数学必修一练习题汇总(含答案)

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高一数学必修一全册练习题(解析版)

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第一章集合与函数的概念1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是()A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}解析:选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B中k取负数,多了若干元素;C中t=0时多了-3这个元素,只有D是正确的.2.集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},S={x|x=4k+1,k∈Z},a∈P,b∈M,设c=a+b,则有()A.c∈P B.c∈MC.c∈S D.以上都不对解析:选B.∈a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∈c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∈c∈M.3.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A*B 的所有元素之和为()A.0 B.2C.3 D.6解析:选D.∈z=xy,x∈A,y∈B,∈z的取值有:1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,故A*B={0,2,4},∈集合A*B的所有元素之和为:0+2+4=6.4.已知集合A={1,2,3},B={1,2},C={(x,y)|x∈A,y∈B},则用列举法表示集合C=____________.解析:∈C={(x,y)|x∈A,y∈B},∈满足条件的点为:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2).答案:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}1.集合{(x ,y )|y =2x -1}表示( ) A .方程y =2x -1 B .点(x ,y )C .平面直角坐标系中的所有点组成的集合D .函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合 答案:D2.设集合M ={x ∈R |x ≤33},a =26,则( ) A .a ∈M B .a ∈M C .{a }∈M D .{a |a =26}∈M 解析:选B.(26)2-(33)2=24-27<0, 故26<3 3.所以a ∈M .3.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1x -y =9的解集是( )A .(-5,4)B .(5,-4)C .{(-5,4)}D .{(5,-4)}解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1x -y =9,得⎩⎪⎨⎪⎧x =5y =-4,该方程组有一组解(5,-4),解集为{(5,-4)}.4.下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合;(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合; (3)1,32,64,|-12|,0.5这些数组成的集合有5个元素;(4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个解析:选A.(1)错的原因是元素不确定;(2)前者是数集,而后者是点集,种类不同;(3)32=64,|-12|=0.5,有重复的元素,应该是3个元素;(4)本集合还包括坐标轴. 5.下列集合中,不同于另外三个集合的是( ) A .{0} B .{y |y 2=0} C .{x |x =0} D .{x =0}解析:选D.A 是列举法,C 是描述法,对于B 要注意集合的代表元素是y ,故与A ,C 相同,而D 表示该集合含有一个元素,即“x =0”.6.设P ={1,2,3,4},Q ={4,5,6,7,8},定义P *Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q ,a ≠b },则P *Q 中元素的个数为( )A .4B .5C .19D .20解析:选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5-1=19.故选C 项.7.由实数x ,-x ,x 2,-3x 3所组成的集合里面元素最多有________个. 解析:x 2=|x |,而-3x 3=-x ,故集合里面元素最多有2个. 答案:28.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x -3∈Z ,试用列举法表示集合A =________. 解析:要使4x -3∈Z ,必须x -3是4的约数.而4的约数有-4,-2,-1,1,2,4六个,则x =-1,1,2,4,5,7,要注意到元素x 应为自然数,故A ={1,2,4,5,7}答案:{1,2,4,5,7}9.集合{x |x 2-2x +m =0}含有两个元素,则实数m 满足的条件为________. 解析:该集合是关于x 的一元二次方程的解集,则Δ=4-4m >0,所以m <1. 答案:m <110. 用适当的方法表示下列集合: (1)所有被3整除的整数;(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线); (3)满足方程x =|x |,x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解:(1){x |x =3n ,n ∈Z };(2){(x ,y )|-1≤x ≤2,-12≤y ≤1,且xy ≥0};(3)B ={x |x =|x |,x ∈Z }.11.已知集合A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0},其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素,请用列举法表示集合A .解:∈1是集合A 中的一个元素,∈1是关于x 的方程ax 2+2x +1=0的一个根, ∈a ·12+2×1+1=0,即a =-3. 方程即为-3x 2+2x +1=0,解这个方程,得x 1=1,x 2=-13,∈集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-13,1.12.已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0},若A 中元素至多只有一个,求实数a 的取值范围. 解:∈a =0时,原方程为-3x +2=0,x =23,符合题意.∈a ≠0时,方程ax 2-3x +2=0为一元二次方程. 由Δ=9-8a ≤0,得a ≥98.∈当a ≥98时,方程ax 2-3x +2=0无实数根或有两个相等的实数根.综合∈∈,知a =0或a ≥98.1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A .水浒书业的全体员工 B .《优化方案》的所有书刊 C .2010年考入清华大学的全体学生 D .美国NBA 的篮球明星解析:选D.A 、B 、C 中的元素:员工、书刊、学生都有明确的对象,而D 中对象不确定,“明星”没有具体明确的标准.2.(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ∈π∈R ;∈3∈Q ;∈0∈N *;∈|-4|∈N *. A .1 B .2 C .3 D .4 解析:选B.∈∈正确,∈∈错误.3.集合A ={一条边长为1,一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .无数个解析:选C.(1)当腰长为1时,底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时,底角为40°或顶角为40°,所以共有4个三角形.4.以方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合中共有________个元素. 解析:由x 2-5x +6=0,解得x =2或x =3.由x2-x-2=0,解得x=2或x=-1.答案:31.若以正实数x,y,z,w四个元素构成集合A,以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案:A2.设集合A只含一个元素a,则下列各式正确的是()A.0∈A B.a∈AC.a∈A D.a=A答案:C3.给出以下四个对象,其中能构成集合的有()∈教2011届高一的年轻教师;∈你所在班中身高超过1.70米的同学;∈2010年广州亚运会的比赛项目;∈1,3,5.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选C.因为未规定年轻的标准,所以∈不能构成集合;由于∈∈∈中的对象具备确定性、互异性,所以∈∈∈能构成集合.4.若集合M={a,b,c},M中元素是∈ABC的三边长,则∈ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:选D.根据元素的互异性可知,a≠b,a≠c,b≠c.5.下列各组集合,表示相等集合的是()∈M={(3,2)},N={(2,3)};∈M={3,2},N={2,3};∈M={(1,2)},N={1,2}.A.∈ B.∈C.∈ D.以上都不对解析:选B.∈中M中表示点(3,2),N中表示点(2,3),∈中由元素的无序性知是相等集合,∈中M表示一个元素:点(1,2),N中表示两个元素分别为1,2.6.若所有形如a +2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ,对于x =13-52,y =3+2π,则有( )A .x ∈M ,y ∈MB .x ∈M ,y ∈MC .x ∈M ,y ∈MD .x ∈M ,y ∈M 解析:选B.∈x =13-52=-341-5412,y =3+2π中π是无理数,而集合M 中,b ∈Q ,得x ∈M ,y ∈M .7.已知∈5∈R ;∈13∈Q ;∈0={0};∈0∈N ;∈π∈Q ;∈-3∈Z .其中正确的个数为________.解析:∈错误,0是元素,{0}是一个集合;∈0∈N ;∈π∈Q ,∈∈∈正确. 答案:38.对于集合A ={2,4,6},若a ∈A ,则6-a ∈A ,那么a 的取值是________. 解析:当a =2时,6-a =4∈A ; 当a =4时,6-a =2∈A ; 当a =6时,6-a =0∈A , 所以a =2或a =4. 答案:2或49.若a ,b ∈R ,且a ≠0,b ≠0,则|a |a +|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________.解析:当a >0,b >0时,|a |a +|b |b =2;当a ·b <0时,|a |a +|b |b =0;当a <0且b <0时,|a |a +|b |b=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即元素的个数为3. 答案:310.已知集合A 含有两个元素a -3和2a -1,若-3∈A ,试求实数a 的值. 解:∈-3∈A ,∈-3=a -3或-3=2a -1. 若-3=a -3,则a =0,此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合题意. 若-3=2a -1,则a =-1,此时集合A 含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1.11.集合A 是由形如m +3n (m ∈Z ,n ∈Z )的数构成的,试判断12-3是不是集合A 中的元素?解:∈12-3=2+3=2+3×1,而2,1∈Z ,∈2+3∈A ,即12-3∈A .12.已知M ={2,a ,b },N ={2a,2,b 2},且M =N ,试求a 与b 的值. 解:根据集合中元素的互异性,有⎩⎪⎨⎪⎧ a =2a b =b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a =b2b =2a, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =0b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =0或⎩⎨⎧a =14b =12.再根据集合中元素的互异性,得⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =1或⎩⎨⎧a =14b =12.1.下列六个关系式,其中正确的有( )∈{a ,b }={b ,a };∈{a ,b }∈{b ,a };∈∈={∈};∈{0}=∈;∈∈{0};∈0∈{0}.A .6个B .5个C .4个D .3个及3个以下 解析:选C.∈∈∈∈正确.2.已知集合A ,B ,若A 不是B 的子集,则下列命题中正确的是( ) A .对任意的a ∈A ,都有a ∈B B .对任意的b ∈B ,都有b ∈A C .存在a 0,满足a 0∈A ,a 0∈B D .存在a 0,满足a 0∈A ,a 0∈B解析:选C.A 不是B 的子集,也就是说A 中存在不是B 中的元素,显然正是C 选项要表达的.对于A 和B 选项,取A ={1,2},B ={2,3}可否定,对于D 选项,取A ={1},B ={2,3}可否定.3.设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A B,则a的取值范围是()A.a≥2 B.a≤1C.a≥1 D.a≤2解析:选A.A={x|1<x<2},B={x|x<a},要使A B,则应有a≥2.4.集合M={x|x2-3x-a2+2=0,a∈R}的子集的个数为________.解析:∈Δ=9-4(2-a2)=1+4a2>0,∈M恒有2个元素,所以子集有4个.答案:41.如果A={x|x>-1},那么()A.0∈A B.{0}∈AC.∈∈A D.{0}∈A解析:选D.A、B、C的关系符号是错误的.2.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则()A.A>B B.A BC.B A D.A∈B解析:选C.利用数轴(图略)可看出x∈B∈x∈A,但x∈A∈x∈B不成立.3.定义A-B={x|x∈A且x∈B},若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5},则A-B等于() A.A B.BC.{2} D.{1,7,9}解析:选D.从定义可看出,元素在A中但是不能在B中,所以只能是D.4.以下共有6组集合.(1)A={(-5,3)},B={-5,3};(2)M={1,-3},N={3,-1};(3)M=∈,N={0};(4)M={π},N={3.1415};(5)M={x|x是小数},N={x|x是实数};(6)M={x|x2-3x+2=0},N={y|y2-3y+2=0}.其中表示相等的集合有()A.2组B.3组C.4组D.5组解析:选A.(5),(6)表示相等的集合,注意小数是实数,而实数也是小数.5.定义集合间的一种运算“*”满足:A*B={ω|ω=xy(x+y),x∈A,y∈B}.若集合A={0,1},B ={2,3},则A *B 的子集的个数是( )A .4B .8C .16D .32解析:选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算,有0·2·(0+2)=0·3·(0+3)=0,1·2·(1+2)=6,1·3·(1+3)=12,因此可知A *B ={0,6,12},因此其子集个数为23=8,选B.6.设B ={1,2},A ={x |x ∈B },则A 与B 的关系是( ) A .A ∈B B .B ∈A C .A ∈B D .B ∈A解析:选D.∈B 的子集为{1},{2},{1,2},∈, ∈A ={x |x ∈B }={{1},{2},{1,2},∈},∈B ∈A .7.设x ,y ∈R ,A ={(x ,y )|y =x },B ={(x ,y )|yx =1},则A 、B 间的关系为________.解析:在A 中,(0,0)∈A ,而(0,0)∈B ,故B A .答案:BA8.设集合A ={1,3,a },B ={1,a 2-a +1},且A ∈B ,则a 的值为________. 解析:A ∈B ,则a 2-a +1=3或a 2-a +1=a ,解得a =2或a =-1或a =1,结合集合元素的互异性,可确定a =-1或a =2.答案:-1或29.已知A ={x |x <-1或x >5},B ={x |a ≤x <a +4},若A B ,则实数a 的取值范围是________.解析:作出数轴可得,要使A B ,则必须a +4≤-1或a >5,解之得{a |a >5或a ≤-5}.答案:{a |a >5或a ≤-5}10.已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2},若A =B ,求c 的值.解:∈若⎩⎪⎨⎪⎧a +b =ac a +2b =ac2,消去b 得a +ac 2-2ac =0, 即a (c 2-2c +1)=0.当a =0时,集合B 中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性, 故a ≠0,c 2-2c +1=0,即c =1; 当c =1时,集合B 中的三个元素也相同, ∈c =1舍去,即此时无解.∈若⎩⎪⎨⎪⎧a +b =ac 2a +2b =ac ,消去b 得2ac 2-ac -a =0,即a (2c 2-c -1)=0.∈a ≠0,∈2c 2-c -1=0,即(c -1)(2c +1)=0. 又∈c ≠1,∈c =-12.11.已知集合A ={x |1≤x ≤2},B ={x |1≤x ≤a ,a ≥1}. (1)若AB ,求a 的取值范围;(2)若B ∈A ,求a 的取值范围. 解:(1)若AB ,由图可知,a >2.(2)若B ∈A ,由图可知,1≤a ≤2.12.若集合A ={x |x 2+x -6=0},B ={x |mx +1=0},且B A ,求实数m 的值.解:A ={x |x 2+x -6=0}={-3,2}. ∈BA ,∈mx +1=0的解为-3或2或无解.当mx +1=0的解为-3时, 由m ·(-3)+1=0,得m =13;当mx +1=0的解为2时, 由m ·2+1=0,得m =-12;当mx +1=0无解时,m =0. 综上所述,m =13或m =-12或m =0.1.(2010年高考广东卷)若集合A ={x |-2<x <1},B ={x |0<x <2},则集合A ∩B =( ) A .{x |-1<x <1} B .{x |-2<x <1} C .{x |-2<x <2} D .{x |0<x <1}解析:选D.因为A ={x |-2<x <1},B ={x |0<x <2},所以A ∩B ={x |0<x <1}. 2.(2010年高考湖南卷)已知集合M ={1,2,3},N ={2,3,4}则( ) A .M ∈N B .N ∈M C .M ∩N ={2,3} D .M ∈N ={1,4}解析:选C.∈M={1,2,3},N={2,3,4}.∈选项A、B显然不对.M∈N={1,2,3,4},∈选项D错误.又M∩N={2,3},故选C.3.已知集合M={y|y=x2},N={y|x=y2},则M∩N=()A.{(0,0),(1,1)} B.{0,1}C.{y|y≥0} D.{y|0≤y≤1}解析:选C.M={y|y≥0},N=R,∈M∩N=M={y|y≥0}.4.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},且A∈B=A,则实数m的取值范围是________.解析:A∈B=A,即B∈A,∈m≥2.答案:m≥21.下列关系Q∩R=R∩Q;Z∈N=N;Q∈R=R∈Q;Q∩N=N中,正确的个数是() A.1B.2C.3 D.4解析:选C.只有Z∈N=N是错误的,应是Z∈N=Z.2.(2010年高考四川卷)设集合A={3,5,6,8},集合B={4,5,7,8},则A∩B等于() A.{3,4,5,6,7,8} B.{3,6}C.{4,7} D.{5,8}解析:选D.∈A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},∈A∩B={5,8}.3.(2009年高考山东卷)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∈B={0,1,2,4,16},则a的值为()A.0 B.1C.2 D.4解析:选D.根据元素特性,a≠0,a≠2,a≠1.∈a=4.4.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于() A.{2} B.{1,2}C.{2,3} D.{1,2,3}解析:选A.Q={x∈R|x2+x-6=0}={-3,2}.∈P∩Q={2}.5.(2010年高考福建卷)若集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则A∩B等于()A.{x|2<x≤3} B.{x|x≥1}C.{x|2≤x<3} D.{x|x>2}解析:选A.∈A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},∈A ∩B ={x |2<x ≤3}.6.设集合S ={x |x >5或x <-1},T ={x |a <x <a +8},S ∈T =R ,则a 的取值范围是( )A .-3<a <-1B .-3≤a ≤-1C .a ≤-3或a ≥-1D .a <-3或a >-1 解析:选A.S ∈T =R ,∈⎩⎪⎨⎪⎧a +8>5,a <-1.∈-3<a <-1. 7.(2010年高考湖南卷)已知集合A ={1,2,3},B ={2,m,4},A ∩B ={2,3},则m =________. 解析:∈A ∩B ={2,3},∈3∈B ,∈m =3. 答案:38.满足条件{1,3}∈M ={1,3,5}的集合M 的个数是________. 解析:∈{1,3}∈M ={1,3,5},∈M 中必须含有5, ∈M 可以是{5},{5,1},{5,3},{1,3,5},共4个. 答案:49.若集合A ={x |x ≤2},B ={x |x ≥a },且满足A ∩B ={2},则实数a =________. 解析:当a >2时,A ∩B =∈; 当a <2时,A ∩B ={x |a ≤x ≤2}; 当a =2时,A ∩B ={2}.综上:a =2. 答案:210.已知A ={x |x 2+ax +b =0},B ={x |x 2+cx +15=0},A ∈B ={3,5},A ∩B ={3},求实数a ,b ,c 的值.解:∈A ∩B ={3},∈由9+3c +15=0,解得c =-8.由x 2-8x +15=0,解得B ={3,5},故A ={3}. 又a 2-4b =0,解得a =-6,b =9. 综上知,a =-6,b =9,c =-8.11.已知集合A ={x |x -2>3},B ={x |2x -3>3x -a },求A ∈B . 解:A ={x |x -2>3}={x |x >5}, B ={x |2x -3>3x -a }={x |x <a -3}. 借助数轴如图:∈当a -3≤5,即a ≤8时,A ∈B ={x |x <a -3或x >5}. ∈当a -3>5,即a >8时,A ∈B ={x |x >5}∈{x |x <a -3}={x |x ∈R }=R . 综上可知当a ≤8时,A ∈B ={x |x <a -3或x >5}; 当a >8时,A ∈B =R .12.设集合A ={(x ,y )|2x +y =1,x ,y ∈R },B ={(x ,y )|a 2x +2y =a ,x ,y ∈R },若A ∩B =∈,求a 的值.解:集合A 、B 的元素都是点,A ∩B 的元素是两直线的公共点.A ∩B =∈,则两直线无交点,即方程组无解.列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =1a 2x +2y =a ,解得(4-a 2)x =2-a ,则⎩⎪⎨⎪⎧4-a 2=02-a ≠0,即a =-2.1.(2010年高考辽宁卷)已知集合U ={1,3,5,7,9},A ={1,5,7},则∈U A =( ) A .{1,3} B .{3,7,9} C .{3,5,9} D .{3,9} 解析:选D.∈U A ={3,9},故选D.2.(2010年高考陕西卷)集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x <1},则A ∩(∈R B )=( ) A .{x |x >1} B .{x |x ≥1} C .{x |1<x ≤2} D .{x |1≤x ≤2}解析:选D.∈B ={x |x <1},∈∈R B ={x |x ≥1}, ∈A ∩∈R B ={x |1≤x ≤2}.3. 已知全集U =Z ,集合A ={x |x 2=x },B ={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A .{-1,2}B .{-1,0}C .{0,1}D .{1,2}解析:选A.依题意知A={0,1},(∈U A)∩B表示全集U中不在集合A中,但在集合B中的所有元素,故图中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2}.选A.4.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若∈U A={x|2≤x≤5},则a=________.解析:∈A∈∈U A=U,∈A={x|1≤x<2}.∈a=2.答案:21.已知全集U={1,2,3,4,5},且A={2,3,4},B={1,2},则A∩(∈U B)等于()A.{2} B.{5}C.{3,4} D.{2,3,4,5}解析:选C.∈U B={3,4,5},∈A∩(∈U B)={3,4}.2.已知全集U={0,1,2},且∈U A={2},则A=()A.{0} B.{1}C.∈ D.{0,1}解析:选D.∈∈U A={2},∈2∈A,又U={0,1,2},∈A={0,1}.3.(2009年高考全国卷∈)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∈B,则集合∈U(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:选A.U=A∈B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},∈∈U(A∩B)={3,5,8}.4.已知集合U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则()A.M∩N={4,6} B.M∈N=UC.(∈U N)∈M=U D.(∈U M)∩N=N解析:选B.由U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},得M∩N={4,5},(∈U N)∈M ={3,4,5,7},(∈U M)∩N={2,6},M∈N={2,3,4,5,6,7}=U,选B.5.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∈U(A∈B)中元素个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析:选B.∈A={1,2},∈B={2,4},∈A∈B={1,2,4},∈∈U(A∈B)={3,5}.6.已知全集U =A ∈B 中有m 个元素,(∈U A )∈(∈U B )中有n 个元素.若A ∩B 非空,则A ∩B 的元素个数为( )A .mnB .m +nC .n -mD .m -n解析:选D.U =A ∈B 中有m 个元素,∈(∈U A )∈(∈U B )=∈U (A ∩B )中有n 个元素, ∈A ∩B 中有m -n 个元素,故选D.7.设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B ={3,4,5},C ={3,4},则(A ∈B )∩(∈U C )=________. 解析:∈A ∈B ={2,3,4,5},∈U C ={1,2,5}, ∈(A ∈B )∩(∈U C )={2,3,4,5}∩{1,2,5}={2,5}. 答案:{2,5}8.已知全集U ={2,3,a 2-a -1},A ={2,3},若∈U A ={1},则实数a 的值是________. 解析:∈U ={2,3,a 2-a -1},A ={2,3},∈U A ={1}, ∈a 2-a -1=1,即a 2-a -2=0, 解得a =-1或a =2. 答案:-1或29.设集合A ={x |x +m ≥0},B ={x |-2<x <4},全集U =R ,且(∈U A )∩B =∈,求实数m 的取值范围为________.解析:由已知A ={x |x ≥-m }, ∈∈U A ={x |x <-m },∈B ={x |-2<x <4},(∈U A )∩B =∈, ∈-m ≤-2,即m ≥2, ∈m 的取值范围是m ≥2. 答案:{m |m ≥2}10.已知全集U =R ,A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3},P ={x |x ≤0或x ≥52},求A ∩B ,(∈U B )∈P ,(A ∩B )∩(∈U P ).解:将集合A 、B 、P 表示在数轴上,如图.∈A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3},∈A ∩B ={x |-1<x <2}. ∈∈U B ={x |x ≤-1或x >3}, ∈(∈U B )∈P ={x |x ≤0或x ≥52},(A ∩B )∩(∈U P )={x |-1<x <2}∩{x |0<x <52}={x |0<x <2}.11.已知集合A ={x |x 2+ax +12b =0}和B ={x |x 2-ax +b =0},满足B ∩(∈U A )={2},A ∩(∈U B )={4},U =R ,求实数a ,b 的值.解:∈B ∩(∈U A )={2}, ∈2∈B ,但2∈A .∈A ∩(∈U B )={4},∈4∈A ,但4∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧42+4a +12b =022-2a +b =0,解得⎩⎨⎧a =87b =127.∈a ,b 的值为87,-127.12.已知集合A ={x |2a -2<x <a },B ={x |1<x <2},且A ∈R B ,求实数a 的取值范围.解:∈R B ={x |x ≤1或x ≥2}≠∈, ∈A∈R B ,∈分A =∈和A ≠∈两种情况讨论. ∈若A =∈,此时有2a -2≥a , ∈a ≥2.∈若A ≠∈,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a -2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a -2<a 2a -2≥2.∈a ≤1.综上所述,a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1.下列说法中正确的为( ) A .y =f (x )与y =f (t )表示同一个函数 B .y =f (x )与y =f (x +1)不可能是同一函数 C .f (x )=1与f (x )=x 0表示同一函数D .定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析:选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.2.下列函数完全相同的是( ) A .f (x )=|x |,g (x )=(x )2 B .f (x )=|x |,g (x )=x 2 C .f (x )=|x |,g (x )=x 2xD .f (x )=x 2-9x -3,g (x )=x +3解析:选B.A 、C 、D 的定义域均不同. 3.函数y =1-x +x 的定义域是( ) A .{x |x ≤1} B .{x |x ≥0} C .{x |x ≥1或x ≤0} D .{x |0≤x ≤1}解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0x ≥0,得0≤x ≤1.4.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系,其中表示y 是x 的函数关系的有________.