数学建模-预测2012年伦敦奥运会前五名奖牌榜

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国家会地区之间各界奥运会奖牌数量的转移规律，即求出状态转移概率矩阵，进 而可以用今年的数据来预测下届奥运会奖牌数。
五、模型建立和求解
5.1.1 模型一建立 基于前面的分析，我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出 现在奖牌榜前15名的9个国家，将剩余的国家或地区归为一个地区，这样就选出 了10各国家或地区作为研究对象，记国家或地区的编号为i(i=1,2,„10，记届次 编号为t(t=1,2,„,6)。具体的选取过程我们将在模型求解释详细说明。 对于选取的10个国家或地区， 记国家或地区i在第j次奥运会上所得奖牌数为 ni(t)，该届奥运会总奖牌数为N(t)，即N(t)= ；由此可以得到该国家或
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分,铜牌为10 分,赋予各国在各届奥运会上的分值,从而从整体实力上计算奥运 会的东道主效应(见表 1 0
n

100%
n
n
其中:A E金牌为金牌数的东道主效应;
AE 整体实力=
y y
t 1

100%
地区在此次奥运会上所得奖牌数占总奖牌数的比例，记为wi(t)，则wi(t)= t=1,2,„6 (1)
我们再构造向量W(t)=(w1(t),w2(t),„w10(t))表示各国家或地区获得奖牌数 比例情况的结构向量。 由马氏链的基本方程可得，下届奥运会个国家或地区奖牌 数比例：W (t+1)=W(t)P t=1,2,„6 (2)
第24 届 11 3 1 7 12 9 10 15 14
4
年份 1956 1964 1976 1988 1992 2000 2004 2008 主办国家 墨尔本 日本 加拿大 韩国 西班牙 澳大利亚 希腊 中国 当前奖牌数 25 29 11 33 22 58 16 100 当届奖牌数 11 18 5 19 4 41 13 63 当届名次 3 3 27 4 6 4 15 1 前届名次 9 8 27 10 25 7 17 2
关键词：奖牌数预测、转移概率矩阵的求解 P、东道国效应、马式 链模型、
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一、
问题重述
伦敦奥运会将于 2012 年 7 月 27 开幕，奥运会奖牌榜（金银铜总数）成了大 家关心的热点问题。根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体 质、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测 2012 伦敦奥 运会的奖牌榜前五名。
以上的预测方法和数字只能说明：主办国的金牌数量肯定会有所增加，毕竟 主办国有“天时、地利、人和”的优势，并且适应比赛条件。但是，对于数字的 玩味并不能如实的反映出举办国夺金的总数，而应该通过各个项目实力看，从中 揣测方为上策， 并且比赛的不确定性和意外性，以及运动员的心理素质关键时刻 能否过硬，这些都增加了预测金牌的难度，最终结果还要等到比赛的结束。
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分析一下近几届奥运会的金牌榜不难看出，总体来说，占据金牌前列的国家 都是硬实力和软实力比较强大的国家， 在前十名中联合国五个常任理事国的代表 队都进去了，其他都是经济社会发展水平较高的国家。 5.3 东道主效应解释 5.3.1 东道主效应解释 竞技体育中的 “东道主效应”是指运动员在自己的家乡参加比赛要比在其 他地方参加比赛能取得更好的成绩。东道主效应也可以一般地理解为主场效应, 特别是对于球类比赛而言。从历史上各类比赛的经验来看,当两个或几个实力相 当或相近的赛队进行比赛时,东道主队常常会取得好成绩,即便跟比自己实力强 一些的队比赛,也可能有超水平发挥。美国心理学家Coumeya 将东道主效应定义 为“在主客场比赛场次对等情况下,主队在竞赛中获胜的比例超过50 %”。他总 结了棒球、足球、篮球等一些运动项目的主场胜率,发现主场明显高于客场。东 道主效应现象的普遍存在引起了运动心理学家和体育工作者的广泛关注。 5.3.2东道主效应的测算 本文统计了历届奥运会东道主获取金牌的数量变化情况,通过计算总共25 届奥运会东道主当届获得的金牌数增幅情况的平均值,即得到奥运会金牌数的东 道主效应。 同时,采用九运会奖牌赋分的官方标准,将金牌赋分为13 分,银牌为11
日本 其他 0 0.999 0 1 0 0.454 0.03 0 0.25 0 0 1 0 0 0.35 0 0 0 0.02 0.41
5.5第30届奥运会奖牌数预测 用第29届奥运会中各国家或地区构成数据向量W6)=0.094,0.116,0.076, 0.043,0.050,0.042,0.030,0.049,0.026,0.474)， 结合表4所示的概率转移矩阵P 由公式(2)：W(t+1)=W(t)P，可得出第30届奥运会各国家或地区奖牌数比例，再 根据各届的奖牌总数假设下届的奖牌总数为980枚，最后求得第30届奥运会各国 家或地区奖牌比例和数量情况如表5所示： 30 届奥运会各国家或地区奖牌比例和数量
