2020届杨浦区高考数学一模

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2019-2020学年上海市杨浦区高三年级一模考试数学试卷

2019-2020学年上海市杨浦区高三一模考试数学试卷2019.12 一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.函数12()f x x -=的定义域为【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12()f x x-==(0,)x ∈+∞ 2. 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭3.已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=【答案】12【解析】因为21log 12=-，所以1(1)2f -= 4.设a R ∈，2(1)a a a a i --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a = 【答案】02a =或【解析】因为2(1)a a a a i --++为纯虚数，所以2010a a a a ⎧--=⎨+≠⎩，所以02a =或5.已知圆锥曲线的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为【答案】3π【解析】2clS =(c 为底面圆周长，l 为母线长)，因为2c π=所以2l =，所以母线与底面所成角的大小为3π6.已知7(1)ax +二项展开式中的3x 系数为280，则实数a = 【答案】2【解析】3334735280T C a a =⋅==，所以2a = 7.椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c =，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅ 8.已知数列{}n a 的通项公式为*1(2)()1()(3)2n n n n a n N n -≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞=【答案】72【解析】因为1112+48n S =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，所以174lim 3+=121-2n n S →∞=9.在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=，22222cos 2sin PAPB θθθθ⋅=++， 22)PA PBθθθϕ⋅=+-=+，(22PA PB ⋅∈-+10.已知六个函数（1）21y x=；（2）cos y x =；（3）12y x =；（4）arcsin y x =；（5）1lg()1xy x+=-；（6）1y x =+，从中任选三个函数，则其中弃既有奇函数又有偶函数的选法有种。

上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)

上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分,共54分)1. 函数2()f x x =的定义域为______2. 关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______ 3. 已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=______4. 设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =______5. 己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为______6. 已知7(1)ax+二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =______7. 椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若PF =15，则12cos F PF ∠=______8. 已知数列{n a }的通项公式为1(2)1()32n n n n a n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n ∈N *)，n S 是数列{n a }的前n 项和.则lim n x S →∞=______ 9. 在直角坐标平面xOy 中，A (-2,0)，B (0,1)，动点P 在圆C ：222x y +=上，则 PA PB ⋅的取值范围为______10. 已知六个函数：①21y x=；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg()1x y x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有______种11. 已知函数1|1()|xf x =-，（0x >），若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为______12. 向量集合S ={(),|,,a a x y x y =∈R }，对于任意α、S β∈,以及任意λ∈(0,1)，都有()12S λαβ+-∈，则称S 为“C 类集”.现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合M ={,|a a S R μμ∈∈}也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合M ={|,a b a S b T +∈∈}也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( )A. 22a b >B. 11a b< C. |a ||b |> D. 22a b > 14. 要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin2y x =的图象( )A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 15. 设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( )A. 如果120z z ->，那么12z z >B. 如果12z z =，那么12z z =±,C. 如果12||1z z >，那么12z z >D. 如果22120z z +=,那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数1(()0())A x f x x A A ⎧=∈⎨⎩∈R为A 的特征函数.设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )A. 若A B ∈，则()()A B f x f x ≤B. ()1()A A f x f x =-RC. ()()()A A B B f x f x f x =⋅D. ()()()A A B B f x f x f x =+三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB =P A =1，AD =3，E 、F 分别为棱PD 、P A 的中点.(1)求证：B 、C 、E 、F 四点共面；(2)求异面直线PB 与AE 所成的角.18. 已知函数()22x xa f x =+，其中a 为实常数. (1) (0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19. 东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15°，且位于B 的南偏东15°方向，D 位于A 的正北方向，AC =AD =2km ，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60 km /h .(1) 判断救护车通过道口A 是否会受到火车影响，并说明理由；(2) 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口?通过计算说明.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(,0t )，0t >,(1)若||5OA =，求点A 的坐标；(2)若△AFD 为等腰直角三角形，且FAD ∠=90o ，求点D 的坐标；(3)弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切” 的一个充要条件是“p 为弦AB 的中点”.21. 已知无穷数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤,则称数列{n a }具有性质P .(1) 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{n a }是否具有性质P ，并说明理由；(2) 已知无穷数列{n a }具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；(3) 已知21n b n =-，n ∈N *,数列{n c }是等差数列，122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{n a }具有性质P ，求2019c 的取值范围.上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。

上海市杨浦区2019-2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学试卷(含答案)

杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1．函数12()f x x-= 的定义域为 .2．关于,x y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为 .3．已知函数()f x 的反函数12()log -=fx x ，则(1)-=f .4．设R ∈a ，22(1)i --++a a a 为纯虚数（i 为虚数单位），则a = . 5．已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 .6．已知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = .7．椭圆22194x y +=的焦点为12 ,F F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则 12cos F PF ∠= .8．已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1(3)2-≤⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩n n nn a n （*N ∈n ），n S 是数列{}n a 的前n 项和.则lim n n S →+∞= .9. 在直角坐标平面xOy 中，(2,0),(0,1)-A B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅ 的取值范围为 .10．已知六个函数：①21y x=；②c o s y x =；③12y x =；④a r c s i n y x =；⑤1l g ()1xy x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有种.11．已知函数1()1f x x=-（0x >），若关于x 的方程2[()]()230+++=f x m f x m 有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 .12 ．向量集合(){},,R ==∈ 、S a a x y xy ．对于任意,S αβ∈，以及任意()1,0∈λ，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：① 若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ② 若,S T 都是“C 类集”，则集合{},=+∈∈M a b a S b T 也是“C 类集”；③ 若12A ,A 都是“C 类集”，则1A 2A 也是“C 类集”；④ 若12A ,A 都是“C 类集”，且交集非空，则1A 2A 也是“C 类集”．其中正确的命题有_________.（填所有正确命题的序号）二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知实数,a b 满足>a b ，则下列不等式中恒成立的是（）()A 22>a b ()B11<a b()C >a b ()D 22>a b 14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象（）()A 向左平移6π个单位 ()B 向右平移6π个单位 ()C 向左平移3π个单位 ()D 向右平移3π个单位15．设12、z z 为复数,则下列命题中一定成立的是 ( )()A 如果120->z z ,那么12>z z ()B 如果12||||=z z ,那么12=±z z ()C 如果121>z z ,那么12>z z ()D 如果22120+=z z ,那么120==z z 16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()∈⎧=⎨∈⎩A Rx A f x x A ð为A 的特征函数.设,A B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（）()A 若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤ ()B ()1()=-R A A f x f x ð()C ()()()A B A B f x f x f x =⋅ ()D ()()()A B A B f x f x f x =+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD .1AB PA ==，AD =,E F 分别为棱,PD PA 的中点.⑴ 求证：B C E F 、、、四点共面； ⑵ 求异面直线PB 与AE 所成的角．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()22xxaf x =+，其中a 为实常数. ⑴ 若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =； ⑵ 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）东西向的铁路上有两个道口A B 、，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h . ⑴ 判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；⑵ 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A B 、中的哪个道口？通过计算说明．DECA B20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如图,在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为(,0)t (0>t ).⑴ 若||OA =A 的坐标；⑵ 若AFD ∆为等腰直角三角形，且90∠=︒FAD ，求点D 的坐标；⑶ 弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有2120,0n n S S -≥≤，则称数列{}n a 具有性质P .⑴ 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；⑶ 已知21n b n =-（*N n ∈），数列{}n c 是等差数列，122()()n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.12.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1． (0,)+∞； 2． 211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 3． 12； 4. 2； 5.3π； 6. 2； 7. 35； 8. 72；9.[2-+ ； 10. 12； 11. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦； 12. ①②④二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分） 13. D ； 14. A ； 15. C ； 16. D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接EF ，因为E F 、分别为PD PA 、的中点. 所以EF ∥AD （2分）又因为BC ∥AD ，可得：EF ∥BC （4分）所以B C E F 、、、四点共面（6分）（2）设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ 由,E Q 分别为,DP DB 的中点，可得EQ ∥PB所以AEQ ∠或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角（8分）由PA ⊥平面ABCD 可得：,PA AB PA AD ⊥⊥ 因为1AB AP ==，AD =PB =2PD = （10分）12EQ PB == 112AE PD == 112==AQ AC （12分）（给在12的关系上）222111cos24+-+-∠===⋅AE EQ AQAEQAE EQ．arccos(0,)42AEQπ∠=∈异面直线PB与AE所成角的大小为arccos4（14分）说明：第⑵题也可以用空间向量求解⑵【解】：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B，D，(0,0,1)P，1(0,)22E(1,0,1)PB=-，1(0,,)22AE=（12分）PB与AE所成的角θ满足||2cos4||||PB AEPB AEθ⋅==⋅∴异面直线PB与AE所成角的大小为．（14分）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由(0)17f a=+=，所以6a=，（2分）方程6252xx+=即2(2)5260x x-⋅+=，可得：22x=或23x=（4分）解得1x=或2log3x=（6分）（2）函数的定义域为R（8分）当1a=时，1()22xxf x=+，对任意R x ∈，均有11()22()22xx x x f x f x ---=+=+= 所以1()22xxf x =+为偶函数；（10分）当1a =-时，1()22xx f x =-，对任意R x ∈，均有11()22()22x xx x f x f x ---=-=-=-所以1()22xx f x =+为奇函数；（12分）当1a ≠ 且1a ≠-时，()22xx a f x =+，由(1)22a f =+，1(1)22f a -=+55(1)(1)022f f a +-=+≠，33(1)(1)022f f a --=-≠所以()22xx a f x =+为非奇非偶函数。

上海市杨浦区2020学年度第一学期高三数学测试试卷

上海市杨浦区2020学年度第一学期高三学科测试数学试卷2020.1.21★考生注意：1、试卷中使用向量的符号{}() a x,y a x,y==rr与表示意义相同．2、本试卷共有22道题，满分150分，考试时间120分钟．3、本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、“理”考生共同做的题目．一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．直线103x y -+=的倾斜角为．2．方程1340x x 9++-=的解是．3．命题“若m ＞0，则12m m+≥”的逆命题是． 4．计算：2n 2C lim n 1n →∞=+ ．5．函数()()2f x sin x cos x =+的最小正周期为．6．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是． 7．(文科考生做)设函数()()()1f x x x a =-+为偶函数，则实数a 的值是．（理科考生做）函数()11f x x x =+-(x ＞1)的值域是． 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中恰有1名是女生的概率为．9．若直角三角形ABC 的顶点是()1A , 0 -、()1B , 0，则直角顶点()C x,y 的轨迹方程为．10．已知()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （a ＞0 ，1a ≠）是R 上的增函数，那么a 的取值范围是．11．已知函数()1x y a 1 a>0 ,a 1-=-≠的反函数图像恒过定点A ，过点A 的直线l 与圆221x y +=相切，则直线l 的方程是．12．设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k 0>，使()2010kf x ≤x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“海宝”函数。

给出下列函数： ①()2f x x = ②()f x sin x cos x =+ ③()21x f x x x =++④()31xf x =+ 其中()f x 是“海宝”函数的序号为．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.{},B x x t =<，若A B=∅I ，则实数t 的取值范围是（） ()1A t <- ()1B t ≤- ()5C t > ()5D t ≥ 14．在锐角三角形ABC 中，若,53sin =A 则()cosBC + 的值是（） ()4A 5- ()3B 5- ()3C 5 ()4D 515．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()8f 的值为（）()A 1-()B 0 ()C 1 ()D 216．在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆顶点()1A , 0-和()C 1 ,0，顶点B 在椭圆22143x y +=上，则sin A sinCsin B+的值是（）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 不确定三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分) 已知z 为虚数，且z =22z z + 为实数，(文科考生做) 求复数z ．（理科考生做）若z ai ω=+(i 为虚数单位，a R ∈) 且z 虚部为正数，01a ≤≤，求ω的取值范围．解18. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知向量 1(sin , ) , (cos , 1).2a xb x ==-rr（1）当a b ⊥时，求x 的值．（2）(文科考生做) 求()()f x a b =+r r·b r 的最大值与最小值．（理科考生做）求()()f x a b =+r r ·b r ，在, 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．[解](本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 1⎫-⎪⎝⎭的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．（1） (文科考生做) 当1a =时，求集合B ．（理科考生做）判定函数()f x 的奇偶性，并说明理由．（2）问：2a ≥是A B ⋂=Φ的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论． [解]20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 2020年奥运会吉祥物“福娃”所需成本费用为P 元，且10，而每套售出的价格为Q 元，其中xQ=a+b()a , b R ∈，（1）问：该玩具厂生产多少套“福娃”时，使得每套“福娃”所需成本费用最少？（2）若生产出的“福娃”能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a , b 的值．（利润 = 销售收入 — 成本） [解]21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.d 0≠，且56a =，（1）求46a a +的值．（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得 3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(t 为正整数)满足5< 1n <2n < ⋅⋅⋅ < t n <⋅⋅⋅，使得31t 5n n a , a ,a , ,a , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列，(文科考生做)当32a=时，用t表示tn．（理科考生做）求3a的所有可能值．[解]22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设抛物线）（022>=ppxy的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A 、B两点，且A 、B两点坐标分别为0212211<>yyyxyx，），，）、（，（，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．若直线MA、MF、MB的斜率分别记为：MAK a=、MFK b=、MBK c=，（如图）（1）若124y y=-，求抛物线的方程．（2）当2b=时，求a c+的值．（3）如果取MAK2=，12MBK=-时，(文科考生做)判定AMF BMF∠-∠和MFO∠的值大小关系．并说明理由．（理科考生做）判定AMF BMF∠-∠和MFO∠的值大小关系．并说明理由．通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即AMF BMF∠-∠和MFO∠的值大小关系）不变，并证明你的结论．[解]得分评卷人杨浦区2020学年度第一学期高三学科测试数学试卷 2020.1.21参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位. 一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1.arctan3；2.. 0x =；3. 若12,m m +≥则m>0； 4. 125. π；6. 14- ； 7. (文) 1（理）[3,)+∞； 8. 35；9．221(0)x y y +=≠ ； 10. 3[,2)2； 11. y=1 12. ③.二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. （文）[解一]设z=a+bi （a 、b ∈R ，0b ≠） ----------------------------------------2分由_22z z + =22(2)(22)a b a ab b i -++- ∵_22z z R +∈， ∴2200ab b b -=≠，又，∴a=1， ---------------------------------------------8分又即225a b +=， ∴b=2±， ∴z=12i ±.=======---------------------------------12分[解二] 设z=a+bi （a 、b ∈R ，0b ≠）则 225a b += ∵_22z z R +∈，()()22222212z z z z , z z z z =0z z , z z ,a=1, b= 2 z i∴+=+⇒+--≠∴+=±∴=±Q（参考解法一评分标准给分）（理） [解一]设z=a+bi （a 、b ∈R ，0b ≠） ----------------------------------------------2分由_22z z + =22(2)(22)a b a ab b i -++-∵_22z z R +∈， ∴2200ab b b -=≠，又，∴a=1， -----------------------------------------------8分又即225a b +=， ∴b=2±， ∴z=12i ±.∵ z 虚部为正数， ∴b=2， ∴z=12i +，∴w=1+2i+ai -------------------------------10分∴， a ∈[0，1] ∴|w|∈------------------------------------------------12分 [解二] （同文科，参考上评分标准给分） 18. [解]（1）∵a b →→⊥， ∴0a b →→⋅=，-------------------------------------------------2分 ∴sinxcosx -12=0， Sin2x=1， ------------------------------------------------4分 ∴2x=2k π+2π， ∴x=k π+,4k z π∈. -----------------------------------------6分（2）（文）1(sin cos cos 12a b x x b x →→→+=+-=-，），（，）f （x ）=1()cos (sin cos )2a b b x x x →→→+•=++-------------------------------------------8分=sinxcosx+cos 2x+12=12sin2x+1cos 22x ++12=2sin （2x+4π）+1 -----------------------------------------10分∴f （x ）max =2+1，f （x ）max =1-2.------------------------------------------12分（理）1(sin cos cos 12a b x x b x →→→+=+-=-，），（，）f （x ）=1()cos (sin cos )2a b b x x x →→→+•=++--------------------------------------------8分=sinxcosx+cos 2x+12=12sin2x+1cos 22x ++12=2sin （2x+4π）+1 ----------------------------------------------9分-34π≤2x+4π≤4π,-----------------------------------------------10分∴f （x ）max =32， f （x ）max =1—2.--------------------------------------------------12分19. [解] （1）（文）|1|111120x x x +≤⇔-≤+≤⇔-≤≤[] B=-2 , 0∴ --------------------------------------------------6分（理）A={x|210}1x ->+ 21100(1)(1)011x x x x x -->⇔<⇔+-<++ ∴ -1<x<1∴A=（-1，1），定义域关于原点对称----------------------------------------------------3分f （x ）= lg11xx -+，则 f （-x ）=lg 11x x +-+= lg 11()1x x --+=- lg11xx -+， ∴f （x ）是奇函数. ----------------------------------------------------6分（2）B={x|1||0}x a -+≥||11111x a x a a x a+≤⇔-≤+≤⇔--≤≤-B=[-1-a ，1-a] ----------------------------------------------------8分当a ≥2时， -1-a ≤-3， 1-a ≤-1，由A=（-1，1）， B=[-1-a ，1-a]，有A B =∅I----------------------------------------------------11分反之，若A B =∅I ，可取-a-1=2，则a=-3，a 小于2. （注：反例不唯一） -------------------------------------------------------13分所以，a ≥2是A B =∅I 的充分非必要条件。