解析:由函数定义可知,任意作一条直线x =a ,则与函数的图象至多有一个交点,对于本题而言,当-1≤a ≤1时,直线x =a 与函数的图象仅有一个交点,当a >1或a <-1时,直线x =a 与函数的图象没有交点.从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3).答案:(2)(3)1.函数y =1x 的定义域是( )A .RB .{0}C .{x |x ∈R ,且x ≠0}D .{x |x ≠1}解析:选C.要使1x 有意义,必有x ≠0,即y =1x 的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0}.2.下列式子中不能表示函数y =f (x )的是( ) A .x =y 2+1 B .y =2x 2+1 C .x -2y =6 D .x =y解析:选A.一个x 对应的y 值不唯一. 3.下列说法正确的是( )A .函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B .函数的定义域和值域可以是空集C .函数的定义域和值域一定是数集D .函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了解析:选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知,强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性,所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素,从而选项A 错误;同样由函数定义可知,A 、B 集合都是非空数集,故选项B 错误;选项C 正确;对于选项D ,可以举例说明,如定义域、值域均为A ={0,1}的函数,对应关系可以是x →x ,x ∈A ,可以是x →x ,x ∈A ,还可以是x →x 2,x ∈A .4.下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={0,1},f :A 中的数平方 B .A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数D .A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值解析:选A.按照函数定义,选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C 中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D 中,集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A 符合函数定义.5.下列各组函数表示相等函数的是( ) A .y =x 2-3x -3与y =x +3(x ≠3)B .y =x 2-1与y =x -1C .y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0)D .y =2x +1,x ∈Z 与y =2x -1,x ∈Z 解析:选C.A 、B 与D 对应法则都不同.6.设f :x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B ={1,2},则A ∩B 一定是( ) A .∈ B .∈或{1} C .{1} D .∈或{2}解析:选B.由f :x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B ={1,2},则A ={-1,1,-2,2}或A ={-1,1,-2}或A ={-1,1,2}或A ={-1,2,-2}或A ={1,-2,2}或A ={-1,-2}或A ={-1,2}或A ={1,2}或A ={1,-2}.所以A ∩B =∈或{1}.7.若[a,3a -1]为一确定区间,则a 的取值范围是________. 解析:由题意3a -1>a ,则a >12.答案:(12,+∞)8.函数y =x +103-2x的定义域是________.解析:要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠03-2x >0,即x <32且x ≠-1.答案:(-∞,-1)∈(-1,32)9.函数y =x 2-2的定义域是{-1,0,1,2},则其值域是________. 解析:当x 取-1,0,1,2时, y =-1,-2,-1,2, 故函数值域为{-1,-2,2}. 答案:{-1,-2,2} 10.求下列函数的定义域: (1)y =-x 2x 2-3x -2;(2)y =34x +83x -2.解:(1)要使y =-x 2x 2-3x -2有意义,则必须⎩⎪⎨⎪⎧-x ≥0,2x 2-3x -2≠0,解得x ≤0且x ≠-12, 故所求函数的定义域为{x |x ≤0,且x ≠-12}.(2)要使y =34x +83x -2有意义,则必须3x -2>0,即x >23, 故所求函数的定义域为{x |x >23}. 11.已知f (x )=11+x(x ∈R 且x ≠-1),g (x )=x 2+2(x ∈R ). (1)求f (2),g (2)的值; (2)求f (g (2))的值. 解:(1)∈f (x )=11+x ,∈f (2)=11+2=13, 又∈g (x )=x 2+2, ∈g (2)=22+2=6. (2)由(1)知g (2)=6, ∈f (g (2))=f (6)=11+6=17. 12.已知函数y =ax +1(a <0且a 为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a 的取值范围.解:函数y =ax +1(a <0且a 为常数). ∈ax +1≥0,a <0,∈x ≤-1a ,即函数的定义域为(-∞,-1a ].∈函数在区间(-∞,1]上有意义, ∈(-∞,1]∈(-∞,-1a ],∈-1a ≥1,而a <0,∈-1≤a <0.即a 的取值范围是[-1,0).1.下列各图中,不能是函数f (x )图象的是( )解析:选C.结合函数的定义知,对A 、B 、D ,定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应;而对C ,对大于0的x 而言,有两个不同值与之对应,不符合函数定义,故选C.2.若f (1x )=11+x ,则f (x )等于( )A.11+x(x ≠-1) B.1+x x (x ≠0)C.x1+x(x ≠0且x ≠-1) D .1+x (x ≠-1) 解析:选C.f (1x )=11+x=1x1+1x(x ≠0), ∈f (t )=t1+t (t ≠0且t ≠-1),∈f (x )=x1+x(x ≠0且x ≠-1). 3.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )=( ) A .3x +2 B .3x -2 C .2x +3 D .2x -3解析:选B.设f (x )=kx +b (k ≠0), ∈2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,∈⎩⎪⎨⎪⎧ k -b =5k +b =1,∈⎩⎪⎨⎪⎧k =3b =-2,∈f (x )=3x -2. 4.已知f (2x )=x 2-x -1,则f (x )=________. 解析:令2x =t ,则x =t 2,∈f (t )=⎝⎛⎭⎫t 22-t 2-1,即f (x )=x 24-x2-1. 答案:x 24-x 2-11.下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x非负数非正数y1 -1B.x 奇数 0 偶数 y1-1C.x 有理数 无理数 y1-1D.x 自然数 整数 有理数 y1-1解析:选C.A 中,当x =0时,y =±1;B 中0是偶数,当x =0时,y =0或y =-1;D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系,如x =1∈N(Z ,Q),故y 的值不唯一,故A 、B 、D 均不正确.2.若f (1-2x )=1-x 2x 2(x ≠0),那么f (12)等于( )A .1B .3C .15D .30解析:选C.法一:令1-2x =t ,则x =1-t2(t ≠1),∈f (t )=4t -12-1,∈f (12)=16-1=15. 法二:令1-2x =12,得x =14,∈f (12)=16-1=15. 3.设函数f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )的表达式是( ) A .2x +1 B .2x -1 C .2x -3 D .2x +7解析:选B.∈g (x +2)=2x +3=2(x +2)-1, ∈g (x )=2x -1.4.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中较符合此学生走法的是( )解析:选D.由于纵轴表示离学校的距离,所以距离应该越来越小,排除A 、C ,又一开始跑步,速度快,所以D 符合.5.如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x =1对称,且过点(0,0),则此二次函数的解析式为( )A .f (x )=x 2-1B .f (x )=-(x -1)2+1C .f (x )=(x -1)2+1D .f (x )=(x -1)2-1解析:选D.设f (x )=(x -1)2+c , 由于点(0,0)在函数图象上, ∈f (0)=(0-1)2+c =0, ∈c =-1,∈f (x )=(x -1)2-1.6.已知正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的函数解析式为( ) A .y =12x (x >0) B .y =24x (x >0)C .y =28x (x >0) D .y =216x (x >0) 解析:选C.设正方形的边长为a ,则4a =x ,a =x4,其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长.故2a =2y ,所以y =22a =22×x 4=28x . 7.已知f (x )=2x +3,且f (m )=6,则m 等于________. 解析:2m +3=6,m =32.答案:328. 如图,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f [1f 3]的值等于________.解析:由题意,f (3)=1, ∈f [1f 3]=f (1)=2. 答案:29.将函数y =f (x )的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位得函数y =x 2的图象,则函数f (x )的解析式为__________________.解析:将函数y =x 2的图象向下平移2个单位,得函数y =x 2-2的图象,再将函数y =x 2-2的图象向右平移1个单位,得函数y =(x -1)2-2的图象,即函数y =f (x )的图象,故f (x )=x 2-2x -1.答案:f (x )=x 2-2x -110.已知f (0)=1,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x ). 解:令a =0,则f (-b )=f (0)-b (-b +1) =1+b (b -1)=b 2-b +1. 再令-b =x ,即得f (x )=x 2+x +1. 11.已知f (x +1x )=x 2+1x 2+1x ,求f (x ).解:∈x +1x =1+1x ,x 2+1x 2=1+1x 2,且x +1x ≠1,∈f (x +1x )=f (1+1x )=1+1x 2+1x=(1+1x )2-(1+1x )+1.∈f (x )=x 2-x +1(x ≠1).12.设二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),对于x ∈R 恒成立,且f (x )=0的两个实根的平方和为10,f (x )的图象过点(0,3),求f (x )的解析式.解:∈f (2+x )=f (2-x ),∈f (x )的图象关于直线x =2对称. 于是,设f (x )=a (x -2)2+k (a ≠0), 则由f (0)=3,可得k =3-4a , ∈f (x )=a (x -2)2+3-4a =ax 2-4ax +3. ∈ax 2-4ax +3=0的两实根的平方和为10, ∈10=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=16-6a , ∈a =1.∈f (x )=x 2-4x +3.1.已知集合A ={a ,b },集合B ={0,1},下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析:选C.A 、B 、D 均满足映射的定义,C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应,且A 中元素b 在B 中无元素与之对应.2.(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +3 x >10f f x +5 x ≤10,则f (5)的值是( )A .24B .21C .18D .16解析:选A.f (5)=f (f (10)), f (10)=f (f (15))=f (18)=21, f (5)=f (21)=24.3.函数y =x +|x |x的图象为( )解析:选C.y =x +|x |x =⎩⎪⎨⎪⎧x +1 x >0x -1 x <0,再作函数图象.4.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x +1,x <11x , x >1的值域是________.解析:当x <1时,x 2-x +1=(x -12)2+34≥34;当x >1时,0<1x <1,则所求值域为(0,+∞),故填(0,+∞).答案:(0,+∞)1.设f :A →B 是集合A 到B 的映射,其中A ={x |x >0},B =R ,且f :x →x 2-2x -1,则A 中元素1+2的像和B 中元素-1的原像分别为( )A.2,0或2 B .0,2 C .0,0或2D .0,0或2答案:C2.某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km 为1.6元(不足1 km ,按1 km 计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析:选C.由题意,当0<x ≤3时,y =10;当3<x ≤4时,y =11.6; 当4<x ≤5时,y =13.2; …当n -1<x ≤n 时,y =10+(n -3)×1.6,故选C.3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -x 20≤x ≤3x 2+6x-2≤x ≤0的值域是( )A .RB .[-9,+∞)C .[-8,1]D .[-9,1]解析:选C.画出图象,也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集. 4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2x ≤-1,x 2-1<x <22x x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( ) A .1B .1或32C .1,32或± 3D.3解析:选D.该分段函数的三段各自的值域为(-∞,1],[0,4),[4,+∞),而3∈[0,4), ∈f (x )=x 2=3,x =±3,而-1<x <2,∈x = 3.5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1, x 为有理数,0, x 为无理数,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0, x 为有理数,1, x 为无理数,当x ∈R 时,f (g (x )),g (f (x ))的值分别为( )A .0,1B .0,0C .1,1D .1,0解析:选D.g (x )∈Q ,f (x )∈Q ,f (g (x ))=1,g (f (x ))=0.6.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +12 x ≤-1,2x +1 -1<x <1,1x -1 x ≥1,已知f (a )>1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)∈⎝⎛⎭⎫-12,+∞ B.⎝⎛⎭⎫-12,12 C .(-∞,-2)∈⎝⎛⎭⎫-12,1D.⎝⎛⎭⎫-12,12∈(1,+∞) 解析:选C.f (a )>1∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤-1a +12>1或⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <12a +1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a -1>1∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1a <-2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <1a >-12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12∈a <-2或-12<a <1.即所求a 的取值范围是(-∞,-2)∈⎝⎛⎭⎫-12,1. 7.设A =B ={a ,b ,c ,d ,…,x ,y ,z }(元素为26个英文字母),作映射f :A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应,即:a →b ,b →c ,c →d ,…,z →a ,并称A 中的字母组成的文字为明文,B 中相应的字母为密文,试破译密文“nbuj ”:________.解析:由题意可知m →n ,a →b ,t →u ,i →j , 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”. 答案:mati8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2, x ≤0,f x -2, x >0,则f (4)=________.解析:f (4)=f (2)=f (0)=0. 答案:09.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0,则不等式x +(x +2)·f (x +2)≤5的解集是________.解析:原不等式可化为下面两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2≥0x +x +2·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x +2<0x +x +2·-1≤5,解得-2≤x ≤32或x <-2,即x ≤32.答案:(-∞,32]10.已知f (x )=⎩⎨⎧x 2 -1≤x ≤11 x >1或x <-1,(1)画出f (x )的图象;(2)求f (x )的定义域和值域.解:(1)利用描点法,作出f (x )的图象,如图所示. (2)由条件知, 函数f (x )的定义域为R. 由图象知,当-1≤x ≤1时, f (x )=x 2的值域为[0,1], 当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1].11.某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地,在B 地停留112小时后,再以65千米/小时的速度返回A 地.试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数.解:∈260÷52=5(小时),260÷65=4(小时),∈s =⎩⎪⎨⎪⎧52t 0≤t ≤5,260 ⎝⎛⎭⎫5<t ≤612,260+65⎝⎛⎭⎫t -612 ⎝⎛⎭⎫612<t ≤1012.12. 如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD ,底边BC 长为7 cm ,腰长为2 2 cm ,当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BF =x ,试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式,并画出大致图象.解:过点A ,D 分别作AG ∈BC ,DH ∈BC ,垂足分别是G ,H . 因为ABCD 是等腰梯形, 底角为45°,AB =2 2 cm , 所以BG =AG =DH =HC =2 cm. 又BC =7 cm ,所以AD =GH =3 cm. ∈当点F 在BG 上时, 即x ∈[0,2]时,y =12x 2;∈当点F 在GH 上时, 即x ∈(2,5]时,y =x +x -22×2=2x -2; ∈当点F 在HC 上时,即x ∈(5,7]时, y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD -S Rt∈CEF=12(7+3)×2-12(7-x )2 =-12(x -7)2+10.综合∈∈∈,得函数解析式为y =⎩⎪⎨⎪⎧12x 2x ∈[0,2]2x -2 x ∈2,5].-12x -72+10 x ∈5,7]函数图象如图所示.1.函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈[-2,+∞)时,f (x )为增函数,当x ∈(-∞,-2]时,函数f (x )为减函数,则m 等于( )A .-4B .-8C .8D .无法确定解析:选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反.由题意得函数的对称轴为x =-2,则m4=-2,所以m =-8. 2.函数f (x )在R 上是增函数,若a +b ≤0,则有( ) A .f (a )+f (b )≤-f (a )-f (b ) B .f (a )+f (b )≥-f (a )-f (b ) C .f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b ) D .f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )解析:选C.应用增函数的性质判断. ∈a +b ≤0,∈a ≤-b ,b ≤-a . 又∈函数f (x )在R 上是增函数, ∈f (a )≤f (-b ),f (b )≤f (-a ). ∈f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b ).3.下列四个函数:∈y =x x -1;∈y =x 2+x ;∈y =-(x +1)2;∈y =x1-x +2.其中在(-∞,0)上为减函数的是( )A .∈B .∈C .∈∈D .∈∈∈解析:选A.∈y =x x -1=x -1+1x -1=1+1x -1.其减区间为(-∞,1),(1,+∞).∈y =x 2+x =(x +12)2-14,减区间为(-∞,-12).∈y =-(x +1)2,其减区间为(-1,+∞), ∈与∈相比,可知为增函数.4.若函数f (x )=4x 2-kx -8在[5,8]上是单调函数,则k 的取值范围是________. 解析:对称轴x =k 8,则k 8≤5,或k8≥8,得k ≤40,或k ≥64,即对称轴不能处于区间内.答案:(-∞,40]∈[64,+∞)1.函数y =-x 2的单调减区间是( ) A .[0,+∞) B .(-∞,0] C .(-∞,0) D .(-∞,+∞) 解析:选A.根据y =-x 2的图象可得.2.若函数f (x )定义在[-1,3]上,且满足f (0)<f (1),则函数f (x )在区间[-1,3]上的单调性是( )A .单调递增B .单调递减C .先减后增D .无法判断解析:选D.函数单调性强调x 1,x 2∈[-1,3],且x 1,x 2具有任意性,虽然f (0)<f (1),但不能保证其他值也能满足这样的不等关系.3.已知函数y =f (x ),x ∈A ,若对任意a ,b ∈A ,当a <b 时,都有f (a )<f (b ),则方程f (x )=0的根( )A .有且只有一个B .可能有两个C .至多有一个D .有两个以上解析:选C.由题意知f (x )在A 上是增函数.若y =f (x )与x 轴有交点,则有且只有一个交点,故方程f (x )=0至多有一个根.4.设函数f (x )在(-∞,+∞)上为减函数,则( ) A .f (a )>f (2a ) B .f (a 2)<f (a )C .f (a 2+a )<f (a )D .f (a 2+1)<f (a ) 解析:选D.∈a 2+1-a =(a -12)2+34>0,∈a 2+1>a ,∈f (a 2+1)<f (a ),故选D.5.下列四个函数在(-∞,0)上为增函数的是( ) ∈y =|x |;∈y =|x |x ;∈y =-x 2|x |;∈y =x +x|x |.A .∈∈B .∈∈C .∈∈D .∈∈解析:选C.∈y =|x |=-x (x <0)在(-∞,0)上为减函数; ∈y =|x |x =-1(x <0)在(-∞,0)上既不是增函数,也不是减函数;∈y =-x 2|x |=x (x <0)在(-∞,0)上是增函数;∈y =x +x|x |=x -1(x <0)在(-∞,0)上也是增函数,故选C.6.下列说法中正确的有( )∈若x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时,f (x 1)<f (x 2),则y =f (x )在I 上是增函数; ∈函数y =x 2在R 上是增函数; ∈函数y =-1x在定义域上是增函数;∈y =1x 的单调递减区间是(-∞,0)∈(0,+∞).A .0个B .1个C .2个D .3个解析:选A.函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值x 1,x 2,强调的是任意,从而∈不对;∈y =x 2在x ≥0时是增函数,x ≤0时是减函数,从而y =x 2在整个定义域上不具有单调性;∈y =-1x 在整个定义域内不是单调递增函数.如-3<5,而f (-3)>f (5);∈y =1x 的单调递减区间不是(-∞,0)∈(0,+∞),而是(-∞,0)和(0,+∞),注意写法.7.若函数y =-bx 在(0,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是________.解析:设0<x 1<x 2,由题意知 f (x 1)-f (x 2)=-b x 1+b x 2=bx 1-x 2x 1·x 2>0,∈0<x 1<x 2,∈x 1-x 2<0,x 1x 2>0. ∈b <0.答案:(-∞,0)8.已知函数f (x )是区间(0,+∞)上的减函数,那么f (a 2-a +1)与f (34 )的大小关系为________.解析:∈a 2-a +1=(a -12)2+34≥34,∈f (a 2-a +1)≤f (34).答案:f (a 2-a +1)≤f (34)9.y =-(x -3)|x |的递增区间是________. 解析: y =-(x -3)|x |=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+3x x >0x 2-3x x ≤0,作出其图象如图,观察图象知递增区间为[0,32].答案:[0,32]10.若f (x )=x 2+bx +c ,且f (1)=0,f (3)=0. (1)求b 与c 的值;(2)试证明函数f (x )在区间(2,+∞)上是增函数. 解:(1)∈f (1)=0,f (3)=0,∈⎩⎪⎨⎪⎧1+b +c =09+3b +c =0,解得b =-4,c =3. (2)证明:∈f (x )=x 2-4x +3, ∈设x 1,x 2∈(2,+∞)且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=(x 21-4x 1+3)-(x 22-4x 2+3) =(x 21-x 22)-4(x 1-x 2) =(x 1-x 2)(x 1+x 2-4), ∈x 1-x 2<0,x 1>2,x 2>2, ∈x 1+x 2-4>0.∈f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). ∈函数f (x )在区间(2,+∞)上为增函数.11.已知f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,且f (x -1)<f (1-3x ),求x 的取值范围.解:由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x -1≤1-1≤1-3x ≤1,x -1<1-3x即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤x ≤23,x <12∈0≤x <12.12.设函数y =f (x )=ax +1x +2在区间(-2,+∞)上单调递增,求a 的取值范围.解:设任意的x 1,x 2∈(-2,+∞),且x 1<x 2, ∈f (x 1)-f (x 2)=ax 1+1x 1+2-ax 2+1x 2+2 =ax 1+1x 2+2-ax 2+1x 1+2x 1+2x 2+2=x 1-x 22a -1x 1+2x 2+2.∈f (x )在(-2,+∞)上单调递增, ∈f (x 1)-f (x 2)<0. ∈x 1-x 22a -1x 1+2x 2+2<0,∈x 1-x 2<0,x 1+2>0,x 2+2>0, ∈2a -1>0,∈a >12.1.函数f (x )=9-ax 2(a >0)在[0,3]上的最大值为( ) A .9 B .9(1-a ) C .9-aD .9-a 2解析:选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数,f (x )max =f (0)=9. 2.函数y =x +1-x -1的值域为( ) A .(-∞, 2 ] B .(0, 2 ] C .[2,+∞)D .[0,+∞)解析:选B.y =x +1-x -1,∈⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0x -1≥0,∈x ≥1.∈y =2x +1+x -1为[1,+∞)上的减函数,∈f (x )max =f (1)=2且y >0.3.函数f (x )=x 2-2ax +a +2在[0,a ]上取得最大值3,最小值2,则实数a 为( ) A .0或1 B .1C .2D .以上都不对解析:选B.因为函数f (x )=x 2-2ax +a +2=(x -a )2-a 2+a +2, 对称轴为x =a ,开口方向向上,所以f (x )在[0,a ]上单调递减,其最大值、最小值分别在两个端点处取得,即f (x )max =f (0)=a +2=3,f (x )min =f (a )=-a 2+a +2=2.故a =1.4.(2010年高考山东卷)已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y 4=1.则xy 的最大值为________.解析:y 4=1-x 3,∈0<1-x3<1,0<x <3.而xy =x ·4(1-x 3)=-43(x -32)2+3.当x =32,y =2时,xy 最大值为3.答案:31.函数f (x )=x 2在[0,1]上的最小值是( ) A .1 B .0 C.14D .不存在解析:选B.由函数f (x )=x 2在[0,1]上的图象(图略)知, f (x )=x 2在[0,1]上单调递增,故最小值为f (0)=0.2.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +6,x ∈[1,2]x +7,x ∈[-1,1],则f (x )的最大值、最小值分别为( )A .10,6B .10,8C .8,6D .以上都不对解析:选A.f (x )在x ∈[-1,2]上为增函数,f (x )max =f (2)=10,f (x )min =f (-1)=6. 3.函数y =-x 2+2x 在[1,2]上的最大值为( ) A .1 B .2 C .-1D .不存在解析:选A.因为函数y =-x 2+2x =-(x -1)2+1.对称轴为x =1,开口向下,故在[1,2]上为单调递减函数,所以y max =-1+2=1.。

