简述基于MATLAB设计巴特沃斯低通滤波器

基于MATLAB 设计巴特沃斯低通滤波器

摘 要： 首先分析了巴特沃斯低通滤波器的特性。然后用MATLAB 的信号处理工具箱提供的函 数设计了巴特沃斯低通滤波器，使得巴特沃斯滤波器的设计变得更加简单、快捷、直观。

巴特沃斯(Butterworth)滤波器是一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器，它在通信领域里已有广应用，在电测中也具有广泛的用途，可以作检测信号的滤波器。MATLAB 语言是一种面向科学与工程计算的语言。它编程效率高，测试程序手段丰富，扩展能力强，内涵丰富。它的信号处理工具箱(Signal Processing Toolbox)提供了设计巴特沃斯滤波器的函数，本文充分利用这些函数，进行了巴特沃斯滤波器的程序设计，并将其作为函数文件保存，可方便地进行调用。

1. 巴特沃斯低通滤波器的特性

巴特沃斯低通滤波器的平方幅度响应为： n c j H 22)(11

)(ωωω+=

其中，n 为滤波器的阶数，ωc 为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些特殊

的性质：

① 对所有的n ，都有当 ω=0时，|H(j0)|2 =1；

② 对所有的n ，都有当ω=ωc 时，|H(j ωc )|2 =0.5 ，即在ωc 处有3dB 的衰减；

③|H(j ω)|2 是ω的单调递减函数，即不会出现幅度响应的起伏；

④ 当n →+∞时，巴特沃斯滤波器趋向于理想的低通滤波器；

⑤ 在ω=0处平方幅度响应的各级导数均存在且等于0，因此|H(j ω)|2 在该点上取得最大值，且具有最大平坦特性。

图l 展示了2阶、4阶、8阶巴特沃斯低通滤波器的幅频特性。可见阶数n 越高，其幅频特性越好，低频检测信号保真度越高。

巴特沃斯与贝塞尔(Besse1)、切比雪夫(Cheby.shev)滤波器的特性差异如图2所示。

从图2可以看出，巴特沃斯滤波器在线性相位、衰减斜率和加载特性三个方面具有特性均衡的优点，因此在实际使用中，巴特沃斯滤波器已被列为首选。

2 .巴特沃斯低通滤波器的MATLAB实现

MATLAB的信号处理工具箱提供了有关巴特沃斯滤波器的函数buttap、buttord、butter。

2．1 用buttap函数设计归一化的巴特沃斯低通滤波器系数

[z，P，k]=bttap(n)可设计出n阶巴特沃斯低通滤波器原型，其传递函数为：

))(())2())(1(()(n p s p s p s k

s H -∧--=

因此实际上Z 为空阵。上述零极点形式可以化为: 0

1110

)(b s b s b s b s H n n n ++∧++=--

其中n b 00ω=，巴特沃斯滤波器的归一化结果，如表1所示。

2．2 设计巴特沃斯滤波器的程序实现

buttord 函数可在给定滤波器性能的情况下，选择巴特沃斯滤波器的阶数n 和截止频率ωc ， 从而可利用butter 函数设计巴特沃斯滤波器的传递函数。

[n,ωc ]=buttord(ωp ,ωs ,R p ,R s ,'s')可得到满足性能的模拟巴特沃斯滤波器的最小阶数n 及截止频率ωc ， 其中ωp 为通带的拐角频率，ωs 为阻带的拐角频率，

ωp 和ωs 的单位均为rad/s ；R s 为通带区的最大波动系数，R p 为R s 阻带区的最小衰减系数，R p 和R s 的单位都为dB 。

[b ，a]=butter(n ，ωc ,'s' )可设计截止频率为ωc 的n 阶低通模拟巴特沃斯滤波器为:

)1()2()1()2()1()()()(11++∧++++∧++==--n a s a s n b s b s b s A s B s H n n n n

利用buttord 函数、buuer 函数编制设计巴特沃斯低通滤波器的MATLAB 函数文件butterdesign ．m ，其清单如下：

Function[Nbutt ，Wcbutt ，bbutt ，abutt]=butterdesign(Wp ，Rp ，Ws ，As)

[Nbutt ，Wcbutt]=buttord(Wp ，Ws ，Rp ，As ，’S’)；

[bbutt ，abutt]=butter(Nbutt ，Wcbutt ，’S’)；

[hbutt ，Wbutt]=freqs(bbutt ，abutt)；

subplot(2，1，1)；plot(WbuR ，abs(hbutt))；

subplot(2，1，2)；plot(W'butt ，angle(hbutt))；

为了使程序更通用，采用以下命令从键盘上输入巴特沃斯滤波器的性能指标。 Wp=input(’Please input passband comer frequencyin rad ／s Wp=’)

Rp=input(’Please input passband ripple in dB Rp= ’)

Ws=input(’Please input stopb and comer frequency in rad ／s Ws=’)

As=input(’Please input stopband attenuation in dB As=’)

调用butterdesign 函数就可设计出满足性能指标的巴特沃斯滤波器，其主程序文件名为buttermain ．m 。下面举例说明巴特沃斯滤波器的计算机辅助设计过程。

设计一模拟巴特沃斯低通滤波器，其通带的拐角频率ωp 为0．2π，通带区的最大波动系数R p 为7dB ，阻带的拐角频率ωs 为0．3π，阻带区的最小衰减系数R s 为16dB 。

在MATLAB 命令窗口中输入buttermain ，根据屏幕上的提示分别输入0．2*pi ，7，0．3*pi ，16，就可得到满足性能指标的巴特沃斯低通滤波器的最小阶数n=3，截止频率ωc =0．5122rad ／s ，其传递函数为:

1344.05247.00244.11344

.0)(23+++=s s s s H

同时得到图3所示的巴特沃斯低通滤波器曲线。