2020届上海市杨浦区高三第一次模拟(期末)数学试题

【题干序号】1 函数()12f x x-=的定义域为_______.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】(0,)+∞ 【解析】Q ()12f x x -=化简可得:()f x=, ∴定义域为0x >.故答案为:(0,)+∞.【题干序号】2 关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为________【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩，∴它的增广矩阵为211130-⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：211130-⎛⎫⎪⎝⎭．【题干序号】3己知函数()f x 的反函数()12log fx x -=,则()1f -=_______【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】12【解析】Q ()12log fx x -=∴()2x f x =可得()11122f --==故答案为:12.【题干序号】4设()2,21a R a a a i ∈--++为纯虚数(i 为虚数单位),则a =________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】2【解析】Q ()221a a a i --++,为纯虚数即实部为0,虚部不为0∴22010a a a ⎧--=⎨+≠⎩ 解得:2a = 故答案为:2.【题干序号】5己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为_____.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】3π 【解析】设底面半径为r ,母线SA 长为l ,底面中心为O , 如图:Q 12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在SOA Rt ∆中,1cos 2OA SAO SA ∠== ∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:3π. 故答案为:3π.【题干序号】6已知7(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于280，则实数a =________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】2【解析】∵（1+ax ）７的展开式为 T r +1rC =７•（ax ）r ，令r ＝3，可得含x 3项的系数等于a 3•3C =７280，解得 a ＝2，故答案为：2．【题干序号】7椭圆22194x y +=的焦点为12,F F P ，为椭圆上一点,若15PF =,则12cos F PF ∠=_________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】35【解析】Q 椭圆22194x y+=可得:3a =,2b =,c =根据椭圆定义可得:1226PF PF a +==, 122F F c ==可得252PF a +=解得:225651PF a =-=-=. 在三角形12F PF ∆中由余弦定理:2221212112251203cos 22515PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯,故答案为:35.【题干序号】8己知数列{}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，nS是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞=________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】72【解析】Q {}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩∴()123lim lim n n n n S a a a a →+∞→+∞=+++L .()1234lim n n a a a a a →+∞=+++++L21273lim3=112112211144n n -→+∞⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭=+=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7lim 2n n S →+∞=∴ 故答案为:72.【题干序号】9在直角坐标平面xOy 中，)2,0,,1( 0A B -）（，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围为_______.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】[2-+【解析】Q 动点P 在圆22:2C x y +=上∴令)([0,2])P θθθπ∈ Q )2,0,,1( 0A B -）（∴(2,)PA θθ=-u u u r ,(,1)PB θθ=u u u r(2,)(,1)PA PB θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u r222cos 2sin θθθθ=++-2)θϕ=++Q )[θϕ+∈∴2)[2θϕ++∈+∴PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围:[2-+故答案为:[2.【题干序号】10己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④arcsin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】12【解析】对于①,因为21y x =,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数;对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为arcsin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫=⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数. 任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选1奇和2偶时,21⨯种; 当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种. ∴一共有12种选法. 故答案为:12.【题干序号】11 己知函数()()110f x x x=->，若关于x 的方程()()2[]230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为_________.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】Q ()()110f x x x=-> ∴()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩画出()f x 函数图象:设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=Q 有三个不同实数解,∴方程2230t mt m +++=有两个根其中一个在区间()0,1上,一个根为0或在区间[1,)+∞上, 若方程2230t mt m +++=一个根为0,∴32m =-,另一根为32,不满足条件. 故方程2230t mt m +++=有两个根,其中一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞令2()23g t t mt m =+++ ①当(1)0g ≠时则(0)230(1)340g m g m =+>⎧⎨=+≤⎩解得:34,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当(1)0g =时即340m +=,故43m =-, 将43m =-代入2230t mt m +++= 可得:241033t t -⋅+=,解得:1222t t ==满足方程2230t mt m +++=两个根中,一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 综上所述,实数m 的取值范围为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故答案为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【题干序号】12向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】①②④【解析】Q 集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈, 且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈∴可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线对于①,{},M a a S R μμ=∈∈v v,向量a r 整体μ倍,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为S ,T 都是“C 类集”,故{},M a b a S b T =+∈∈v v v v还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,A A 都是“C 类集”,可得12A A ⋃是表示两条直线,故③错误;对于④,12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,可得12A A ⋂表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④.【题干序号】13已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b >B ．11a b< C ．||||a b >D ．22a b >【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】D【解析】A 选项不正确，当1,2a b ==-时，不等式就不成立； B 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立； C 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立；D 选项正确，因为2x y =是一个增函数，故当a b >时一定有22a b >，故选D.【题干序号】14要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只要将2sin 2y x =的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】A【解析】Q 将函数22y sin x =的图象向左平移6π个单位长度, 可得函数2sin 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象∴将2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度,即可得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选:A.【题干序号】15设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z > B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z ==【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】C【解析】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误;对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【题干序号】16对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( )A ．若,AB ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-ðC ．()()()A B A B f x f x f x =⋅ID ．()()()A B A B f x f x f x =+U【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】D【解析】Q ()()()10A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A,Q A B ⊆, 分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==， ③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤ 综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1,()1()0,A UU A x Af x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð ,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩ ()1,0,U U x A Bx C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误. 故选:D.【题干序号】17如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD ,1AB PA ==,AD = ,F F 分别为棱,PD PA 的中点.（1）求证:B 、C 、E 、F 四点共面；（2）求异面直线PB 与AE 所成的角.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）证明见解析（2）arccos 4【解析】（1）Q 在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线, ∴EF ∥AD又Q 底面为矩形,AD ∥BC ,∴EF ∥BC∴由平行线确定唯一平面得E 、F 、B 、C 在同一平面上.（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴, 如图:可得(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,0,1)P,10,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴(1,0,1)=-u u u r PB,12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,故:||cos 4|1|||PB AE PB AE θ⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线PB 与AE 夹角:arccos 4.【题干序号】18己知函数()22x x a f x =+其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】（1）Q ()22x xa f x =+, ∴()07f =,即17a +=解得:6a =可得:6()22x x f x =+ Q ()5f x = ∴6252x x += 令2x t =(0t >) ∴65t t+=,即:2560t t -+= 解得:12t =或23t =即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R ,①当()f x 为奇函数时,Q 根据奇函数性质()()f x f x -=- 可得2222x x x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立, ∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -=可得2222x x x xa a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立, ∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数.【题干序号】19东西向的铁路上有两个道口A 、B ,铁路两侧的公路分布如图,C 位于A 的南偏西15︒,且位于B 的南偏东15︒方向,D 位于A 的正北方向,2AC AD km ==,C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人,发现北偏东45︒方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要1分钟,救护车和火车的速度均为60/km h .（1）判断救护车通过道口A 是否会受火车影响,并说明理由;（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择A 、B 中的哪个道口？通过计算说明.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）救护车通过A 会受影响，详见解析（2）选择B 过道，详见解析【解析】（1）Q C 位于A 的南偏西15︒,E 在C 北偏东45︒方向上∴在ACE ∆中,2AC =,105,45,30E CA A E E C ︒︒︒∠=∠=∠=正弦定理可得:sin sin AE AC ACE E=∠∠122AE ∴=解得:AE =Q 救护车和火车的速度均为60/km h∴救护车到达A 处需要时间:/212min 6030km km h h ==,又Q 火车到达A 处需要时间: 1.41min 60h =,火车影响A 道口时间为1],Q 21]∈∴救护车通过A 会受影响.（2）若选择A 道口:一共需要花费时间为:2160(3 4.41min 60A t =++⨯=+= 若选择B 道口:Q BE BC >通过B 道口不受火车影响,∴一共需要花费时间为:60B BC BD t h += 由余弦定理求AB 长:2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅∠AB ∴=∴BD ==∴60min 4.25min 60B A BC BD t h t +===<. ∴选择B 过道.【题干序号】20如图,在平面直角坐标系xOy 中,己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为()(),00t t >（1）若OA =求点A 的坐标;（2）若AFD ∆为等腰直角三角形,且90FAD ∠=o ,求点D 的坐标;（3）弦AB 经过点D ,过弦AB 上一点P 作直线 x t =-的垂线,垂足为点Q ,求证:“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）(1,2)A （2）(5+（3）证明见解析【解析】（1）Q 点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,且OA 设00(,)A x y ,则 020222004||5y x OA x y ⎧=⎨=+=⎩ 解得:0012x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)A . （2）设(,)A x y ,由(1,0)F ,(,0)D t可得:(1,)AF x y =--u u u r ,(,)AD t x y =--u u u rQ 90FAD ︒∠=∴AF AD ⊥u u u r u u u r2(1,)(,)(1)()0AF AD x y t x y x t x y ⋅=--⋅--=--+=u u u r u u u r ——① 又Q AFD ∆等腰,得A 点在x 轴投影为F 、D 中点,即:12t x +=. 将12t x +=,24y x =代入①得:15t =+250t =-<(舍去) ∴D点坐标为(5+.（3）Q AB l 过点(,0)D t设AB l 为:x my t =+,点()11,A x y ,点()22,B x y ,其AB 中点()00,P x y , 可得:221212,44y y x x == 联立直线与抛物线得24x my t y x=+⎧⎨=⎩,消掉x 可得:2440y my t --=根据韦达定理可得:12042y y m y +==∴02y m =设点A 处抛物线得切线为()11x x a y y -=-联立直线与抛物线得:()1124x x a y y y x ⎧-=-⎨=⎩,消掉x 可得:()211440y ay ay x -+-=∴()211(4)440a ay x ∆=-⋅-= ∴2102y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得:12y a = ∴过A 处切线方程为()211142y y x x y y -⋅=⋅- 化简得()112yy x x =+求切线()112yy x x =+与直线x t =-得交点Q 可得()1101122222Q my t t x t y m y y y +--==== ∴PQ x ⊥轴,AQ ∴与24y x =相切时,P 为AB 中点Q 以上各步骤,均可逆∴“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【题干序号】21己知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n ,均有2120,0n n S S -≥≤,则称数列{}n a 具有性质P .（1）判断首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ,并说明理由; （2）己知无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等,求证:40S =;（3）己知()21n b n n N *=-∈,数列{}n c 是等差数列,()()12n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,若无穷数列{}n a 具有性质P ,求2019c 的取值范围.【答案序号】【来源】2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）2019[4039,4037]c ∈--【解析】（1）Q 首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a ∴111(2)n n n a a q --==-根据等比数列前n 项和公式可得:()()21212121*2111(2)111(1)21201(2)33n n n n n S n N -----⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=+>∈⎣⎦--, ()22221211(2)111(1)21201(2)33n n n n n S -⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦-- ∴数列{}n a 满足具有性质P .（2）Q 无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等 ∴{}n a 满足周期性,且4n n a a +=可得44n S nS =Q {}n a 具备性质P∴满足:40n S ≤,410n S +≥利用反正法证明:若40S <,则4144141n n n S S a nS a ++=+=+, 令141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∴得:410n S +<(注:当141a n S =-+时,410n S +=,则当141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦时,410n S +<) 与410n S +≥矛盾. ∴40S ≥,又∴40n S ≤,∴40S =.证明完毕.（3）Q 数列{}n c 是等差数列∴{}n c 的前n 项和为:2n T An Bn =+, Q {}n b 前n 项和为:2n R n =由{}n a 具备性质P ,则21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 其中21n S -中包含n 项奇数项,1n -项偶数项, 有:()()2113212422n n n S a a a a a a ---=+++++++L L ()()12121n n b b b c c c -=+++++++L L 22(1)(1)n A n B n =+-+-其中2n S 中包含n 项奇数项,n 项偶数项, 故:()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++L L ()()1212n n b b b c c c =+++++++L L 22n An Bn =++由性质:P 21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 可得22(1)(2)()0(1)0A n AB n A B A n Bn ⎧++-++-≥⎨++≤⎩,对任意*n N ∈成立 ∴A 、B 满足:1020A B B A =-⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩,解得:1[2,0]A B =-⎧⎨∈-⎩ ∴2019201920184037[4039,4037]c T T B =-=-∈--.。

2020届上海市杨浦区高三第一次模拟(期末)数学试题(解析版)