数学高中必修一试题及答案

数学高中必修一试题及答案

数学高中必修一试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列函数中,哪一个是一次函数?A. y = x^2B. y = 3x + 5C. y = √xD. y = log(x)答案:B2. 如果a > 0,b < 0,且|a| < |b|,那么a + b的符号是:A. 正B. 负C. 零D. 不确定答案:B3. 已知等差数列的首项a1=2,公差d=3,求第10项a10的值:A. 17B. 29C. 35D. 38答案:B4. 圆的半径为5,圆心到直线的距离为3,那么直线与圆的位置关系是:A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切答案:B5. 函数f(x) = 2x - 3在点x=1处的导数是:A. 2B. -3C. -2D. 1答案:A6. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c,且满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是:A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形答案:B7. 集合A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},求A∪B:A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案:B8. 已知等比数列的首项a1=2,公比q=2,求第5项a5的值:A. 16B. 32C. 64D. 128答案:C9. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2在点x=1处的极值情况是:A. 极大值B. 极小值C. 无极值D. 不确定答案:B10. 已知向量a=(2, -1),b=(-3, 4),求向量a与b的点积:A. 5B. -5C. -10D. 10答案:B二、填空题(每题2分,共20分)11. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1,求f(-1)的值。

答案:012. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,求斜边的长度。

答案:513. 已知集合M={x | x < 5},N={x | x > 3},求M∩N。

数学必修一考试题及答案

数学必修一考试题及答案

数学必修一考试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个选项是实数集R的子集?A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集ID. 复数集C答案:B2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是?A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)答案:A3. 以下哪个是偶函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案:A4. 已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B等于?A. {1,2,3}B. {2,3}C. {4}D. {1,2,3,4}答案:B5. 计算下列极限:lim(x→0) (sin(x)/x)的值是?A. 0B. 1C. 2D. ∞答案:B6. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=3,公差d=2,则a_5的值是?A. 9B. 11C. 13D. 15答案:B7. 以下哪个选项是双曲线的标准方程?A. x^2 - y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. x^2 - y^2 = -1D. x^2 + y^2 = -1答案:A8. 计算行列式|1 2 3||4 5 6||7 8 9|的值。

A. 0B. 1C. -3D. 3答案:C9. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8,求f(3)的值。

A. -1B. 1C. 5D. 9答案:A10. 以下哪个选项是二项式定理的展开式?A. (a+b)^n = a^n + nb^nB. (a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + ...C. (a-b)^n = a^n - nb^nD. (a-b)^n = a^n - n*a^(n-1)*b + ...答案:B二、填空题(每题4分,共20分)1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求f'(x)的值。

答案:3x^2 - 6x2. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.3.1不等式性质

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析  1.3.1不等式性质

1.3.1不等式性质一、单选题1.设a ,b ,c 为实数,且0a b <<,则下列不等式正确的是()A .11a b<B .22ac bc <C .b a a b>D .22a ab b >>2.已知0x a <<,下列不等式一定成立的是()A .220x a <<B .22x ax a >>C .20x ax <<D .22x a ax>>3.若,a b c d >>,则下列关系一定成立的是()A .ac bd >B .ac bc >C .a c b d+>+D .a c b d->-4.若a ,b ,c R ∈,且a b >,则下列不等式一定成立的是()A .a c b c+>-B .22ac bc>C .2c a b>-D .2()0a b c -≥5.若0a b >>,0m <.则下列不等式成立的是()A .a m ab m b->-B .a m ab m b-<-C .1ma b>-D .22am bm <6.若0,10a b <-<<,则下列不等关系一定正确的是()A .a b<B .2a b <C .a b>D .0a b +>7.已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则32x y -的取值范围是()A .[]28,B .[]3,8C .[]2,7D .[]5,108.下列结论正确的是()A .若a b >,则ac bc >B .若a b >,则11a b<C .若22ac bc >,则a b >D .若a b >,则22a b >9.下列选项正确的是()A .a 与b 的差不是正数用不等式表示为a -b <0B .a 的绝对值不超过3用不等式表示为a ≤3C .(x -3)2<(x -2)(x -4)D .x 2+y 2+1>2(x +y -1)10.已知a >b >c ,则1a b -+1b c -+1c a-的值()A .为正数B .为非正数C .为非负数D .不确定二、填空题11.已知a ,b 是实数,且a >b ,则-a ________-b (填“>”或“<”).12(填<或>).13.设46,12a b <<<<,则aa b-的取值范围是________(取值范围写成区间形式)14.给出下列命题:①a >b ⇒ac 2>bc 2;②a >|b |⇒a 4>b 4;③a >b ⇒a 3>b 3;④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题序号是_______.三、解答题15.已知54x -<<,23y <<.求(1)2x y -的取值范围;(2)32x y +的取值范围.16.(1)已知,a b c d ><,求证:a c b d ->-;(2)已知,0a b ab >>,求证:11a b<;(3)已知0,0a b c d >><<,求证:a b c d>.参考答案1.D 【分析】对于ABC ,通过举反例判断即可,对于D ,利用不等式的性质判断【详解】解:对于A ,若2,1a b =-=-,则11112a b=->=-,所以A 错误,对于B ,当0c =时,220ac bc ==,所以B 错误,对于C ,若2,1a b =-=-,则1122221b a a b --==<==--,所以C 错误,对于D ,因为0a b <<,所以2a ab >,2ab b >,所以22a ab b >>,所以D 正确,故选:D 2.B 【分析】根据不等式的性质判断.【详解】220,0,0,x a x a x ax ax a <<<<⇒>>,即22x ax a >>故选:B .3.C 【分析】利用基本不等式的性质,对选项进行一一验证,即可得到答案;【详解】对A ,当0,0a b c d ac bd >>>>⇒>,故A 错误;对B ,当0c >时,ac bc >,故B 错误;对C ,同向不等式的可加性,故C 正确;对D ,若2,1,0,31,4a b c d a c b d ====-⇒-=-=,不等式显然不成立,故D 错误;故选:C.4.D 【分析】作差法比较大小,再取值验算.【详解】因为()22a c b c a b c c +--=-+>,当取1,0,2a b c ===-时,1a c +=-,2b c -=,有a c b c +<-.故选项A 错误;因为()2220ac bc a b c -=-≥,20c a b≥-,当取0c =时,22ac bc =,20c a b=-,故选项B 错误,选项C 错误,选项D 正确.故选:D.5.B 【分析】根据已知条件,由作差比较法得0a m ab m b--<-,从而可判断选项B 正确.【详解】解:()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m -------=---, 0a b >>,0m <,∴0b a -<,0m ->,()0b b m ->,∴0a m ab m b--<-,即a m ab m b -<-,所以选项A 不正确,选项B 正确;而选项C 、选项D ,由不等式的性质易判断不正确.故选:B .6.B 【分析】根据正负直接选出正确答案.【详解】0a <,20b >,所以2a b <故选:B 7.A 【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++,利用待定系数法求得,m n ,利用不等式的性质即可求32x y -的取值范围.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++,所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得:1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,1532()()22x y x y x y -=+--,因为11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,所以[]1532()()2,822x y x y x y -=+--∈,故选:A.8.C 【分析】根据不等式的性质,对四个选项一一验证:对于A :利用不等式的可乘性的性质进行判断;对于B :取1,1a b ==-进行否定;对于C :利用不等式的可乘性的性质进行证明;对于D :取1,1a b ==-进行否定.【详解】对于A :当a b >时,若取0c ≤,则有ac bc ≤.故A 不正确;对于B :当a b >时,取1,1a b ==-时,有11a b>.故B 不正确;对于C :当22ac bc >,两边同乘以21c ,则a b >.故C 正确;对于D :当a b >,取1,1a b ==-时,有22=a b .故D 不正确.故选:C.【点睛】(1)多项选择题是2020年高考新题型,需要要对选项一一验证;(2)判断不等式成立的解题思路:①取特殊值进行否定;②利用不等式的性质直接判断.9.D 【分析】用做差法比较大小,即可做出判断.【详解】A.a 与b 的差不是正数用不等式表示为a -b ≤0,故A 错误;B.a 的绝对值不超过3用不等式表示为|a |≤3,故B 错误;C.(x -3)2-(x -2)(x -4)=1>0,所以(x -3)2>(x -2)(x -4),故C 错误;D .x 2+y 2+1-2(x +y -1)=(x -1)2+(y -1)2+1>0,所以x 2+y 2+1>2(x +y -1),故D 正确.故选:D 10.A 【分析】利用不等式的性质判断即可【详解】因为a >b >c ,所以a -b >0,b -c >0,a -c >b -c >0,所以1a b ->0,1b c ->0,1a c-<1b c -,所以1b c -+1c a ->0,所以1a b -+1b c -+1c a ->0,所以1a b -+1b c -+1c a-的值为正数.故选:A 11.<【分析】根据不等式的性质计算可得;【详解】解:因为a b >,所以a b -<-故答案为:<12.<【分析】比较6、6.【详解】6328==Q,6239==,则66<<故答案为:<.13.(0,3)【分析】利用不等式的性质求解即可【详解】解:由12b <<,得1112b<<,所以1112b -<-<-,所以1111112b -<-<-,即11012b <-<,因为46a <<,所以1140(1)62a b ⨯<-<⨯,即03aa b<-<,所以aa b-的取值范围是(0,3),故答案为:(0,3)14.②③【分析】对于①,举反例判断;对于②,利用不等式的性质判断即可;对于②,作差判断;对于④,举反例即可【详解】解:①当c 2=0时不成立.②因为0a b >≥,所以22a b >,即22a b >,所以44a b >,所以②正确③当a >b 时,a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)=(a -b )·22324b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0成立.④当b <0时,不一定成立.如:|2|>-3,但22<(-3)2.故答案为:②③15.(1)1120x y -<-<;(2)113218x y -<+<.【分析】利用不等式的基本性质求解.【详解】解:(1)因为23y <<,所以624y -<-<-,所以()()56244x y -+-<-<+-,即1120x y -<-<.(2)因为54x -<<,23y <<,所以15312x -<<,426y <<,所以113218x y -<+<.【点睛】本题考查不等式的基本性质及应用,属于简单题.16.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【分析】(1)根据c d <不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到c d ->-,再用同向可加性法则即可得出结果.(2)根据正数的倒数大于0可得10ab>,再用同向同正可乘性得出结果.(3)因为0c d <<,根据(2)的结论,得110c d>>,再用同向同正可乘性得出结果.【详解】证明:(1)因为,a b c d ><,所以,a b c d >->-.则a c b d ->-.(2)因为0ab >,所以10ab>.又因为a b >,所以1a b ab ab 1⋅>⋅,即11b a >,因此11a b<.(3)因为0c d <<,根据(2)的结论,得110c d>>.又因为0a b >>,则11a b c d⋅>⋅,即a b c d>.【点睛】本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.。

高一数学必修一全章节练习题(附答案解析)

高一数学必修一全章节练习题(附答案解析)

