2020届杨浦区高考数学一模
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有性质 P.
（1）判断首项为 1，公比为 −2 的无穷等比数列an 是否具有性质 P，并说明理由；
（2）已知无穷数列an 具有性质 P，且任意相邻四项之和都相等，求证： S4 = 0 ；
( ) （3）已知 bn = 2n −1 n N*
，数列 cn
是等差数列，an
=
bn2+1 cn
C. fAB ( x) = fA ( x) fB ( x)
D. fAB ( x) = fA ( x) + fB ( x)
三、解答题
17. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥底面 ABCD，AB=PA=1， AD = 3 ，E,F 分别为棱
PD,PA 的中点. （1）求证：B、C、E、F 四点共面； （2）求异面直线 PB 与 AE 所成的角.
百度文库2
(n为奇数) (n为偶数) ，若无穷数列an 具有性质 P，
求 c2019 的取值范围.
第4页
参考答案
1、 (0, +)
5、 3
10、12 13-16、DACC
2、
2 1
−1 3
1 0
6、2
7、 3
5
11、
−
3 2
,
−
4 3
17、（1）略；（2） arccos 2 4
二、选择题
13. 已知实数 a,b 满足 a b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. a2 b2
B. 1 1 ab
C. a b
14.
要得到函数 y
=
2
sin
2
x
+
3
的图象，只要将
y = 2sin 2x 的图象（
A. 向左平移 个单位 6
B. 向右平移 个单位 6
3、 1 2
8、 7 2
12、①②④
4、2
9、 2 − 10, 2 + 10
18、（1） a = 6 ， x = 1 或 x = log2 3 ；（2） a = −1 ，奇函数， a = 1，偶函数， a 1 ，非奇非偶函数.
19、（1）会影响；（2）B 道口
( ) 20、（1） (1, 2) ；（2） 5 + 4 2, 0 ；（3）略
7.
椭圆 x2 9
+
y2 4
= 1 的焦点为 F1, F2 ，P 为椭圆上一点，若
PF1
= 5 ，则 cos F1PF2
= ____________
n
8.
已知数列 an 的通项公式为 an
=
1
n −1
2
(n 2)
(n 3) （ n N* ）， Sn 是数列 an 的前
C. 向左平移 个单位 3
D. 向右平移 个单位 3
D. 2a 2b ）
15. 设 z1, z2 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A. 如果 z1 − z2 0 ，那么 z1 z2
B. 如果 z1 = z2 ，那么 z1 = z2
C.
如果
z1 z2
1 ，那么 z1
z2
D. 如果 z12 + z22 = 0 ，那么 z1 = z2 = 0
16.
对于全集 R 的子集 A，定义函数
f
A
(
x
)
=
1 0
(
(
x
x A) CR A)
为
A
的特征函数
设 A,B 为全集 R 的子集，下列结论中错误的是（ ）
A. 若 A B ， fA ( x) fB ( x)
B. fCRA ( x) = 1 − fA ( x)
21、（1）an 具有性质 P；（2）略；（3）−4039, −4037
第5页
第2页
18.
已知函数
f (x) = 2x
+
a 2x
，其中 a 为实常数.
（1）若 f (0) = 7 ，解关于 x 的方程 f ( x) = 5 ；
（2）判断函数 f ( x) 的奇偶性，并说明理由.
19. 东西向的铁路上有两个道口 A、B，铁路两侧的公路分布如图，C 位于 A 的南偏西 15°，且位于 B 的南 偏东 15°方向，D 位于 A 的正北方向，AC=AD=2km，C 处一辆救护车欲通过道口前往 D 处的医院送病 人，发现北偏东 45°方向的 E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需 要 1 分钟，救护车和火车的速度均为 60km/h.
②若 S,T 都是“C 类集”，则集合 M = a + b | a S,b T 也是“C 类集”；
③若 A1, A2 都是“C 类集”，则 A1 A2 也是“C 类集”； ④若 A1, A2 都是“C 类集”，且交集非空，则 A1 A2 也是“C 类集”.
第1页
其中正确的命题有____________（填所有正确命题的序号）
（1）判断救护车通过道口 A 是否会受火车影响，并说明理由； （2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 A、B 中的哪个道口? 通过计算说明.