2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题一、单选题1．已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b > B ．11a b< C ．||||a b >D ．22a b >【答案】D【解析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于,a b 为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项. 【详解】A 选项不正确，当1,2a b ==-时，不等式就不成立；B 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立；C 选项不正确，因为1,2a b ==-时，不等式就不成立；D 选项正确，因为2x y =是一个增函数，故当a b >时一定有22a b >，故选D. 【点睛】该题考查的是有关不等式的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点是对于不正确的结论只要举出一个反例即可，再者要熟练掌握不等式的性质. 2．要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只要将2sin 2y x =的图象( ) A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,即可求得答案. 【详解】Q 将函数22y sin x =的图象向左平移6π个单位长度,可得函数2sin 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象∴将2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度,即可得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选:A. 【点睛】本题考查三角函数图象变换,解题关键是掌握三角函数变换的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.3．设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z >B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z == 【答案】C【解析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案. 【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误;对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.4．对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,AB 为全集U 的子集,下列结论中错误的是( ) A ．若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤ B ．()()1R A A f x f x =-ð C ．()()()A B A B f x f x f x =⋅I D ．()()()A B A B f x f x f x =+U【答案】D【解析】根据()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð,逐项分析,即可求得答案.【详解】Q ()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A,Q A B ⊆, 分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==， ③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤ 综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1,()1()0,A UU A x Af x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð ,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩ ()1,0,U U x A Bx C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题 5．函数()12f x x -=的定义域为_______.【答案】(0,)+∞【解析】将函数()12f x x -=化简为()f x =,即可求得答案.【详解】Q ()12f x x -=化简可得:()f x=, ∴定义域为0x >.故答案为:(0,)+∞. 【点睛】本题主要考查了求函数的定义域,解题关键是掌握常见函数定义域的求法,考查了计算能力,属于基础题.6．关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为________【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】直接利用方程组的应用和矩阵的应用求出结果．【详解】解：∵方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩，∴它的增广矩阵为211130-⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：211130-⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵，属于基础题． 7．己知函数()f x 的反函数()12log f x x -=,则()1f -=_______【答案】12【解析】因为()12log f x x -=,可得()2x f x =,即可求得答案.【详解】Q ()12log f x x -=∴()2x f x =可得()11122f --==故答案为:12. 【点睛】本题主要考查了求函数值,解题关键是掌握反函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．设()2,21a R a a a i ∈--++为纯虚数(i 为虚数单位),则a =________.【答案】2【解析】根据纯虚数定义,即可求得答案. 【详解】Q ()221a a a i --++,为纯虚数即实部为0,虚部不为0∴22010a a a ⎧--=⎨+≠⎩解得:2a = 故答案为:2. 【点睛】本题主要考查了根据复数类型求参数,解题关键是掌握纯虚数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为_____. 【答案】3π【解析】由圆锥的底面半径为1cm 和侧面积22cm π,求出圆锥的母线长,即可求得答案. 【详解】设底面半径为r ,母线SA 长为l ,底面中心为O , 如图:Q 12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在SOA Rt ∆中,1cos 2OA SAO SA ∠== ∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:3π. 故答案为:3π. 【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.10．已知7(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于280，则实数a =________. 【答案】2【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得展开式中的含x 3项的系数，再根据含x 3项的系数等于280，求得实数a 的值．【详解】解：∵（1+ax ）７的展开式为 T r +1rC =７•（ax ）r ，令r ＝3，可得含x 3项的系数等于a 3•3C =７280，解得 a ＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F P ，为椭圆上一点,若15PF =,则12cos F PF ∠=_________.【答案】35【解析】根据椭圆定义可得:122PF PF a +=, 122F F c ==在三角形12F PF ∆中由余弦定理,即可求得答案. 【详解】Q 椭圆22194x y +=可得:3a =,2b =,c =.根据椭圆定义可得:1226PF PF a +==, 122F F c ==可得252PF a +=解得:225651PF a =-=-=. 在三角形12F PF ∆中由余弦定理:2221212112251203cos 22515PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯,故答案为:35. 【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12．己知数列{}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，nS是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞=________. 【答案】72【解析】因为{}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩,可得()()1231234lim lim lim n n n n n n S a a a a a a a a a →+∞→+∞→+∞=+++=+++++L L ,即可求得答案.【详解】Q {}n a 的通项公式为()()()12132n n n n a n N n *-⎧≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩∴()123lim lim n n n n S a a a a →+∞→+∞=+++L . ()1234lim n n a a a a a →+∞=+++++L21273lim3=112112211144n n -→+∞⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭=+=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7lim 2n n S →+∞=∴ 故答案为:72. 【点睛】本题主要考查了数列极限运算,解题关键掌握数列极限的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.13．在直角坐标平面xOy 中，)2,0,,1( 0A B -）（，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围为_______.【答案】[2+【解析】因为动点P 在圆22:2C x y +=上,故可设)([0,2])P θθθπ∈,求出PA u u u r 和PB u u u r,即可求得答案. 【详解】Q 动点P 在圆22:2C x y +=上∴令)([0,2])P θθθπ∈ Q )2,0,,1( 0A B -）（∴(2,)PA θθ=--u u u r ,(,1)PB θθ=-u u u r(2,)(,1)PA PB θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u r222cos 2sin θθθθ=++2)θϕ=++Q )[θϕ+∈∴2)[2θϕ++∈-+∴PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围:[2-+故答案为:[2+. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积取值范围,解题关键是掌握圆的参数方程和正弦函数两角和公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 14．己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④arcsin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种. 【答案】12【解析】逐项判断函数的奇偶性,根据计数原理,即可求得答案. 【详解】对于①,因为21y x=,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为arcsin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫=⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数. 任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论: 当选1奇和2偶时,21⨯种; 当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种. ∴一共有12种选法. 故答案为:12. 【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性和计数原理,解题关键是掌握奇偶函数的判断方法和计数原理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 15．己知函数()()110f x x x=->，若关于x 的方程()()2[]230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】因为()()110f x xx =->,即()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩,画出函数图象,设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=有三个不同实数解,故方程2230t mt m +++=有两个根,结合已知,即可求得答案.【详解】Q ()()110f x x x=-> ∴()11,0111,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩画出()f x 函数图象:设(),f x t =()()2[]230f x mf x m +++=Q 有三个不同实数解,∴方程2230t mt m +++=有两个根其中一个在区间()0,1上,一个根为0或在区间[1,)+∞上, 若方程2230t mt m +++=一个根为0,∴32m =-,另一根为32,不满足条件. 故方程2230t mt m +++=有两个根,其中一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 令2()23g t t mt m =+++ ①当(1)0g ≠时则(0)230(1)340g m g m =+>⎧⎨=+≤⎩解得:34,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当(1)0g =时即340m +=,故43m =-, 将43m =-代入2230t mt m +++= 可得:241033t t -⋅+=,解得:1222t t ==满足方程2230t mt m +++=两个根中,一个在区间()0,1上,一个在区间[1,)+∞ 综上所述,实数m 的取值范围为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故答案为:34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.16．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,以及任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,则称S 为“C 类集”,现有四个命题:①若S 为“C 类集”,则集合{},M a a S R μμ=∈∈v v也是“C 类集”;②若S ,T 都是“C 类集”,则集合{},M a b a S b T =+∈∈v v v v也是“C 类集”;③若12,A A 都是“C 类集”,则12A A ⋃也是“C 类集”;④若12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,则12A A ⋂也是“C 类集”. 其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号) 【答案】①②④【解析】因为集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈,可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案.【详解】Q 集合(){},,,S a a x y x y R ==∈v v,对于任意,S αβ∈,且任意()0,1λ∈,都有()1S λαλβ+-∈∴可以把这个“C 类集”理解成,任意两个S 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S 上,因此可以理解它的图象成直线对于①,{},M a a S R μμ=∈∈v v,向量a r整体μ倍,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为S ,T 都是“C 类集”,故{},M a b a S b T =+∈∈v v v v还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,A A 都是“C 类集”,可得12A A ⋃是表示两条直线,故③错误;对于④,12,A A 都是“C 类集”,且交集非空,可得12A A ⋂表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④. 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.三、解答题17．如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD ,1AB PA ==,3AD =, ,F F 分别为棱,PD PA 的中点.（1）求证:B 、C 、E 、F 四点共面；（2）求异面直线PB 与AE 所成的角. 【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）因为在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线,可得EF ∥AD ,结合底面为矩形,即可求得答案;（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴,求得PB u u u r和AEu u u r ,||cos ||||PB AE PB AE θ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ,即可求得答案. 【详解】（1）Q 在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线,∴EF ∥AD又Q 底面为矩形,AD ∥BC ,∴EF ∥BC∴由平行线确定唯一平面得E 、F 、B 、C 在同一平面上.（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴, 如图:可得(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,0,1)P ,310,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴(1,0,1)=-u u u r PB ,310,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,故:||2cos 4|1|2||21PB AE PB AE θ⋅===⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ∴异面直线PB 与AE 夹角:2arccos 4.【点睛】本题主要考查了求证四点共面和向量法求异面直线夹角,解题关键是掌握向量法求线线角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 18．己知函数()22xx af x =+其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =;（2）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由. 【答案】（1）1x =或2log 3（2）答案见解析【解析】（1）因为()22xx a f x =+,()07f =,可得6a =,故6()22xxf x =+,因为()5f x =,即6252x x +=,通过换元法,即可求得答案; （2）因为函数定义域为R ,分别讨论()f x 为奇函数和()f x 为偶函数,即可求得答案. 【详解】（1）Q ()22xxa f x =+, ∴()07f =,即17a +=解得:6a = 可得:6()22xxf x =+Q ()5f x =∴6252x x+= 令2x t =(0t >)∴65t t+=,即:2560t t -+= 解得:12t =或23t = 即:122x =,223x =∴11x =或22log 3x =.（2）函数定义域为R , ①当()f x 为奇函数时,Q 根据奇函数性质()()f x f x -=-可得2222xx x x a a --⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭恒成立即1(1)202xxa ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =-.②当()f x 为偶函数时,根据偶函数性质()()f x f x -= 可得2222xxx xa a --+=+恒成立即1(1)202x x a ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭恒成立,∴1a =.③当1a ≠±时,函数为非奇非偶函数. 【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19．东西向的铁路上有两个道口A 、B ,铁路两侧的公路分布如图,C 位于A 的南偏西15︒,且位于B 的南偏东15︒方向,D 位于A 的正北方向,2AC AD km ==,C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人,发现北偏东45︒方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要1分钟,救护车和火车的速度均为60/km h .（1）判断救护车通过道口A 是否会受火车影响,并说明理由;（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择A 、B 中的哪个道口？通过计算说明. 【答案】（1）救护车通过A 会受影响，详见解析（2）选择B 过道，详见解析【解析】（1）因为C 位于A 的南偏西15︒,E 在C 北偏东45︒方向上,在ACE∆中,2AC =,105,45,30E CA A E E C ︒︒︒∠=∠=∠=,根据正弦定理求得AE ,求得救护车到达A 处需要时间,结合已知,即可求得答案;（2）分别求出选择A 道口共需要花费时间和选择B 道口共需要花费时间,即可求得答案. 【详解】（1）Q C 位于A 的南偏西15︒,E 在C 北偏东45︒方向上∴在ACE ∆中,2AC =,105,45,30E CA A E E C ︒︒︒∠=∠=∠=正弦定理可得:sin sin AE ACACE E=∠∠122AE ∴=解得:AE =Q 救护车和火车的速度均为60/km h∴救护车到达A 处需要时间:/212min 6030km km h h ==,又Q 火车到达A 处需要时间:1.41min 60h =,火车影响A道口时间为1],Q 21]∈∴救护车通过A 会受影响.（2）若选择A 道口: 一共需要花费时间为:2160(3 4.41min 60A t =+⨯== 若选择B 道口:Q BE BC >通过B 道口不受火车影响,∴一共需要花费时间为:60B BC BDt h +=由余弦定理求AB 长:2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅∠AB ∴=∴BD ==∴60min 4.25min 60B ABC BD t h t +==⨯=<.∴选择B 过道.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用,解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,点D 的坐标为()(),00t t >（1）若5OA =求点A 的坐标;（2）若AFD ∆为等腰直角三角形,且90FAD ∠=o ,求点D 的坐标;（3）弦AB 经过点D ,过弦AB 上一点P 作直线 x t =-的垂线,垂足为点Q ,求证:“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【答案】（1）(1,2)A （2）(52,0)+（3）证明见解析【解析】（1）因为点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,且5OA =设00(,)A x y ,则 020222004||5y x OA x y ⎧=⎨=+=⎩即可求得答案; （2）设(,)A x y ,由(1,0)F ,(,0)D t ,可得:(1,)AF x y =--u u u r ,(,)AD t x y =--u u u r,因为90FAD ︒∠=,可得AF AD ⊥u u u r u u u r,结合已知,即可求得答案;（3）因为AB l 过点(,0)D t ,设AB l 为:x my t =+,点()11,A x y ,点()22,B x y ,其AB 中点()00,P x y ,可得:221212,44y y x x ==,联立直线与抛物线得24x my t y x=+⎧⎨=⎩,结合已知条件,根据充要条件定义,即可求得答案. 【详解】（1）Q 点A 是第一象限内抛物线C 上的一点,且5OA =设00(,)A x y ,则 020222004||5y x OA x y ⎧=⎨=+=⎩解得:0012x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)A .（2）设(,)A x y ,由(1,0)F ,(,0)D t可得:(1,)AF x y =--u u u r ,(,)AD t x y =--u u u rQ 90FAD ︒∠=∴AF AD ⊥u u u r u u u r2(1,)(,)(1)()0AF AD x y t x y x t x y ⋅=--⋅--=--+=u u u r u u u r——①又Q AFD ∆等腰,得A 点在x 轴投影为F 、D 中点,即:12tx +=. 将12t x +=,24y x =代入①得:15t =+250t =-<(舍去) ∴D点坐标为(5+.（3）Q AB l 过点(,0)D t设AB l 为:x my t =+,点()11,A x y ,点()22,B x y ,其AB 中点()00,P x y ,可得:221212,44y y x x ==联立直线与抛物线得24x my ty x=+⎧⎨=⎩,消掉x 可得:2440y my t --=根据韦达定理可得:12042y y m y +==∴02y m =设点A 处抛物线得切线为()11x x a y y -=-联立直线与抛物线得:()1124x x a y y y x⎧-=-⎨=⎩,消掉x 可得:()211440y ay ay x -+-=∴()211(4)440a ay x ∆=-⋅-=∴2102y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得:12y a = ∴过A 处切线方程为()211142y y x x y y -⋅=⋅-化简得()112yy x x =+求切线()112yy x x =+与直线x t =-得交点Q 可得()1101122222Q my t tx t y m y y y +--==== ∴PQ x ⊥轴,AQ ∴与24y x =相切时,P 为AB 中点 Q 以上各步骤,均可逆∴“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系问题,解题关键是掌握在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.21．己知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的正整数n ,均有2120,0n n S S -≥≤,则称数列{}n a 具有性质P .（1）判断首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ,并说明理由; （2）己知无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等,求证:40S =;（3）己知()21n b n n N *=-∈,数列{}n c 是等差数列,()()12n n n b n a cn +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,若无穷数列{}n a 具有性质P ,求2019c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）2019[4039,4037]c ∈-- 【解析】（1）因为首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a ,即可111(2)n n n a a q --==-,求21n S -和2n S ,即可求得答案;（2）因为无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等,{}n a 满足周期性,且4n n a a +=,可得44n S nS =,因为{}n a 具备性质P ,故满足:40n S ≤,410n S +≥,采用反证法证明,即可求得答案;（3）数列{}n c 是等差数列,可得{}n c 的前n 项和为:2n T An Bn =+,因为{}n b 前n 项和为:2n R n =,由{}n a 具备性质P ,则2120n n S S -≥⎧⎨≤⎩其中21n S -中包含n 项奇数项,1n -项偶数项,结合已知,即可求得答案. 【详解】（1）Q 首项为1,公比为2-的无穷等比数列{}n a∴111(2)n n n a a q --==-根据等比数列前n 项和公式可得:()()21212121*2111(2)111(1)21201(2)33n n n n n S n N -----⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=+>∈⎣⎦--, ()22221211(2)111(1)21201(2)33nn n n n S -⎡⎤⨯--⎣⎦⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦-- ∴数列{}n a 满足具有性质P .（2）Q 无穷数列{}n a 具有性质P ,且任意相邻四项之和都相等∴{}n a 满足周期性,且4n n a a +=可得44n S nS =Q {}n a 具备性质P∴满足:40n S ≤,410n S +≥利用反正法证明:若40S <,则4144141n n n S S a nS a ++=+=+,令141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∴得:410n S +<(注:当141a n S =-+时,410n S +=,则当141a n S ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦时,410n S +<) 与410n S +≥矛盾.∴40S ≥,又∴40n S ≤,∴40S =.证明完毕.（3）Q 数列{}n c 是等差数列∴{}n c 的前n 项和为:2n T An Bn =+,Q {}n b 前n 项和为:2n R n =由{}n a 具备性质P ,则21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 其中21n S -中包含n 项奇数项,1n -项偶数项,有:()()2113212422n n n S a a a a a a ---=+++++++L L()()12121n n b b b c c c -=+++++++L L22(1)(1)n A n B n =+-+-其中2n S 中包含n 项奇数项,n 项偶数项,故:()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++L L()()1212n n b b b c c c =+++++++L L22n An Bn =++由性质:P 21200n nS S -≥⎧⎨≤⎩ 可得22(1)(2)()0(1)0A n AB n A B A n Bn ⎧++-++-≥⎨++≤⎩,对任意*n N ∈成立 ∴A 、B 满足:1020A B B A =-⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩,解得:1[2,0]A B =-⎧⎨∈-⎩ ∴2019201920184037[4039,4037]c T T B =-=-∈--.【点睛】本题主要考查了有关与数列相关的创新题和对新定义的理解,解题关键是要充分理解新定义和数列的知识相结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.。