第一章 集合与函数的概念1.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系,则可选用( )A .一次函数B .二次函数C .指数型函数D .对数型函数 解析:选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意; 二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢. 2.某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表:x 1 2 3 … y 1 3 8 …则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( ) A .y =2x -1 B .y =x 2-1 C .y =2x -1 D .y =1.5x 2-2.5x +2解析:选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,故选D.3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是( ) A .①②③ B .①③ C .②③ D .①②解析:选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.4.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少x2时面积最大,此时x =________,面积S =________.解析:依题意得:S =(4+x )(3-x 2)=-12x 2+x +12=-12(x -1)2+1212,∴当x =1时,S max =1212.答案:1 12121x 1 2 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11( )A .指数函数B .反比例函数C .一次函数D .二次函数解析:选C.画出散点图,结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线,所以可用一次函数表示.2.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A .14400亩 B .172800亩 C .17280亩 D .20736亩 解析:选C.y =10000×(1+20%)3=17280.3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( )A .增加7.84%B .减少7.84%C .减少9.5%D .不增不减 解析:选B.设该商品原价为a ,四年后价格为a (1+0.2)2·(1-0.2)2=0.9216a . 所以(1-0.9216)a =0.0784a =7.84%a , 即比原来减少了7.84%.4.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x 辆次,存车费总收入为y 元,则y 关于x 的函数关系式是( )A .y =0.3x +800(0≤x ≤2000)B .y =0.3x +1600(0≤x ≤2000)C .y =-0.3x +800(0≤x ≤2000)D .y =-0.3x +1600(0≤x ≤2000)解析:选D.由题意知,变速车存车数为(2000-x )辆次, 则总收入y =0.5x +(2000-x )×0.8=0.5x +1600-0.8x =-0.3x +1600(0≤x ≤2000).5.如图,△ABC 为等腰直角三角形,直线l 与AB 相交且l ⊥AB ,直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ,点A 到直线l 的距离为x ,则y =f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析:选C.设AB =a ,则y =12a 2-12x 2=-12x 2+12a 2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y 轴上方.故选C.6.小蜥蜴体长15 cm ,体重15 g ,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm 时,它的体重大约是( )A .20 gB .25 gC .35 gD .40 g解析:选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比.记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20,因此有W 20=W 15·203153≈35.6(g),合理的答案为35 g .故选C.7.现测得(x ,y )的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y =x 2+1;乙:y =3x -1.若又测得(x ,y )的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为拟合模型较好.解析:图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略),比较发现选甲更好.答案:甲8.一根弹簧,挂重100 N 的重物时,伸长20 cm ,当挂重150 N 的重物时,弹簧伸长________.解析:由10020=150x,得x =30.答案:30 cm9.某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图,则: ①前3年总产量增长速度越来越快; ②前3年中总产量增长速度越来越慢; ③第3年后,这种产品停止生产;④第3年后,这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是________.解析:观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④. 答案:①④10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y =kx +b (k ≠0),函数图象如图所示.(1)根据图象,求一次函数y =kx +b (k ≠0)的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S 元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?解:(1)由图象知,当x =600时,y =400;当x =700时,y =300,代入y =kx +b (k ≠0)中,得⎩⎪⎨⎪⎧ 400=600k +b ,300=700k +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-1,b =1000. 所以,y =-x +1000(500≤x ≤800). (2)销售总价=销售单价×销售量=xy , 成本总价=成本单价×销售量=500y , 代入求毛利润的公式,得S =xy -500y =x (-x +1000)-500(-x +1000) =-x 2+1500x -500000=-(x -750)2+62500(500≤x ≤800).所以,当销售单价定为750元时,可获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件. 11.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后的温度是T ,则T -T a =(T 0-T a )·(12)th ,其中T a 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ,那么降温到35 ℃时,需要多长时间?解:由题意知40-24=(88-24)·(12)20h ,即14=(12)20h . 解之,得h =10.故T -24=(88-24)·(12)t10.当T =35时,代入上式,得35-24=(88-24)·(12)t10,即(12)t 10=1164. 两边取对数,用计算器求得t ≈25. 因此,约需要25 min ,可降温到35 ℃.12.某地区为响应上级号召,在2011年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后,该地区的廉价住房为y 万平方米,求y =f (x )的表达式,并求此函数的定义域.(2)作出函数y =f (x )的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米?解:(1)经过1年后,廉价住房面积为 200+200×5%=200(1+5%); 经过2年后为200(1+5%)2; …经过x 年后,廉价住房面积为200(1+5%)x , ∴y =200(1+5%)x (x ∈N *).(2)作函数y =f (x )=200(1+5%)x (x ≥0)的图象,如图所示.作直线y =300,与函数y =200(1+5%)x的图象交于A 点,则A (x 0,300),A 点的横坐标x 0的值就是函数值y =300时所经过的时间x 的值.因为8<x 0<9,则取x 0=9,即经过9年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米.1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( ) A .{x |x 是小于18的正奇数} B .{x |x =4k +1,k ∈Z ,且k <5} C .{x |x =4t -3,t ∈N ,且t ≤5} D .{x |x =4s -3,s ∈N *,且s ≤5}解析:选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B 中k 取负数,多了若干元素;C 中t =0时多了-3这个元素,只有D 是正确的.2.集合P ={x |x =2k ,k ∈Z },M ={x |x =2k +1,k ∈Z },S ={x |x =4k +1,k ∈Z },a ∈P ,b ∈M ,设c =a +b ,则有( )A .c ∈PB .c ∈MC .c ∈SD .以上都不对解析:选B.∵a ∈P ,b ∈M ,c =a +b , 设a =2k 1,k 1∈Z ,b =2k 2+1,k 2∈Z , ∴c =2k 1+2k 2+1=2(k 1+k 2)+1, 又k 1+k 2∈Z ,∴c ∈M .3.定义集合运算:A *B ={z |z =xy ,x ∈A ,y ∈B },设A ={1,2},B ={0,2},则集合A *B 的所有元素之和为( )A .0B .2C .3D .6解析:选D.∵z =xy ,x ∈A ,y ∈B ,∴z 的取值有:1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4, 故A *B ={0,2,4},∴集合A *B 的所有元素之和为:0+2+4=6.4.已知集合A ={1,2,3},B ={1,2},C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B },则用列举法表示集合C =____________.解析:∵C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }, ∴满足条件的点为:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2).答案:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}1.集合{(x ,y )|y =2x -1}表示( ) A .方程y =2x -1 B .点(x ,y )C .平面直角坐标系中的所有点组成的集合D .函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合 答案:D2.设集合M ={x ∈R |x ≤33},a =26,则( ) A .a ∉M B .a ∈MC .{a }∈MD .{a |a =26}∈M 解析:选B.(26)2-(33)2=24-27<0, 故26<3 3.所以a ∈M .3.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1x -y =9的解集是( )A .(-5,4)B .(5,-4)C .{(-5,4)}D .{(5,-4)}解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1x -y =9,得⎩⎪⎨⎪⎧x =5y =-4,该方程组有一组解(5,-4),解集为{(5,-4)}.4.下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合;(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合;(3)1,32,64,|-12|,0.5这些数组成的集合有5个元素;(4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个解析:选A.(1)错的原因是元素不确定;(2)前者是数集,而后者是点集,种类不同;(3)32=64,|-12|=0.5,有重复的元素,应该是3个元素;(4)本集合还包括坐标轴. 5.下列集合中,不同于另外三个集合的是( ) A .{0} B .{y |y 2=0} C .{x |x =0} D .{x =0}解析:选D.A 是列举法,C 是描述法,对于B 要注意集合的代表元素是y ,故与A ,C 相同,而D 表示该集合含有一个元素,即“x =0”.6.设P ={1,2,3,4},Q ={4,5,6,7,8},定义P *Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q ,a ≠b },则P *Q 中元素的个数为( )A .4B .5C .19D .20解析:选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5-1=19.故选C 项.7.由实数x ,-x ,x 2,-3x 3所组成的集合里面元素最多有________个.解析:x 2=|x |,而-3x 3=-x ,故集合里面元素最多有2个. 答案:28.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x -3∈Z ,试用列举法表示集合A =________.解析:要使4x -3∈Z ,必须x -3是4的约数.而4的约数有-4,-2,-1,1,2,4六个,则x =-1,1,2,4,5,7,要注意到元素x 应为自然数,故A ={1,2,4,5,7}答案:{1,2,4,5,7}9.集合{x |x 2-2x +m =0}含有两个元素,则实数m 满足的条件为________. 解析:该集合是关于x 的一元二次方程的解集,则Δ=4-4m >0,所以m <1. 答案:m <110. 用适当的方法表示下列集合: (1)所有被3整除的整数;(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线); (3)满足方程x =|x |,x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解:(1){x |x =3n ,n ∈Z };(2){(x ,y )|-1≤x ≤2,-12≤y ≤1,且xy ≥0};(3)B ={x |x =|x |,x ∈Z }.11.已知集合A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0},其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素,请用列举法表示集合A .解:∵1是集合A 中的一个元素,∴1是关于x 的方程ax 2+2x +1=0的一个根, ∴a ·12+2×1+1=0,即a =-3. 方程即为-3x 2+2x +1=0,解这个方程,得x 1=1,x 2=-13,∴集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-13,1.12.已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0},若A 中元素至多只有一个,求实数a 的取值范围.解:①a =0时,原方程为-3x +2=0,x =23,符合题意.②a ≠0时,方程ax 2-3x +2=0为一元二次方程.由Δ=9-8a ≤0,得a ≥98.∴当a ≥98时,方程ax 2-3x +2=0无实数根或有两个相等的实数根.综合①②,知a =0或a ≥98.1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A .水浒书业的全体员工 B .《优化方案》的所有书刊C .2010年考入清华大学的全体学生D .美国NBA 的篮球明星解析:选D.A 、B 、C 中的元素:员工、书刊、学生都有明确的对象,而D 中对象不确定,“明星”没有具体明确的标准.2.(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ;②3∉Q ;③0∈N *;④|-4|∉N *. A .1 B .2 C .3 D .4 解析:选B.①②正确,③④错误.3.集合A ={一条边长为1,一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .无数个解析:选C.(1)当腰长为1时,底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时,底角为40°或顶角为40°,所以共有4个三角形.4.以方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合中共有________个元素. 解析:由x 2-5x +6=0,解得x =2或x =3. 由x 2-x -2=0,解得x =2或x =-1. 答案:31.若以正实数x ,y ,z ,w 四个元素构成集合A ,以A 中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A .梯形B .平行四边形C .菱形D .矩形 答案:A2.设集合A 只含一个元素a ,则下列各式正确的是( ) A .0∈A B .a ∉A C .a ∈A D .a =A 答案:C3.给出以下四个对象,其中能构成集合的有( ) ①教2011届高一的年轻教师;②你所在班中身高超过1.70米的同学; ③2010年广州亚运会的比赛项目; ④1,3,5.A .1个B .2个C .3个D .4个 解析:选C.因为未规定年轻的标准,所以①不能构成集合;由于②③④中的对象具备确定性、互异性,所以②③④能构成集合.4.若集合M ={a ,b ,c },M 中元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形解析:选D.根据元素的互异性可知,a ≠b ,a ≠c ,b ≠c . 5.下列各组集合,表示相等集合的是( ) ①M ={(3,2)},N ={(2,3)}; ②M ={3,2},N ={2,3}; ③M ={(1,2)},N ={1,2}. A .① B .②C .③D .以上都不对解析:选B.①中M 中表示点(3,2),N 中表示点(2,3),②中由元素的无序性知是相等集合,③中M 表示一个元素:点(1,2),N 中表示两个元素分别为1,2.6.若所有形如a +2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ,对于x =13-52,y =3+2π,则有( )A .x ∈M ,y ∈MB .x ∈M ,y ∉MC .x ∉M ,y ∈MD .x ∉M ,y ∉M解析:选B.∅x =13-52=-341-5412,y =3+2π中π是无理数,而集合M 中,b ∈Q ,得x ∈M ,y ∉M .7.已知①5∈R ;②13∈Q ;③0={0};④0∉N ;⑤π∈Q ;⑥-3∈Z .其中正确的个数为________.解析:③错误,0是元素,{0}是一个集合;④0∈N ;⑤π∉Q ,①②⑥正确. 答案:38.对于集合A ={2,4,6},若a ∈A ,则6-a ∈A ,那么a 的取值是________. 解析:当a =2时,6-a =4∈A ; 当a =4时,6-a =2∈A ; 当a =6时,6-a =0∉A , 所以a =2或a =4. 答案:2或49.若a ,b ∈R ,且a ≠0,b ≠0,则|a |a +|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________.解析:当a >0,b >0时,|a |a +|b |b=2;当a ·b <0时,|a |a +|b |b=0;当a <0且b <0时,|a |a +|b |b=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即元素的个数为3. 答案:310.已知集合A 含有两个元素a -3和2a -1,若-3∈A ,试求实数a 的值. 解:∵-3∈A ,∴-3=a -3或-3=2a -1. 若-3=a -3,则a =0,此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合题意. 若-3=2a -1,则a =-1,此时集合A 含有两个元素-4,-3,符合题意.综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1.11.集合A 是由形如m +3n (m ∈Z ,n ∈Z )的数构成的,试判断12-3是不是集合A 中的元素?解:∵12-3=2+3=2+3×1,而2,1∈Z ,∴2+3∈A ,即12-3∈A .12.已知M ={2,a ,b },N ={2a,2,b 2},且M =N ,试求a 与b 的值. 解:根据集合中元素的互异性,有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a =2a b =b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a =b 2b =2a , 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =0b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =0或⎩⎨⎧a =14b =12.再根据集合中元素的互异性,得⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =1或⎩⎨⎧a =14b =12.1.下列六个关系式,其中正确的有( )①{a ,b }={b ,a };②{a ,b }⊆{b ,a };③∅={∅};④{0}=∅;⑤∅{0};⑥0∈{0}. A .6个 B .5个C .4个D .3个及3个以下 解析:选C.①②⑤⑥正确.2.已知集合A ,B ,若A 不是B 的子集,则下列命题中正确的是( ) A .对任意的a ∈A ,都有a ∉B B .对任意的b ∈B ,都有b ∈A C .存在a 0,满足a 0∈A ,a 0∉B D .存在a 0,满足a 0∈A ,a 0∈B解析:选C.A 不是B 的子集,也就是说A 中存在不是B 中的元素,显然正是C 选项要表达的.对于A 和B 选项,取A ={1,2},B ={2,3}可否定,对于D 选项,取A ={1},B ={2,3}可否定.3.设A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },若A B ,则a 的取值范围是( )A .a ≥2B .a ≤1C .a ≥1D .a ≤2解析:选A.A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },要使A B ,则应有a ≥2. 4.集合M ={x |x 2-3x -a 2+2=0,a ∈R }的子集的个数为________.解析:∵Δ=9-4(2-a 2)=1+4a 2>0,∴M 恒有2个元素,所以子集有4个. 答案:41.如果A ={x |x >-1},那么( ) A .0⊆A B .{0}∈AC .∅∈AD .{0}⊆A解析:选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的.2.已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <1},则( ) A .A >B B .ABC .B AD .A ⊆B解析:选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ,但x ∈A ⇒x ∈B 不成立.3.定义A -B ={x |x ∈A 且x ∉B },若A ={1,3,5,7,9},B ={2,3,5},则A -B 等于( ) A .A B .BC .{2}D .{1,7,9}解析:选D.从定义可看出,元素在A 中但是不能在B 中,所以只能是D. 4.以下共有6组集合.(1)A ={(-5,3)},B ={-5,3}; (2)M ={1,-3},N ={3,-1}; (3)M =∅,N ={0};(4)M ={π},N ={3.1415};(5)M ={x |x 是小数},N ={x |x 是实数};(6)M ={x |x 2-3x +2=0},N ={y |y 2-3y +2=0}. 其中表示相等的集合有( ) A .2组 B .3组 C .4组 D .5组解析:选A.(5),(6)表示相等的集合,注意小数是实数,而实数也是小数.5.定义集合间的一种运算“*”满足:A *B ={ω|ω=xy (x +y ),x ∈A ,y ∈B }.若集合A ={0,1},B ={2,3},则A *B 的子集的个数是( )A .4B .8C .16D .32解析:选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算,有0·2·(0+2)=0·3·(0+3)=0,1·2·(1+2)=6,1·3·(1+3)=12,因此可知A *B ={0,6,12},因此其子集个数为23=8,选B.6.设B ={1,2},A ={x |x ⊆B },则A 与B 的关系是( ) A .A ⊆B B .B ⊆A C .A ∈B D .B ∈A解析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},∅, ∴A ={x |x ⊆B }={{1},{2},{1,2},∅},∴B ∈A .7.设x ,y ∈R ,A ={(x ,y )|y =x },B ={(x ,y )|yx=1},则A 、B 间的关系为________.解析:在A 中,(0,0)∈A ,而(0,0)∉B ,故BA .答案:B A8.设集合A ={1,3,a },B ={1,a 2-a +1},且A ⊇B ,则a 的值为________.解析:A ⊇B ,则a 2-a +1=3或a 2-a +1=a ,解得a =2或a =-1或a =1,结合集合元素的互异性,可确定a =-1或a =2.答案:-1或29.已知A ={x |x <-1或x >5},B ={x |a ≤x <a +4},若A B ,则实数a 的取值范围是________.解析:作出数轴可得,要使A B ,则必须a +4≤-1或a >5,解之得{a |a >5或a ≤-5}.答案:{a |a >5或a ≤-5}10.已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2},若A =B ,求c 的值.解:①若⎩⎪⎨⎪⎧a +b =aca +2b =ac 2,消去b 得a +ac 2-2ac =0, 即a (c 2-2c +1)=0.当a =0时,集合B 中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性,故a ≠0,c 2-2c +1=0,即c =1;当c =1时,集合B 中的三个元素也相同, ∴c =1舍去,即此时无解.②若⎩⎪⎨⎪⎧a +b =ac2a +2b =ac ,消去b 得2ac 2-ac -a =0,即a (2c 2-c -1)=0.∵a ≠0,∴2c 2-c -1=0,即(c -1)(2c +1)=0.又∵c ≠1,∴c =-12.11.已知集合A ={x |1≤x ≤2},B ={x |1≤x ≤a ,a ≥1}.(1)若A B ,求a 的取值范围; (2)若B ⊆A ,求a 的取值范围. 解:(1)若AB ,由图可知,a >2.(2)若B ⊆A ,由图可知,1≤a ≤2.12.若集合A ={x |x 2+x -6=0},B ={x |mx +1=0},且B A ,求实数m 的值.解:A ={x |x 2+x -6=0}={-3,2}.∵B A ,∴mx +1=0的解为-3或2或无解. 当mx +1=0的解为-3时,由m ·(-3)+1=0,得m =13;当mx +1=0的解为2时,由m ·2+1=0,得m =-12;当mx +1=0无解时,m =0.综上所述,m =13或m =-12或m =0.1.(2010年高考广东卷)若集合A ={x |-2<x <1},B ={x |0<x <2},则集合A ∩B =( ) A .{x |-1<x <1} B .{x |-2<x <1} C .{x |-2<x <2} D .{x |0<x <1}解析:选D.因为A ={x |-2<x <1},B ={x |0<x <2},所以A ∩B ={x |0<x <1}. 2.(2010年高考湖南卷)已知集合M ={1,2,3},N ={2,3,4}则( ) A .M ⊆N B .N ⊆MC .M ∩N ={2,3}D .M ∪N ={1,4} 解析:选C.∵M ={1,2,3},N ={2,3,4}. ∴选项A 、B 显然不对.M ∪N ={1,2,3,4}, ∴选项D 错误.又M ∩N ={2,3},故选C.3.已知集合M ={y |y =x 2},N ={y |x =y 2},则M ∩N =( ) A .{(0,0),(1,1)} B .{0,1} C .{y |y ≥0} D .{y |0≤y ≤1}解析:选C.M ={y |y ≥0},N =R ,∴M ∩N =M ={y |y ≥0}. 4.已知集合A ={x |x ≥2},B ={x |x ≥m },且A ∪B =A ,则实数m 的取值范围是________.解析:A ∪B =A ,即B ⊆A ,∴m ≥2. 答案:m ≥21.下列关系Q ∩R =R ∩Q ;Z ∪N =N ;Q ∪R =R ∪Q ;Q ∩N =N 中,正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:选C.只有Z ∪N =N 是错误的,应是Z ∪N =Z .2.(2010年高考四川卷)设集合A ={3,5,6,8},集合B ={4,5,7,8},则A ∩B 等于( ) A .{3,4,5,6,7,8} B .{3,6} C .{4,7} D .{5,8}解析:选D.∵A ={3,5,6,8},B ={4,5,7,8},∴A ∩B ={5,8}.3.(2009年高考山东卷)集合A ={0,2,a },B ={1,a 2}.若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( )A .0B .1C .2D .4解析:选D.根据元素特性,a ≠0,a ≠2,a ≠1. ∴a =4.4.已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0},则P ∩Q 等于( ) A .{2} B .{1,2} C .{2,3} D .{1,2,3}解析:选A.Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}={-3,2}. ∴P ∩Q ={2}.5.(2010年高考福建卷)若集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |x >2},则A ∩B 等于( ) A .{x |2<x ≤3} B .{x |x ≥1} C .{x |2≤x <3} D .{x |x >2}解析:选A.∵A ={x |1≤x ≤3},B ={x |x >2}, ∴A ∩B ={x |2<x ≤3}.6.设集合S ={x |x >5或x <-1},T ={x |a <x <a +8},S ∪T =R ,则a 的取值范围是( )A .-3<a <-1B .-3≤a ≤-1C .a ≤-3或a ≥-1D .a <-3或a >-1 解析:选A.S ∪T =R , ∴⎩⎪⎨⎪⎧a +8>5,a <-1.∴-3<a <-1. 7.(2010年高考湖南卷)已知集合A ={1,2,3},B ={2,m,4},A ∩B ={2,3},则m =________. 解析:∵A ∩B ={2,3},∴3∈B ,∴m =3. 答案:38.满足条件{1,3}∪M ={1,3,5}的集合M 的个数是________. 解析:∵{1,3}∪M ={1,3,5},∴M 中必须含有5, ∴M 可以是{5},{5,1},{5,3},{1,3,5},共4个. 答案:49.若集合A ={x |x ≤2},B ={x |x ≥a },且满足A ∩B ={2},则实数a =________. 解析:当a >2时,A ∩B =∅; 当a <2时,A ∩B ={x |a ≤x ≤2}; 当a =2时,A ∩B ={2}.综上:a =2. 答案:210.已知A ={x |x 2+ax +b =0},B ={x |x 2+cx +15=0},A ∪B ={3,5},A ∩B ={3},求实数a ,b ,c 的值.解:∵A ∩B ={3},∴由9+3c +15=0,解得c =-8.由x 2-8x +15=0,解得B ={3,5},故A ={3}. 又a 2-4b =0,解得a =-6,b =9. 综上知,a =-6,b =9,c =-8.11.已知集合A ={x |x -2>3},B ={x |2x -3>3x -a },求A ∪B . 解:A ={x |x -2>3}={x |x >5}, B ={x |2x -3>3x -a }={x |x <a -3}. 借助数轴如图:①当a -3≤5,即a ≤8时, A ∪B ={x |x <a -3或x >5}. ②当a -3>5,即a >8时,A ∪B ={x |x >5}∪{x |x <a -3}={x |x ∈R }=R .综上可知当a ≤8时,A ∪B ={x |x <a -3或x >5}; 当a >8时,A ∪B =R .12.设集合A ={(x ,y )|2x +y =1,x ,y ∈R },B ={(x ,y )|a 2x +2y =a ,x ,y ∈R },若A ∩B =∅,求a 的值.解:集合A 、B 的元素都是点,A ∩B 的元素是两直线的公共点.A ∩B =∅,则两直线无交点,即方程组无解.列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =1a 2x +2y =a ,解得(4-a 2)x =2-a ,则⎩⎪⎨⎪⎧4-a 2=02-a ≠0,即a =-2.1.(2010年高考辽宁卷)已知集合U ={1,3,5,7,9},A ={1,5,7},则∁U A =( ) A .{1,3} B .{3,7,9} C .{3,5,9} D .{3,9} 解析:选D.∁U A ={3,9},故选D.2.(2010年高考陕西卷)集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x <1},则A ∩(∁R B )=( ) A .{x |x >1} B .{x |x ≥1} C .{x |1<x ≤2} D .{x |1≤x ≤2}解析:选D.∵B ={x |x <1},∴∁R B ={x |x ≥1}, ∴A ∩∁R B ={x |1≤x ≤2}.3. 已知全集U =Z ,集合A ={x |x 2=x },B ={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A .{-1,2}B .{-1,0}C .{0,1}D .{1,2}解析:选A.依题意知A ={0,1},(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中,但在集合B 中的所有元素,故图中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2}.选A.4.已知全集U ={x |1≤x ≤5},A ={x |1≤x <a },若∁U A ={x |2≤x ≤5},则a =________.解析:∵A∪∁U A=U,∴A={x|1≤x<2}.∴a=2.答案:21.已知全集U={1,2,3,4,5},且A={2,3,4},B={1,2},则A∩(∁U B)等于()A.{2} B.{5}C.{3,4} D.{2,3,4,5}解析:选C.∁U B={3,4,5},∴A∩(∁U B)={3,4}.2.已知全集U={0,1,2},且∁U A={2},则A=()A.{0} B.{1}C.∅D.{0,1}解析:选D.∵∁U A={2},∴2∉A,又U={0,1,2},∴A={0,1}.3.(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:选A.U=A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},∴∁U(A∩B)={3,5,8}.4.已知集合U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则()A.M∩N={4,6} B.M∪N=UC.(∁U N)∪M=U D.(∁U M)∩N=N解析:选B.由U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},得M∩N={4,5},(∁U N)∪M={3,4,5,7},(∁U M)∩N={2,6},M∪N={2,3,4,5,6,7}=U,选B.5.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析:选B.∵A={1,2},∴B={2,4},∴A∪B={1,2,4},∴∁U(A∪B)={3,5}.6.已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mn B.m+nC.n-m D.m-n解析:选D.U=A∪B中有m个元素,∵(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B)中有n个元素,∴A∩B中有m-n个元素,故选D.7.设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A∪B)∩(∁U C)=________.解析:∵A∪B={2,3,4,5},∁U C={1,2,5},∴(A∪B)∩(∁U C)={2,3,4,5}∩{1,2,5}={2,5}.答案:{2,5}8.已知全集U={2,3,a2-a-1},A={2,3},若∁U A={1},则实数a的值是________.解析:∵U={2,3,a2-a-1},A={2,3},∁U A={1},∴a2-a-1=1,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.答案:-1或29.设集合A ={x |x +m ≥0},B ={x |-2<x <4},全集U =R ,且(∁U A )∩B =∅,求实数m 的取值范围为________.解析:由已知A ={x |x ≥-m }, ∴∁U A ={x |x <-m },∵B ={x |-2<x <4},(∁U A )∩B =∅, ∴-m ≤-2,即m ≥2, ∴m 的取值范围是m ≥2. 答案:{m |m ≥2}10.已知全集U =R ,A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3},P ={x |x ≤0或x ≥52},求A ∩B ,(∁U B )∪P ,(A ∩B )∩(∁U P ).解:将集合A 、B 、P 表示在数轴上,如图.∵A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3}, ∴A ∩B ={x |-1<x <2}. ∵∁U B ={x |x ≤-1或x >3},∴(∁U B )∪P ={x |x ≤0或x ≥52},(A ∩B )∩(∁U P )={x |-1<x <2}∩{x |0<x <52}={x |0<x <2}.11.已知集合A ={x |x 2+ax +12b =0}和B ={x |x 2-ax +b =0},满足B ∩(∁U A )={2},A ∩(∁U B )={4},U =R ,求实数a ,b 的值.解:∵B ∩(∁U A )={2}, ∴2∈B ,但2∉A .∵A ∩(∁U B )={4},∴4∈A ,但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42+4a +12b =022-2a +b =0,解得⎩⎨⎧a =87b =127.∴a ,b 的值为87,-127.12.已知集合A ={x |2a -2<x <a },B ={x |1<x <2},且A ∁R B ,求实数a 的取值范围. 解:∁R B ={x |x ≤1或x ≥2}≠∅, ∵A ∁R B ,∴分A =∅和A ≠∅两种情况讨论. ①若A =∅,此时有2a -2≥a , ∴a ≥2.②若A ≠∅,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a -2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a -2<a 2a -2≥2. ∴a ≤1.综上所述,a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1.下列说法中正确的为( )A .y =f (x )与y =f (t )表示同一个函数B .y =f (x )与y =f (x +1)不可能是同一函数C .f (x )=1与f (x )=x 0表示同一函数D .定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析:选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.2.下列函数完全相同的是( ) A .f (x )=|x |,g (x )=(x )2 B .f (x )=|x |,g (x )=x 2C .f (x )=|x |,g (x )=x 2xD .f (x )=x 2-9x -3,g (x )=x +3解析:选B.A 、C 、D 的定义域均不同. 3.函数y =1-x +x 的定义域是( ) A .{x |x ≤1} B .{x |x ≥0} C .{x |x ≥1或x ≤0} D .{x |0≤x ≤1}解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0x ≥0,得0≤x ≤1.4.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系,其中表示y 是x 的函数关系的有________.解析:由函数定义可知,任意作一条直线x =a ,则与函数的图象至多有一个交点,对于本题而言,当-1≤a ≤1时,直线x =a 与函数的图象仅有一个交点,当a >1或a <-1时,直线x =a 与函数的图象没有交点.从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3).答案:(2)(3)1.函数y =1x的定义域是( )A .RB .{0}C .{x |x ∈R ,且x ≠0}D .{x |x ≠1}解析:选C.要使1x 有意义,必有x ≠0,即y =1x的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0}.2.下列式子中不能表示函数y =f (x )的是( ) A .x =y 2+1 B .y =2x 2+1 C .x -2y =6 D .x =y解析:选A.一个x 对应的y 值不唯一. 3.下列说法正确的是( )A .函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B .函数的定义域和值域可以是空集C .函数的定义域和值域一定是数集D .函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了解析:选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知,强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性,所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素,从而选项A 错误;同样由函数定义可知,A 、B 集合都是非空数集,故选项B 错误;选项C 正确;对于选项D ,可以举例说明,如定义域、值域均为A ={0,1}的函数,对应关系可以是x →x ,x ∈A ,可以是x →x ,x ∈A ,还可以是x →x 2,x ∈A .4.下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={0,1},f :A 中的数平方 B .A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数D .A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值解析:选A.按照函数定义,选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C 中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D 中,集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A 符合函数定义.5.下列各组函数表示相等函数的是( )A .y =x 2-3x -3与y =x +3(x ≠3)B .y =x 2-1与y =x -1C .y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0)D .y =2x +1,x ∈Z 与y =2x -1,x ∈Z 解析:选C.A 、B 与D 对应法则都不同.6.设f :x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B ={1,2},则A ∩B 一定是( ) A .∅ B .∅或{1} C .{1} D .∅或{2}解析:选B.由f :x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B ={1,2},则A ={-1,1,-2,2}或A ={-1,1,-2}或A ={-1,1,2}或A ={-1,2,-2}或A ={1,-2,2}或A ={-1,-2}或A ={-1,2}或A ={1,2}或A ={1,-2}.所以A ∩B =∅或{1}.7.若[a,3a -1]为一确定区间,则a 的取值范围是________.解析:由题意3a -1>a ,则a >12.答案:(12,+∞)8.函数y =(x +1)03-2x的定义域是________.解析:要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠03-2x >0,即x <32且x ≠-1.答案:(-∞,-1)∪(-1,32)9.函数y =x 2-2的定义域是{-1,0,1,2},则其值域是________. 解析:当x 取-1,0,1,2时, y =-1,-2,-1,2,故函数值域为{-1,-2,2}. 答案:{-1,-2,2}10.求下列函数的定义域: (1)y =-x 2x 2-3x -2;(2)y =34x +83x -2.解:(1)要使y =-x 2x 2-3x -2有意义,则必须⎩⎪⎨⎪⎧-x ≥0,2x 2-3x -2≠0,解得x ≤0且x ≠-12, 故所求函数的定义域为{x |x ≤0,且x ≠-12}.(2)要使y =34x +83x -2有意义,则必须3x -2>0,即x >23, 故所求函数的定义域为{x |x >23}. 11.已知f (x )=11+x(x ∈R 且x ≠-1),g (x )=x 2+2(x ∈R ). (1)求f (2),g (2)的值; (2)求f (g (2))的值.解:(1)∵f (x )=11+x ,∴f (2)=11+2=13,又∵g (x )=x 2+2, ∴g (2)=22+2=6. (2)由(1)知g (2)=6,∴f (g (2))=f (6)=11+6=17.12.已知函数y =ax +1(a <0且a 为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a 的取值范围.解:函数y =ax +1(a <0且a 为常数).∵ax +1≥0,a <0,∴x ≤-1a ,即函数的定义域为(-∞,-1a].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1]⊆(-∞,-1a],∴-1a≥1,而a <0,∴-1≤a <0.即a 的取值范围是[-1,0).1.下列各图中,不能是函数f (x )图象的是( )解析:选C.结合函数的定义知,对A 、B 、D ,定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应;而对C ,对大于0的x 而言,有两个不同值与之对应,不符合函数定义,故选C.2.若f (1x )=11+x,则f (x )等于( )A.11+x(x ≠-1) B.1+x x (x ≠0)C.x 1+x(x ≠0且x ≠-1) D .1+x (x ≠-1) 解析:选C.f (1x )=11+x =1x 1+1x(x ≠0),∴f (t )=t1+t (t ≠0且t ≠-1),∴f (x )=x1+x(x ≠0且x ≠-1).3.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )=( ) A .3x +2 B .3x -2 C .2x +3 D .2x -3解析:选B.设f (x )=kx +b (k ≠0), ∵2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k -b =5k +b =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧k =3b =-2,∴f (x )=3x -2. 4.已知f (2x )=x 2-x -1,则f (x )=________.解析:令2x =t ,则x =t2,∴f (t )=⎝⎛⎭⎫t 22-t 2-1,即f (x )=x 24-x 2-1.答案:x 24-x 2-11.下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 -1B.x 奇数 0 偶数y 1 0-1 C.x 有理数 无理数 y 1 -1D.x 自然数 整数 有理数y 1 0 -1解析:选C.A 中,当x =0时,y =±1;B 中0是偶数,当x =0时,y =0或y =-1;D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系,如x =1∈N(Z ,Q),故y 的值不唯一,故A 、B 、D 均不正确.2.若f (1-2x )=1-x 2x 2(x ≠0),那么f (12)等于( )A .1B .3C .15D .30解析:选C.法一:令1-2x =t ,则x =1-t2(t ≠1),∴f (t )=4(t -1)2-1,∴f (12)=16-1=15. 法二:令1-2x =12,得x =14,∴f (12)=16-1=15.3.设函数f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )的表达式是( ) A .2x +1 B .2x -1 C .2x -3 D .2x +7解析:选B.∵g (x +2)=2x +3=2(x +2)-1, ∴g (x )=2x -1.4.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中较符合此学生走法的是( )解析:选D.由于纵轴表示离学校的距离,所以距离应该越来越小,排除A 、C ,又一开始跑步,速度快,所以D 符合.5.如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x =1对称,且过点(0,0),则此二次函数的解析式为( )A .f (x )=x 2-1B .f (x )=-(x -1)2+1C .f (x )=(x -1)2+1D .f (x )=(x -1)2-1 解析:选D.设f (x )=(x -1)2+c , 由于点(0,0)在函数图象上, ∴f (0)=(0-1)2+c =0,∴c =-1,∴f (x )=(x -1)2-1.6.已知正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的函数解析式为( )A .y =12x (x >0)B .y =24x (x >0)C .y =28x (x >0)D .y =216x (x >0)解析:选C.设正方形的边长为a ,则4a =x ,a =x4,其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长.故2a =2y ,所以y =22a =22×x 4=28x .7.已知f (x )=2x +3,且f (m )=6,则m 等于________.解析:2m +3=6,m =32.答案:328. 如图,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f [1f (3)]的值等于________.解析:由题意,f (3)=1,∴f [1f (3)]=f (1)=2.答案:2 9.将函数y =f (x )的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位得函数y =x 2的图象,则函数f (x )的解析式为__________________.解析:将函数y =x 2的图象向下平移2个单位,得函数y =x 2-2的图象,再将函数y =x 2-2的图象向右平移1个单位,得函数y =(x -1)2-2的图象,即函数y =f (x )的图象,故f (x )=x 2-2x -1.答案:f (x )=x 2-2x -110.已知f (0)=1,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x ). 解:令a =0,则f (-b )=f (0)-b (-b +1) =1+b (b -1)=b 2-b +1.再令-b =x ,即得f (x )=x 2+x +1.11.已知f (x +1x )=x 2+1x 2+1x,求f (x ).解:∵x +1x =1+1x ,x 2+1x 2=1+1x 2,且x +1x ≠1,∴f (x +1x )=f (1+1x )=1+1x 2+1x=(1+1x )2-(1+1x)+1.∴f (x )=x 2-x +1(x ≠1).12.设二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),对于x ∈R 恒成立,且f (x )=0的两个实根的平方和为10,f (x )的图象过点(0,3),求f (x )的解析式.解:∵f (2+x )=f (2-x ),∴f (x )的图象关于直线x =2对称. 于是,设f (x )=a (x -2)2+k (a ≠0), 则由f (0)=3,可得k =3-4a ,∴f (x )=a (x -2)2+3-4a =ax 2-4ax +3.∵ax 2-4ax +3=0的两实根的平方和为10,∴10=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=16-6a, ∴a =1.∴f (x )=x 2-4x +3.1.已知集合A ={a ,b },集合B ={0,1},下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析:选C.A 、B 、D 均满足映射的定义,C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应,且A 中元素b 在B 中无元素与之对应.2.(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +3 (x >10)f (f (x +5)) (x ≤10),则f (5)的值是( ) A .24 B .21 C .18 D .16 解析:选A.f (5)=f (f (10)), f (10)=f (f (15))=f (18)=21, f (5)=f (21)=24.3.函数y =x +|x |x的图象为( )解析:选C.y =x +|x |x =⎩⎪⎨⎪⎧x +1 (x >0)x -1 (x <0),再作函数图象.4.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x +1,x <11x, x >1的值域是________.解析:当x <1时,x 2-x +1=(x -12)2+34≥34;当x >1时,0<1x<1,则所求值域为(0,+∞),故填(0,+∞).答案:(0,+∞)1.设f :A →B 是集合A 到B 的映射,其中A ={x |x >0},B =R ,且f :x →x 2-2x -1,则A 中元素1+2的像和B 中元素-1的原像分别为( )A.2,0或2 B .0,2 C .0,0或2 D .0,0或2 答案:C2.某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km 为1.6元(不足1 km ,按1 km 计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析:选C.由题意,当0<x ≤3时,y =10; 当3<x ≤4时,y =11.6; 当4<x ≤5时,y =13.2; …当n -1<x ≤n 时,y =10+(n -3)×1.6,故选C.3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -x 2(0≤x ≤3)x 2+6x (-2≤x ≤0)的值域是( )A .RB .[-9,+∞)C .[-8,1]D .[-9,1]解析:选C.画出图象,也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集.4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2(x ≤-1),x 2(-1<x <2)2x (x ≥2),若f (x )=3,则x 的值是( ) A .1B .1或32C .1,32或± 3 D.3解析:选D.该分段函数的三段各自的值域为(-∞,1],[0,4),[4,+∞),而3∈[0,4), ∴f (x )=x 2=3,x =±3,而-1<x <2,∴x = 3.5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1, x 为有理数,0, x 为无理数,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0, x 为有理数,1, x 为无理数,当x ∈R 时,f (g (x )),g (f (x ))的值分别为( )A .0,1B .0,0C .1,1D .1,0解析:选D.g (x )∈Q ,f (x )∈Q ,f (g (x ))=1,g (f (x ))=0.6.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2 (x ≤-1),2(x +1) (-1<x <1),1x -1 (x ≥1),已知f (a )>1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,+∞ B.⎝⎛⎭⎫-12,12 C .(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,1 D.⎝⎛⎭⎫-12,12∪(1,+∞) 解析:选C.f (a )>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤-1(a +1)2>1或⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <12(a +1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a-1>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1a <-2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <1a >-12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12⇔a <-2或-12<a <1.即所求a 的取值范围是(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,1. 7.设A =B ={a ,b ,c ,d ,…,x ,y ,z }(元素为26个英文字母),作映射f :A →B 为A中每一个字母与B 中下一个字母对应,即:a →b ,b →c ,c →d ,…,z →a ,并称A 中的字母组成的文字为明文,B 中相应的字母为密文,试破译密文“nbuj ”:________.解析:由题意可知m →n ,a →b ,t →u ,i →j , 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”. 答案:mati8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2, x ≤0,f (x -2), x >0,则f (4)=________.解析:f (4)=f (2)=f (0)=0.答案:09.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0,则不等式x +(x +2)·f (x +2)≤5的解集是________.解析:原不等式可化为下面两个不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x +2≥0x +(x +2)·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x +2<0x +(x +2)·(-1)≤5, 解得-2≤x ≤32或x <-2,即x ≤32.答案:(-∞,32]10.已知f (x )=⎩⎨⎧x 2 (-1≤x ≤1)1 (x >1或x <-1),(1)画出f (x )的图象;(2)求f (x )的定义域和值域.解:(1)利用描点法,作出f (x )的图象,如图所示. (2)由条件知,函数f (x )的定义域为R.由图象知,当-1≤x ≤1时, f (x )=x 2的值域为[0,1], 当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1].11.某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地,在B 地停留112小时后,再以65千米/小时的速度返回A 地.试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数.解:∵260÷52=5(小时),260÷65=4(小时),∴s =⎩⎪⎨⎪⎧52t (0≤t ≤5),260 ⎝⎛⎭⎫5<t ≤612,260+65⎝⎛⎭⎫t -612 ⎝⎛⎭⎫612<t ≤1012.12. 如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD ,底边BC 长为7cm ,腰长为2 2 cm ,当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BF =x ,试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式,并画出大致图象.解:过点A ,D 分别作AG ⊥BC ,DH ⊥BC ,垂足分别是G ,H . 因为ABCD 是等腰梯形, 底角为45°,AB =2 2 cm , 所以BG =AG =DH =HC =2 cm. 又BC =7 cm ,所以AD =GH =3 cm. ①当点F 在BG 上时,。