第3页
20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F，点 A 是第一象限内抛物线 C 上
的一点，点 D 的坐标为 (t,0)(t 0) 》
4. 设 a R， a2 − a − 2 + (a + 1)i 为纯虚数（i 为虚数单位），则 a = ____________
5. 已知圆锥的底面半径为 1cm，侧面积为 2 cm2 ，则母线与底面所成角的大小为____________
6. 已知 (ax +1)7 的二项展开式中 x3 的系数为 280，则实数 a = ____________
n
项和，则
lim
n→+
Sn
=
____________
9. 在直角坐标平面 xOy 中， A(−2,0), B (0,1) ，动点 P 在圆 C : x2 + y2 = 2 上，则 PA PB 的取值范围为
____________
10.
已知六个函数：① y =
1 x2
；②
y
=
cos
x
；③
y
=
1
x2
杨浦区 2019 学年度第一学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷
一、填空题
1.
函数
f
(
x)
=
−1
x2
的定义域为____________
2019.12
2.
关于
x,
y
的方程组
2x − y x + 3y
= =
1 0
的增广矩阵为____________
3. 已知函数 f ( x) 的反函数 f −1 ( x) = log2 x ，则 f (−1) = ____________
；④
y
=
arcsin
x
；⑤
y
=
lg
1 1
+ −
x x
；⑥
y
=
x
+ 1，从
中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有____________种
11.
已知函数
f
(x) =
1− 1 x
( x 0) ，若关于 x 的方程 f
( x)2
+ mf
( x) + 2m + 3 = 0 有三个不相等的实数解，
（1）若 OA = 5 ，求点 A 的坐标； （2）若 AFD 为等腰直角三角形，且∠FAD=90°，求点 D 的坐标； （3）弦 AB 经过点 D，过弦 AB 上一点 P 作直线 x = −t 的垂线，垂足为点 Q，求证：“直线 QA 与抛物线相
切”的一个充要条件是“P 为弦 AB 的中点”.
21. 已知无穷数列an 的前 n 项和为 Sn ，若对于任意的正整数 n，均有 S2n−1 0, S2n 0 ，则称数列an 具
则实数 m 的取值范围为____________
12. 向量集合 S = a | a = ( x, y), x、y R ，对于任意, S ，以及任意 (0,1) ，都有 + (1− ) S ，
则称 S 为“C 类集”，现有四个命题：
①若 S 为“C 类集”，则集合 M = a | a S, R 也是“C 类集”；
（1）判断首项为 1，公比为 −2 的无穷等比数列an 是否具有性质 P，并说明理由；
（2）已知无穷数列an 具有性质 P，且任意相邻四项之和都相等，求证： S4 = 0 ；
( ) （3）已知 bn = 2n −1 n N*
，数列 cn
是等差数列，an
=
bn2+1 cn
C. fAB ( x) = fA ( x) fB ( x)
D. fAB ( x) = fA ( x) + fB ( x)
三、解答题
17. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥底面 ABCD，AB=PA=1， AD = 3 ，E,F 分别为棱
PD,PA 的中点. （1）求证：B、C、E、F 四点共面； （2）求异面直线 PB 与 AE 所成的角.
百度文库2
(n为奇数) (n为偶数) ，若无穷数列an 具有性质 P，
求 c2019 的取值范围.
第4页
参考答案
1、 (0, +)
5、 3
10、12 13-16、DACC
2、
2 1
−1 3
1 0
6、2
7、 3
5
11、
−
3 2
,
−
4 3
17、（1）略；（2） arccos 2 4
二、选择题
13. 已知实数 a,b 满足 a b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. a2 b2
B. 1 1 ab
C. a b
14.
要得到函数 y
=
2
sin
2
x
+
3
的图象，只要将
y = 2sin 2x 的图象（
A. 向左平移 个单位 6
B. 向右平移 个单位 6
3、 1 2
8、 7 2
12、①②④
4、2
9、 2 − 10, 2 + 10
18、（1） a = 6 ， x = 1 或 x = log2 3 ；（2） a = −1 ，奇函数， a = 1，偶函数， a 1 ，非奇非偶函数.
19、（1）会影响；（2）B 道口
( ) 20、（1） (1, 2) ；（2） 5 + 4 2, 0 ；（3）略
7.
椭圆 x2 9
+
y2 4
= 1 的焦点为 F1, F2 ，P 为椭圆上一点，若
PF1
= 5 ，则 cos F1PF2
= ____________
n
8.