2020年上海市杨浦区高考数学一模试卷试题及答案

2020年上海市杨浦区高三高考数学一模试卷一、填空题1．函数12()f x x -=的定义域为．2．关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为．3．己知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -= ．4．设a R ∈，22(1)a a a i --++为纯虚数(i 为虚数单位），则a = ．5．己知圆锥的底面半径为lcm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为． 6．己知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = ．7．椭圆22194x y +=的焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则12cos F PF ∠= ． 8．己知数列{}n a 的通项公式为*1(2)()1()(3)2n n nn a n N n -⎧⎪=∈⎨⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞= ．9．在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB 的取值范围为．10．己知六个函数：①21y x =；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1()1xy lg x+=-；⑥1y x =+，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种 11．己知函数1()|1|(0)f x x x=->，若关于x 的方程2[()]()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为．12．向量集合{}|(,),,S a a x y x y R ==∈，对于任意α，S β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有(1)S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}|,M a a S R μμ=∈∈也是“C 类集”； ②若S ，T 都是“C 类集”，则集合{}|,M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A ，2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A ，2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”．其中正确的命题有（填所有正确命题的序号）．二、选择题13．己知实数a ，b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．22a b >B ．11a b< C ．||||a b >D ．22a b >14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位15．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->，那么12z z > B ．如果12||||z z =，那么12z z =± C ．如果12||1z z >，那么12||||z z > D ．如果22120z z +=，那么120z z == 16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()A Rx A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩为A 的特征函数．设A ，B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( ) A ．若A B ⊆，()()A B f x f x B ．()1()R A A f x f x =-C ．()()()A B ABf x f x f x = D ．()()()A B ABf x f x f x =+三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1AB PA ==，AD =，E ，F 分别为棱PD ，PA 的中点．（1）求证：B 、C 、E 、F 四点共面；（2）求异面直线PB 与AE 所成的角．18．己知函数()22x xaf x =+，其中a 为实常数．（1）若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．19．东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h ．（1）判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口？通过计算说明．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(t ，0)(0)t >．（1）若||5OA =A 的坐标；（2）若AFD ∆为等腰直角三角形，且90FAD ∠=︒，求点D 的坐标；（3）弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．21．己知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -，20n S ，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（2）己知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；（3）己知*21()n b n n N =-∈，数列{}n c 是等差数列，()()122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．参考答案一、填空题1．函数12()f x x -=的定义域为 (0,)+∞ ．解：12y x-==，使函数有意义只要满足0x >即可，故函数12y x -=的定义域为：(0,)+∞；故答案为：(0,)+∞2．关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为211130-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为211130-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：211130-⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．己知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f - 2．解：把1y =-代入反函数12()log 1f x x -==-，故12x =，故答案为：12． 4．设a R ∈，22(1)a a a i --++为纯虚数(i 为虚数单位），则a = 2 ．解：22(1)a a a i --++为纯虚数， ∴22010a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得2a =．故答案为：2．5．己知圆锥的底面半径为lcm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为 3．解：由圆锥侧面积公式12S rl l πππ===，解得2l =，设母线与底面所成角为θ，则1cos 2r l θ==， 3πθ∴=，故答案为：3π．6．己知7(1)ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = 2 ．解：二项式展开的通项公式得777177()1r r r r r r r T C ax C a x ---+==，令4r =，得3x 的系数，37280r C a =，2a =，故答案为：2．7．椭圆22194x y +=的焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则12cos F PF ∠= 5 ．解：椭圆22194x y +=的焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，可得2||651PF =-=，21||2F F c ==，由余弦定理可得：222121212||||||251203cos 2||||2515PF PF F F PF PF θ+-+-===⨯⨯．故答案为：35．8．己知数列{}n a 的通项公式为*1(2)()1()(3)2n n n n a n N n -⎧⎪=∈⎨⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞2．解：由*1(2)()1()(3)2n n n n a n N n -⎧⎪=∈⎨⎪⎩，知数列{}n a 自第三项起是以14为首项，以12为公比的等比数列，则1231234lim lim()lim()n n n n n n S a a a a a a a a a →+∞→∞→∞=+++⋯+=++++⋯+174121212=++=-．故答案为：72． 9．在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PAPB 的取值范围为[2-+ ．解：令)([0,2])P θθθπ∈，且(2,0)A -，(0,1)B ， ∴(22cos ,2sin )(2cos ,12sin )PA PB θθθθ=-----2222cos sin θθθθ=++-2sin )θθ=+-)2θϕ=++，其中tan 2ϕ=-，∴PA PB 的取值范围为[2-+．故答案为：[2-+．10．己知六个函数：①21y x =；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1()1xy lg x+=-；⑥1y x =+，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有 12 种解：根据题意，六个函数：①21y x =，②cos y x =，③12y x =，④arcsin y x =，⑤1()1xy lg x+=-，⑥1y x =+中，奇函数有④arcsin y x =和⑤1()1xy lg x+=-，共2个，偶函数有：①21y x =和②cos y x =，共2个，非奇非偶函数有：④arcsin y x =和⑥1y x =+，共2个，从6个函数中任选3个，若有1个奇函数和2个偶函数，有122⨯=种选法，若有2个奇函数和1个偶函数，有122⨯=种选法，若有1个奇函数、1个偶函数和1个非奇非偶函数，有2228⨯⨯=种选法，则既有奇函数又有偶函数的选法共有22812++=种；故答案为：12． 11．己知函数1()|1|(0)f x x x=->，若关于x 的方程2[()]()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 (2，4]3．解：画出函数1()|1|(0)f x x x=->的图象，如图所示，令()y f x =，则2230y my m +++=有2个不相等的实数解，其范围分别为(0,1)和[1，)+∞，则22123000230m m m m ⎧+++⎨+⨯++>⎩解得3423m -<-故答案为：3(2-，4]3-．12．向量集合{}|(,),,S a a x y x y R ==∈，对于任意α，S β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有(1)S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}|,M a a S R μμ=∈∈也是“C 类集”； ②若S ，T 都是“C 类集”，则集合{}|,M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A ，2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”； ④若1A ，2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”．其中正确的命题有 ①②④ （填所有正确命题的序号）．解：①若S 为“C 类集”，则对于任意α，S β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有(1)S λαλβ+-∈，集合{}|,M a a S R μμ=∈∈，可得对于任意μα，M μβ∈，以及任意(0,1)λ∈，都有(1)M λμαλμβ+-∈，故①正确；②若S 是“C 类集”，则对于任意1α，1S β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有11(1)S λαλβ+-∈， T 是“C 类集”，则对于任意2α，2T β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有22(1)T λαλβ+-∈，可得对于任意12M αα+∈，12M ββ+∈，以及任意(0,1)λ∈，都有1212()(1)()M λααλββ++-+∈，故②正确；③若1A “C 类集”，可得对于任意1α，11A β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有111(1)A λαλβ+-∈， 2A 是“C 类集”，对于任意2α，22A β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有222(1)A λαλβ+-∈，设12M A A =，M 为1A ，2A 中的元素的合并而得，且不重复，不符合“C 类集”的定义，故③错误；④若1A “C 类集”，可得对于任意1α，11A β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有111(1)A λαλβ+-∈， 2A 是“C 类集”，对于任意2α，22A β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有222(1)A λαλβ+-∈，设12M A A =，M 为1A ，2A 中的元素的公共部分而得，且不为空集，符合“C 类集”的定义，故④正确．故答案为：①②④．二、选择题13．己知实数a ，b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．22a b >B ．11a b< C ．||||a b >D ．22a b >解：A 选项不正确，当1a =，2b =-时，不等式就不成立； B 选项不正确，因为1a =，2b =-时，不等式就不成立； C 选项不正确，因为1a =，2b =-时，不等式就不成立；D 选项正确，因为2x y =是一个增函数，故当a b >时一定有22a b >，故选：D ．14．要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x =的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位解：将2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，可得函数2sin(2)3y x π=+的图象，故选：A ．15．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->，那么12z z > B ．如果12||||z z =，那么12z z =±C ．如果12||1z z >，那么12||||z z > D ．如果22120z z +=，那么120z z ==解：对于A ，反例13z i =+，21z i =+，满足，120z z ->，当时12z z >不正确，所以A 不正确；对于B ，反例11z i =+，21z i =-，满足12||||z z =，但是12z z =±不正确；对于C ，12||1z z >，那么12||||z z >，正确；对于D ，反例11z i =+，21z i =-，满足22120z z +=，不满足120z z ==，所以D 不正确；故选：C ．16．对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()A Rx A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩为A 的特征函数．设A ，B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( ) A ．若A B ⊆，()()A B f x f x B ．()1()R A A f x f x =-C ．()()()A B ABf x f x f x = D ．()()()A B ABf x f x f x =+解：:A A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，1()()0()A R x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1()()0()B Rx B f x x C B ∈⎧=⎨∈⎩，而R C A 中可能有B 的元素，但R C B 中不可能有A 的元素，()()A B f x f x ∴，故A 正确；B ：因为1,()0,R U A xC Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，综合()A f x 的表达式，可得1()R A A f f x =-，故B 正确； 1,1,1,1,:()()()0,()0,()()0,0,A B ABR R R R Rx A B x A B x Ax BC f x f x f x x C A B x C A C B x C Ax C B ⎧⎧∈∈∈∈⎧⎧⎪⎪====⎨⎨⎨⎨∈∈∈∈⎪⎪⎩⎩⎩⎩，故C 正确； 0,:()()()1,()A B ABU x A BD f x f x f x x C A B ⎧∈⎪=≠+⎨∈⎪⎩，故D 错误；故选：D ．三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1AB PA ==，3AD =，E ，F 分别为棱PD ，PA 的中点．（1）求证：B 、C 、E 、F 四点共面；（2）求异面直线PB 与AE 所成的角．解：（1）在PAD ∆中，由E 、F 为PD ，PA 中点得，EF 为中位线，即//EF AD ，又底面为矩形，//AD BC ，//EF BC ∴，∴由平行线确定唯一平面得E 、F 、B 、C 在同一平面上．（2）如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，依题意得：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0P ，0，1)，(0E ，32，1)2， (1PB =，0，1)-，(0AE =，32，1)2， 1||22cos 4||||21PB AE PB AE θ===， ∴异面直线PB 与AE 夹角为：2arccos4．18．己知函数()22x x af x =+，其中a 为实常数．（1）若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．解：（1）由题意(0)17f a =+=， 6a ∴=，6()22x xf x =+，由6252x x +=可得22x =或23x =， 1x ∴=或2log 3x =，（2）函数定义域R ，①当()f x 为奇函数时，()()f x f x -=-， ∴2(2)22x xx xa a --+=-+， 1(1)(2)02x xa ∴++=， 1a ∴=-；②当()f x 为偶函数时，()()f x f x -=， ∴2(2)22x xx xa a --+=+， 1(1)(2)02x xa ∴-+=， 1a ∴=；③当1a ≠±时，函数()f x 为非奇非偶函数．19．东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15︒，且位于B 的南偏东15︒方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45︒方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h ．（1）判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口？通过计算说明．解：（1）依据题意：在ACE ∆中，正弦定理： sin 30sin 45AE AC =︒︒，即12AE =，解得：AE =， ∴救护车到达A 处需要时间：2126030h min ==，火车到达A1.41min =，火车影响A道口时间为1]+，2∈1]+，∴救护车经过A 会受影响．（2）若选择A 道口：一共需要花费时间为：2160(3 4.4160A t min =+⨯== 若选择B 道口：BE BC >，通过B 道口不受火车影响；一共花费时间为：60B BC BDt h +=，由余弦定理求AB 长：2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-∠，即AB =BD ∴==60 4.2560B A BC BD t h min min t +==<， ∴选择B 过道．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(t ，0)(0)t >．（1）若||OA =A 的坐标；（2）若AFD ∆为等腰直角三角形，且90FAD ∠=︒，求点D 的坐标；（3）弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．解：（1）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，可设(,)A m n ，即24n m =，0m >，0n >，又||5OA =，可得225m n +=，解得1m =，2n =，即(1,2)A ；（2）设(,)A x y ，由(1,0)F ，(,0)D t ，90(1FAD AF AD x ∠=︒⇒=-，)(y t x --，2)(1)()0y x t x y -=--+=，①由AFD ∆为等腰三角形，可得A 在x 轴上的投影为FD 的中点，即有12tx +=，且24y x =，代入①解得542t =±，由0t >，可得(542D +，0)；（3）先证由“P 为弦AB 的中点”可得“直线QA 与抛物线相切”．设直线AB 的方程为x ay t =+，联立抛物线方程24y x =，可得2440y ay t --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得124y y a +=， AB 的中点2(2P t a +，2)a ，(,2)Q t a -，直线QA 的斜率为112y a k x t -=+，又11x ay t =+，可得1122y ak ay t-=+，又24y x =两边对x 求导，可得24yy '=，即2y y'=，则在A 处的切线的斜率为12y ，由21111111244202(2)y a y ay tay t y y ay t ----==++，可得QA 为抛物线的切线；再证由“直线QA 与抛物线相切”可得“P 为弦AB 的中点”．设(,)Q t s -，即P 的纵坐标为s ，可得切线QA 的方程为12()y s x t y -=+，联立抛物线方程24y x =可得211202y ty s y y -++=，由△111214()02ts y y =-+=，整理可得211240y sy t --=，②由1y 为2440y ay t --=的根，可得211440y ay t --=，③ 由②③为同一方程，可得24s a =，即1222y y s a +==，可得P 为AB 的中点，综上可得“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”．21．己知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -，20n S ，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（2）己知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；（3）己知*21()n b n n N =-∈，数列{}n c 是等差数列，()()122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围．解：（1）111(2)n n n a a q --==-，2121211(2)1(12)01(2)3n n n S -----==+>--， 2221(2)1(12)01(2)3n n nS --==-<--，则数列{}n a 具有性质P ；（2）证明：由题意可得{}n a 具有周期性，4n n a a +=，则44n S nS =，由{}n a 具有性质P ，可得40n S ，410n S +，运用反证法，若40S <，则4144141n n S nS a nS a ++=+=+，令14[]1a n S =-+，则410n S +<，（当141an S =-+时，410n S +=，则当14[]1a n S =-+，则410)n S +<，与410n S +矛盾，可得40S ，又40n S ，具有40S =成立；（3）由题意21n b n =-，可设{}n c 的前n 项和为2n T An Bn =+，{}n b 的前n 项和为2n R n =，无穷数列{}n a 具有性质P ，可得210n S -，20n S ，其中21n S -含有n 项奇数项，1n -项偶数项，有22211321242212121()()()()(1)(1)n n n n n S a a a a a a b b b c c c n A n B n ----=++⋯++++⋯+=++⋯++++⋯+=+-+-，其中2n S 含有n 项奇数项，n 项偶数项，有22213212421212()()()()n n n n n S a a a a a a b b b c c c n An Bn-=++⋯++++⋯+=++⋯++++⋯+=++，由性质P 可得22(1)(2)()0(1)0A n A B n A B A n Bn ⎧++-++-⎨++⎩对任意*n N ∈成立，则A ，B 满足120A B B A =-⎧⎪⎨⎪-⎩，即1[2,0]A B =-⎧⎨∈-⎩，可得2019201920184037[4039c T T B =-=-∈-，4037]-．。

【精校】2020年上海市杨浦区高考一模数学

2020年上海市杨浦区高考一模数学一、填空题(本大题满分54分)共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.若“a＞b”，则“a 3＞b 3”是____命题(填：真、假)解析：函数f(x)=x 3在R 是单调增函数，∴当a ＞b ，一定有a 3＞b 3，故是真命题. 答案：真.2.已知A=(﹣∞，0]，B=(a ，+∞)，若A ∪B=R ，则a 的取值范围是____. 解析：若A ∪B=R ，A=(﹣∞，0]，B=(a ，+∞)，必有a ≤0. 答案：a ≤0.3.z+2z =9+4i(i 为虚数单位)，则|z|=____.解析：设z=x+yi(x ，y ∈R)，∵z+2z =9+4i ，∴x+yi+2(x ﹣yi)=9+4i ，化为：3x ﹣yi=9+4i ，∴3x=9，﹣y=4，解得x=3，y=﹣4. ∴223(4)5z =+-=.答案：5.4.若△ABC 中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC 面积的最大值是____. 解析：在△ABC 中，∵C=30°，a+b=4， ∴△ABC 的面积211111sin sin 30412244)4(2S ab C ab b ab a =⋅=⋅︒==+≤⨯⨯=，当且仅当a=b=2时取等号.答案：1.5.若函数()2g 1lo x f x ax -+=的反函数的图象经过点(﹣2，3)，则a=____. 解析：∵函数()2g 1lo x f x ax -+=的反函数的图象经过点(﹣2，3)，∴函数()2g 1lo x f x ax -+=的图象经过点(3，﹣2)，∴232log 31a-=-+，∴a=2. 答案：2.6.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是____.解析：设截面的圆心为Q ，由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，∴S=π·12=π. 答案：π.7.抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，则a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根的概率是____.解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a ，b ，c ，基本事件总数n=6×6×6=216，∵a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根，∴(a+bi)2﹣2(a+bi)+c=0，即222022a b c a ab b⎧-+-=⎨=⎩，∴a=1，c=b 2+1， ∴a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根包含的基本事件为： (1，1，2)，(1，2，5)，∴a+bi(i 为虚数单位)是方程x 2﹣2x+c=0的根的概率是21216108p ==. 答案：1108.8.设常数a ＞0，9(x 展开式中x 6的系数为4，则()2lim n n a a a →∞++⋯+=____.解析：∵常数a ＞0，9(x +展开式中x 6的系数为4， ∴183922199r r r rrrr r T C x a xa C x---+==，当18362r-=时，r=2， ∴2294a C =，解得13a =，∴2211(1)1111133(1)13332313n n n na a a -+++==⋯-+-++=L ， ∴()2111lim lim[(1)]232n n n n a a a →∞→∞++-==⋯+. 答案：12.9.已知直线l 经过点(0)且方向向量为(2，﹣1)，则原点O 到直线l 的距离为____. 解析：直线的方向向量为(2，﹣1)，所以直线的斜率为：﹣12，直线方程为：=0，1=；答案：1.10.若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x 2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为____. 解析：抛物线y=x 2的准线：14y =-，双曲线与抛物线y=x 2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为14a =，焦点在y 轴上.双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴12a b =，可得12b =，则此双曲线的标准方程为：22111164y x -=. 答案：22111164y x -=.11.平面直角坐标系中，给出点A(1，0)，B(4，0)，若直线x+my ﹣1=0存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则实数m 的取值范围是____. 解析：设P(1﹣my ，y)， ∵|PA|=2|PB|，∴|PA|2=4|PB|2，∴(1﹣my ﹣1)2+y 2=4(1﹣my ﹣4)2+y 2，化简得(m 2+1)y 2+8my+12=0则△=64m 2﹣48m 2﹣48≥0，解得m或m，即实数m 的取值范围是m或m.答案：mm.12.函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1，若存在x 1，x 2，…x n 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x n ，且|f(x 1)﹣f(x 2)|+|f(x 2)﹣f(x 1)|+…+|f(x n ﹣1﹣f(x n ))|=2016，则n+x n 的最小值为____.解析：∵函数y=f(x)是最小正周期为4的偶函数，且在x ∈[﹣2，0]时，f(x)=2x+1， ∴函数的值域为[﹣3，1]，对任意x i ，x j (i ，j=1，2，3，…，m)，都有|f(x i )﹣f(x j )|≤f(x)max ﹣f(x)min =4，要使n+x n 取得最小值，尽可能多让x i (i=1，2，3，…，m)取得最高点，且f(0)=1，f(2)=﹣3，∵0≤x 1＜x 2＜…＜x m ，|f(x 1)﹣f(x 2)|+|f(x 2)﹣f(x 3)|+…+|f(x n ﹣1)﹣f(x n )|=2016， ∴n 的最小值为201615054+=，相应的x n 最小值为1008，则n+x n 的最小值为1513. 答案：1513.二、选择题(本大题共4题，满分20分) 13.若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r”的( )A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：“a b a c ⋅=⋅r r r r ”⇔“0a b a c ⋅-⋅=r r r r ”⇔“()0a b c ⋅-=r r r ”⇔“()a b c ⊥-r r r”，故“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r”的充要条件.答案：C14.行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为( ) A.﹣15 B.﹣3 C.3 D.12解析：∵行列式147258369， ∴元素7的代数余子式为： D 13=(﹣1)42536=2×6﹣5×3=﹣3. 答案：B.15.一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是( ) A.5800 B.6000 C.6200 D.6400解析：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为5300550054002+=，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为6100650063002+=，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]， ∴8位员工月工资的中位数不可能是6400. 答案：D. 16.若直线1x ya b+=通过点P(cos θ，sin θ)，则下列不等式正确的是( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1C.22111a b +≤ D.22111a b+≥ 解析：直线1x ya b+=通过点P(cos θ，sin θ)，∴bcos θ+asin θ=ab ，)ab θφ+=，其中tan b aφ=，ab ≥， ∴a +b ≥a b ，∴22111a b +≥，答案：D三、解答题(满分76分)共5题17.某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中∠BAC=60°. (1)求半径PB 的长度；(2)现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量(每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克).V 柱=S 底·h.解析：(1)在△ABP 中，由余弦定理建立方程，即可求半径PB 的长度； (2)求出V 柱=S 底·h ，即可求该零件的重量.答案：(1)∵AB=55，AC=88，BP=R ，∠BAC=60°.AP=88﹣R ，∴在△ABP 中，由余弦定理可得：BP 2=AB 2+AP 2﹣2AB ·AP ·cos ∠BAC ，可得：R 2=552+(88﹣R)2﹣2×55×(88﹣R)×cos60°， ∴解得：R=49mm.(2)在△ABP 中，AP=88﹣49=39mm ，AB=55，BP=49，222394955897cos 0.2347239493822BPA +-∠==≈⨯⨯，∴sin ∠BPA ≈0.972.∴∠BPA=arcsin0.972.V 柱=S 底·h=(S △ABP +S 扇形BPC ) ·h=21(arcsin 0.972)49(5539)32360π⋅⨯⨯⋅ 该零件的重量=213(arcsin 0.972)49(5539)322360π⋅⨯⨯⨯+⋅÷1000×8.9≈82.7.18.如图所示，l 1，l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A ，B 在直线l 1上，且位于M 点的两侧，C 在l 2上，AM=BM=NM=CN (1)求证：异面直线AC 与BN 垂直；(2)若四面体ABCN 的体积V ABCN =9，求异面直线l 1，l 2之间的距离.解析：(1)欲证AC ⊥NB ，可先证BN ⊥面ACN ，根据线面垂直的判定定理只需证AN ⊥BN ，CN ⊥BN 即可；(2)判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可.答案：(1)证明：由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN ∩l 1=M ，可得l 2⊥平面ABN.由已知MN ⊥l 1，AM=MB=MN ，可知AN=NB 且AN ⊥NB.又AN 为AC 在平面ABN 内的射影. ∴AC ⊥NB(2)∵AM=BM=NM=CN ，MN 是它们的公垂线段，就是异面直线l 1，l 2之间的距离，由中垂线的性质可得AN=BN ，四面体ABCN 的体积V ABCN =9，可得：31119323ABCN V AB MN CN MN ==⨯⨯⨯=， ∴MN=3.异面直线l 1，l 2之间的距离为3.19.如图所示，椭圆C ：2241x y +=，左右焦点分别记作F 1，F 2，过F 1，F 2分别作直线l 1，l 2交椭圆AB ，CD ，且l 1∥l 2.(1)当直线l 1的斜率k 1与直线BC 的斜率k 2都存在时，求证：k 1·k 2为定值； (2)求四边形ABCD 面积的最大值.解析：(1)由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线AB 、CD 的方程，与椭圆方程联立求得A 、D 的坐标，求出AD 所在直线斜率得答案；(2)由(1)结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边AB 、CD 的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值.答案：(1)证明：由椭圆C ：2241x y +=，得a 2=4，b 2=1，∴c ==设k 1=k ，则AB 所在直线方程为k ，CD 所在直线方程为y=kx，联立2241y kx y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得(1+4k 2)x 22x+12k 2﹣4=0.解得x =B x，则B y同理求得C x =C y .则214k k ==-，则1211·()44k k k k =⋅-=-；(2)解：由(1)知，＝A B x x +-，2212414＝A B k x x k -+()224114k AB k +===+. AB 、CD的距离d =(224114四边形＝ABCD k S k +=+令1+4k 2=t(t ≥1)，则2311118316816＝S t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-+，∴当t=3时，S max =4.20.数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中△a n =a n+1﹣a n (n ∈N *)(1)若a n =n 2﹣n ，试判断{△a n }是否是等差数列，并说明理由；(2)若a 1=1，△a n ﹣a n =2n，求数列{a n }的通项公式；(3)对(b)中的数列{a n }，是否存在等差数列{b n }，使得1212nn n n n n b C b C b C a ++⋯+=，对一切n ∈N *都成立，若存在，求出数列{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由.解析：(1)根据数列{a n }的通项公式a n =n 2﹣n ，结合新定义，可判定{△a n }是首项为4，公差为2的等差数列；(2)由△a n ﹣a n =2n入手能够求出数列{a n }的通项公式；(3)结合组合数的性质：1C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n(C n ﹣10+C n ﹣11+C n ﹣12+…+C n ﹣1n ﹣1)=n·2n ﹣1进行求解.答案：(1)若a n =n 2﹣n ，试判断{△a n }是等差数列，理由如下：∵a n =n 2﹣n ，∴△a n =a n+1﹣a n =(n+1)2﹣(n+1)﹣(n 2﹣n)=2n ， ∵△a n+1﹣△a n =2，且△a 1=4，∴{△a n }是首项为4，公差为2的等差数列；(2)∵△a n ﹣a n =2n.△a n =a n+1﹣a n ，∴a n+1﹣2a n =2n，∴111222n n n n a a ++-=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以12为首项，12为公差的等差数列，即1222﹣n n n na n a n =⇒=⋅； (3)b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=a n ，即b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=n·2n ﹣1， ∵1C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n =n(C n ﹣10+C n ﹣11+C n ﹣12+…+C n ﹣1n ﹣1)=n ·2n ﹣1，∴存在等差数列{b n }，b n =n ，使得b 1C n 1+b 2C n 2+…+b n C n n=a n 对一切自然n ∈N 都成立.21.对于函数f(x)(x ∈D)，若存在正常数T ，使得对任意的x ∈D ，都有f(x+T)≥f(x)成立，我们称函数f(x)为“T 同比不减函数”.(1)求证：对任意正常数T ，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数”； (2)若函数f(x)=kx+sinx 是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； (3)是否存在正常数T ，使得函数f(x)=x+|x ﹣1|﹣|x+1|为“T 同比不减函数”；若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：(1)根据T 同比不减函数的定义即可证明，(2)根据T 同比不减函数的定义，分离参数得到)4﹣k x ππ≥，根据三角形函数的性质即可求出k 的范围，(3)画出函数f(x)的图象，根据图象的平移即可求出T 的范围.答案：(1)∵f(x)=x 2，∴f(x+T)﹣f(x)=(x+T)2﹣x 2=2xT+T 2=T(2x+T)，由于2x+T 与0的小无法比较， ∴f(x+T)≥f(x)不一定成立，∴对任意正常数T ，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数，(2)∵函数f(x)=kx+sinx 是“2π同比不减函数， ∴sin sin 222（）（）（）（）f x f x k x x kx x πππ+-=+++--=cos sin 0224（）k k x x x πππ+-=-≥恒成立，∴4（）k x π≥-， ∵﹣1≤sin(x ﹣4π)≤1，∴k π≥，(3)f(x)=x+|x ﹣1|﹣|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移4个单位，即对任意的x ∈D ，都有f(x+T)≥f(x)成立， ∴T ≥4.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)