高一数学必修1习题及答案5篇

高一数学必修1习题及答案5篇

高一数学必修1习题及答案5篇习题1:已知∠ABC=60°,AB=4,BC=6,求AC的长度。

解答:通过画图可知,△ABC为一个等边三角形,因此AC=AB=4。

习题2:已知一条直线l1:x-2y+3=0,求平行于l1且过点P(1,2)的直线l2的方程式。

解答:l1的斜率为2,因此l2的斜率也为2。

同时,由于l2过点P(1,2),因此可得l2的方程式为y-2=2(x-1),即y=2x。

习题3:已知函数f(x)=2x-1,求f(3)的值和f(-2)的值。

解答:将3代入f(x)=2x-1,可得f(3)=2(3)-1=5。

将-2代入f(x)=2x-1,可得f(-2)=2(-2)-1=-5。

习题4:已知弧AB所对的圆心角为60°,AB的弧长为π,求该圆的半径。

解答:圆心角60°所对的弧长为圆的1/6,即π/6。

因此可知该圆的周长为2π,因此半径为1。

习题5:已知平面直角坐标系中两点A(2,5)和B(-3,-4),求线段AB的长度。

解答:通过勾股定理可知,线段AB的长度为√(2-(-3))^2+(5-(-4))^2=√25+81=√106。

以上是数学必修1的5道典型习题及解答,这些题目涵盖了数学必修1的不同知识点,包括三角函数、直线方程、函数、圆和勾股定理等。

对于高一学生来说,这些内容都是必须掌握的基础知识。

在学习数学时,不仅要了解知识点本身的定义和公式,还要学会思考如何运用所学知识解决问题。

因此,在学习习题时,除了知晓解答方法和答案外,还需深入思考,理解其背后的思维过程和逻辑。

在解答习题时,需要注意的是细节问题。

比如在第三道题中,如果没有注意到f(x)的定义式中有-1这一项,就会出现计算错误。

因此,在解答问题时,不仅需要整体考虑,还需要对计算细节进行仔细检查。

在学习数学时,还需要注重实践操作和分类整理。

对于复杂的习题和知识点,可以多练习相关问题,通过不断反复联系和思考,形成自己的解题思路和方法。

高一数学题目及答案100道计算题必修一

高一数学题目及答案100道计算题必修一

高一数学题目及答案100道计算题必修一题目1:求下列各组数的最大公因数和最小公倍数:18,24。

解:18 = 2 x 3^224 = 2^3 x 3最大公因数 = 2 x 3 = 6最小公倍数 = 2^3 x 3^2 = 72题目2:计算:(2 + √3)(2 - √3)。

解:(2 + √3)(2 - √3) = 2^2 - √3^2 = 4 - 3 = 1题目3:化简:√75。

解:√75 = √(3 x 5^2) = 5√3题目4:求解下列方程:2x + 5 = 7。

解:2x + 5 = 72x = 7 - 52x = 2x = 1题目5:计算:√(-16)。

解:√(-16) = 4i题目6:求解下列方程组:3x + 2y = 74x - y = 5解:通过消元法可得:首先将第二个式子乘以2,得到:8x - 2y = 10相加得到:11x = 17解得:x = 17/11带入第一个方程得到:3 * (17/11) + 2y = 7解得:y = 5/11题目7:计算:sin^2(30°) + cos^2(30°)。

解:sin^2(30°) + cos^2(30°) = (1/2)^2 + (√3/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1题目8:若三角形的两条边长分别为5cm和12cm,夹角为30°,求第三边的长。

解:根据余弦定理,第三边长为√(5^2 + 12^2 - 2 * 5 * 12 * cos(30°)) = 5√3 cm题目9:计算:log(1000) - log(10)。

解:log(1000) - log(10) = log(1000/10) = log(100) = 2题目10:求下列数列的通项公式:1, 3, 5, 7, 9, …解:通项公式为a_n = 2n - 1(后续内容省略,继续提供计算题目和答案)。