我们建立以误差变量最小为目标，关于转移概率矩阵P的规划模型：
min f =
3
[W (t + 1) − W (t ) P ]
S.T.
i=1,2,„10；j=1,2,„10
5.1.2模型一求解 针对（6）式的模型，我们先选取合适的研究对象I,再根据以往数据计算个 国家奖牌数占总奖牌数的比例wi(t),用lingo软件解（6）的最优解，再利用（2） 式即可求得奖牌比例的预测值
四、问题的分析
竞技体育有较强的规律性，单个项目的偶然性并不否定整体发展的必然性， 这也使得我们预测体育赛事成绩具有可能性。 由于竞技体育是一个渐近发展的过 程，一个国家也许在一两届奥运周期内，在某一项目上取得突破性进展，但其国 家竞技体育整体实力的大幅度提高却不可能在较短的时间内完成， 相邻两届奥运 会成绩之间有着很强的关联性。 因此，我们认为奥运奖牌变化是一个马尔可夫过 程。 可以选取一定数量的国家或地区作为研究对象，运用马尔可夫模型研究这些
(t + 1) 表示出误 差变量 (t + 1) ，其中： (t + 1) = (t + 1) − (t + 1) 。
利用 LINGO 软件求解(6)式利用 LINGO 软件求解(6)式模型得到状态转移概率如 表所示： 各国家或地区奖牌数比例转移概率表
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中国 中国 0.001 美国 0 俄罗斯 0 德国 0 英国 0.549 法国 0 意大利 0 澳大利亚 0 日本 0.618 其他 0.095
i
(t)
1、选取所要研究的国家或地区 我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出现在奖牌榜前15 名的9个国家，并重点参考近两届的排名情况。其基本情况如表1所示：（俄罗斯 数据的第25届为独联体的数据， 第24届为前苏联的数据，德国第24届的数据为民 主德国和联邦德国的奖牌数和） 表1 研究对象在奖牌榜 第 第 第 第 第 的排名情况 届次 29届 28届 27届 26届 25届 国家 中国 1 2 3 4 4 美国 2 1 1 1 2 俄罗斯 3 3 2 2 1 德国 5 6 5 3 3 英国 4 10 10 36 13 法国 10 7 6 5 9 意大利 9 8 7 6 11 澳大利亚 6 4 4 7 10 日本 8 5 15 23 17 按照上表，我们依次对中国、美国、俄罗斯等国家编号 i=1,2,„,9,将剩余 的国家和地区的综合编号 i=10,这样我们就确定了所要研究的 10 个国家或地区。 5.2 主办国金牌递增规律”。 例如，1984 年洛杉矶奥运会，韩国获得 6 枚金牌，而 1988 年汉城奥运会，作为 主办国获得了 12 枚金牌；西班牙在汉城奥运会获得 1 枚金牌，而作为主办国在 巴塞罗那奥运会上获得 13 枚金牌；美国在巴塞罗那奥运会获得 37 枚金牌，而在 1996 年的亚特兰大奥运会上获得 44 枚金牌； 澳大利亚在亚特兰大获得 9 枚金牌， 而在 2000 年的悉尼奥运会上获得 16 枚金牌； 希腊在悉尼奥运会上获得 4 枚金牌， 到了 2004 年雅典奥运会获得了 6 枚金牌。从中我们可以看出，主办国在奖牌总 数上会高于上一届， 约 2-12 枚。 按照这个规律， 中国能拿到 44 枚左右并不意外。
二、
符号说明
x
0
： 为东道主当届获得的金牌数占当届总金牌数的百分比;
x ： 为东道主其他届次获得金牌数占该届总金牌数百分比的平均值;
y
： 为东道主当届获得的奖牌数得分占该届总奖牌分数的百分比；
0
y：
为东道主其他届次获得奖牌数的分数占该届总奖牌分数百分比的平均值；
n ： 为该国获得奥运会金牌的总届数。
0
n
其中：AE 整体实力为整体实力的东道主效益； 根据东道国效益测算方法求东道国效益参数，结果如下： 历届奥运会金牌数的东道国效应测算表 东道国那届 其他届次获得 东道国届 获得的金牌 东道国那届获得金牌比例 届第/东道国 金牌所占的平 次 占该届金牌 －其他届次金牌比例 均比例 的比例 24 韩国 1 0.0498 0.0267 0.0231 25 西班牙 1 0.0500 0.0090 0.0410 26 美国 4 0.1624 0.2134 -0.0510 27 澳大利亚 2 0.0532 0.0277 0.0254 28 希腊 2 0.0199 0.0096 0.0103 东道国效应 金牌数的东道国效应=0.1131 再由“奖牌数=基本预测值 （1+东道主效益）”得出英国在 2012 伦敦奥运会 中获得奖牌情况如下： 奖牌 金牌 银牌 铜牌 总数 枚数 20 12 14 46 5.4转移概率矩阵的求解 P 我们选取分别第24届到28届的数据预测第25届到29届数据，ˆ 其中： (t + 1) = ∑ (t ) ；再利用第 25 届到 29 届实际数据
i:国家或地区编号(1,2,,10 t : 届次编号(1,2,„7) ni(t):国家或地区第几届获奖牌数 N(t):第t届奥运会奖牌总数 Wi(t):国家或地区第届获奖牌数占总数的比例 W(t):各国家或地区第t届奖牌数结构向量 P,pij:转移概率矩阵，转移概率矩阵元素 Vi(t):奖牌数比例的误差项