导数及其应用测试卷含详细答案
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单元综合测试三(第三章)
时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′()＝－3，则a 的值为( )1
2A ．－1 B ．－2C ．1
D ．2
解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )．
又f ′()＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2.
1
2答案：B
2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( )A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos x
D ．y ′＝cos 2x ＋cos x
解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′
＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .
答案：C
3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)
D ．(1，＋∞)
解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C
4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )
A ．14
B ．4
C ．10
D ．6
解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，
所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.
答案：A
5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0π
2互相垂直，则实数a 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′()＝1，
π
2∴k ＝－＝－1，a ＝2.
a
2答案：D
6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )
A ．1
B ．3
C ．－4
D ．－8
解析：
如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，
∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，
∴Error!∴Error!
∴P (4,8)，Q (－2,2)．
又∵抛物线可化为y ＝x 2，∴y ′＝x .
1
2∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，
∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.
又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.
∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立Error!解得x ＝1，y ＝－4. ∴点A 的纵坐标为－4.答案：C
7．若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是(－∞，－)，(，＋∞)，
3
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3则a 的取值范围是( )
A ．a >0
B ．－1 C ．a >1