数学必修一练习题汇总含答案

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第一章综合练习一、选择题(每小题5分,共60分)1.集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()A.3 B.6C.7 D.8解析:含一个元素的有{1},{2},{3},共3个;含两个元素的有{1,2},{1,3},{2,3},共3个;空集是任何非空集合的真子集,故有7个.答案:C2.下列五个写法,其中错误..写法的个数为()①{0}∈{0,2,3};②Ø{0};③{0,1,2}⊆{1,2,0};④0∈Ø;⑤0∩Ø=ØA.1 B.2C.3 D.4解析:②③正确.答案:C3.使根式x-1与x-2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F,则使根式x-1+x-2有意义的x的允许值集合可表示为()A.M∪F B.M∩F C.∁M F D.∁F M解析:根式x-1+x-2有意义,必须x-1与x-2同时有意义才可.答案:B4.已知M={x|y=x2-2},N={y|y=x2-2},则M∩N等于()A.N B.M C.R D.Ø解析:M={x|y=x2-2}=R,N={y|y=x2-2}={y|y≥-2},故M∩N=N.答案:A5.函数y=x2+2x+3(x≥0)的值域为()A.R B.[0,+∞) C.[2,+∞) D.[3,+∞)解析:y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴函数在区间[0,+∞)上为增函数,故y≥(0+1)2+2=3.答案:D6.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰的长x的函数,则y等于()A.20-2x(0<x≤10) B.20-2x(0<x<10)C.20-2x(5≤x≤10) D.20-2x(5<x<10)解析:C=20=y+2x,由三角形两边之和大于第三边可知2x>y=20-2x,x>5.答案:D7.用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水,则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的()甲乙图1解析:水面升高的速度由慢逐渐加快.答案:B8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()①y=f(|x|) ②y=f(-x) ③y=xf(x) ④y=f(x)+xA.①③B.②③C.①④D.②④解析:因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).①y=f(|x|)为偶函数;②y =f(-x)为奇函数;③令F(x)=xf(x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)·[-f(x)]=xf(x).所以F(-x )=F (x ).所以y =xf (x )为偶函数;④令F (x )=f (x )+x ,所以F (-x )=f (-x )+(-x )=-f (x )-x =-[f (x )+x ].所以F (-x )=-F (x ).所以y =f (x )+x 为奇函数.答案:D9.已知0≤x ≤32,则函数f (x )=x 2+x +1( ) A .有最小值-34,无最大值B .有最小值34,最大值1C .有最小值1,最大值194D .无最小值和最大值解析:f (x )=x 2+x +1=(x +12)2+34,画出该函数的图象知,f (x )在区间[0,32]上是增函数,所以f (x )min =f (0)=1,f (x )max =f (32)=194.答案:C10.已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],函数y =f (x )的图象如图2甲所示,则函数f (|x |)的图象是图2乙中的( )甲乙图2解析:因为y =f (|x |)是偶函数,所以y =f (|x |)的图象是由y =f (x )把x ≥0的图象保留,再关于y 轴对称得到的.答案:B11.若偶函数f (x )在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )A .f (-32)<f (-1)<f (2) B .f (-1)<f (-32)<f (2) C .f (2)<f (-1)<f (-32)D .f (2)<f (-32)<f (-1)解析:由f (x )是偶函数,得f (2)=f (-2),又f (x )在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2<-32<-1,则f (2)<f (-32)<f (-1).答案:D12.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有xf (x +1)=(1+x )f (x ),则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)的值是( )A .0 B.12 C .1 D.52解析:令x =-12,则-12f (12)=12f (-12),又∵f (12)=f (-12),∴f (12)=0;令x =12,12f (32)=32f (12),得f (32)=0;令x =32,32f (52)=52f (32),得f (52)=0;而0·f (1)=f (0)=0,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)=f (0)=0,故选A.答案:A第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分)13.设全集U ={a ,b ,c ,d ,e },A ={a ,c ,d },B ={b ,d ,e },则∁U A ∩∁U B =________. 解析:∁U A ∩∁U B =∁U (A ∪B ),而A ∪B ={a ,b ,c ,d ,e }=U . 答案:Ø14.设全集U =R ,A ={x |x ≥1},B ={x |-1≤x <2},则∁U (A ∩B )=________. 解析:A ∩B ={x |1≤x <2},∴∁R (A ∩B )={x |x <1或x ≥2}. 答案:{x |x <1或x ≥2}15.已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,3]上为减函数,求实数a 的取值范围为________.解析:函数f (x )的对称轴为x =1-a ,则由题知:1-a ≥3即a ≤-2.答案:a≤-216.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0)、f(1)、f(-2)从小到大的顺序是__________.解析:∵f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,∴m=0.∴f(x)=-x2+2.∴f(0)=2,f(1)=1,f(-2)=-2,∴f(-2)<f(1)<f(0).答案:f(-2)<f(1)<f(0)三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)设A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1},(1)当x∈N*时,求A的子集的个数;(2)当x∈R且A∩B=Ø时,求m的取值范围.解:(1)∵x∈N*且A={x|-2≤x≤5},∴A={1,2,3,4,5}.故A的子集个数为25=32个.(2)∵A∩B=Ø,∴m-1>2m+1或2m+1<-2或m-1>5,∴m<-2或m>6.18.(12分)已知集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠Ø且B⊆A,求a,b的值.解:(1)当B=A={-1,1}时,易得a=0,b=-1;(2)当B含有一个元素时,由Δ=0得a2=b,当B={1}时,由1-2a+b=0,得a=1,b=1当B={-1}时,由1+2a+b=0,得a=-1,b=1.19.(12分)已知函数f(x)=xax+b(a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一实数解,求函数f(x)的解析式和f[f(-4)]的值.解:∵f (x )=xax +b且f (2)=1,∴2=2a +b . 又∵方程f (x )=x 有唯一实数解. ∴ax 2+(b -1)x =0(a ≠0)有唯一实数解.故(b -1)2-4a ×0=0,即b =1,又上式2a +b =2,可得:a =12,从而f (x )=x 12x +1=2xx +2,∴f (-4)=2×(-4)-4+2=4,f (4)=86=43,即f [f (-4)]=43.20.(12分)已知函数f (x )=4x 2-4ax +(a 2-2a +2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a 的值.解:f (x )=4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 22+2-2a .(1)当a2<0即a <0时,f (x )min =f (0)=a 2-2a +2=3,解得:a =1- 2. (2)0≤a 2≤2即0≤a ≤4时,f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2=2-2a =3,解得:a =-12(舍去).(3)a2>2即a >4时,f (x )min =f (2)=a 2-10a +18=3,解得:a =5+10, 综上可知:a 的值为1-2或5+10.21.(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时,其他主要参考数据如下:问:如何根据运输距离的远近选择运输工具,使运输过程中的费用与损耗之和最小? 解:设甲、乙两地距离为x 千米(x >0),选用汽车、火车运输时的总支出分别为y 1和y 2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表:于是y 1=8x +1000+(x50+2)×300=14x +1600, y 2=4x +1800+(x100+4)×300=7x +3000. 令y 1-y 2<0得x <200.①当0<x <200时,y 1<y 2,此时应选用汽车; ②当x =200时,y 1=y 2,此时选用汽车或火车均可; ③当x >200时,y 1>y 2,此时应选用火车.故当距离小于200千米时,选用汽车较好;当距离等于200千米时,选用汽车或火车均可;当距离大于200千米时,选用火车较好.22.(12分)已知f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),又当x 2>x 1>0时,f (x 2)>f (x 1).(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值;(2)若有f (x )+f (x -2)≤3成立,求x 的取值范围.解:(1)f (1)=f (1)+f (1),∴f (1)=0,f (4)=f (2)+f (2)=1+1=2,f (8)=f (2)+f (4)=2+1=3. (2)∵f (x )+f (x -2)≤3,∴f [x (x -2)]≤f (8),又∵对于函数f (x )有x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,+∞)上为增函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x -2>0x (x -2)≤8⇒2<x ≤4.∴x 的取值范围为(2,4].第二章综合练习一、选择题(每小题5分,共60分)1.计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A .3 B .4 C .5D .6解析:原式=lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5=2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5=6. 答案:D2.设f (x )=⎩⎨⎧2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则f (f (2))的值为( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:f (2)=log 3(22-1)=1,f (f (2))=2e 1-1=2e 0=2. 答案:C3.如果log 12x >0成立,则x 应满足的条件是( ) A .x >12 B.12<x <1 C .x <1D .0<x <1解析:由对数函数的图象可得. 答案:D4.函数f (x )=log 3(2-x )在定义域区间上是( ) A .增函数B .减函数C .有时是增函数有时是减函数D .无法确定其单调解析:由复合函数的单调性可以判断,内外两层单调性相同则为增函数,内外两层的单调性相反则为减函数.答案:B5.某种放射性元素,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下() A.0.015克B.(1-0.5%)3克C.0.925克 D.1000.125克解析:设该放射性元素满足y=a x(a>0且a≠1),则有12=a100得a=(12)1100.可得放射性元素满足y=[(12)1100]x=(12)x100.当x=3时,y=(12)3100=100(12)3=1000.125.答案:D6.函数y=log2x与y=log 12x的图象()A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于y=x对称解析:据图象和代入式判定都可以做出判断,故选B. 答案:B7.函数y=lg(21-x-1)的图象关于()A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.y=x对称解析:f(x)=lg(21-x-1)=lg1+x1-x,f(-x)=lg1-x1+x=-f(x),所以y=lg(21-x-1)关于原点对称,故选C.答案:C8.设a>b>c>1,则下列不等式中不正确的是() A.a c>b c B.log a b>log a cC.c a>c b D.log b c<log a c解析:y=x c在(0,+∞)上递增,因为a>b,则a c>b c;y=log a x在(0,+∞)上递增,因为b>c,则log a b>log a c;y=c x在(-∞,+∞)上递增,因为a>b,则c a>c b.故选D.答案:D9.已知f(x)=log a(x+1)(a>0且a≠1),若当x∈(-1,0)时,f(x)<0,则f(x)是()A.增函数B.减函数C.常数函数D.不单调的函数解析:由于x∈(-1,0),则x+1∈(0,1),所以a>1.因而f(x)在(-1,+∞)上是增函数.答案:A10.设a=424,b=312,c=6,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.b<c<a C.b>c>a D.a<b<c解析:a=424=12243,b=12124,c=6=1266.∵243<124<66,∴12243<12124<1266,即a<b<c.答案:D11.若方程a x=x+a有两解,则a的取值范围为() A.(1,+∞) B.(0,1)C.(0,+∞) D.Ø解析:分别作出当a>1与0<a<1时的图象.(1)当a>1时,图象如下图1,满足题意.图1 图2(2)当0<a <1时,图象如上图2,不满足题意. 答案:A12.已知f (x )是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数,若f (lg x )>f (1),则x 的取值范围是( ) A .(110,1)B .(0,110)∪(1,+∞) C .(110,10)D .(0,1)∪(0,+∞)解析:由于f (x )是偶函数且在(0,+∞)上是减函数,所以f (-1)=f (1),且f (x )在(-∞,0)上是增函数,应有⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-1<lg x <1,解得110<x <10.答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分)13.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a =________. 解析:由互为反函数关系知,f (x )过点(-1,2),代入得a -1=2⇒a =12. 答案:1214.方程log 2(x -1)=2-log 2(x +1)的解为________. 解析:log 2(x -1)=2-log 2(x +1)⇔log 2(x -1)=log 24x +1,即x -1=4x +1,解得x =±5(负值舍去),∴x = 5.答案: 515.设函数f 1(x )=x 12,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2007)))=________. 解析:f 1(f 2(f 3(2007)))=f 1(f 2(20072))=f 1((20072)-1)=[(20072)-1]12=2007-1.答案:1200716.设0≤x ≤2,则函数y =4x -12-3·2x +5的最大值是________,最小值是________. 解析:设2x =t (1≤t ≤4),则y =12·4x -3·2x +5=12t 2-3t +5=12(t -3)2+12. 当t =3时,y min =12;当t =1时,y max =12×4+12=52. 答案:52 12三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)已知a =(2+3)-1,b =(2-3)-1,求(a +1)-2+(b +1)-2的值. 解:(a +1)-2+(b +1)-2=(12+3+1)-2+(12-3+1)-2=(3+32+3)-2+(3-32-3)-2=16(7+432+3+7-432-3)=16[(7+43)(2-3)+(7-43)(2+3)]=16×4=23. 18.(12分)已知关于x 的方程4x ·a -(8+2)·2x +42=0有一个根为2,求a 的值和方程其余的根.解:将x =2代入方程中,得42·a -(8+2)·22+42=0,解得a =2. 当a =2时,原方程为 4x ·2-(8+2)2x +42=0,将此方程变形化为2·(2x )2-(8+2)·2x +42=0. 令2x =y ,得2y 2-(8+2)y +42=0. 解得y =4或y =22.当y =4时,即2x =4,解得x =2;当y =22时,2x =22,解得x =-12. 综上,a =2,方程其余的根为-12.19.(12分)已知f (x )=2x -12x +1,证明:f (x )在区间(-∞,+∞)上是增函数.证明:设任意x 1,x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=2x 1-12x 1+1-2x 2-12x 2+1=(2x 1-1)(2x 2+1)-(2x 2-1)(2x 1+1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2x 1-2x 2-(2x 2-2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2(2x 1-2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1).∵x 1<x 2,∴2x 1<2x 2,即2x 1-2x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在区间(-∞,+∞)上是增函数.20.(12分)已知偶函数f (x )在x ∈[0,+∞)上是增函数,且f (12)=0,求不等式f (log a x )>0(a >0,且a ≠1)的解集.解:f (x )是偶函数,且f (x )在[0,+∞)上递增,f (12)=0,∴f (x )在(-∞,0)上递减,f (-12)=0,则有log a x >12,或log a x <-12. (1)当a >1时,log a x >12,或log a x <-12,可得x >a ,或0<x <aa ; (2)当0<a <1时,log a x >12,或log a x <-12,可得0<x <a ,或x >aa . 综上可知,当a >1时,f (log a x )>0的解集为(0,aa )∪(a ,+∞); 当0<a <1时,f (log a x )>0的解集为(0,a )∪(aa ,+∞).21.(12分)已知函数f (x )对一切实数x ,y 都满足f (x +y )=f (y )+(x +2y +1)x ,且f (1)=0, (1)求f (0)的值; (2)求f (x )的解析式;(3)当x ∈[0,12]时,f (x )+3<2x +a 恒成立,求a 的范围.解:(1)令x =1,y =0,则f (1)=f (0)+(1+1)×1,∴f (0)=f (1)-2=-2. (2)令y =0,则f (x )=f (0)+(x +1)x ,∴f (x )=x 2+x -2.(3)由f (x )+3<2x +a ,得a >x 2-x +1.设y =x 2-x +1,则y =x 2-x +1在(-∞,12]上是减函数,所以y =x 2-x +1在[0,12]上的范围为34≤y ≤1,从而可得a >1.22.(12分)设函数f (x )=log a (1-ax ),其中0<a <1. (1)求证:f (x )是(a ,+∞)上的减函数; (2)解不等式f (x )>1.解:(1)证明:设任意x 1,x 2∈(a ,+∞)且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=log a (1-a x 1)-log a (1-ax 2)=log a1-a x11-a x2=log a 1-a x 2+a x 2-a x11-a x2=log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+a x 2-a x 11-a x 2=log a (1+ax 1-ax 2x 1x 2-ax 1)=log a [1+a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )].∵x 1,x 2∈(a ,+∞)且x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,0<a <x 1<x 2,x 2-a >0.∴a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )<0,∴1+a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )<1,又∵0<a <1,∴log a [1+a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )]>0,∴f (x 1)>f (x 2),所以f (x )=log a (1-a x )在(a ,+∞)上为减函数.(2)因为0<a <1,所以f (x )>1⇔log a (1-ax )>log a a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1-ax >0,①1-ax <a .②解不等式①,得x >a 或x <0.解不等式②,得0<x <a 1-a .因为0<a <1,故x <a 1-a ,所以原不等式的解集为{x |a <x <a1-a}.第三章综合练习一、选择题(每小题5分,共60分)1.二次函数f(x)=2x2+bx-3(b∈R)的零点个数是() A.0B.1C.2D.4解析:∵Δ=b2+4×2×3=b2+24>0,∴函数图象与x轴有两个不同的交点,从而函数有2个零点.答案:C2.函数y=1+1x的零点是()A.(-1,0) B.-1 C.1 D.0解析:令1+1x=0,得x=-1,即为函数零点.答案:B3.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是()解析:把y=f(x)的图象向下平移1个单位后,只有C图中图象与x轴无交点.答案:C4.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)·f(1)的值()A.大于0 B.小于0C.无法判断D.等于零解析:由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部. 答案:C5.函数f (x )=e x -1x 的零点所在的区间是( ) A .(0,12) B .(12,1) C .(1,32)D .(32,2)解析:f (12)=e -2<0, f (1)=e -1>0,∵f (12)·f (1)<0,∴f (x )的零点在区间(12,1)内. 答案:B6.方程log 12x =2x -1的实根个数是( ) A .0 B .1 C .2D .无穷多个解析:方程log 12x =2x -1的实根个数只有一个,可以画出f (x )=log 12x 及g (x )=2x -1的图象,两曲线仅一个交点,故应选B.答案:B7.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y =0.1x 2-11x +3000,若每台产品的售价为25万元,则生产者的利润取最大值时,产量x 等于( )A .55台B .120台C .150台D .180台解析:设产量为x 台,利润为S 万元,则S =25x -y =25x -(0.1x 2-11x +3000) =-0.1x 2+36x -3000=-0.1(x -180)2+240,则当x =180时,生产者的利润取得最大值. 答案:D8.已知α是函数f (x )的一个零点,且x 1<α<x 2,则( )A.f(x1)f(x2)>0 B.f(x1)f(x2)<0C.f(x1)f(x2)≥0 D.以上答案都不对解析:定理的逆定理不成立,故f(x1)f(x2)的值不确定.答案:D9.某城市为保护环境,维护水资源,鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每月用水不超过8吨,按每吨2元收取水费,每月超过8吨,超过部分加倍收费,某职工某月缴费20元,则该职工这个月实际用水()A.10吨B.13吨C.11吨D.9吨解析:设该职工该月实际用水为x吨,易知x>8.则水费y=16+2×2(x-8)=4x-16=20,∴x=9.答案:D10.某工厂6年来生产甲种产品的情况是:前3年年产量的增大速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为()答案:A11.函数f(x)=|x2-6x+8|-k只有两个零点,则()A.k=0 B.k>1C.0≤k<1 D.k>1,或k=0解析:令y1=|x2-6x+8|,y2=k,由题意即要求两函数图象有两交点,利用数形结合思想,作出两函数图象可得选D.答案:D12.利用计算器,算出自变量和函数值的对应值如下表:x 0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…y=2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.0638.010.556…y=x20.040.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.769.011.56…那么方程2x=x2的一个根所在区间为()A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)解析:设f(x)=2x-x2,由表格观察出x=1.8时,2x>x2,即f(1.8)>0;在x=2.2时,2x<x2,即f(2.2)<0.综上知f(1.8)·f(2.2)<0,所以方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内.答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是__________.解析:设f(x)=x3-2x-5,则f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有f(2)f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3).答案:(2,3)14.已知函数f(x)=ax2-bx+1的零点为-12,13,则a=__________,b=__________.解析:由韦达定理得-12+13=ba,且-12×13=1a.解得a=-6,b=1.答案:-6 115.以墙为一边,用篱笆围成一长方形的场地,如图1.已知篱笆的总长为定值l,则这块场地面积y与场地一边长x的关系为________.图1解析:由题意知场地的另一边长为l -2x , 则y =x (l -2x ),且l -2x >0,即0<x <l2. 答案:y =x (l -2x )(0<x <l2)16.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤________次才能达到市场要求?(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)解析:设过滤n 次才能达到市场要求,则2%(1-13)n≤0.1% 即(23)n ≤0.12,∴n lg 23≤-1-lg2, ∴n ≥7.39,∴n =8. 答案:8三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x =2,且f (x )的两个零点的平方和为10,求f (x )的解析式.解:设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).由题意知:c =3,-b2a =2.设x 1,x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根,则x 21+x 22=10,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=10,∴(-b a )2-2c a =10,∴16-6a =10,∴a =1.代入-b2a =2中,得b =-4.∴f (x )=x 2-4x +3. 18.(12分)求方程x 2+2x =5(x >0)的近似解(精确度0.1). 解:令f (x )=x 2+2x -5(x >0). ∵f (1)=-2,f (2)=3,∴函数f (x )的正零点在区间(1,2)内.取(1,2)中点x1=1.5,f(1.5)>0.取(1,1.5)中点x2=1.25,f(1.25)<0.取(1.25,1.5)中点x3=1.375,f(1.375)<0.取(1.375,1.5)中点x4=1.4375,f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5).∵|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,∴方程x2+2x=5(x>0)的近似解为x=1.5(或1.4375).19.(12分)要挖一个面积为800 m2的矩形鱼池,并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路,试求鱼池与路的占地总面积的最小值.解:设所建矩形鱼池的长为x m,则宽为800x m,于是鱼池与路的占地面积为y=(x+2)(800x+4)=808+4x+1600x=808+4(x+400x)=808+4[(x-20x)2+40].当x=20x,即x=20时,y取最小值为968 m2.答:鱼池与路的占地最小面积是968 m2.20.(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元),这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是P=x3,Q=103x,该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元,其中投入养殖业为x万元,获得总利润y(万元),写出y关于x的函数关系式及其定义域.解:投入养殖加工生产业为60-x万元.由题意可得,y=P+Q=x3+10360-x,由60-x≥0得x≤60,∴0≤x≤60,即函数的定义域是[0,60].21.(12分)已知某种产品的数量x(百件)与其成本y(千元)之间的函数关系可以近似用y=ax2+bx+c表示,其中a,b,c为待定常数,今有实际统计数据如下表:(1)试确定成本函数y=f(x);(2)已知每件这种产品的销售价为200元,求利润函数p=p(x);(3)据利润函数p=p(x)确定盈亏转折时的产品数量.(即产品数量等于多少时,能扭亏为盈或由盈转亏)解:(1)将表格中相关数据代入y =ax 2+bx +c , 得⎩⎪⎨⎪⎧36a +6b +c =104100a +10b +c =160,400a +20b +c =370解得a =12,b =6,c =50.所以y =f (x )=12x 2+6x +50(x ≥0).(2)p =p (x )=-12x 2+14x -50(x ≥0). (3)令p (x )=0,即-12x 2+14x -50=0, 解得x =14±46,即x 1=4.2,x 2=23.8,故4.2<x <23.8时,p (x )>0;x <4.2或x >23.8时,p (x )<0, 所以当产品数量为420件时,能扭亏为盈; 当产品数量为2380件时由盈变亏.22.(12分)某企业常年生产一种出口产品,根据需求预测:进入21世纪以来,前8年在正常情况下,该产品产量将平衡增长.已知2000年为第一年,头4年年产量f (x )(万件)如表所示:x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44(1)画出2000~2003年该企业年产量的散点图;(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型,并求之.(3)2006年(即x =7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响,年产量应减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2006年的年产量应该约为多少?解:图2(1)散点图如图2:(2)设f (x )=ax +b .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a +b =43a +b =7,解得a =32,b =52, ∴f (x )=32x +52.检验:f (2)=5.5,|5.58-5.5|=0.08<0.1; f (4)=8.5,|8.44-8.5|=0.06<0.1.∴模型f (x )=32x +52能基本反映产量变化. (3)f (7)=32×7+52=13,由题意知,2006年的年产量约为13×70%=9.1(万件),即2006年的年产量应约为9.1万件.必修1综合练习一、选择题(每小题5分,共60分)1.集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4}C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}解析:∵A∩B={1,2},∴(A∩B)∪C={1,2,3,4}.答案:D2.如图1所示,U表示全集,用A,B表示阴影部分正确的是()图1A.A∪B B.(∁U A)∪(∁U B)C.A∩B D.(∁U A)∩(∁U B)解析:由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁U A)∩(∁U B).答案:D3.若f(x)=1-2x,g(1-2x)=1-x2x2(x≠0),则g⎝⎛⎭⎪⎫12的值为()A.1 B.3 C.15 D.30解析:g(1-2x)=1-x2x2,令12=1-2x,则x=14,∴g⎝⎛⎭⎪⎫12=1-116116=15,故选C.答案:C4.设函数f (x )=⎩⎨⎧(x +1)2(x <1),4-x -1(x ≥1),则使得f (-1)+f (m -1)=1成立的m 的值为( )A .10B .0,-2C .0,-2,10D .1,-1,11解析:因为x <1时,f (x )=(x +1)2,所以f (-1)=0.当m -1<1,即m <2时,f (m -1)=m 2=1,m =±1.当m -1≥1,即m ≥2时,f (m -1)=4-m -2=1,所以m =11.答案:D5.若x =6是不等式log a (x 2-2x -15)>log a (x +13)的一个解,则该不等式的解集为( ) A .(-4,7)B .(5,7)C .(-4,-3)∪(5,7)D .(-∞,-4)∪(5,+∞)解析:将x =6代入不等式,得log a 9>log a 19,所以a ∈(0,1).则⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -15>0,x +13>0,x 2-2x -15<x +13.解得x ∈(-4,-3)∪(5,7).答案:C 6.若函数f (x )=12x +1,则该函数在(-∞,+∞)上是( ) A .单调递减无最小值 B .单调递减有最大值 C .单调递增无最大值D .单调递增有最大值解析:2x +1在(-∞,+∞)上递增,且2x +1>0, ∴12x+1在(-∞,+∞)上递减且无最小值. 答案:A7.方程(13)x =|log 3x |的解的个数是( ) A .0B .1C .2D .3解析:图2在平面坐标系中,画出函数y 1=(13)x 和y 2=|log 3x |的图象,如图2所示,可知方程有两个解.答案:C8.下列各式中,正确的是( ) A .(-43)23<(-54)23B .(-45)13<(-56)13C .(12)12>(13)12D .(-32)3>(-43)3解析:函数y =x 23在(-∞,0)上是减函数,而-43<-54,∴(-43)23>(-54)23,故A 错;函数y =x 13在(-∞,+∞)上是增函数,而-45>-56,∴(-45)13>(-56)13,故B 错,同理D 错.答案:C9.生物学指出:生态系统在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级,在H 1→H 2→H 3这个食物链中,若能使H 3获得10 kJ 的能量,则需H 1提供的能量为( )A .105 kJB .104 kJC .103 kJD .102 kJ解析:H 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1102=10,∴H 1=103.答案:C10.如图3(1)所示,阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H ),则该函数的图象是如图3(2)所示的( )图3解析:当h =H2时,对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半,且随着h 的增大,S 随之减小,故排除A ,B ,D.答案:C11.函数f (x )在(-1,1)上是奇函数,且在(-1,1)上是减函数,若f (1-m )+f (-m )<0,则m 的取值范围是( )A .(0,12) B .(-1,1) C .(-1,12)D .(-1,0)∪(1,12)解析:f (1-m )<-f (-m ),∵f (x )在(-1,1)上是奇函数,∴f (1-m )<f (m ),∴1>1-m >m >-1, 解得0<m <12,即m ∈(0,12). 答案:A12.(2009·山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎨⎧ log 2(1-x ),f (x -1)-f (x -2),x ≤0x >0,则f (2009)的值为( )A .-1B .0C .1D .2解析:由题意可得:x >0时,f (x )=f (x -1)-f (x -2),从而f (x -1)=f (x -2)-f (x -3). 两式相加得f (x )=-f (x -3),f (x -6)=f [(x -3)-3]=-f (x -3)=f (x ), ∴f (2009)=f (2003)=f (1997)=…=f (5)=f (-1)=log 22=1.答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.log 2716log 34的值是________.解析:log 2716log 34=23log 34log 34=23.答案:2314.若函数y =kx +5kx 2+4kx +3的定义域为R ,则实数k 的取值范围为__________.解析:kx 2+4kx +3恒不为零.若k =0,符合题意,k ≠0,Δ<0,也符合题意.所以0≤k <34.答案:⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪0≤k <3415.已知全集U ={x |x ∈R },集合A ={x |x ≤1或x ≥3},集合B ={x |k <x <k +1,k ∈R },且(∁U A )∩B =Ø,则实数k 的取值范围是________.解析:∁U A ={x |1<x <3},又(∁U A )∩B =Ø, ∴k +1≤1或k ≥3, ∴k ≤0或k ≥3.答案:(-∞,0]∪[3,+∞)16.麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年,第一年(即1986年)只有麋鹿100头,由于科学的人工培育,这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y =a log 2(x +1)给出,则到2016年时,预测麋鹿的只数约为________.解析:当x =1时,y =a log 22=a =100,∴y =100log 2(x +1), ∵2016-1986+1=31,即2016年为第31年,∴y =100log 2(31+1)=500, ∴2016年麋鹿的只数约为500. 答案:500三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)用定义证明:函数g (x )=kx (k <0,k 为常数)在(-∞,0)上为增函数. 证明:设x 1<x 2<0,则g (x 1)-g (x 2)=k x 1-k x 2=k (x 2-x 1)x 1x 2.∵x 1<x 2<0,∴x 1x 2>0,x 2-x 1>0,又∵k <0,∴g (x 1)-g (x 2)<0,即g (x 1)<g (x 2),∴g (x )=kx (k <0,k 为常数)在(-∞,0)上为增函数.18.(12分)已知集合P ={x |2≤x ≤5},Q ={x |k +1≤x ≤2k -1},当P ∩Q =Ø时,求实数k 的取值范围.解:当Q ≠Ø,且P ∩Q =Ø时,⎩⎪⎨⎪⎧ 2k -1<2,2k -1≥k +1,或⎩⎪⎨⎪⎧k +1>5,2k -1≥k +1.解得k >4;当Q =Ø时,即2k -1<k +1,即k <2时,P ∩Q =Ø.综上可知,当P ∩Q =Ø时,k <2或k >4.19.(12分)已知f (x )为一次函数,且满足4f (1-x )-2f (x -1)=3x +18,求函数f (x )在[-1,1]上的最大值,并比较f (2007)和f (2008)的大小.解:因为函数f (x )为一次函数,所以f (x )在[-1,1]上是单调函数,f (x )在[-1,1]上的最大值为max{f (-1),f (1)}.分别取x =0和x =2,得⎩⎪⎨⎪⎧4f (1)-2f (-1)=18,4f (-1)-2f (1)=24,解得f (1)=10,f (-1)=11,所以函数f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=11.又因为f (1)<f (-1),所以f (x )在R 上是减函数,所以f (2007)>f (2008).20.(12分)已知函数f (x )=ax 2-2ax +2+b (a ≠0),若f (x )在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a ,b 的值;(2)若b <1,g (x )=f (x )-mx 在[2,4]上单调,求m 的取值范围.解:(1)f (x )=a (x -1)2+2+b -a . ①当a >0时,f (x )在[2,3]上单调递增.故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)=2f (3)=5,即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a -4a +2+b =29a -6a +2+b =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =0 ②当a <0时,f (x )在[2,3]上单调递减.故⎩⎪⎨⎪⎧f (2)=5f (3)=2,即⎩⎪⎨⎪⎧4a -4a +2+b =59a -6a +2+b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =3. (2)∵b <1,∴a =1,b =0,即f (x )=x 2-2x +2,g (x )=x 2-2x +2-mx =x 2-(2+m )x +2, 由题意知2+m 2≤2或2+m2≥4,∴m ≤2或m ≥6. 21.(12分)设函数y =f (x ),且lg(lg y )=lg3x +lg(3-x ). (1)求f (x )的解析式和定义域; (2)求f (x )的值域; (3)讨论f (x )的单调性.解:(1)lg(lg y )=lg[3x ·(3-x )],即lg y =3x (3-x ),y =103x (3-x ).又⎩⎪⎨⎪⎧3x >0,3-x >0,所以0<x <3,所以f (x )=103x (3-x )(0<x <3).(2)y =103x (3-x ),设u =3x (3-x )=-3x 2+9x =-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-3x +94+274=-3(x -32)2+274.当x =32∈(0,3)时,u 取得最大值274,所以u ∈(0,274],y ∈(1,10274]. (3)当0<x ≤32时,u =-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+274是增函数,而y =10u 是增函数,所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,32上f (x )是递增的;当32<x <3时,u 是减函数,y =10u 是增函数,所以f (x )是减函数.22.(12分)已知函数f (x )=lg(4-k ·2x )(其中k 为实数), (1)求函数f (x )的定义域;(2)若f(x)在(-∞,2]上有意义,试求实数k的取值范围.解:(1)由题意可知:4-k·2x>0,即解不等式:k·2x<4,①当k≤0时,不等式的解为R,②当k>0时,不等式的解为x<log24k,所以当k≤0时,f(x)的定义域为R;当k>0时,f(x)的定义域为(-∞,log24k).(2)由题意可知:对任意x∈(-∞,2],不等式4-k·2x>0恒成立.得k<42x,设u=42x,又x∈(-∞,2],u=42x的最小值1.所以符合题意的实数k的范围是(-∞,1).。

必修一数学练习题及答案

必修一数学练习题及答案

必修一数学练习题及答案一、选择题1. 已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B的元素个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间(-∞,-1)上是()A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数3. 若sinθ+cosθ=a,则sin^2θ+cos^2θ的值为()A. a^2B. 1C. 2D. 04. 已知等差数列的前三项为2, 5, 8,求该数列的第10项。

A. 23B. 21C. 20D. 195. 已知点A(1,2)和点B(4,6),求线段AB的中点坐标。

A. (2,4)B. (3,5)C. (4,8)D. (5,7)二、填空题1. 已知圆的方程为(x-3)^2+(y+1)^2=25,求该圆的半径。

2. 函数y=x^3-2x^2+3x-1在x=1处的导数为______。

3. 若等比数列的前三项为3, 9, 27,求该数列的公比。

4. 已知直线l1: y=2x+1和直线l2: y=-4x-7,求两直线的交点坐标。

5. 已知正弦函数y=sin(2x-π/3)的周期为π,求其振幅。

三、解答题1. 解不等式:|x+2|-|x-3|<4。

2. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求其在区间[1,3]上的最大值和最小值。

3. 求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(其中a>b>0)的焦点坐标。

4. 已知某函数的导数为f'(x)=6x^5-15x^4+6x^3,求原函数f(x)。

5. 证明:对于任意实数x,等式e^x > 1+x恒成立。

答案:一、选择题1. B2. A3. B4. A5. B二、填空题1. 半径为5。

2. 导数为-3。

3. 公比为3。

4. 交点坐标为(-1,-5)。

5. 振幅为1。

三、解答题1. 解不等式:首先考虑绝对值,将不等式分为两部分,当x<-2时,不等式变为-x-2+x-3<4,解得x>-5,所以x属于(-5,-2);当-2≤x<3时,不等式变为x+2+x-3<4,解得x<2.5,所以x属于[-2,3);当x≥3时,不等式变为x+2-x+3<4,无解。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.1.1集合的概念与表示

