) N
t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
yk ~某种群第k代的数量(人口) yk 1yk rk y (1 y N k)k , 1 ,2 , 若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N y*=N 是平衡点
x
北方民族大学信息与计算科学系
yk f(xk) xk1h(yk) yk g(xk1)
设x1偏离x0
x 1 y 1 x 2 y 2 x 3
xk x0,yk y0
xk x0,yk y0
P 1 P 2 P 3 P 0P 1 P 2 P 3 P 0
P0是稳定平衡点
P0是不稳定平衡点
k 2 k 1 k
0
北方民族大学信息与计算科学系
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
1, 2~特征根，即方程 22 0的根
平衡点稳定，即k, xkx0的条件:
1, 2
1
()28
1,2
4
(1)的平衡点y*=N
(2)的平衡点 x* r 11 r1 b
讨论 x* 的稳定性
北方民族大学信息与计算科学系
稳定性知识
一阶非线性差分方程 xk1f(xk)(1)的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 稳定性判断 x*也是(2)的平衡点
f (x*) 1 x*是(2)和(1)的稳定平衡点
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
xk1
h
y k
y k1
2
设供应函数为 x k 1 x 0 [y k ( y k 1 ) /2 y 0 ]
需求函数不变 y k y 0 (x k x 0 ) 2 x x x 2 ( 1 ) x , k 1 , 2 ,
91 0.4118 0.6154 0.4794
92 0.4118 0.6154 0.8236
93 0.4118 0.6154 0.4794
94 0.4118 0.6154 0.8236
f (x*) 1 x*是(2)和(1)的不稳定平衡点
北方民族大学信息与计算科学系
xk 1bk(x 1xk)
xf(x)b(1 x x) x* 1 1
f(x*)b(12x*)2b
b
f (x*) 1 1b3
x* 稳定
br1
另一平衡 点为 x=0
f(0)b1
不稳定
b3(f(x*)1) x* 不稳定 y
yx
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g P4
曲线斜率
y
P0
Kf Kg y0
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
0
P3 f
g P4
P2
P0
Kf Kg
P1
x0
x
北方民族大学信息与计算科学系
方程模型 yk f(xk)
在P0点附近用直线近似曲线 y k y 0 (x k x 0 )( 0 )
xk1 h(yk)
讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？
北方民族大学信息与计算科学系
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
yk1yk rk y(1y N k) (1) yk1(r1)yk1(rr1)Nyk
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
x k 1 bk(1 x x k) (2 )
记br1 一阶(非线性)差分方程
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
北方民族大学信息与计算科学系
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
需求函数
yk f(xk)
减函数
供应函数
xk1h(yk) 增函数
y
f
g
y0
P0
wk.baidu.com
0
x0
yk g(xk1)
P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
x（ k 振荡地 ）x*
yf(x)
x
0
x 0
x 1 1/2 x * x 2 1
x（ k 不）x*
北方民族大学信息与计算科学系
k b=1.7 b=2.6 b=3.3
0 0.2000 0.2000 0.2000
1 0.2720 0.4160 0.5280
2 0.3366 0.6317 0.8224
3 0.3796 0.6049 0.4820
x k 1 x 0(y k y 0 )( 0 )
xk 1x0(xkx0)x k 1 x 0 ()k(x 1 x 0 )
1 (1/) xk x0 P0稳定 Kf Kg 1 (1/) xk P0不稳定 Kf Kg
方程模型与蛛网模型的一致 K f 1/ Kg
北方民族大学信息与计算科学系
(1)1b2
b/4
x*11/b1/2
x（ k 单调增）x*
x1 0 x 0 x 1 x 2 x * 1/ 2
yf(x)
1x
北方民族大学信息与计算科学系
xk 1bk(x 1xk)
(2)2b3
x*11/b1/2
y
yx
b/4
(3) b3
y
yx
b/4
yf(x)
0 x0
x 1 1/ 2 x * x 2 1
x
第七章数学模型电子教案
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北方民族大学信息与计算科学系
第七章 差分方程模型
7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 差分形式的阻滞增长模型
北方民族大学信息与计算科学系
7.1 市场经济中的蛛网模型
供大于求
现 象
增加产量
价格下降 价格上涨
减少产量 供不应求
描述商品数量与价格的变化规律
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
结结果果解解释释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
yky0(xkx0)
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
xk 1x0(yky0)
~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量
~ 消费者对需求的敏感程度 小, 有利于经济稳定
~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定