5．已知是定义在R上的奇函数．当时，，若，则实数t的值为_____________．
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在，，，，内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合，，则 _____________．
2．已知复数（i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设，数列为数列的“偏差数列”，、且，若，（）对任意的恒成立，求的最小值．
21．已知矩阵，对应的变换把点变成点．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为、直线的极坐标方程为．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列，满足，则称数列是数列的“偏差数列”．
（1）若常数列是数列的“偏差数列”，试判断数列是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，数列为数列的“偏差数列”，数列为递减数列，求数列的通项公式；
7．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，E为PD的中点，已知，，，则三棱锥的体积为_____________．

2019-2020学年上海市杨浦区高考数学一模试卷

高【解答】解：基本事件共 6×6 个，
点数和为 4 的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共 3 个，
您故 P= = ．
故答案为：．
祝8．（5 分）数列{an}的前 n 项和为 Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数 y=log2（x+1）
的反函数的图象上，则 an= 2n﹣1 ．
【解答】解：由题意得 n=log2（Sn+1）⇒sn=2n﹣1．
为奇函数，
则：解得：
（k∈Z），，
！
故答案为：
功
12．（5 分）已知点 C、D 是椭圆则实数 λ 的取值范围为
成上的两个动点，且点 M（0，2），若
．
，
到【解答】解：假设 CD 的斜率存在时，设过点 M（0，2）得直线方程为 y=kx+2，
马联立方程
，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，
到 ②y=x2；是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件．
③y=2|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，满足条件．
马 ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于 y 轴不对称，不满足条件，
故选：B．
考 15．（5 分）“t≥0”是“函数 f（x）=x2+tx﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（
）
高 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线 SO 与 PA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
19．（14 分）已知函数
！的定义域为集合 A，集合 B=（a，a+1），且 B
⊆A．（1）求实数 a 的取值范围；
功
成（2）求证：函数 f（x）是奇函数但不是偶函数．

2020届杨浦区高考数学一模.

杨浦区2019学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2019.12一、填空题1. 函数()12f x x−=的定义域为____________2. 关于,x y 的方程组2130x y x y −=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为____________3. 已知函数()f x 的反函数()12log f x x −=，则()1f −=____________4. 设a ∈R ，()221a a a i −−++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =____________5. 已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为____________6. 已知()71ax +的二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =____________7. 椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠=____________8. 已知数列{}n a 的通项公式为()()12132n n nn a n −⎧≤⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩（*N n ∈），n S 是数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →+∞=____________9. 在直角坐标平面xOy 中，()()2,0,0,1A B −，动点P 在圆22:2C x y +=上，则PA PB ⋅的取值范围为____________10. 已知六个函数：①21y x =；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪−⎝⎭；⑥1y x =+，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有____________种11. 已知函数()()110f x x x=−>，若关于x 的方程()()2230f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为____________12. 向量集合(){}|,,S a a x y x y R ==∈、，对于任意,S αβ∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+−∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}|,M a a S R μμ=∈∈也是“C 类集”； ②若S ,T 都是“C 类集”，则集合{}|,M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若12,A A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若12,A A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”.其中正确的命题有____________（填所有正确命题的序号）二、选择题13. 已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是（） A . 22a b >B .11a b< C . a b > D . 22a b >14. 要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将2sin 2y x =的图象（）A . 向左平移6π个单位B . 向右平移6π个单位C . 向左平移3π个单位 D . 向右平移3π个单位 15. 设12,z z 为复数，则下列命题中一定成立的是（） A . 如果120z z −>，那么12z z >B . 如果12z z =，那么12z z =±C . 如果121z z >，那么12z z >D . 如果22120z z +=，那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数()()()1A R x A f x x C A ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩为A 的特征函数设A ,B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（） A . 若A B ⊆，()()A B f x f x ≤ B . ()()1R C A A f x f x =− C . ()()()A B A B f x f x f x ⋂=⋅D . ()()()A B A B f x f x f x ⋃=+三、解答题17. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB =P A =1，AD =E ,F 分别为棱PD ,P A 的中点.（1）求证：B 、C 、E 、F 四点共面；（2）求异面直线PB 与AE 所成的角.18. 已知函数()22x xaf x =+，其中a 为实常数. （1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19. 东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15°，且位于B 的南偏东15°方向，D 位于A 的正北方向，AC =AD =2km ，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km /h .（1）判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口? 通过计算说明.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为()(),00t t >》（1）若OA =A 的坐标；（2）若AFD 为等腰直角三角形，且∠F AD =90°，求点D 的坐标；（3）弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =−的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.21. 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有2120,0n n S S −≥≤，则称数列{}n a 具有性质P .（1）判断首项为1，公比为2−的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；（3）已知()*21N n b n n =−∈，数列{}n c 是等差数列，()()122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围.参考答案1、()0,+∞2、211130−⎛⎫ ⎪⎝⎭3、12 4、25、3π 6、2 7、35 8、72 9、22⎡⎣10、12 11、34,23⎛⎤−− ⎥⎝⎦12、①②④ 13-16、DACC17、（1）略；（2）arccos418、（1）6a =，1x =或2log 3x =；（2）1a =−，奇函数，1a =，偶函数，1a ≠±，非奇非偶函数. 19、（1）会影响；（2）B 道口20、（1）()1,2；（2）()5+；（3）略21、（1）{}n a 具有性质P ；（2）略；（3）[]4039,4037−−。

2020年上海杨浦区高三一模数学试卷

2020年上海杨浦区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）1.函数的定义域为．2.关于、的方程组的增广矩阵为．3.已知函数的反函数，则．4.设，为纯虚数（为虚数单位），则．5.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为．6.已知二项展开式中的系数为，则实数．7.椭圆焦点为、，为椭圆上一点，若，则．8.8.已知数列是通项公式为，是数列的前项和．则．9.在直角坐标平面中，，，动点在圆：上，则的取值范围为．10.已知六个函数：①；②；③；④；⑤；⑥．从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有种．11.已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为．12.向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”．现有四个命题：①若为“类集”，则集合也是“类集”；②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；③若、都是“类集”，则也是“类集”；④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．其中正确的命题有．二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.已知实数，满足，则下列不等式中恒成立的是（）．A.B.C.D.14.要得到函数的图象，只要将的图象（）．A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位15.设、为复数，则下列命题中一定成立的是（）．A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么16.对于全集的子集，定义函数为的特征函数．设、为全集的子集，下列结论中错误的是（）．A.若，则B.C.D.三、解答题（本大题共5题，共76分）（1）（2）17.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，、分别为棱、的中点．求证：、、、四点共面．求异面直线与所成的角．（1）（2）18.已知函数，其中为实常数．若，解关于的方程．判断函数的奇偶性，并说明理由．（1）（2）19.东西向的铁路上有两个道口、，铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西，且位于的南偏东方向，位于的正北方向，，处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人，发现北偏东方向的处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要分钟，救护车和火车的速度均为．北东判断救护车通过道口是否会受到火车影响，并说明理由．为了尽快将病人送到医院，救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明．【答案】解析:因为函数，要使有意义，则需，所以的定义域为．解析:∵，（1）（2）（3）20.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，点是第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，．若，求点的坐标．若为等腰直角三角形，且，求点的坐标．弦经过点，过弦上一点作直线的垂线，垂足为点，求证：“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”．（1）（2）（3）21.已知无穷数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有，，则称数列具有性质．判断首项为，公比为的无穷等比数列是否具有性质，并说明理由．已知无穷数列具有性质，且任意相邻四项之和都相等，求证：．已知，，数列是等差数列，，若无穷数列具有性质，求的取值范围．为奇数为偶数1.2.∴其增广矩阵为．解析:因为函数的反函数为，则，．故答案为．解析:因为为纯虚数，所以需满足，解得或．解析:如图，由圆锥底面半径，则底面周长为，∵侧面积为，∴，则，则母线长为，，母线与底面所成角为，，所以，故母线与底面所成角大小为．3.或4.5.6.解析:二项展开式，通项，，令，则，，∵二项展开式的系数为，∴，，∴，故实数．7.解析:椭圆，焦点为，，∵为椭圆上一点，，由椭圆定义，知，，，，，．∴．8.解析:数列的通项公式，前几项和，，所以．9.解析:令，且，，，，其中，∴的取值范围为．故答案为：．10.解析:①，定义域为，∵，∴为偶函数；②，定义域为，∵，∴为偶函数；③，定义域为，由定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；④，定义域，∵，∴为奇函数；⑤，∵，，∴函数定义域为，由，则函数为奇函数；⑥，定义域为，∵，，∴函数为非奇非偶函数，所以①②为偶函数，④⑤为奇函数，③⑥为非奇非偶函数，则从中任选三个函数，则其中即有奇函数又有偶函数的选法有①②④、①②⑤、①④⑤、②④⑤．故答案为：．解析:，设，∴，数形结合两种情况：①，,代入，此时，，，不符；②，，二次函数如图所示，设，∴，，得．解析:11.①②④12.理解题意等价转化为点集问题，即“平面中有点集，若对于中的任意两点、，线段上的点均属于，则称点集为类集”．举两个例子，左图区域内任选两点所连线段依然在区域内，符合类集定义，而右图并不符合，不妨称符合类集的这种图形为“凸形”．命题①，相当于将“凸形”放大或缩小，变化后还是“凸形”，故①正确；命题②，可以进一步将“凸形”简化为圆，即在圆内，在圆内，的中点轨迹为“凸形”，结合命题①，乘以仍为“凸形”，故②正确；命题③，两个“凸形”的并集不一定为“凸形”，故③错误；命题④，两个“凸形”的交集还是“凸形”，故④ 正确．解析:因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位．故选．解析:由，知：．∵，分类讨论：①当，则，此时，②当，且，即，此时，D 13.A 14.C 15.D 16.（1）（2）③当，且，即时，，，此时，综合有，故正确；．，故正确；．，故成立；．当时，，，故错误；故选．解析:∵，分别为、的中点，∴，在矩形中，，∴，∴、、、四点共面．连结，∵平面，，∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示，空间直角坐标系，∴，，，，（1）证明见解析．（2）．17.（1）（2），∴，,∴设与成角为，则，∴，∴．解析:函数，∵,∴，∴．解关于的方程，，则，，解得或，即或．所以，，或．∵函数，①若函数为奇函数，∵，∴，（1），或．（2），为奇函数；时，为偶函数；时，为非奇非偶函数．18.（1）（2）解得．所以当时，为奇函数．②若函数为偶函数，∵，，解得．所以当时，为偶函数．故，为奇函数；时，为偶函数；时，为非奇非偶函数．解析:依据题意：在中，正弦定理：，即，解得，∴救护车到达处需要时间：，火车到达处需要时间：，火车影响道口时间为，，，∴救护车经过会受影响．若选择道口：一共需要花费时间为：，若选择道口：∵，通过道口不受火车影响；一共花费时间为：，由余弦定理求长：，即，∴，，∴选择过道．解析:（1）会受影响，证明见解析．（2）选择过道，证明见解析．19.（1）．（2）．（3）证明见解析．20.（1）（2）（3）抛物线的焦点为，点是第一象限内抛物线上的一点，可设，即，，，又，可得，解得，，即．设，由，，，①，由为等腰三角形，可得在轴上的投影为的中点，即有，且，代入①解得，由，可得．先证由“为弦的中点”可得“直线与抛物线相切”，设直线的方程为，联立抛物线方程，可得，设，，可得，的中点，，直线的斜率为，又，可得，又两边对求导，可得，即，则在处的切线的斜率为，由，可得为抛物线的切线，再证由“直线与抛物线相切”可得“为弦的中点”，设，即的纵坐标为，可得切线的方程为，联立抛物线方程可得，由，整理可得，②，由为的根，可得，③，（1）（2）（3）由②③为同一方程，可得，即，可得为的中点，综上可得“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”．解析:，，，则数列具有性质．证明：由题意可得具有周期性，，则，由具有性质，可得，，运用反证法，若，则，令，则（当时，，则当，则），与矛盾，可得，又，具有成立．由题意，可设的前项和为，的前项和为，无穷数列具有性质，可得，，其中含有项奇数项，项偶数项，有，其中含有项奇数项，项偶数项，有，（1）具有性质，证明见解析．（2）证明见解析．（3）．21.由性质可得对任意成立，则，满足，即，可得．。

