第二章计算题

第二章

三、计算题

1．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分钟）具有概率密度

⎪⎩

⎪⎨⎧>=-.x e x f x

其他，；，）（00313

某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开.

（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率P {X >9}；

（2）若该顾客一个月内要去银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，即事

件{X >9}在5次中发生的次数，试求P {Y =0}.

(!)、F （x ）=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--，其他；，00x e 13x

1—F （9）=1—(1--e

3-)

=e 3-

（2）、Y~B （5，P ） P （Y=0）=（1—p ）5

2．设随机变量X 服从参数为3的指数分布.试求：

（1）Y=e X 的概率密度；（2）P{1≤Y ≤2}. （1）F(x)=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>--其他；,00,13x e x

F(x)=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>-其他,00,33x e x

Y=x

e , x= lny

F x (y) = F x [h(y)])'(y h

=3e y ln 3-∙y 1=4

3y

x f ∴(y)=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>其他,00,34y y (2)

dy y

⎰2143 =87 3．司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数为λ=

51的指数分布.

（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ； （2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y 表示等候时间超过10分钟的次数，写

出Y 的分布律，并求P{Y ≥1}.

(1)、⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=，其他）（00x ,e 1x F x 51

P （x 10 ）=1—F （10）

=1—（1—e

2-） =e

2- （2）、Y~B （2，e 2-）

1—P （Y=0）=1—（1—P ）2

=1—（1—e

2-）2 =2e 42e --—

4.袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5,现从袋中同时取出3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,试求:（1）X 的概率分布;（2）X 的分布函数;（3）Y=2X +1的概率分布。 可取3,4,5

P （x=3）=10

1C 115= P （x=4）=103C 13

5

= P （x=5）=10

6C C 3

52

=

（1）

（2）

5．甲在上班路上所需的时间（单位：分）X~N （50，100）．已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，试求：（1）甲迟到的概率；（2）某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率． （Φ（1）=0.8413，Φ（1.96）=0.9750，Φ(2.5)=0.9938）

（1）、P （x ）60 =1—F （60）

=1—⎪⎭

⎫ ⎝⎛-105060φ =1—）

（1φ =0.1587

（2）、Y~B （5.0587）

P=1—（1—P ）4155P 1P C ）（

--

6．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=.

1,0,1,1)(2x x x x f X

（1）求X 的分布函数)(x F X ；（2）求⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤<321X P ；（3）令Y =2X ，求Y 的概率密度)(y f Y . （1）、F x （x ）=⎩⎨⎧≥1

x 01x 1 ，， （2）、F （3）—F

（）21

=1

（3）、F y （y ）=

{}22x y x y 22y 1·212

1·2y F y F 2y F }2y x {P }y x 2{P y Y P =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭

⎫ ⎝⎛=≤=≤=≤）（

7．某地抽样调查结果表明，某次统考中，考生的数学成绩（百分制）X 服从正态分布 N （72，2σ），且96分以上的考生占考生总数的2.3%. 试求考生的数学成绩在60~84分之间的概率. （已知977.0)2(,8413.0)1(00=Φ=Φ）

P （x ≥96）=P （

6

24672x ≥-） =1—P （6

24672x -） =1—）（6

24Φ=0.023 ）（6

24Φ=0.977 P(6084x ≤≤)=P(）12

72841272x 127260-≤-≤- =P （11272-x 1≤≤-） =）（）（11-Φ-Φ

=112-Φ）（

=0.6826

8．设有10件产品，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，取出的产品不

放回，设X 为直至取得正品为止所需抽取的次数，求X 的分布律.

P(x=1)=5

4C C 11018=

P(x=2)==191811012C C ·C C 45

898·51= P(x=3)=45

1C 1·C C 1911012=

9．某地区年降雨量X （单位：mm ）服从正态分布N （1000，1002），设各年降雨量相互独

立，求从今年起连续10年内有9年降雨量不超过1250mm ，而有一年降雨量超过1250mm 的概率。（取小数四位，Φ(2.5)=0.9938，Φ(1.96)=0.9750）

P(x 1250 )=P

.521001000-x )=1—P （）.52100

1000-x ≤ =1—）（.52Φ =0.0062

P=9110062.001·062.00·

C ）（-

10．假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀

分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使？

解：设小店组织进货y 盒，则收益R 是y 的函数：

()3()

y X y R y X y X X y ≥⎧=⎨--<⎩ R 是随机变量，它是X 的函数，其数学期望为 4002004002002400

200222211()()[3()]200200

11[43]200200

11(23)200200

11[(23)(80000600)](400)200200

15400100

1()5050

250

y X y y y y y E R Rf x dx x y x dx ydx x y dx ydx x xy xy y y y y y y y d E R y dy y +∞-∞==--+=-+=-+=---+-=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰令解得 即小店组织进货250盒时，平均收益最大。