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析  1.1.1集合的概念与表示

1.1.1集合的概念与表示一、单选题1.设集合{}1,2M =,则下列集合中与集合M 相等的是()A .{}1B .{}2C .{}2,1D .{}1,2,32.若1{0,}a ∈,则实数a =()A .1-B .0C .1D .0或13.已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为()A .9B .10C .12D .134.给出下列关系,其中正确的个数为()①0N ∈Q ⊄;③{}0=∅;④(),R =-∞+∞A .1B .0C .2D .35.下列集合中,结果是空集的是()A .{x ∈R |x 2-1=0}B .{x |x >6或x <1}C .{(x ,y )|x 2+y 2=0}D .{x |x >6且x <1}6.定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈,设{1,2}A =,{1,2,3}B =,则集合A B *的所有元素之和为()A .16B .18C .14D .87.下面说法中正确的是().A .集合N +中最小的数是0B .若N a +-∉,则N a +∈C .若N a +∈,N b +∈,则a b +的最小值是2D .244x x +=的解集组成的集合是{}2x =.8.下列四组对象能构成集合的是()A .某班所有高个子学生B .某校足球队的同学C .一切很大的书D .著名的艺术家9.不等式2332x x +>+的解集表示正确的是()A . x 1>B . x 1<C .{}1x x >D .{}|1x x <A .1B .-1C .1或-1D .1或12二、填空题11.6,5A xx x *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z ∣,则A =________.12.关于x 的不等式3ax >,当0a <时的解集为_________________________.13.已知集合M ={﹣2,3x 2+3x ﹣4,x 2+x ﹣4},若2∈M ,则满足条件的实数x 组成的集合为_________.14.定义{(,,),,}A B C x y z x A y B z C ⨯⨯=∈∈∈∣.已知{1,2}A =,{3,4}B =,{5}C =,用列举法表示A B C ⨯⨯=________.三、解答题15.若a ,b R ∈,集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭.求:(1)+a b ;(2)20222019a b +.16.已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=,其中a 为常数,且a R ∈.①若A 是空集,求a 的范围;②若A 中只有一个元素,求a 的值;③若A 中至多只有一个元素,求a 的范围.参考答案1.C 【分析】根据集合相等的定义判断选项.【详解】两个集合的元素相同,两个集合相等,集合{}1,2M =中有2个元素,分别是1和2,所以与集合M 相等的集合是{}2,1.故选:C 2.C 【分析】根据集合的确定性,互异性,即可求得答案.【详解】因为1{0,}a ∈,根据集合性质可得:1a =.故选:C 3.D 【分析】利用列举法列举出集合A 中所有的元素,即可得解.【详解】由题意可知,集合A 中的元素有:()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0,共13个.故选:D.4.C 【分析】根据元素与集合的关系,逐一分析①②③④,即可得答案.【详解】对于①:0为自然数,所以0N ∈,故①正确;Q ,故②错误;对于③:{}0含有元素0,不是空集,故③错误;对于④:R 为实数集,所以④正确;故选:C 5.D 【分析】分析是否有元素在各选项的集合中,再作出判断.【详解】A 选项:21{|10}x R x ±∈∈-=,不是空集;B 选项:7∃∈{x |x >6或x <1},不是空集;C 选项:(0,0)∈{(x ,y )|x 2+y 2=0},不是空集;D 选项:不存在既大于6又小于1的数,即:{x |x >6且x <1}=∅.故选:D 6.A 【分析】由题设,列举法写出集合A B *,根据所得集合,加总所有元素即可.【详解】由题设知:{1,2,3,4,6}A B *=,∴所有元素之和1234616++++=.故选:A.7.C 【分析】根据正整数集的含义即可判断A ,B ,C 的正误,根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.【详解】A 选项,N +是正整数集,最小的正整数是1,A 错,B 选项,当0a =时,N a +-∉,且N a +∉,B 错,C 选项,若N a +∈,则a 的最小值是1,若N b +∈,则b 的最小值也是1,当a 和b 都取最小值时,a b +取最小值2,C 对,D 选项,由244x x +=的解集是{}2,D 错.故选:C .8.B【分析】根据集合的定义,逐项判定,即可求解.【详解】根据集合的定义,可得:对于A 中,某班所有高个子学生,其中元素不确定,不能构成集合;对于B 中,某校足球队的同学,满足集合的定义,能构成集合;对于C 中,一切很大的书,其中元素不确定,不能构成集合;对于D 中,著名的艺术家,其中元素不确定,不能构成集合.故选:B.9.D 【分析】解不等式2332x x +>+得1x <,进而根据描述法表示集合即可.【详解】解不等式2332x x +>+得1x <,故解集可表示为:{} |1x x <.故选:D 10.D 【分析】根据属于的定义,结合代入法和集合元互异性进行求解即可.【详解】因为1A ∈,所以21a =或21a =,当21a =时,解得1a =或1a =-,当1a =时,此时集合{}1,2,2A =-,符合集合元互异性,当1a =-时,22a =-,不符合集合元互异性,当2=1a 时,12a =,此时1,2,14A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,符合集合元互异性,所以a 等于1或12,故选:D 11.{1,2,3,4}-【分析】由题意可知5x -为6的正约数,根据x ∈Z 即可求解.【详解】6,5A x x x *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z ∣,可知5x -为6的正约数,又x ∈Z ,可得1,2,3,4x =-,所以A ={1,2,3,4}-.故答案为:{1,2,3,4}-12.3x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【分析】当0a <时,解不等式3ax >即可得解.【详解】当0a <时,解不等式3ax >,解得3x a <,即原不等式的解集为3x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.故答案为:3x x a ⎧⎫<⎨⎩⎭.13.{﹣3,2}【分析】由2∈M ,可得22334242x x x x ⎧+-=⎨+-≠⎩,或22334242x x x x ⎧+-≠⎨+-=⎩,求出x 的值,然后利用集中元素的互异性验证即可【详解】解:∵2∈M ;∴22334242x x x x ⎧+-=⎨+-≠⎩,或22334242x x x x ⎧+-≠⎨+-=⎩,解得:x =1,﹣2,或2,﹣3;x =﹣2,1时不满足集合的互异性;∴实数x 组成的集合为{﹣3,2}.故答案为:{﹣3,2}.14.{(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)}.【分析】根据定义,运用列举法可得答案.【详解】因为{1,2}A =,{3,4}B =,{5}C =,所以A B C ⨯⨯={(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)},故答案为:{(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)}.15.(1)0;(2)2;【分析】(1)根据{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭可得出0a b +=,(2)由(1)得=-a b ,即1ba=-,根据元素的互异性可得1a =-,1b =,代入20222019a b +计算即可.【详解】(1)根据元素的互异性,得0a b +=或0a =,若0a =,则ba无意义,故0a b +=;(2)由(1)得=-a b ,即1ba =-,据元素的互异性可得:1b a a ==-,1b =,∴()2022202220192019112a b +=-+=.【点睛】本题考查集合中元素的互异性,属于基础题.16.①98a >;②0a =或98a =;③0a =或98a ≥.【分析】①只需方程2320ax x -+=无解即可;②当0a =成立,当0a ≠时,只需0∆=;③由题意可知0a =时成立,当0a ≠时,只需0∆≤即可.【详解】①若A 是空集,则方程2320ax x -+=无解,此时980a ∆=-<,即98a >,②若A 中只有一个元素,则方程2320ax x -+=有且只有一个实根,当0a =时方程为一元一次方程,满足条件当0a ≠,此时980a ∆=-=,解得:98a =.∴0a =或98a =;③若A 中至多只有一个元素,则A 为空集,或有且只有一个元素由①②得满足条件的a 的取值范围是:0a =或98a ≥.【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求参,考查方程根的个数问题,较简单.。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 3.3.1指数函数的概念

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析  3.3.1指数函数的概念

3.3.1指数函数的概念一、单选题1.函数()(0,1)xf x a a a =>≠,且()12f =,则()()02f f +=()A .4B .5C .6D .82.已知()3x bf x -=(b 为常数)的图象经过点()2,1,则()4f 的值为()A .3B .6C .9D .83.设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,1()3x f x a +=-(a 为常数)则(1)f -的值为()A .6-B .3-C .2-D .64.已知函数()2xf x =,则()()1f f =()A .12B .1C .2D .45.函数y =+的定义域为()A .[]1,2B .[)1,+∞C .(],2-∞D .R 6.下列是指数函数的是()A .(4)xy =-B .12x y +=C .xy a =D .3xy =7.函数2(33)x y a a a =--是指数函数,则有()A .1a =-或4a =B .4a =C .1a =-D .0a >或1a ≠8.已知函数f (x )=2,0,2,0x x a x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R ),若((1))1f f -=,则a =()A .14B .12C .1D .29.函数()17x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ,则定点P 的坐标为()A .()1,7B .()1,8C .()0,1D .()0,710.函数()(0,1)x f x a a a =>≠对于任意的实数x 、y 都有()A .()()()f xy f x f y =B .()()()f x y f x f y +=C .()()()f xy f x f y =+D .()()()f x y f x f y +=+二、填空题11.已知函数()xf x a =(0a >且1a ≠),()12f =,则函数()f x 的解析式是__________.12.函数(23)x y a =-是指数函数,则a 的取值范围是________.13.设函数()2161,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩,则1()(2)f f =_____.14.设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()3xf x a =+(a 为常数),当0x <时,()f x =__________.三、解答题15.已知指数函数()x f x a =(0a >,且1a ≠),且(3)f π=,求(0),(1),(3)f f f -的值.16.设函数1()2x x a f x +=,x ∈R ,0a >.(1)若9(1)(1)2f f +-=,求a ;(2)是否存在正实数0a >,使得1()2x x a f x +=是偶函数.参考答案1.B 【分析】运用代入法进行求解即可.【详解】由()122()2xf a f x =⇒=⇒=,所以()()0202225f f +=+=,故选:B 2.C 【分析】将点()2,1代入解析式,求出b ,进而得出()4f 的值.【详解】()202313b f -===,即2b =()42439f -==故选:C 3.A 【分析】由奇函数的性质(0)0f =求参数a ,再由(1)(1)f f -=-,即可求值.【详解】由题意知:(0)0f =,即30a -=,则3a =,∴0x ≥时,1()33x f x +=-,由奇函数对称性知:2(1)(1)(33)6f f -=-=--=-.故选:A 4.D 【分析】先计算()1f ,再计算()()1f f 的值.【详解】()2x f x = ,()12f ∴=,()()()21224f f f ∴===.故选:D 5.A 【分析】利用平方根式有意义的条件列出不等式组,求解得到函数的定义域.【详解】要使函数有意义,必须且只需1020x x -≥⎧⎨-≥⎩,解得12x ≤≤,故选:A.6.D 【分析】根据指数函数的定义即可判断四个函数是否为指数函数,进而可得正确选项.【详解】对于选项A :(4)x y =-,因为40-<不满足底数0a >且1a ≠,故(4)x y =-不是指数函数,故选项A 不正确;对于选项B :1222x x y +==⋅不满足指数函数前系数等于1,故12x y +=不是指数函数,故选项B 不正确;对于选项C :x y a =没有指出a 的范围,当0a >且1a ≠时才是指数函数,故选项C 不正确;对于选项D :3x y =是指数函数,故选项D 正确,故选:D 7.B 【分析】根据指数函数的概念,得到233101a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩,求解,即可得出结果.【详解】因为函数2(33)x y a a a =--是指数函数,所以233101a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩,解得4a =.故选:B.【点睛】本题主要考查由指数函数的概念求参数,属于基础题型.8.A 【分析】先求出(1)f -的值,再求((1))f f -的值,然后列方程可求得答案【详解】解:由题意得(1)(1)22f ---==,所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==,解得a =14.故选:A 【点睛】此题考查分段函数求值问题,属于基础题9.B 【分析】利用01a =可求得函数()y f x =的图象所过的定点P 的坐标.【详解】01a = (0a >且1a ≠),()11178f a -=+=,故函数()y f x =的图象恒过点()1,8P .故选:B.【点睛】本题考查指数型函数过定点的问题,考查计算能力,属于基础题.10.B 【分析】由指数的运算性质得到x y x y a a a +=⋅,逐一核对四个选项即可得到结论.【详解】解:由函数()(0,1)x f x a a a =>≠,得()()()x y x y f x y a a a f x f y ++==⋅=⋅,所以函数()(0,1)x f x a a a =>≠对于任意的实数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=.故选:B.【点睛】本题考查了指数的运算性质,是基础题.11.()()2xf x x R =∈【分析】由()12f =可求得a 的值,即可得出函数()f x 的解析式.【详解】由已知可得()12f a ==,因此,()2xf x =.故答案为:()()2xf x x R =∈.12.3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据指数函数的定义,解不等式即可.【详解】因为(23)x y a =-是指数函数,所以230231a a ->⎧⎨-≠⎩,解得:322a <<或2a <<+∞即a 的取值范围是3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为:3,2(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】根据函数的类型求参数的值通常有两种:(1)幂函数需要保证x 前面的系数为1;(2)指数函数不但要保证x 前面的系数为1,还有底数大于0,底数不等于1.13.1【分析】根据分段函数每一段的定义域求解.【详解】因为函数()2161,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩,所以()222224f =+-=,所以()1124f =,所以()1411161124f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为:114.13x --【分析】()f x 为定义在R 上的奇函数,且0x ≥时,()3x f x a =+,()00f =,求得a ,再设0x <则0x ->,代入()31xf x =-求解.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数,且0x ≥时,()3xf x a =+,所以()0030f a =+=,解得1a =-,设0x <,则0x ->,所以()31xf x --=-,所以()()13xf x f x -=--=-,故答案为:13x--15.1(0)1,(1)(3)f f f π==-=【分析】由(3)f π=求出a ,可确定()f x 的解析式,从而计算函数值.【详解】因为()x f x a =,且(3)f π=,则3a π=,解得13a π=,于是()3xf x π=.所以,10131(0)1,(1)(3)f f f ππππ-====-==.【点睛】本题考查指数函数的解析式.属于基础题.16.(1)2a =;(2)存在.【分析】(1)由函数解析式求(1)f 、(1)f -,结合已知可得2(2)0a -=,即可求a ;(2)假设存在正实数0a >使1()2x x a f x +=是偶函数,即1122x x x x a a --++=,整理求出a ,判断所得参数是否符合题意即可.【详解】(1)由题意,1(1)2a f +=,2(1)2f a -=+,由9(1)(1)2f f +-=,即129222a a +++=,整理可得2(2)0a -=,即2a =;(2)假设存在正实数0a >,使得1()2x x a f x +=是偶函数,即()()f x f x -=,则1122x x x x a a --++=,∴(4)(1)0x x x a a -+=,必有4a =,故存在正实数4a =,使得1()2x x a f x +=是偶函数.。

必修一数学考试题及答案

必修一数学考试题及答案

必修一数学考试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数y=f(x)=x^2-4x+4的零点个数为()。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C2. 若函数f(x)=x^3-3x+1,则f'(x)=()。

A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案:A3. 已知函数f(x)=x^2-2x+1,则f(x-1)=()。

A. x^2-4x+4B. x^2-4x+3C. x^2-2x+2D. x^2-2x+1答案:A4. 函数y=x^3+1的导数为()。

A. 3x^2B. 3x^2+1C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案:A5. 函数y=2x+1的反函数为()。

A. y=1/2x+1B. y=1/2x-1C. y=2x+1D. y=2x-1答案:B6. 已知函数f(x)=x^2-4x+3,则f(1)=()。

A. 0B. -1C. 2D. 4答案:B7. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标为()。

A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)答案:A8. 函数y=2x-3与x轴的交点为()。

A. (3/2, 0)B. (-3/2, 0)C. (3, 0)D. (-3, 0)答案:B9. 函数y=x^2-4x+4的最小值为()。

A. 0B. 4C. 8D. 16答案:A10. 函数y=x^3-3x的单调递增区间为()。

A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, -1)∪(1, +∞)D. (-1, +∞)答案:C二、填空题(每题4分,共20分)11. 函数y=x^2-2x+1的对称轴为直线x=______。

答案:112. 函数y=x^3-3x的极值点为x=______。

答案:-1,113. 函数y=x^2-4x+3的零点为x=______。

答案:1,314. 函数y=x^2-6x+8与y轴的交点为(0,______)。

高中数学必修一练习题及答案详解

高中数学必修一练习题及答案详解

一、选择题1.函数 f ( x ) =x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( )A . ab=0B . a+b=0C . a=bD . a 2+b 2 =01 x 1(x 0)12.设函数 f (x)2若f ( f (a))则实数 a ( )1,( x 0)2xA.4B.-2C.4或1 D.4或 -223.已知集合 A { y | yln( x 2 1), x R} ,则 C R A()A.B.(,0]C.( ,0)D.[0, )4.已知集合 M{ x |x1 1} ,集合 N { x | 2x 3 0} ,则 (C R M )N ( )x 1A . (3,1) B . (3,1] C .[3,1) D . [3,1]22225.设 a log 2.8 3.1,b log e, c log e ,则()A . a c bB . c a bC . b a cD . b c a6.函数 f ( x)1 x log2 x 的零点所在区间是()A .(1,1)B. (1 ,1)C. (1,2) D. (2,3)4 22A( 1 , 1) ,则它在 A 点处的切线方程为7.若幂函数f (x) 的图象经过点4 2( A ) 4 x 4y 1 0( B ) 4x 4 y 1 0( C ) 2x y 0( D ) 2x y 08. y= ( 1) x - 3x 在区间 [-1,1] 上的最大值等于()51416A.3B.C.5D.339.已知幂函数 f ( x)x m 的图象经过点( 4, 2),则 f (16)( )A. 22B.4C.4 2D.810.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x0时 f( x)2x 2x ,则 f (1) = ()A.—3B. — 1C.1D.311.已知125 ()log 2 5 a,log 2 7b, 则 log 2 7A . a3b B . 3a b C . a 3D .3abb12.设集合 M22 x3 0,Nx 2 x2 ,则 MC R N 等于(x x)A .1,1B. ( 1,0) C . 1,3 D. (0,1)13.若 x log 3 4 1 ,则 4x 4 x()A. 1B. 2C. 8D.1033二、填空题14.若 f (x)3x sinx ,则满足不等式 f (2m1)f (3 m)0 的m的取值范围为.115. lg 4 lg 254 2 (4.16.已知函数 f ( x) ( 1) x , x 4log 2 3) 的值为2,则 f (2f ( x 1), x 417.函数 f ( x) sin( x) 的图象为 C , 有如下结论 : ①图象 C5 3 关于直线 x对称 ;②图象C 关于点 (4, 56,0) 对称 ; ③函数 f ( x) 在区间 [ ] 内是增函数。

数学必修1测试题及答案

数学必修1测试题及答案

数学必修1测试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个选项是实数集的子集?A. 整数集B. 有理数集C. 无理数集D. 复数集答案:B2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是?A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)答案:A3. 已知集合A = {1, 2, 3},集合B = {2, 3, 4},则A∩B等于?A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}答案:B4. 计算(2x - 3)(x + 1)的结果,其中x = 2。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案:B5. 已知a = 3,b = 4,c = 5,下列哪个等式是正确的?A. a² + b² = c²B. a² + b² > c²C. a² + b² < c²D. a² + b² = 2bc答案:C6. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上是:A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案:D7. 计算极限lim(x→0) (sinx/x)的值。

A. 0B. 1C. πD. ∞答案:B8. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1,公差d = 2,则第5项a5的值是?A. 9B. 11C. 13D. 15答案:A9. 计算定积分∫(0 to 1) x² dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案:B10. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2,求其导数f'(x)。

A. 3x² - 3B. x² - 3C. 3x - 3D. x³ - 3答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 计算(3x + 2)(2x - 1) = ________。

答案:6x² - x - 22. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4,求其对称轴方程。

数学必修一题库及答案

数学必修一题库及答案

数学必修一题库及答案一、选择题1. 已知集合A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},求A∪B。

A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案:B2. 若函数f(x)=2x+3,求f(-1)。

A. -2B. 1C. -1D. 0答案:A3. 已知等差数列的前三项分别为2,5,8,求第5项。

A. 11B. 12C. 13D. 14答案:C4. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标是:A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)答案:A5. 已知正弦函数y=sin(x)在x=π/6处的值为:A. 1/2B. √3/2C. 1D. 0答案:A二、填空题6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的导数是________。

答案:f'(x)=3x^2-6x+27. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5,求其面积。

答案:68. 将圆x^2+y^2=9沿着x轴正方向平移3个单位,新的圆的方程是________。

答案:(x-3)^2+y^2=99. 已知等比数列的首项为2,公比为3,求第5项。

答案:48610. 函数y=2^x的反函数是________。

答案:y=log2(x)三、解答题11. 已知函数f(x)=x^2-4x+7,求其在区间[0, 5]上的最大值和最小值。

答案:最大值为f(0)=7,最小值为f(2)=1。

12. 解不等式:|x-3| < 2。

答案:-2 < x < 513. 证明:对于任意实数x,有e^x > 1+x。

答案:略14. 已知点A(-1, 3),B(2, -1),求直线AB的方程。

答案:y=-2x+115. 求圆心在原点,半径为5的圆的方程。

答案:x^2+y^2=25四、证明题16. 证明:对于任意正整数n,有1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

必修一数学测试题及答案

必修一数学测试题及答案

必修一数学测试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列函数中,哪一个是一次函数?A. y = 3x^2B. y = 2x + 1C. y = x^3D. y = 1/x答案:B2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c,当a > 0时,抛物线开口向上。

那么当a < 0时,抛物线开口的方向是:A. 向上B. 向下C. 不确定D. 无开口答案:B3. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是:A. (-3, 0)B. (0, 3)C. (3, 0)D. (1, 0)答案:A4. 圆心在原点,半径为1的圆的方程是:A. (x-1)^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 1C. x^2 + y^2 = 0D. (x+1)^2 + y^2 = 1答案:B5. 已知集合A = {1, 2, 3},集合B = {2, 3, 4},则A∩B(A与B 的交集)是:A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}答案:B6. 函数f(x) = |x|在x = 0处的导数是:A. 1B. -1C. 0D. 无法确定答案:C7. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8,则该数列的通项公式是:A. an = 3n - 1B. an = 3n - 2C. an = 3n + 1D. an = 3n答案:A8. 以下哪个是三角函数的周期:A. πB. 2πC. π/2D. π/4答案:B9. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的根是:A. 2, 3B. -2, -3C. 1, 4D. 2, -3答案:A10. 以下哪个是复数的共轭:A. z = a + biB. z = a - biC. z = a + bD. z = a - b答案:B二、填空题(每题4分,共20分)1. 函数y = f(x) = x^2 + 3x + 2的顶点坐标是(______,______)。

高一数学必修1习题及答案5篇

高一数学必修1习题及答案5篇

高一数学必修1习题及答案5篇高一数学必修1习题及答案1一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若集合,则m∩p= ( )a. b. c. d.2.下列函数与有相同图象的一个函数是( )a. b. c. d.3. 设a={x|0≤x≤2},b={y|1≤y≤2},在下列各图中,能表示从集合a到集合b的映射的是( )4设,,,则,,的大小关系为( ). . . . .5.定义为与中值的较小者,则函数的值是( )6.若,则的表达式为( )a. b. c. d.7.函数的反函数是( )a. b.c. d.8若则的值为( )a.8b.c.2d.9若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )a.若,不存在实数使得;b.若,存在且只存在一个实数使得;c.若,有可能存在实数使得;d.若,有可能不存在实数使得;10.求函数零点的个数为( ) a. b. c. d.11.已知定义域为r的函数f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数t,都有f(5+t)=f(5-t),那么下列式子一定成立的是( )a.f(-1)f(9)f(13) p=""b.f(13)f(9)f(-1)c.f(9)f(-1)f(13) p=""d.f(13)f(-1)f(9)12.某学生离家去学校,由于怕迟到,一开始就跑步,等跑累了再步行走完余下的路程,若以纵轴表示离家的距离,横轴表示离家后的时间,则下列四个图形中,符合该学生走法的是( )二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案直接填在题中横线上.13、,则的取值范围是14.已知实数满足等式,下列五个关系式:(1) ,(2) ,(3) ,(4) ,(5)其中可能成立的关系式有.15.如果在函数的图象上任取不同的两点、,线段(端点除外)总在图象的下方,那么函数的图象给我们向上凸起的印象,我们称函数为上凸函数;反之,如果在函数的图象上任取不同的两点、,线段(端点除外)总在图象的上方,那么我们称函数为下凸函数.例如:就是一个上凸函数.请写出两个不同类型的下凸函数的解析式:16.某批发商批发某种商品的单价p(单位:元/千克)与一次性批发数量q(单位:千克)之间函数的图像如图2,一零售商仅有现金2700元,他最多可购买这种商品千克(不考虑运输费等其他费用).三、解答题:.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知全集u=r,集合,,求,,。