上海各区2020届高三一模

大鱼号高考数学研讨群出品《每日一卷》第十一期上海市各区2020届高三12月一模第一部分：嵩明区第二部分：松江区第三部分：虹口区第四部分：杨浦区第五部分：徐汇区第六部分：普陀区第七部分：嘉定区主编：黄玉参与教师：罗彪赵宏君赖庆龙高杨李昌达宋志学第一部分崇明区11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有种.答案：114解析教师：湖南怀化赵宏君【解析】（1）甲、乙均参加，先从另三名中选两人参加，有23C 种选法，若甲从事导游工作，则选派方案的种数为1333A A ⋅，若甲不从事导游工作，则选派方案的种数为112222A A A ⋅⋅；（2）甲参加乙不参加，选派方案有1333A A ⋅种，乙参加甲不参加，选派方案有1333A A ⋅，所以共有选派方案21311213133332223333=114C A A A A A A A A A ⋅+⋅⋅+⋅+⋅（）种.【点评】先分组后分配；优先考虑受限制的对象；优先考虑受限制的位置.12.正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅ 的最小值是.答案：7-解析教师：湖南怀化赵宏君【解析】设(1)OQ OB OC λλ=+-，则点Q 在直线BC 上，点P 在直线EF 上，如图建立坐标系，点O 为MN 的中点，设(0,)N n ，(,3)P a ，则()4,4M n -，(4,1)PM a n =-- ，(,3)PN a n =--，()()2222443223PM PN a a n n a n ⋅=--+-=---- ，其中a R ∈，04n ≤≤，所以当2a =，0n =或4n =时，最小值为7-.【点评】坐标法思路直接单一，易于处理.15.的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条垂直的直径，E 是母线PB 的中点.已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到大鱼号高考８９４圆锥顶点P 的距离等于（）A.12B.1C.4D.2答案：D解析教师：湖南怀化赵宏君【解析】如图，由D 得抛物线方程为22y x =，所以12EF =，FP ==【点评】从空间图形中取出平面图形另行研究.16.若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于（）A.23B.56C.1D.2答案：B解析教师：湖南怀化赵宏君【解析】15sin 0,666x x ππ⎛⎫⎛⎫+>⇒∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15sin 0[1,(,1]666x x ππ⎛⎫+<⇒∈-- ⎪⎝⎭ 所以，15,066x x a b ⎛⎫∈-⇒--≤ ⎪⎝⎭，15[1,)(,1]066x x a b ∈--⇒--≥ 由函数y x a b =--图象形状知，函数y x a b =--的零点是16-和5611,32a b ⇒==.【点评】两函数值异号转化为零点相同.大鱼号高考８９４第二部分松江区1l.若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为.解析教师：浙江宁波赖庆龙【解析】解法1：基本不等式+函数法因为()2222a b a b ab +=++，所以()212a b ab +-=，由abc a b c =++，得()()2213a b a b c ab a b ++==-+-，令t a b =+，由于2a b +≤，所以0t <≤a b =时等号成立，所以2222333t c t t t==≥=----.解法2：基本不等式+根的分布法因为()2222a b a b ab +=++，所以()212a b ab +-=，由abc a b c =++，得()1c ab a b -=+，即()()2230c a b a b c +-+-=，令t a b =+，由于2a b +，所以0t <≤，当且仅当a b =时等号成立，所以关于t 的方程2230ct t c --=在(t ∈上有解，因为24120c ∆=+>，且1230t t =-<，所以方程必有一正根和一负根，所以()230c c c ⋅--≥，解得0c -≤≤，所以实数c的最小值为-.【点评】本题是一个多元最值问题，其中c 是参数，解法1通过消元，构建关于a b +的函数，利用函数的单调性求解最小值，这是处理多元问题最基本的解法；解法2，通过消元，构建了关于a b +的方程，因为方程在给定的范围上有解，转化为根的分布问题，而二次方程根的分布问题主要关注开口，判别式，对称轴以及端点函数值的正负，两种方法非常好的反映了方程与函数思想，整体代换思想，以及数形结合思想.多元问题一直是学生的痛点，特别是像本题，三个字母，学生更加头痛，关键是理清谁是主元，谁是参数，能够准确识元用元.12.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,A A A A A A ，集合(){}|,1,2,3,4,5,6,i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素,m n ，则0m n ⋅=的概率为______________.解析教师：浙江宁波赖庆龙【解析】如图，集合M 中共有2630A =个元素，任取两个元素有230C 种方法，而正六边形中有3个矩形，每个矩形有24对互相垂直的向量，所以0m n ⋅= 的概率为23024324145C ⨯=.大鱼号高９４【点评】本题是一道古典概率问题，根据求解的公式()()()n A P A n ω=知，只需分别求出分子和分母，在处理分子时，可以枚举，也可以找规律，但是不要遗漏向量是有方向的，两条线互相垂直，实质上有四个向量互相垂直.15.已知,b c R ∈，若2x bx c M ++≤对任意的[]0,4x ∈恒成立，则（）A.M 的最小值为1B.M 的最小值为2C.M 的最小值为4D.M 的最小值为8设()2f x x bx c =++，且()()max ,f x M b c =，所以M 的最小值为()min ,M b c .解析教师：浙江宁波赖庆龙【解析】解法1：高度差设()2,g x x y bx c ==--，则函数()f x 的几何意义即为抛物线()2g x x =与直线y bx c =--上取相同自变量时的两点之间的距离，即纵向距离，当两条平行直线恰好将()()204g x x x =≤≤夹紧时，这两条平行直线的纵向距离即为()min ,M b c .如图，作直线OA ，且方程为4y x =，作直线l OA ∥且与曲线()()204g x x x =≤≤切于点()00,B x y ，则有024x =，解得02x =，即直线l 的方程为44y x =-，故当y bx c =--为直线l 与直线OA 的平行线时取到()min ,M b c ，此时()()min 04,22M b c --==，即M 的最小值为2，故选项B 正确.解法2：以值代参+最值的定义+绝对值三角不等式因为()()()()()(),0,,224,,4416M b c f c M b c f b c M b c f b c ≥=≥=++≥=++，所以()()()()()4,02242244164162248M b c f f f c b c b c c b c b c ≥++=++++++≥+++-++=，所以(),2M b c ≥，当且仅当4,2b c =-=时等号成立，即M 的最小值为2，故选项B 正确.解法3：平口单峰函数令()2g x x ax =+，且满足()()04g g =，得4a =-，即()24g x x x =-，那么()()()4f x g x b x c =+++，因为()g x 的图象是平口单峰的（如图所示），那么当40,2b c +==-时(),M b c 取到最小值，且()min ,2M b c =【点评】最大值的最小值是近几年考题中的热点和难点，一是任意存在的理解，二是方法的理解；求解该类问题通常由以上3种解法，另加切比雪夫最佳逼近的方法，其中解法1和解法2都是从高度差这一几何视角着手，各有千秋，而且和曲线的特点由很大的关系；解法2中为什么取0,2,4是一个难点，其次为什么大鱼号高考８９４是4倍也是一个难点，这些都需要在平时的解题中理解问题的本质.16.已知集合{}1,2,,10M = ，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =（）A.45B.1012C.2036D.9217解析教师：浙江宁波赖庆龙【解析】在M 的所有非空子集中，元素1为最小元素的非空子集有0129999992C C C C ++++= ；元素2为最小元素的非空子集有0128888882C C C C ++++= ；以此类推，2891011029282221S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ，2391010221029282221S =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 所以11239101022222221010203612S -=+++++-=-=- .故选项C 正确.【点评】本题以集合中的一个新定义问题为背景，考查数列求和的错位相减法，考查学生的分析能力，推理能力以及运算求解了.大鱼号高考８９４第三部分虹口区11.如图，1F 、2F 分别使双曲线C :2221x y a -=的左、右焦点，过2F 的直线于双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB = ，120F B F B ⋅=，则双曲线C 的焦距12||F F 为_____________.答案：3解析教师：黑龙江哈尔滨高杨【解析】由双曲线方程得，1b =，由2F A AB = ，120F B F B ⋅=可得，A 为2F B 的中点，12F B F B ⊥，又O 为12F F 中点，1//OA F B ∴，2OA F B ∴⊥，122BF F AOF ∠=∠，A 、B 分别在两条渐近线上，21AOF BOF ∴∠=∠，由直角12F BF ，可得1OB OF =，121BF F OBF ∴∠=∠，1BF O ∴为等边三角形，1260BF F ∴∠=︒，2||F A 为2(c,0)F 到渐近线by x a=的距离，由点到直线距离公式可得2||b 1F A ==，22BF ∴=，2121243sin 3BF F F BF F ==∠.【点评】本题需要利用双曲线渐近线的对称性，以及直角三角形的几何属性得出1BF O为等边三角形，还大鱼号高考８９４用到了双曲线渐近线的一个固定结论：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b .12.已知函数()f x 的定义域为R ，当(0,2]x ∈时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x ≤在(,]x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为____________.答案：274解析教师：黑龙江哈尔滨高杨【解析】由已知可得(0,2]x ∈时的函数图象，任意的x R ∈均有(2)2()f x f x +=，图象每向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，可得函数图象如下图所示，当(6,8]x ∈时函数值可取得152，当(6,8]x ∈时()8(6)(8)f x x x =---，令15()8(6)(8)2f x x x =---=，为方便计算，考虑与其图象形状相同的函数()8(1)(1)g x x x =--+，令15()8(1)(1)2g x x x =--+=，解得114x =-，214x =，15()8(6)(8)2f x x x ∴=---=的两根分别为364和174，274a ∴≤【点评】本题运用了一个类周期函数的模型：()()(0,0)f x a f x a λλ+=>>，其图象的特点为：确定好一个“周期”内的图象后，图象每向右平移a 个单位长度，纵坐标变为原来的λ倍.15.已知函数()|2|f x x =+，g()||x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，若对任意x R ∈，都有()(2)F x x =-成立，则t 的取值为（）A.4- B.2- C.0D.2大鱼号高考８９４答案：A解析教师：黑龙江哈尔滨高杨【解析】由已知可得()f x ，g()x 的图象，其中()f x 的顶点为(2,0)-，g()x 的顶点为(t,0)-，由()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，可知()min{()()}F x f x ,g x =，()F x 的图象应由()f x ，g()x 的图象相对位置在下方的部分图象构成，由任意x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，可得()F x 关于1x =对称，由图象可知当g()x 的顶点为(4,0)时满足关于1x =对称，即4t -=，故4t =-选择A 选项.【点评】本题需考查了绝对值函数的图象，以及函数对称性的结论：若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2a bx +=对称.16.正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）答案：B解析教师：黑龙江哈尔滨高杨【解析】因为正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，所以平面BCD //平面FGH ，连接AE ，则AE 经过中心O ，设AE 交平面FGH 于点P ，交平面BCD 于点Q ，由O 为正四面体EFGH与正四面大鱼号高考８９４体ABCD 的中心，可得3AO OQ =，3EO OP =，OP OQ =，所以AP PQ EQ ==，即平面BCD 与平面FGH 的距离为正四面体高的12，则正四面体ABCD 被平面FGH 所截的上方的小三棱锥的体积为正四面体ABCD 的18，由正四面体的对称性可得，公共部分体积等于一个正四面体ABCD 的体积减去4个小三棱锥的体积，故公共部分体积为111482-⨯=【点评】本题主要考查了学生直观想象能力和对正四面体相关结论的掌握，这里运用了正四面体中心的一个结论：正四面体的中心将高线分为3：1两部分，而且被分成的2段，恰好也是该正四面体的外接球和内切球的半径.大鱼号高考８９４第四部分杨浦区11.已知函数1()|1|(0)f x x x=->，若关于x 的方程2[()]()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为.答案：34(,]23--解析教师：浙江杭州罗彪【解析】考虑函数及方程复合后相对复杂，考虑用数形结合解决问题，如图，函数()f x 与直线y t =的交点个数情况有3种：①1t ≥或0t =时，只有1个交点；②01t <<时，2个不同交点；③0t <时，没有交点．方程2()230g t t mt m =+++=最多2个不同实根，故所有解只能是21+的形式，即2230t mt m +++=有两不等实根，且其中一个在1(0,1)t ∈中，另一个为20t =或[1,)+∞中．下面考虑：①当20t =时，代入计算可知：32m =-，另一根1312t =>，此时只有2个根，不满足题意；②当21t =时，代入计算：43m =-，另一根11013t <=<，此时有3个根，满足题意；③当21t >时，由根的分布可知：(0)230(1)340g m g m =+>⎧⎨=+<⎩，解得：3423m -<<-，此时有3个根，满足题意；综上所述，3423m -<≤-，故答案为34(,]23--.【点评】此题考查了函数与方程的图象与解的关系，复合函数形式复杂，考虑数形结合，最后化为二次函数根的分布问题，属常规题型.12.向量集合{}|(,),,S a a x y x y R ==∈ ，对于任意的S αβ∈ 、，以及任意的(0,1)λ∈，都有(1)S λαλβ+-∈ ，则称S 为“C 类集”．现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合{}|,M a a S R μμ=∈∈也是“C 类集”；②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{}|,M a b a S b T =+∈∈也是“C类集”；大鱼号高考８９４③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”．其中正确的命题有.答案：①②④解析教师：浙江杭州罗彪【解析】新定义问题，定义与等和线的性质类似（定比分点），可以将,OA OB αβ==，即起点均为原点O ，终点A 、B ，则(1)λαλβ+-可视为终点在线段AB 上，故可以将“C 类集”视为终点为单元素集、单线段集，或相对封闭的图形集．（1）对①，集合{}|,M a a S R μμ=∈∈为直线或直线之间的图形集，可以视为无穷的线段集，故①正确；（2）对②，以两线段集相加，相当于线段中点构成的集合，实际上是图形集，故②正确；（3）对③，相当于两线段集，但是线段之间的部分不包括，故不满足条件，③错误；（4）对④，相当于两线段交点即单元素集满足条件，或者线段和图形交集为线段集满足条件，或者图形交集仍为图形集满足条件，故④正确．故答案为①②④.【点评】此题系集合新定义问题，实则是考察向量的等和线性质并利用图形思考，开放性较强.15.设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（）A.如果120z z ->，那么12z z >B.如果12||||z z =，那么12z z =±C.如果12||1z z >，那么12||||z z > D.如果22120z z +=，那么120z z ==答案：C解析教师：浙江杭州罗彪【解析】复数的运算与实数运算是有差异的：①选项A ，复数只有在为实数时能比较大小，但显然取1z 、2z 不是实数，则无法比较大小，如取11z i =+，2z i =，无法比较大小，故A 错误；②12||||z z =代表复平面上对应点到原点距离相等，这样的点轨迹为圆，不只是12z z =±，故B 错误；③模长与乘除法的运算可以调换顺序，即111222||||1||||||z z z z z z =>⇒>，故C 正确；④选项D ，对于复数的平方运算不能保证非负，此处考虑反例即可，1z i =，21z =，也满足条件，故D 错误．综上所述，答案为C .【点评】此题考查了复数的运算，难度不大，注意与实数运算的异同.大鱼号高考８９４16.对全集为R 的子集A ，定义函数1()()0()A Rx A f x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð 为A 的特征函数，设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（）A.若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤B.()1()R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅ D.()()()A B A B f x f x f x =+ 答案：D解析教师：浙江杭州罗彪【解析】集合相关新定义问题，特征函数实际上是判断元素x 是否在集合A 中，若x A ∈，则为1，否则为0．下面分选项考察：①选项A ，A B ⊆则x A x B ∈⇒∈，故当x A ∈时，()()1A B f x f x ==；当x A ∉时，()0()A B f x f x =≤；综上，A 正确；②选项B ，对x R ∀∈，只能x A ∈或者R x A ∈ð，故()A f x 、()R A f x ð必是一个1，一个0，故()()1R A A f x f x +=ð，B 正确；③选项C ，对于A B ，当且仅当x A B ∈ 时，()A f x 、()B f x 同时为1，其余时候二者必有0，故当x A B ∈ 时，()1()()A B A B f x f x f x ==⋅ ；当x A B ∈ 时，()0()()A B A B f x f x f x ==⋅ ；故C 正确；④选项D ，显然错误，如当x A B ∈ 时，一定有x A ∈、x B ∈、x A B ∈ ，故()12()()A B A B f x f x f x =≠=+ ，故D 错误．综上所述，答案为D .【点评】集合新定义问题，先确定新定义的含义，然后考虑各项内容即可，可以结合Venn 图考虑，当然举反例也是可以的，难度不大.大鱼号高考８９４第五部分徐汇区11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，1(1)32nn n nS a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是.答案：311(,)44-解析教师：浙江杭州罗彪【解析】题目中出现常见的通项n a 与前n 项和n S 的关系，可作差求通项：11111(1)321(1)22nn n n n n n n S a n S a n ++++⎧=-++-⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩，111111(1)(1)12n n n n n n n n a S S a a +++++=-=---+-，考虑分奇偶：①当n 为奇数时，1112n n a +=-；②当n 为偶数时，111211111212(1)32222n n n n n n a a ++++=--=--⨯-=-．代入1,2n =可知：1231144a a =-=，，解不等式可得：31144p -<<，故答案为311(,)44-.【点评】此题考查了数列通项与前n 项和的关系，涉及到(1)n -问题，通常可以采取分奇偶性讨论的策略，求出通项本题迎刃而解；本题第一反应其实是求前两项，但实际上并不能通过直接代入求解，此时应注意回归基础方法.12.已知函数2411()6101x x f x x x x -+>-⎧=⎨++≤-⎩ 关于x 的不等式()220f x mx m ---<的解集为123(,)(,)x x x +∞ ，若1230x x x >，则123x x x ++的取值范围是.答案：)+∞解析教师：浙江杭州罗彪【解析】考虑函数1()y f x =图象与直线222(2)2y mx m x m =++=++的图象，结合解集123(,)(,)x x x +∞ 的形式可知：123x x x <≤，其中12,x x 是12,y y 在二次函数部分（1x ≤-）的交点横坐标，3x 为直线部分的交点横坐标，又1230x x x >，故1230x x x <<<；考虑2(2)2y x m =++过定点(2,2)A -恰好在1()y f x =上，故22x =-．从图象观察函数的交点，要使得30x >，直线222y mx m =++需在图中两条红色虚线之间，即：142m -<<-，此时也一定与二次函数部分有两交点，满足题意．下面考虑具体的值，二次函数部分交点满足：22610(22)(6)2(4)(2)(4)0x x mx m x m x m x x m ++-++=+-+-=+-+=，其中一根是22x =-，故大鱼号高考８９４14x m =-；直线部分交点有22(41)(4)210mx m x m x m ++--+=+++=，故3217244m x m m +=-=-+++；则123774(2)(2)4121244x x x m m m m ++=-+-+-+=++-≥++，其中7042m <+<，当4m =-时取得最小值，故答案为)+∞.【点评】此题考查了函数与不等式的图象与解集的关系，属不等式问题的原理应用，实际上通过作图将问题化简为直线和分段函数图象交点的关系，确定参数范围，建立等量关系即可，最后是基本不等式（对勾函数）的问题，综合性较强，但题型还是比较常规.15.若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（）A.(9,11)-B.(25,9)--C.(,9)(11,)-∞-+∞D.(25,9)(11,)--+∞ 答案：D解析教师：浙江杭州罗彪【解析】正难则反，考虑两圆有公共点，即；两圆相交、相切的情况，满足：121212||||r r C C r r -≤≤+．实际上，1(0,0)C ，11r =，2(3,4)C，2r =，故首先有25025k k +>⇒>-；12||5C C =，故：151911k -≤+⇒-≤≤．那么两圆没有交点即：9k <-或11k >，当然还需要满足为圆，即25k >-，故259k -<<-或11k >，故答案为D.【点评】此题考查了圆与圆的交点问题，实际上就是圆与圆的位置关系问题，考虑距离关系即可，易错点在没有考虑圆成立的条件，注意这个细节.大鱼号高考８９４16.设H 为ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos BHC ∠的值为（）A.B.5C.6D.答案：D解析教师：浙江杭州罗彪【解析】由题中条件特征，采取“奔驰”定理，对垂心有：tan tan tan 0HA A HB B HC C ⋅+⋅+⋅=，可知：tan tan tan 3:4:5A B C =：：，不妨设tan 3A k =，tan 4B k =，tan 5C k =，显然有0k >；考虑三角恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，即：334560k k k k ++=，解得：5k =．所求cos BHC ∠，由初中平面几何知识知BHC A π∠=-，cos cos BHC A ∠=-，其中tan 3A k ==cos 14A ==，因此cos cos 14BHC A ∠=-=-，故答案为D .【点评】此题系典型的“奔驰”定理问题，主要需要对课外内容适当的了解，另外，如果对解三角形中常见的恒等式了解更深有助于解题（江苏常考的恒等式），综合性较强.大鱼号高考８９４第六部分普陀区11．设P是长为123456A A A A A A 的边上任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，PM PN ⋅的取值范围为______答案：[6-+解析教师：湖南长沙李昌达【解析】记MN 的中点为Q ，易知外接圆半径为，2OQ =，由极化恒等式知2224PM PN PQ QMPQ ⋅=-=- ，当点P 在正六边形顶点，且O 、P 、Q 三点共线（O 在中间）时，max 2PQ OP OQ =+=，当点P 在正六边形边的中点，且O 、P 、Q 三点共线（Q在中间）时,min 2PQ OP OQ =-=，因此[6PM PN ⋅∈-+【点评】本题关键在于利用极化恒等式将数量积问题转化为PQ 长度问题，即使题中具有双变量，依然不难发现PQ 的最值情况，属于中档题.12．若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图象上，且关于直线1x =对称，称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对），已知2()2x f x x ⎧<⎪=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围.答案：(3-+解析教师：湖南长沙李昌达【解析】()y f x =关于直线1x =对称的函数为(2)y f x =-，问题转化为(2)y f x =-与()y g x =的图象有两个交点，分别作出(2)y f x =-与()y g x =的图象，由图象知其中一个临界状态（图中1()g x）为直线大鱼号高考８９４1y x a =++与半圆y =21)1a a =⇒=±⇒=+舍去负号另一临界状态（图中2()g x ）为直线1y x a =--+与半圆y =2=⇒3)3a a =±⇒=-舍去正号【点评】本题属于新定义题型，关键在于将文字语言翻译成数学语言，再将数学语言翻译成图形语言.其中考察了函数的对称性：f (x )与f (2-x )关于直线x =1对称；圆的方程的变式表达：用函数的形式表示半圆；以及直线与圆的位置关系.需要学生有较强的函数作图能力，和分析参数取值时的动态思维能力，具有较强的综合性，是一道中等偏难题.15．已知两个不同的平面α、β和三条不重合的直线a 、b 、c ，下列命题中正确的是（）A .若a ∥α，b αβ= ，则a ∥bB .若a 、b 在平面α内，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αC .若a 、b 、c 是两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a 、b 、c 都相交D .若α、β分别经过两异面直线a 、b ，且c αβ= ，则c 必与a 或b 相交答案：D解析教师：湖南长沙李昌达【解析】A 选项显然错误；B 选项缺少a 、b 相交的条件，错误；C 选项中取a 、b 、c 为长方体的三条异面的边所在直线，过a 做一平面与b 、c 分别相交于B 、C 两点，直线BC 与a 相交于点A ，则直线BC 与a 、b 、c 都相交，而过a 可以做无数个这样的平面，也就存在无数条直线与a 、b 、c 都相交，C 选项错误；D 选项可用反证法，若c 与a 和b 都不相交，因为a 、c 共在面α内，则a c ，同理b c ，因此a b ，与a 、b 异面矛盾，所以原命题成立，D选项正确大鱼号高考８９４【点评】本题考察立体几何中点线面的位置关系，其中B 选项考察线面垂直的判定定理，不可缺少面中两直线相交的条件，C 选项中三条异面直线可以放在长方体模型中来考虑，为了找到与三条直线都相交的直线，考虑过其中一条直线a 做一个平面，则只需在这个平面内找到与b 、c 都相交的直线，这条直线自然也会和a 相交（当然要排除与a 平行的情况），在寻找这样的直线过程中，也就发现了这样的直线有无数条，D 选项可以通过排除法确定，也可用反证法严格证明.16、直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,P a b，则ab 的最大值为（）（A ）76（B）4-（C）5-（D）6-答案：B解析教师：湖南长沙李昌达【解析】将点代入直线并整理得22b aab b a a b =+++，令2b a m a b n +=⎧⎨+=⎩得2a n m b m n=-⎧⎨=-⎩因此2()224()4m n n m n mab m n m n--=+=-+≤-【点评】如果待求表达式为分式形式，且分母较为复杂时，可以考虑使用“分母双换元法”，整理后使用基本不等式即可.大鱼号高考９４第七部分嘉定区11.已知数列{}n a 满足：11a =，*112{,,,}()n n n a a a a a n N +-∈∈ ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=答案：1078解析教师：黑龙江绥棱宋志学【解析】记{}12,,,n n M a a a = ，则{}11a M ={}1=,{}212,a a M =，由21M a a n n ∈-+，所以有212a a a =-无解，或112a a a =-得22=a {}3213,,a a a M =得323a a a =-无解，223a a a =-得43=a 或123a a a =-得33=a 因此有{}3,2,13=M 或{}4,2,13=M 同理可得，{}4,3,2,14=M 或{}5,3,2,14=M {}6,3,2,14=M {}5,4,2,14=M {}6,4,2,14=M {}8,4,2,14=M ，观察可知，满足条件的{}n n a a a M ,,21=中，元素成等差数列时各元素和最小，元素成等比数列时，各元素之和最大.所以，{}10,3,2,110 =M 时，551032110=+++== S m {}932102,2,2,2,1 =M 时，1023222193210=++++== S M 所以，1078m M +=.【点评】本题属于数列找规律问题，较为灵活，难度中等.12.已知函数1()f x x a x =++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,21x 上总有解，则实数m 的取值范围为答案：2(,3⎤-∞⎥⎦解析教师：黑龙江绥棱宋志学【解析】解法一存在型问题，用函数最值列不等式求解要使()f x m ≥在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则max ()M f x ≤，因为1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，1102,3x x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦。

