第四讲博弈的基本分析方法

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左 上
下 1，0 0，4
中
1， 3 0， 2
右
0， 1 2， 0
左
1，0 0，4
中
1， 3 0， 2
左
1，0
中
1，3
纳什均衡与严格下策反复消去法
命题1：在n个博弈方的博弈 G {S1 ,Sn ; u1 ,un }中，如果严格下
* ) 策反复消去法排除了除 ( si* , sn 之外的所有策略组合，那么

例子
左 上 下 中 右
1， 0
0， 4
1， 3
0， 2
0， 1
2， 0 1， 0 0， 4 1， 3 0， 2 0， 1 2， 0
3 划线法
“夫妻之争”是一个经典博弈问题。一对夫妻得到了两 张时装表演票和同一时间的两张足球比赛票。妻子更想去 看时装表演而丈夫更想去看足球比赛，但又不愿或不能分 头行动，争执不下就决定双方投票一次决定。若同选时装 则去看时装表演，同选足球则去看足球比赛，如选择不一 致则哪儿都不去。再假设若丈夫与妻子同去看时装表演， 妻子得益2单位，丈夫得益1单位；若丈夫与妻子同去看足 球比赛则丈夫得益3单位，妻子得益1单位；若因为双方选 择不同而没有出门则双方得益都为0单位，
* ( si* , sn ) 一定是该博弈的唯一的纳什均衡
命题2：在n个博弈方的博弈中 G {S1 ,Sn ; u1 ,un } 中，如果
* ( si* , sn ) 是 G 的一个纳什均衡，那么严格下策反复消去法一定
不会将它消去
上述两个命题保证在进行纳什均衡分析之前先通过严格下策
反复消去法简化博弈是可行的
0， 2
0， 1
2， 0 1， 0 0， 4 1， 3 0， 2 0， 1 2， 0
4 箭头法

其它例子
-5， -5 -8， 0 0， -8 -1， -1 夫 妻 之 争 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3
囚 徒 困 境
猜 硬 币
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
混合策略博弈的纳什均衡
1 混合策略的引进
2 多重均衡博弈和混合策略
3 混合策略和严格下策反复消去法
4 混合策略反应函数
1、 混合策略的引进
一、猜硬币博弈
猜硬币方 正 面 盖 硬 币 方 正 面 反 面 -1， 1 1， -1 反 面 1， -1 -1， 1
（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合
（2）关键是不能让对方猜到自己策略 这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
4 箭头法

方法描述：对每一种策略组合，用箭头标
出其转移的方向， 没有箭头指向外面的策 略组合即为纳什均衡。

例1
1， 0
0， 4
1， 3
第四讲：博弈的基本分析方法
吴建设
基本分析思路和方法
1 上策均衡
2 严格下策反复消去法
3 划线法
4 箭头法
1 上策均衡
上策：不管其它博弈方选择什么策略，一博弈方的 某个策略给他带来的得益始终高于他的其它的策 略，至少不低于其他策略的策略。 ui (si , si ) ui (si' , si ), 对任意的 s S , s s , 智猪博弈中的小猪“等待”；囚徒的困境中的 “坦白”；双寡头削价中“低价”。
纳什均衡与严格下策反复消去法
弱下策：不管其它博弈方采用哪一个策略，某一策略给一个博 弈方带来的收益总是比另一种策略给他带来的收益小，至多 相等的策略。 si' Si , si' si , ui (si , si ) ui (si' , si ), 对任意的 s ，
i
弱下策能不能消去：俾斯麦海战
小猪 按 等待
D
D
C
大 猪
按 等 待
5， 1
9， -1
4， 4
0， 0
-5
-5
0 -10
C
-10 0 -1 -1
2 、严格下策反复消去法
严格下策：不管其它博弈方采用哪一个策略， 某一给一个博弈方带来的收益总是比另一种 策略给他带来的收益小的策略。 ui (si , si ) ui (si' , si ), 对任意的 s ， s S , s s , 严格下策反复消去：
时装Βιβλιοθήκη Baidu
夫 妻 妻 时装 之 子 足球 争 2， 1 0， 0 丈夫
足球
0， 0 1， 3
2， 1 0， 0
0， 0 1， 3
3 划线法（自己练习）
D 囚 徒 困 境 猜 硬 币 夫 妻 之 争 D C -5， -5 -8， 0 C 0， -8 -1， -1 囚 徒 困 境 猜 硬 币 夫 妻 之 争 D C D -5， -5 -8， 0 C 0， -8 -1， -1
二、混合策略、混合策略博弈 和混合策略纳什均衡
混合策略：在博弈 G {S1 ,Sn ; u1 ,un } 中，博弈方 i 的策 略空间为 Si {si1 , sik } ，则博弈方i 以概率分布 pi ( pi1 , pik ) 随机在其 k 个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合 策略 ”，其中 0 pij 1 对 j 1,, k 都成立，且 pi1 pik 1
' i i
' i
i
待
大 猪 按 等 待
按
小猪
等
D D
C
5， 1 9， -1
4， 4 0， 0
-5
-5
0 -10
C
-10 0 -1 -1
1 上策均衡
上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略 都是各个博弈方各自的上策，必然是该博弈比较 稳定的结果 上策均衡不是普遍存在的 上策均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是 上策均衡
对木村来说，南线是弱下策。对肯尼来说，他知道南线是木
村的弱下策，因此他也选择北线，当年就是 这么发生的。
肯 北线 尼 南线 但是，如果木村知道肯尼要选择北线， 木村 北线 南线
2，-2
1，-1
2，-2
3，-3
他也可能选南线，（北线，南线）也可能为最后结果。
3 划线法

给定其它参与人的策略，对当事参与人在每一种 策略进行比较，在最好的策略下划线。最后，所 有策略均划线的策略组合是纳什均衡。
1943年，日本海军上将木村受命将日本陆军运抵新几内亚，期间 要穿越俾斯麦海。而美国海军上将肯尼欲对日本船队进行轰 炸。穿越俾斯麦海到新几内亚有两条线路：较短的北线和较 长的南线。木村必须选择一条线路，而肯尼也必须选择一条
纳什均衡与严格下策反复消去法
弱下策能不能消去：俾斯麦海战（续）
线路去搜索日军。如果肯尼将飞机派往错误的线路，召回需 要时间，轰炸时间会少几天。