已知数列 an 的通项公式为 an
=
1
n −1
2
(n 2)
(n 3) （ n N* ）， Sn 是数列 an 的前
C. 向左平移 个单位 3
D. 向右平移 个单位 3
D. 2a 2b ）
15. 设 z1, z2 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A. 如果 z1 − z2 0 ，那么 z1 z2
B. 如果 z1 = z2 ，那么 z1 = z2
C.
如果
z1 z2
1 ，那么 z1
z2
D. 如果 z12 + z22 = 0 ，那么 z1 = z2 = 0
16.
对于全集 R 的子集 A，定义函数
f
A
(
x
)
=
1 0
(
(
x
x A) CR A)
为
A
的特征函数
设 A,B 为全集 R 的子集，下列结论中错误的是（ ）
A. 若 A B ， fA ( x) fB ( x)
B. fCRA ( x) = 1 − fA ( x)
21、（1）an 具有性质 P；（2）略；（3）−4039, −4037
第5页
第2页
18.
已知函数
f (x) = 2x
+
a 2x
，其中 a 为实常数.
（1）若 f (0) = 7 ，解关于 x 的方程 f ( x) = 5 ；
（2）判断函数 f ( x) 的奇偶性，并说明理由.
19. 东西向的铁路上有两个道口 A、B，铁路两侧的公路分布如图，C 位于 A 的南偏西 15°，且位于 B 的南 偏东 15°方向，D 位于 A 的正北方向，AC=AD=2km，C 处一辆救护车欲通过道口前往 D 处的医院送病 人，发现北偏东 45°方向的 E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需 要 1 分钟，救护车和火车的速度均为 60km/h.
②若 S,T 都是“C 类集”，则集合 M = a + b | a S,b T 也是“C 类集”；
③若 A1, A2 都是“C 类集”，则 A1 A2 也是“C 类集”； ④若 A1, A2 都是“C 类集”，且交集非空，则 A1 A2 也是“C 类集”.
第1页
其中正确的命题有____________（填所有正确命题的序号）
（1）判断救护车通过道口 A 是否会受火车影响，并说明理由； （2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 A、B 中的哪个道口? 通过计算说明.
第3页
20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F，点 A 是第一象限内抛物线 C 上
的一点，点 D 的坐标为 (t,0)(t 0) 》
4. 设 a R， a2 − a − 2 + (a + 1)i 为纯虚数（i 为虚数单位），则 a = ____________
5. 已知圆锥的底面半径为 1cm，侧面积为 2 cm2 ，则母线与底面所成角的大小为____________
6. 已知 (ax +1)7 的二项展开式中 x3 的系数为 280，则实数 a = ____________
n
项和，则
lim
n→+
Sn
=
____________
9. 在直角坐标平面 xOy 中， A(−2,0), B (0,1) ，动点 P 在圆 C : x2 + y2 = 2 上，则 PA PB 的取值范围为
____________
10.
已知六个函数：① y =
1 x2
；②
y
=
cos
x
；③
y
=
1
x2
杨浦区 2019 学年度第一学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷
一、填空题
1.
函数
f
(
x)
=
−1
x2
的定义域为____________
2019.12
2.
关于
x,
y
的方程组
2x − y x + 3y
= =
1 0
的增广矩阵为____________
3. 已知函数 f ( x) 的反函数 f −1 ( x) = log2 x ，则 f (−1) = ____________
；④
y
=
arcsin
x
；⑤
y
=
lg
1 1
+ −
x x
；⑥
y
=
x
+ 1，从
中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有____________种
11.
已知函数
f
(x) =
1− 1 x
( x 0) ，若关于 x 的方程 f
( x)2
+ mf
( x) + 2m + 3 = 0 有三个不相等的实数解，
（1）若 OA = 5 ，求点 A 的坐标； （2）若 AFD 为等腰直角三角形，且∠FAD=90°，求点 D 的坐标； （3）弦 AB 经过点 D，过弦 AB 上一点 P 作直线 x = −t 的垂线，垂足为点 Q，求证：“直线 QA 与抛物线相
切”的一个充要条件是“P 为弦 AB 的中点”.
21. 已知无穷数列an 的前 n 项和为 Sn ，若对于任意的正整数 n，均有 S2n−1 0, S2n 0 ，则称数列an 具
则实数 m 的取值范围为____________
12. 向量集合 S = a | a = ( x, y), x、y R ，对于任意, S ，以及任意 (0,1) ，都有 + (1− ) S ，
则称 S 为“C 类集”，现有四个命题：
①若 S 为“C 类集”，则集合 M = a | a S, R 也是“C 类集”；