上海市杨浦区2020届高三数学4月模拟测试理

杨浦区2020学年度高三学科模拟测试数学试卷（理科）（本试卷满分150分考试时间120分钟）学生注意：1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 不等式1411>+-x x x 的解集是___________.2．若函数)(x f y =与1+=x ey 的图像关于直线x y =对称，则=)(x f .3．经过抛物线x y 42=的焦点，且以)1,1(=d 为方向向量的直线的方程是 .4. 计算：=+⋅⋅⋅++++∞→n C nn 26422lim. 5. 在二项式8)1(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是（用数字作答）.6. 若数列}{n a 为等差数列，且12031581=++a a a ，则1092a a -的值等于 .7. 已知直线⊥m 平面α，直线n 在平面β内，给出下列四个命题：①n m ⊥⇒βα//； ②n m //⇒⊥βα；③βα//⇒⊥n m ；④βα⊥⇒n m //，其中真命题的序号是 .8. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数ξ的数学期望是． 9. 极坐标方程52sin42=θρ所表示曲线的直角坐标方程是 .10．在△ABC 中，已知最长边23=AB ，3=BC ，∠A =30︒，则∠C = . 11.已知函数)1lg()(+=x x f ，若b a ≠且)()(b f a f =，则b a +的取值范围是 .12.在平行四边形ABCD 中，AB =1，AC =3，AD =2；线段 P A ⊥平行四边形ABCD 所在的平面，且P A =2，则异面直线PC 与BD 所成的角等于（用反三角函数表示）.13．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则231S S S +的取值范围是 . 14. 已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.若()f a =)2020(f ，则满足条件的最小的正实数a 是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是……………………（）（A ）2011≤i ；（B ）2011>i ；（C ）1005≤i ；（D ）1005>i .16. 已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ……………………………( ) (A) (1，+∞) ； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) [32，3）． 17．在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为…………( )C （13题）D （12题）（15题）18．已知有穷数列A ：n a a a ,,,21⋅⋅⋅（N n n ∈≥,2）.定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将ji j i a a a a ++1的值添在A 的最后，然后删除j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：31,21,43,75-,则A 3的可能结果是……………………………（）（A ）0；（B ）34；（C ）13；（D ）12.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)如图，用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm 3）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知向量(sin ,cos )a x x =r , (sin ,sin )b x x =r ， (1,0)c =-r .（1）若3x π=，求向量、的夹角θ；（2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数x f ⋅=λ)(的最大值为21，求实数λ的值.A B 1 B (A)A B 1B (B)A B 1 B (C)A B 1B(D)21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知圆8)1(:22=++y x C .（1）设点),(y x Q 是圆C 上一点，求y x +的取值范围；（2）如图，(1,0),A M 定点为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0,AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r求N 点的轨迹的内接矩形的最大面积.22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设虚数z 满足1000(4tm m z m -+=2z 为实常数，01m m >≠且，t 为实数）. （1）求z 的值；（2）当t N *∈，求所有虚数z 的实部和；（3）设虚数z 对应的向量为（O 为坐标原点），),(d c =，如0>-d c ，求t 的取值范围.23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设二次函数)()4()(2R k kx x k x f ∈+-=，对任意实数x ，有26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+. （1）求函数)(x f 的解析式和值域；（2）试写出一个区间),(b a ，使得当),(1b a a ∈时，数列}{n a 在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知311=a ，是否存在非零整数λ，使得对任意n N *∈，都有 ()12333312111log log log 12log 1111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+>-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 2)1(31n n +-+-λ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.杨浦区2020学年度第二学期高三学科测试参考答案及评分标准 2020.4.16一、填空题1. 【 (-1，3) 】2. 【)0(,1ln )(>-=x x x f 】 3．【01=--y x 】 4. 【21】 5. 【28】 6. 【24】 7. （文）【3 】（理）【①，④】.8. （理）【911】（文）【458】 9. （文）【65,6,,0πππ】（理）【42552+=x y 】 10．【∠C =135︒】11.【),0(+∞】 12.【arccos 73或714arcsin 2】13．【),2(+∞】14. （理）【36，】（文）【 [3,3]-】二、选择题15．【A 】；16. 【D 】；17．【B 】；18．【B 】三、解答题19．(本题满分12分)解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ，则由题意得R=210，由π210021=Rl 得 π20=l ； ……………………………………………………………………………………………2分由lr =π2得10=r ；…………………………………………………………………………………5分由222h r R +=得10=h ；……………………………………………………………………………8分由322.1047101003131cm h r V ≈⋅⋅⋅==ππ锥所以该容器最多盛水1047.2cm3……………………………………………………………………12分（说明：π用3.14得1046.7毫升不扣分）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）当3x π=时，12a ⎫=⎪⎪⎝⎭r ， ………………………………………………………………1分所以2cos 11||||a c a c θ⋅===⨯⋅r r u u r r (4)分因而56πθ=； …………………………………………………………………………………6分（2）2()(sin sin cos )(1cos 2sin 2)2f x x x x x x λλ=+=-+， (7)分()1)24f x x λπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭………………………………………………………………………10分因为3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π2,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦……………………………………………………11分当λ>时，()max 1()1122f x λ=+=，即12λ=， …………………………………………………12分当λ<时，(max 1()122f x λ==，即1λ=-- .…………………………………………13分所以2121--==λλ或. ……………………………………………………………………………14分21．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（文）（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为)3(-=x k y ，即03=--k y kx ；……2分由81|3|2=+--k k k 得221688k k =+，解得1±=k ，…………………5分从而所求的切线方程为03=--y x ，03=-+y x .…………………6分（2）.0,2=⋅=AM NP AP AM Θ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………………8分又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN Θ ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.……………………………………12分且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴点N的轨迹是方程为.1222=+y x …………………………………………………………………14分（理）（1）∵点在圆C上，∴可设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ααsin 22cos 221y x )2,0[πα∈；……………………………2分 )4sin(41)sin (cos 221πααα++-=++-=+y x ，……………………………………………4分从而]3,5[-∈+y x (6)分（2）.0,2=⋅=Θ ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……………………………………………………………8分又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN Θ ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.……………………………………10分且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴点N的轨迹是方程为.1222=+y x …………………………………………………………………12分所以轨迹E为椭圆，其内接矩形的最大面积为22.………………………………………………14分22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 解：（1）22100i m m m z t t -±=， …………………………………………………………………2分1002502t m m m im z ±-∴==t …………………………………………………………………4分（或10050242m m z z ==∴=v zz ）（2）z 是虚数，则1002500ttm m m m ->∴<，z 的实部为2tm ；当1,502()2221m m m m mm t t N S m *-><∈∴=+++=-L 得且1,502()2221m m m m m t t N S m *-><∈∴=+++=-L 得且224950m *.………………………7分当01,50)221m m m m t t N S m *<<>∈∴++=-L 得且01,502(m t *<<>=得且251525101,502()21m m m t t N S m*<<>∈∴=++=-L 得且515201,502()221m m m t t N S *<<>∈∴=++=L 得且.……………………………………10分（3）解：0,2t m c d =>=①,2c d =->d ,2d =,2c d =->d 恒成立，由500t t mm m m ->∴<得，当1>m 时，50<t ；当10<<m 时，50>t .………………………………12分 ②d = 如,c d >则10050222tt m m m >>>t即m当501,-log 250150log 22mm t m t t <⎧⎪><<⎨>-⎪⎩1即502502log 2150<<-t m . ……………………………………14分当5001,-log 2150log 22mm t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩1即50<t <5022log 215050m t -<< ……………………………16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）由26)(+≤x x f 恒成立等价于02)6()4(2≤--+-x k x k 恒成立，…………………………1分从而得：⎩⎨⎧≤-+-<-0)4(8)6(042k k k ，化简得⎩⎨⎧≤-<0)2(42k k ，从而得2=k ，所以x x x f 22)(2+-=，………3分其值域为]21,(-∞.………………………………………………………………………………………………4分（2）解：当)21,0(1∈a 时，数列}{n a 在这个区间上是递增数列，证明如下：设1),21,0(≥∈n a n ，则)21,0(21)21(222)(221∈+--=+-==+n n n n n a a a a f a ，所以对一切*N n ∈，均有)21,0(∈n a ；………………………………………………………………………………………………7分81)41(222)(221+--=-+-=-=-+n n n n n n n n a a a a a a f a a81)41(281)41(2161)41(414141)21,0(222>+--⇒->--⇒<-⇒<-<-⇒∈n n n n n a a a a a ，从而得01>-+n n a a ，即n n a a >+1，所以数列}{n a 在区间)21,0(上是递增数列.………………………10分注：本题的区间也可以是)21,51[、)21,41[、)21,31[等无穷多个. 另解：若数列}{n a 在某个区间上是递增数列，则01>-+n n a a 即0222)(221>+-=-+-=-=-+n n n n n n n n n a a a a a a a f a a )21,0(∈⇒n a …………………………7分又当1),21,0(≥∈n a n 时，)21,0(21)21(222)(221∈+--=+-==+n n n n n a a a a f a ，所以对一切*N n ∈，均有)21,0(∈n a 且01>-+n n a a ，所以数列}{n a 在区间)21,0(上是递增数列.…………………………10分（3）（文科）由（2）知)21,0(∈n a ，从而)21,0(21∈-n a ； 2221)21(22122)22(2121-=+-=+--=-+n n n n n n a a a a a a ，即21)21(221n n a a -=-+； ………12分令n n a b -=21，则有212n n b b =+且)21,0(∈n b ；从而有2lg lg 2lg 1+=+n n b b ，可得)2lg (lg 22lg lg 1+=++n n b b ，所以数列}2lg {lg +n b 是以31lg2lg )3121lg(2lg lg 1=+-=+b 为首项，公比为2的等比数列，……………………………………14分从而得12131lg 231lg 2lg lg -⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=+-n n n b ，即231lg lg 12-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b ，所以11223121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=n n n b ，所以12321211-⋅==-n nn b a ，所以1323322log )32(log 211log 1-+=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n n a ， ………………16分所以，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a a a 211log 211log 211log 32313 12log 221212log 33-+=--+=n n n n. ……………………………………………………18分（3）（理科）由（2）知)21,0(∈n a ，从而)21,0(21∈-n a ； 2221)21(22122)22(2121-=+-=+--=-+n n n n n n a a a a a a ，即21)21(221n n a a -=-+；………12分令n n a b -=21，则有212n n b b =+且)21,0(∈n b ；从而有2lg lg 2lg 1+=+n n b b ，可得)2lg (lg 22lg lg 1+=++n n b b ，所以数列}2lg {lg +n b 是31lg2lg lg 1=+b 为首项，公比为2的等比数列，………………………………………………………14分从而得12131lg 231lg 2lg lg -⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=+-n n n b ，即231lg lg 12-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b ，所以11223121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=n n n b ，所以12321211-⋅==-n n n b a ，所以1323322log )32(log 211log 1-+=⋅=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n n a ，所以，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a a a 211log 211log 211log 32313 12log 221212log 33-+=--+=n n n n.………………………………………………………16分即12log 23+n n()1232(log 2)12log 1n nn n λ-+->-+-123-n ，所以，()1121n n λ-->-恒成立（1）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值1为。

上海市杨浦区2020届高三数学第一学期学科测试理科

上海市杨浦区2020届高三第一学期学科测试数学理科 2020.1.12考生注意： 1、本试卷共有20道题，满分150分，考试时间120分钟．2、本试卷为文、理合卷，题首标有文科考生做、理科考生做的题目，没有标记的是“文”、“理”考生共同做的题目．一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．若函数()1f x x 的反函数()1f x -，则()11f -=_____．2．命题“若1x =，则22xx-+＞2”的逆命题是．3．若一元二次不等式20ax bx c ++≤的解集为空集φ，则实数a,b,c 应满足的条件是． 4．若函数()203y sin x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则ω= .5．求满足211z i i=+-的复数z 为 . 6．若函数()933xx f x =+，若()10f x =，则x 的值为 . 7．根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3项是 .8．若正四棱锥的体积为43cm ，底面边长为3cm ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是_____.9．若12nx x ⎫+⎪⎭的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n 的值为 .10．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，出现向上的点数分别为a ,b ，集合{}220A x x ax b x R =-+<∈且则 A φ≠的概率是 .11．若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，其对应边长分别是a ,b ,c且22A A m cos ,sin ,⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r 2322A A 1n cos,sin ,a m n 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭u r u r u r g 且（1）则角A = ；（2）则b c +的取值范围为 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，答案必须涂在答题纸上，考生应将代表答案的小方格用铅笔涂黑，注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位．12．下列各对矩阵，存在积AB 的是 ( )()A 12A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()B 1243A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 56B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()C 14A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2365B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()D 135246A ⎛⎫=⎪⎝⎭，78B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 13．若数列{}n a 为等比数列，则3516a a =是44a =的 ( ) ()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 即非充分也非必要条件14、已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是 ( )()A (15)，()B (13)，()C()D (115．在直角坐标系xOy 中，点()P ,P P x y 和点()Q ,QQ x y 满足Q P P QP P x y x y y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．若OQm OP=及POQ θ∠=，其中O 为坐标原点，则m 与θ的值 ( ) ()A 4πθ=，m 不确定()B θ不确定，m =()C m =4πθ=()D 以上答案都不对三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写在答题纸上与题号对应的区域内，并写出必要的步骤.16. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分为集合B ．（1）求 R A ð .（2）若 A B R =U ，求实数a 的取值范围.17. (本题满分14分)一个圆锥形的空杯子，上面放着一个半球形的冰淇淋，形成如图所示的几何体. （1）求该几何体的表面积；（精确到201.cm ）（2）如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用有关数据说明.（杯壁的厚度忽略不计）18. (本题满分14分)气象台预报，距离S 岛正东方向300km 的A 处有一台风形成，并以每小时30km 的速度向北偏西︒30的方向移动，在距台风中心处不超过270km 以内的地区将受到台风的影响.从台风形成起经过多少小时，S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到0.1小时)19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分5分. 第3小题满分5分. 已知函数()21ax bf x x+=+是定义在()11,-上的奇函数，其中a 、b R ∈且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在区间()11,-上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；（3）求函数()f x 的值域；20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 在直角坐标平面xOy 上一列点()()()()112223331n n n P a ,b ,P a ,b ,P a ,b ,,P a ,b ,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅都在函数12y log x =的图像上，其中n a ＞0 ，n N *∈．（Ｉ）已知数列{}n b 是等差数列，求证数列{}n a 是等比数列；（1）设过点1n n P ,P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n C ，且n C t ≤对n N *∈ 恒成立，求实数t 的取值范围；（2）对于数列{}n d ，假设存在一个常数q ，使得对任意的正整数n 都有n d ＜q ，且 lim n n d q →∞=，则称{}n d 为“左逼近”数列，q 为该数列的“左逼近”值．研究：数列{}n A 是否为“左逼近”数列，如果是，求出“左逼近”值，如果不是，说明理由；受本题的启示，请你设计一个“左逼近”数列，并写出它“左逼近”值．答案一、填空题1． 0 2.若222xx-+>则x=1 3． a>0且24b ac -<04． 2 5． 1+i 6． 0 或2 7． 30 8． 030 9． 8 10．1411．（１）0120 ，（２）4b c <+≤三、解答题()()()()0221011411216081110R x x x A ,,C A ,B a,a ≥------+∴≥+∴<-≥----------⎡⎫∴=-∞--+∞⎪⎢⎣⎭⎡⎫∴=------------⎪⎢⎣⎭>----------∴=-++---------U 116.1解：由 2-分x+11或x -分21分22由1-x-a 分分111111230122A B Ra a a ,=-+<-⎧⎪∴------------------⎨+≥-⎪⎩⎡⎫⇒∈-------------------⎪⎢⎣⎭Q U 分分1７．解由于半径3R cm =高为10h cm =母线l ==分S 表面积=S 圆锥侧+12S 球表面积 2142rl R ππ=+⨯ -------------------------------4分329ππ=⨯⨯(18154.9π=+≈()2cm -----------------------------6分(2) 不会溢出杯子 -----------------------------------8分因为，3114318223V ππ=⨯⨯=球 --------- --------10分V 圆锥119103033S h ππ=⨯⨯=⨯⨯⨯=底---------12分又因为 3018ππ>所以，不会溢出杯子 -----------------------------------14分18．可设台风中心经过t 小时到达点B -------------1分由题意得， ︒=︒-︒=∠603090SAB --------------2分在SAB ∆中，SA=300，AB=30t ， ---------------3分由余弦定理，2222223003023003060SB SA AB SA AB cos SAB.(t )t cos =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯︒----------8分若S 岛受到台风影响，则有 270SB ≤，而22270SB ≤, 化简整理得019102≤+-t t , -------------------------------10分解此不等式得6565+≤≤-t ．即t 的范围大约在 2.5小时与7.4小时之间． --------------------------------------12分所以从台风形成起，大约在 2.5小时S 岛开始受到影响，约持续 4.9小时以后影响结束. --------------------------------------14分1９．解：由题意()()11f x .-在上是奇数，()()f x f x ,-=22011ax b ax b ,b x x -++⎛⎫=-∴= ⎪++⎝⎭-----------------------3分又1225f ,⎛⎫=⎪⎝⎭易得1a = -----------------------------------5分 ()21xf x x =+ ()11x .∈- -----------------------------6分（2）在 ()11,-内任取12x ,x 令1211x x -<<< -------------------------------7分()()()()()()()()()()()21122121222221121121212122122121219111111111110101x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x ,f x f x f x x ---=-=------------------++++<⎫⎪⇒<-<<-<<∴->->⎬<⎪⎭∴->>∴=+分而即所以，()21xf x x =+ 在()11,-上是单调递增的--------------------------------------------11分（3）（解法一）由()21xf x x=+，令()()()11122u x x ,u ,,x=+∈-∴∈-∞-+∞U 又----------------------------------14分()f x ∴的值域为{}11110002222,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭U U -------------------------------------16分（解法二）利用（2）的结论，也可.20题（Ｉ）设等差数列{}n b 的公差为d ，则n+1n b b d -= 对n N *∈恒成立，----------2分1111122n n n n P ,n ,P ,n ++⎛⎫⎛⎫∴+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易求过这两点的直线方程()122n n y n x +--=--令0y =则 122n n x ++= ；令0x =则 2y n =+ ()()2122122222n n n n n c n ++++∴=+⋅= 由()2222nn n c t t ++≤≤即对*n N ∈恒成立 --------------------10分令()()2222n n f n ++=，则()()()()22322312n n n f n f n ++-+-+=232102n n n ++-=>恒成立，()f n 为单调递减 ()f n ∴ 的最大值为()918f = 98t ∴≥ ------------12分（2）、易求，()()()111222n n n n n n B ,B ++++==，21122142211111111121324351121113112123212212n n n n T n n n n A ......n n n n n n n n +⎛⎫∴=+=+---------------------- ⎪++⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫=+--=--< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭分且311lim lim 23212n n n A n n →∞→∞⎛⎫=--=⎪++⎝⎭-----------------------------------------------16分设计的“左逼近”数列，并写出它“左逼近”值，符合题的要求即可，答案不唯一 ------------------------------------------------18分1且 lim 1n n p →∞=，它是“左逼近”数列，其“左逼近”值为1；等等．。

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3、 1 2
8、 7 2
12、①②④
4、2
9、 2 − 10, 2 + 10
18、（1） a = 6 ， x = 1 或 x = log2 3 ；（2） a = −1 ，奇函数， a = 1，偶函数， a 1 ，非奇非偶函数.
19、（1）会影响；（2）B 道口
( ) 20、（1） (1, 2) ；（2） 5 + 4 2, 0 ；（3）略
7.
椭圆 x2 9
+
y2 4
= 1 的焦点为 F1, F2 ，P 为椭圆上一点，若
PF1
= 5 ，则 cos F1PF2
= ____________
n
8.
已知数列 an 的通项公式为 an
=

1
n −1

2
(n 2)
(n 3) （ n N* ）， Sn 是数列 an 的前
二、选择题
13. 已知实数 a,b 满足 a b ，则下列不等式中恒成立的是（）
A. a2 b2
B. 1 1 ab
C. a b
14.
要得到函数 y
=
2
sin

2
x
+
3

的图象，只要将
y = 2sin 2x 的图象（
A. 向左平移个单位 6
B. 向右平移个单位 6
有性质 P.
（1）判断首项为 1，公比为 −2 的无穷等比数列an 是否具有性质 P，并说明理由；
（2）已知无穷数列an 具有性质 P，且任意相邻四项之和都相等，求证： S4 = 0 ；
( ) （3）已知 bn = 2n −1 n N*
，数列 cn
是等差数列，an
=
bn2+1 cn
第2页
18.
已知函数
f (x) = 2x
+
a 2x
，其中 a 为实常数.
（1）若 f (0) = 7 ，解关于 x 的方程 f ( x) = 5 ；
（2）判断函数 f ( x) 的奇偶性，并说明理由.
19. 东西向的铁路上有两个道口 A、B，铁路两侧的公路分布如图，C 位于 A 的南偏西 15°，且位于 B 的南偏东 15°方向，D 位于 A 的正北方向，AC=AD=2km，C 处一辆救护车欲通过道口前往 D 处的医院送病人，发现北偏东 45°方向的 E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要 1 分钟，救护车和火车的速度均为 60km/h.
则实数 m 的取值范围为____________
12. 向量集合 S = a | a = ( x, y), x、y R ，对于任意, S ，以及任意 (0,1) ，都有 + (1− ) S ，
则称 S 为“C 类集”，现有四个命题：
①若 S 为“C 类集”，则集合 M = a | a S, R 也是“C 类集”；
②若 S,T 都是“C 类集”，则集合 M = a + b | a S,b T 也是“C 类集”；
③若 A1, A2 都是“C 类集”，则 A1 A2 也是“C 类集”； ④若 A1, A2 都是“C 类集”，且交集非空，则 A1 A2 也是“C 类集”.
第1页
其中正确的命题有____________（填所有正确命题的序号）
C. 向左平移个单位 3
D. 向右平移个单位 3
D. 2a 2b ）
15. 设 z1, z2 为复数，则下列命题中一定成立的是（）
A. 如果 z1 − z2 0 ，那么 z1 z2
B. 如果 z1 = z2 ，那么 z1 = z2
C.
如果
z1 z2
1 ，那么 z1

z2
n
项和，则
lim
n→+
Sn
=
____________
9. 在直角坐标平面 xOy 中， A(−2,0), B (0,1) ，动点 P 在圆 C : x2 + y2 = 2 上，则 PA PB 的取值范围为
____________
10.
已知六个函数：① y =
1 x2
；②
y
=
cos
x
；③
y
=
1
x2
（1）判断救护车通过道口 A 是否会受火车影响，并说明理由；（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 A、B 中的哪个道口? 通过计算说明.
第3页
20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F，点 A 是第一象限内抛物线 C 上
的一点，点 D 的坐标为 (t,0)(t 0) 》
；④
y
=
arcsin
x
；⑤
y
=
lg

1 1
+ −
x x

；⑥
y
=
x
+ 1，从
中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有____________种
11.
已知函数
f
(x) =
1− 1 x
( x 0) ，若关于 x 的方程 f
( x)2
+ mf
( x) + 2m + 3 = 0 有三个不相等的实数解，
2
(n为奇数) (n为偶数) ，若无穷数列an 具有性质 P，
求 c2019 的取值Biblioteka 围.第4页参考答案
1、 (0, +)
5、 3
10、12 13-16、DACC
2、

2 1
−1 3
1 0
6、2
7、 3
5
11、

−
3 2
,
−
4 3

17、（1）略；（2） arccos 2 4
杨浦区 2019 学年度第一学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷
一、填空题
1.
函数
f
(
x)
=
−1
x2
的定义域为____________
2019.12
2.
关于
x,
y
的方程组
2x − y x + 3y
= =
1 0
的增广矩阵为____________
3. 已知函数 f ( x) 的反函数 f −1 ( x) = log2 x ，则 f (−1) = ____________
（1）若 OA = 5 ，求点 A 的坐标；（2）若 AFD 为等腰直角三角形，且∠FAD=90°，求点 D 的坐标；（3）弦 AB 经过点 D，过弦 AB 上一点 P 作直线 x = −t 的垂线，垂足为点 Q，求证：“直线 QA 与抛物线相
切”的一个充要条件是“P 为弦 AB 的中点”.
21. 已知无穷数列an 的前 n 项和为 Sn ，若对于任意的正整数 n，均有 S2n−1 0, S2n 0 ，则称数列an 具
D. 如果 z12 + z22 = 0 ，那么 z1 = z2 = 0
16.
对于全集 R 的子集 A，定义函数
f
A
(
x
)
=
1 0
(
(
x
x A) CR A)
为
A
的特征函数
设 A,B 为全集 R 的子集，下列结论中错误的是（）
A. 若 A B ， fA ( x) fB ( x)
B. fCRA ( x) = 1 − fA ( x)
4. 设 a R， a2 − a − 2 + (a + 1)i 为纯虚数（i 为虚数单位），则 a = ____________
5. 已知圆锥的底面半径为 1cm，侧面积为 2 cm2 ，则母线与底面所成角的大小为____________
6. 已知 (ax +1)7 的二项展开式中 x3 的系数为 280，则实数 a = ____________
21、（1）an 具有性质 P；（2）略；（3）−4039, −4037
第5页
C. fAB ( x) = fA ( x) fB ( x)
D. fAB ( x) = fA ( x) + fB ( x)
三、解答题
17. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥底面 ABCD，AB=PA=1， AD = 3 ，E,F 分别为棱
PD,PA 的中点. （1）求证：B、C、E、F 四点共面；（2）求异面直线 PB 与 AE 所成的角.