人教a版数学必修1测试题答案及解析

人教a版数学必修1测试题答案及解析

人教a版数学必修1测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-4x+c的图象与x轴有两个交点,则c的取值范围是()A. c>4B. c<4C. c≥4D. c≤4答案:B解析:函数f(x)=x^2-4x+c的判别式为Δ=16-4c,因为图象与x轴有两个交点,所以Δ>0,即16-4c>0,解得c<4。

2. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0},B={x|x^2-3x+2=0},则A∩B=()A. {1,2}B. {2}C. {1}D. ∅答案:B解析:集合A={x|x^2-5x+6=0}={2,3},集合B={x|x^2-3x+2=0}={1,2},所以A∩B={2}。

二、填空题1. 已知函数y=x^2-6x+c的顶点坐标为(3,-2),则c的值为()。

答案:5解析:函数y=x^2-6x+c的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)),其中a=1,b=-6,代入得顶点坐标为(3,-2),所以c=-2+9=5。

2. 若直线y=2x+3与直线y=-x+m相交,则m的值为()。

答案:5解析:联立方程组y=2x+3和y=-x+m,解得x=(3-m)/3,y=(2m+3)/3。

因为两直线相交,所以x和y的值必须相等,即(3-m)/3=(2m+3)/3,解得m=5。

三、解答题1. 已知函数f(x)=x^3-3x+1,求f'(x)。

答案:f'(x)=3x^2-3解析:根据导数的定义,f'(x)=lim(h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]。

将f(x)=x^3-3x+1代入,得到f'(x)=lim(h->0) [((x+h)^3-3(x+h)+1-(x^3-3x+1))/h],化简得f'(x)=3x^2-3。

2. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1=1,a2=4,a3=7,求数列的通项公式。

答案:an=3n-2解析:已知等差数列{an}的前三项分别为a1=1,a2=4,a3=7,可以得出公差d=a2-a1=4-1=3。

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第一章综合练习一、选择题(每小题5分,共60分)1.集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()A.3 B.6C.7 D.8解析:含一个元素的有{1},{2},{3},共3个;含两个元素的有{1,2},{1,3},{2,3},共3个;空集是任何非空集合的真子集,故有7个.答案:C2.下列五个写法,其中错误..写法的个数为()①{0}∈{0,2,3};②Ø{0};③{0,1,2}⊆{1,2,0};④0∈Ø;⑤0∩Ø=ØA.1 B.2C.3 D.4解析:②③正确.答案:C3.使根式x-1与x-2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F,则使根式x-1+x-2有意义的x的允许值集合可表示为()A.M∪F B.M∩F C.∁M F D.∁F M解析:根式x-1+x-2有意义,必须x-1与x-2同时有意义才可.答案:B4.已知M={x|y=x2-2},N={y|y=x2-2},则M∩N等于()A.N B.M C.R D.Ø解析:M={x|y=x2-2}=R,N={y|y=x2-2}={y|y≥-2},故M∩N=N.答案:A5.函数y=x2+2x+3(x≥0)的值域为()A.R B.[0,+∞) C.[2,+∞) D.[3,+∞)解析:y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴函数在区间[0,+∞)上为增函数,故y≥(0+1)2+2=3.答案:D6.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰的长x的函数,则y等于()A.20-2x(0<x≤10) B.20-2x(0<x<10)C.20-2x(5≤x≤10) D.20-2x(5<x<10)解析:C=20=y+2x,由三角形两边之和大于第三边可知2x>y=20-2x,x>5.答案:D7.用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水,则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的()甲乙图1解析:水面升高的速度由慢逐渐加快.答案:B8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()①y=f(|x|) ②y=f(-x) ③y=xf(x) ④y=f(x)+xA.①③B.②③C.①④D.②④解析:因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).①y=f(|x|)为偶函数;②y =f(-x)为奇函数;③令F(x)=xf(x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)·[-f(x)]=xf(x).所以F(-x)=F(x).所以y=xf(x)为偶函数;④令F(x)=f(x)+x,所以F(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-[f (x )+x ].所以F (-x )=-F (x ).所以y =f (x )+x 为奇函数.答案:D9.已知0≤x ≤32,则函数f (x )=x 2+x +1( ) A .有最小值-34,无最大值B .有最小值34,最大值1C .有最小值1,最大值194D .无最小值和最大值解析:f (x )=x 2+x +1=(x +12)2+34,画出该函数的图象知,f (x )在区间[0,32]上是增函数,所以f (x )min =f (0)=1,f (x )max =f (32)=194.答案:C10.已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],函数y =f (x )的图象如图2甲所示,则函数f (|x |)的图象是图2乙中的( )甲乙图2解析:因为y =f (|x |)是偶函数,所以y =f (|x |)的图象是由y =f (x )把x ≥0的图象保留,再关于y 轴对称得到的.答案:B11.若偶函数f (x )在区间(-∞,-1]上是增函数,则( ) A .f (-32)<f (-1)<f (2)B .f (-1)<f (-32)<f (2)C .f (2)<f (-1)<f (-32)D .f (2)<f (-32)<f (-1)解析:由f (x )是偶函数,得f (2)=f (-2),又f (x )在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2<-32<-1,则f (2)<f (-32)<f (-1).答案:D12.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有xf (x +1)=(1+x )f (x ),则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)的值是( )A .0 B.12 C .1 D.52解析:令x =-12,则-12f (12)=12f (-12),又∵f (12)=f (-12),∴f (12)=0;令x =12,12f (32)=32f (12),得f (32)=0;令x =32,32f (52)=52f (32),得f (52)=0;而0·f (1)=f (0)=0,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)=f (0)=0,故选A.答案:A第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分)13.设全集U ={a ,b ,c ,d ,e },A ={a ,c ,d },B ={b ,d ,e },则∁U A ∩∁U B =________. 解析:∁U A ∩∁U B =∁U (A ∪B ),而A ∪B ={a ,b ,c ,d ,e }=U . 答案:Ø14.设全集U =R ,A ={x |x ≥1},B ={x |-1≤x <2},则∁U (A ∩B )=________. 解析:A ∩B ={x |1≤x <2},∴∁R (A ∩B )={x |x <1或x ≥2}. 答案:{x |x <1或x ≥2}15.已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,3]上为减函数,求实数a 的取值范围为________.解析:函数f (x )的对称轴为x =1-a ,则由题知:1-a ≥3即a ≤-2. 答案:a ≤-216.若f (x )=(m -1)x 2+6mx +2是偶函数,则f (0)、f (1)、f (-2)从小到大的顺序是__________.解析:∵f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,∴m=0.∴f(x)=-x2+2.∴f(0)=2,f(1)=1,f(-2)=-2,∴f(-2)<f(1)<f(0).答案:f(-2)<f(1)<f(0)三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)设A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1},(1)当x∈N*时,求A的子集的个数;(2)当x∈R且A∩B=Ø时,求m的取值范围.解:(1)∵x∈N*且A={x|-2≤x≤5},∴A={1,2,3,4,5}.故A的子集个数为25=32个.(2)∵A∩B=Ø,∴m-1>2m+1或2m+1<-2或m-1>5,∴m<-2或m>6.18.(12分)已知集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠Ø且B⊆A,求a,b的值.解:(1)当B=A={-1,1}时,易得a=0,b=-1;(2)当B含有一个元素时,由Δ=0得a2=b,当B={1}时,由1-2a+b=0,得a=1,b=1当B={-1}时,由1+2a+b=0,得a=-1,b=1.19.(12分)已知函数f(x)=xax+b(a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一实数解,求函数f(x)的解析式和f[f(-4)]的值.解:∵f(x)=xax+b且f(2)=1,∴2=2a+b.又∵方程f(x)=x有唯一实数解.∴ax 2+(b -1)x =0(a ≠0)有唯一实数解.故(b -1)2-4a ×0=0,即b =1,又上式2a +b =2,可得:a =12,从而f (x )=x 12x +1=2xx +2,∴f (-4)=2×(-4)-4+2=4,f (4)=86=43,即f [f (-4)]=43.20.(12分)已知函数f (x )=4x 2-4ax +(a 2-2a +2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a 的值.解:f (x )=4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 22+2-2a .(1)当a2<0即a <0时,f (x )min =f (0)=a 2-2a +2=3,解得:a =1- 2. (2)0≤a 2≤2即0≤a ≤4时,f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2=2-2a =3,解得:a =-12(舍去). (3)a2>2即a >4时,f (x )min =f (2)=a 2-10a +18=3,解得:a =5+10, 综上可知:a 的值为1-2或5+10.21.(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时,其他主要参考数据如下:问:如何根据运输距离的远近选择运输工具,使运输过程中的费用与损耗之和最小? 解:设甲、乙两地距离为x 千米(x >0),选用汽车、火车运输时的总支出分别为y 1和y 2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表:于是y 1=8x +1000+(x50+2)×300=14x +1600, y 2=4x +1800+(x100+4)×300=7x +3000. 令y 1-y 2<0得x <200.①当0<x <200时,y 1<y 2,此时应选用汽车; ②当x =200时,y 1=y 2,此时选用汽车或火车均可; ③当x >200时,y 1>y 2,此时应选用火车.故当距离小于200千米时,选用汽车较好;当距离等于200千米时,选用汽车或火车均可;当距离大于200千米时,选用火车较好.22.(12分)已知f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),又当x 2>x 1>0时,f (x 2)>f (x 1).(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值;(2)若有f (x )+f (x -2)≤3成立,求x 的取值范围.解:(1)f (1)=f (1)+f (1),∴f (1)=0,f (4)=f (2)+f (2)=1+1=2,f (8)=f (2)+f (4)=2+1=3. (2)∵f (x )+f (x -2)≤3,∴f [x (x -2)]≤f (8),又∵对于函数f (x )有x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,+∞)上为增函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x -2>0x (x -2)≤8⇒2<x ≤4.∴x 的取值范围为(2,4].第二章综合练习一、选择题(每小题5分,共60分)1.计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A .3 B .4 C .5D .6解析:原式=lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5=2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5=6. 答案:D2.设f (x )=⎩⎨⎧2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则f (f (2))的值为( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:f (2)=log 3(22-1)=1,f (f (2))=2e 1-1=2e 0=2. 答案:C3.如果log 12x >0成立,则x 应满足的条件是( ) A .x >12 B.12<x <1 C .x <1D .0<x <1解析:由对数函数的图象可得. 答案:D4.函数f (x )=log 3(2-x )在定义域区间上是( ) A .增函数B .减函数C .有时是增函数有时是减函数D .无法确定其单调解析:由复合函数的单调性可以判断,内外两层单调性相同则为增函数,内外两层的单调性相反则为减函数.答案:B5.某种放射性元素,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下() A.0.015克B.(1-0.5%)3克C.0.925克 D.1000.125克解析:设该放射性元素满足y=a x(a>0且a≠1),则有12=a100得a=(12)1100.可得放射性元素满足y=[(12)1100]x=(12)x100.当x=3时,y=(12)3100=100(12)3=1000.125.答案:D6.函数y=log2x与y=log 12x的图象()A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于y=x对称解析:据图象和代入式判定都可以做出判断,故选B. 答案:B7.函数y=lg(21-x-1)的图象关于()A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.y=x对称解析:f(x)=lg(21-x-1)=lg1+x1-x,f(-x)=lg1-x1+x=-f(x),所以y=lg(21-x-1)关于原点对称,故选C.答案:C8.设a>b>c>1,则下列不等式中不正确的是() A.a c>b c B.log a b>log a cC.c a>c b D.log b c<log a c解析:y=x c在(0,+∞)上递增,因为a>b,则a c>b c;y=log a x在(0,+∞)上递增,因为b>c,则log a b>log a c;y=c x在(-∞,+∞)上递增,因为a>b,则c a>c b.故选D.答案:D9.已知f(x)=log a(x+1)(a>0且a≠1),若当x∈(-1,0)时,f(x)<0,则f(x)是()A.增函数B.减函数C.常数函数D.不单调的函数解析:由于x∈(-1,0),则x+1∈(0,1),所以a>1.因而f(x)在(-1,+∞)上是增函数.答案:A10.设a=424,b=312,c=6,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>c B.b<c<a C.b>c>a D.a<b<c解析:a=424=12243,b=12124,c=6=1266.∵243<124<66,∴12243<12124<1266,即a<b<c.答案:D11.若方程a x=x+a有两解,则a的取值范围为() A.(1,+∞) B.(0,1)C.(0,+∞) D.Ø解析:分别作出当a>1与0<a<1时的图象.(1)当a>1时,图象如下图1,满足题意.(2)当0<a<1时,图象如上图2,不满足题意.答案:A12.已知f (x )是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数,若f (lg x )>f (1),则x 的取值范围是( ) A .(110,1)B .(0,110)∪(1,+∞) C .(110,10)D .(0,1)∪(0,+∞)解析:由于f (x )是偶函数且在(0,+∞)上是减函数,所以f (-1)=f (1),且f (x )在(-∞,0)上是增函数,应有⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-1<lg x <1,解得110<x <10.答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分)13.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a =________. 解析:由互为反函数关系知,f (x )过点(-1,2),代入得a -1=2⇒a =12. 答案:1214.方程log 2(x -1)=2-log 2(x +1)的解为________. 解析:log 2(x -1)=2-log 2(x +1)⇔log 2(x -1)=log 24x +1,即x -1=4x +1,解得x =±5(负值舍去),∴x = 5.答案: 515.设函数f 1(x )=x 12,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2007)))=________.解析:f 1(f 2(f 3(2007)))=f 1(f 2(20072))=f 1((20072)-1)=[(20072)-1]12=2007-1. 答案:1200716.设0≤x ≤2,则函数y =4x -12-3·2x +5的最大值是________,最小值是________.解析:设2x =t (1≤t ≤4),则y =12·4x -3·2x +5=12t 2-3t +5=12(t -3)2+12. 当t =3时,y min =12;当t =1时,y max =12×4+12=52. 答案:52 12三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)已知a =(2+3)-1,b =(2-3)-1,求(a +1)-2+(b +1)-2的值. 解:(a +1)-2+(b +1)-2=(12+3+1)-2+(12-3+1)-2=(3+32+3)-2+(3-32-3)-2=16(7+432+3+7-432-3)=16[(7+43)(2-3)+(7-43)(2+3)]=16×4=23. 18.(12分)已知关于x 的方程4x ·a -(8+2)·2x +42=0有一个根为2,求a 的值和方程其余的根.解:将x =2代入方程中,得42·a -(8+2)·22+42=0,解得a =2. 当a =2时,原方程为 4x ·2-(8+2)2x +42=0,将此方程变形化为2·(2x )2-(8+2)·2x +42=0. 令2x =y ,得2y 2-(8+2)y +42=0. 解得y =4或y =22. 当y =4时,即2x =4,解得x =2; 当y =22时,2x =22,解得x =-12. 综上,a =2,方程其余的根为-12.19.(12分)已知f (x )=2x -12x +1,证明:f (x )在区间(-∞,+∞)上是增函数.证明:设任意x 1,x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=2x 1-12x 1+1-2x 2-12x 2+1=(2x 1-1)(2x 2+1)-(2x 2-1)(2x 1+1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2x 1-2x 2-(2x 2-2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2(2x 1-2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1).∵x 1<x 2,∴2x 1<2x 2,即2x 1-2x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在区间(-∞,+∞)上是增函数.20.(12分)已知偶函数f (x )在x ∈[0,+∞)上是增函数,且f (12)=0,求不等式f (log a x )>0(a >0,且a ≠1)的解集.解:f (x )是偶函数,且f (x )在[0,+∞)上递增,f (12)=0,∴f (x )在(-∞,0)上递减,f (-12)=0,则有log a x >12,或log a x <-12. (1)当a >1时,log a x >12,或log a x <-12,可得x >a ,或0<x <aa ; (2)当0<a <1时,log a x >12,或log a x <-12,可得0<x <a ,或x >aa . 综上可知,当a >1时,f (log a x )>0的解集为(0,aa )∪(a ,+∞); 当0<a <1时,f (log a x )>0的解集为(0,a )∪(aa ,+∞).21.(12分)已知函数f (x )对一切实数x ,y 都满足f (x +y )=f (y )+(x +2y +1)x ,且f (1)=0, (1)求f (0)的值; (2)求f (x )的解析式;(3)当x ∈[0,12]时,f (x )+3<2x +a 恒成立,求a 的范围.解:(1)令x =1,y =0,则f (1)=f (0)+(1+1)×1,∴f (0)=f (1)-2=-2. (2)令y =0,则f (x )=f (0)+(x +1)x ,∴f (x )=x 2+x -2.(3)由f (x )+3<2x +a ,得a >x 2-x +1.设y =x 2-x +1,则y =x 2-x +1在(-∞,12]上是减函数,所以y =x 2-x +1在[0,12]上的范围为34≤y ≤1,从而可得a >1.22.(12分)设函数f (x )=log a (1-ax ),其中0<a <1. (1)求证:f (x )是(a ,+∞)上的减函数; (2)解不等式f (x )>1.解:(1)证明:设任意x 1,x 2∈(a ,+∞)且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=log a (1-a x 1)-log a (1-ax 2)=log a 1-a x 11-a x 2=log a 1-a x 2+a x 2-ax 11-ax 2=log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+a x 2-a x 11-a x 2=log a (1+ax 1-ax 2x 1x 2-ax 1)=log a [1+a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )].∵x 1,x 2∈(a ,+∞)且x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,0<a <x 1<x 2,x 2-a >0.∴a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )<0,∴1+a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )<1,又∵0<a <1,∴log a [1+a (x 1-x 2)x 1(x 2-a )]>0,∴f (x 1)>f (x 2),所以f (x )=log a (1-a x )在(a ,+∞)上为减函数.(2)因为0<a <1,所以f (x )>1⇔log a (1-ax )>log a a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1-ax >0,①1-ax <a .②解不等式①,得x >a 或x <0.解不等式②,得0<x <a 1-a .因为0<a <1,故x <a 1-a ,所以原不等式的解集为{x |a <x <a1-a}.第三章综合练习一、选择题(每小题5分,共60分)1.二次函数f(x)=2x2+bx-3(b∈R)的零点个数是() A.0B.1C.2D.4解析:∵Δ=b2+4×2×3=b2+24>0,∴函数图象与x轴有两个不同的交点,从而函数有2个零点.答案:C2.函数y=1+1x的零点是()A.(-1,0) B.-1 C.1 D.0解析:令1+1x=0,得x=-1,即为函数零点.答案:B3.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是()解析:把y=f(x)的图象向下平移1个单位后,只有C图中图象与x轴无交点.答案:C4.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)·f(1)的值()A.大于0 B.小于0C.无法判断D.等于零解析:由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.答案:C5.函数f (x )=e x -1x 的零点所在的区间是( ) A .(0,12) B .(12,1) C .(1,32)D .(32,2)解析:f (12)=e -2<0, f (1)=e -1>0,∵f (12)·f (1)<0,∴f (x )的零点在区间(12,1)内. 答案:B6.方程log 12x =2x -1的实根个数是( ) A .0 B .1 C .2D .无穷多个解析:方程log 12x =2x -1的实根个数只有一个,可以画出f (x )=log 12x 及g (x )=2x -1的图象,两曲线仅一个交点,故应选B.答案:B7.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y =0.1x 2-11x +3000,若每台产品的售价为25万元,则生产者的利润取最大值时,产量x 等于( )A .55台B .120台C .150台D .180台解析:设产量为x 台,利润为S 万元,则S =25x -y =25x -(0.1x 2-11x +3000) =-0.1x 2+36x -3000=-0.1(x -180)2+240,则当x =180时,生产者的利润取得最大值. 答案:D8.已知α是函数f (x )的一个零点,且x 1<α<x 2,则( ) A .f (x 1)f (x 2)>0 B .f (x 1)f (x 2)<0 C .f (x 1)f (x 2)≥0D .以上答案都不对解析:定理的逆定理不成立,故f(x1)f(x2)的值不确定.答案:D9.某城市为保护环境,维护水资源,鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每月用水不超过8吨,按每吨2元收取水费,每月超过8吨,超过部分加倍收费,某职工某月缴费20元,则该职工这个月实际用水()A.10吨B.13吨C.11吨D.9吨解析:设该职工该月实际用水为x吨,易知x>8.则水费y=16+2×2(x-8)=4x-16=20,∴x=9.答案:D10.某工厂6年来生产甲种产品的情况是:前3年年产量的增大速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为() 答案:A11.函数f(x)=|x2-6x+8|-k只有两个零点,则()A.k=0 B.k>1C.0≤k<1 D.k>1,或k=0解析:令y1=|x2-6x+8|,y2=k,由题意即要求两函数图象有两交点,利用数形结合思想,作出两函数图象可得选D.答案:D12.利用计算器,算出自变量和函数值的对应值如下表:那么方程2x=x2的一个根所在区间为()A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)解析:设f(x)=2x-x2,由表格观察出x=1.8时,2x>x2,即f(1.8)>0;在x=2.2时,2x<x2,即f(2.2)<0.综上知f(1.8)·f(2.2)<0,所以方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内.答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是__________.解析:设f(x)=x3-2x-5,则f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有f(2)f(3)<0,则下一个有根区间是(2,3).答案:(2,3)14.已知函数f(x)=ax2-bx+1的零点为-12,13,则a=__________,b=__________.解析:由韦达定理得-12+13=ba,且-12×13=1a.解得a=-6,b=1.答案:-6 115.以墙为一边,用篱笆围成一长方形的场地,如图1.已知篱笆的总长为定值l,则这块场地面积y与场地一边长x的关系为________.图1解析:由题意知场地的另一边长为l-2x,则y=x(l-2x),且l-2x>0,即0<x<l2.答案:y=x(l-2x)(0<x<l 2)16.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤________次才能达到市场要求?(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)解析:设过滤n 次才能达到市场要求,则2%(1-13)n ≤0.1% 即(23)n ≤0.12,∴n lg 23≤-1-lg2, ∴n ≥7.39,∴n =8. 答案:8三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x =2,且f (x )的两个零点的平方和为10,求f (x )的解析式.解:设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).由题意知:c =3,-b2a =2.设x 1,x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根,则x 21+x 22=10,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=10,∴(-b a )2-2c a =10,∴16-6a =10, ∴a =1.代入-b2a =2中,得b =-4.∴f (x )=x 2-4x +3. 18.(12分)求方程x 2+2x =5(x >0)的近似解(精确度0.1). 解:令f (x )=x 2+2x -5(x >0). ∵f (1)=-2,f (2)=3,∴函数f (x )的正零点在区间(1,2)内.取(1,2)中点x 1=1.5,f (1.5)>0.取(1,1.5)中点x 2=1.25,f (1.25)<0. 取(1.25,1.5)中点x 3=1.375,f (1.375)<0.取(1.375,1.5)中点x 4=1.4375,f (1.4375)<0.取(1.4375,1.5). ∵|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,∴方程x 2+2x =5(x >0)的近似解为x =1.5(或1.4375).19.(12分)要挖一个面积为800 m 2的矩形鱼池,并在四周修出宽分别为1 m,2 m 的小路,试求鱼池与路的占地总面积的最小值.解:设所建矩形鱼池的长为x m ,则宽为800x m ,于是鱼池与路的占地面积为 y =(x +2)(800x +4)=808+4x +1600x =808+4(x +400x )=808+4[(x -20x )2+40].当x =20x,即x =20时,y 取最小值为968 m 2. 答:鱼池与路的占地最小面积是968 m 2.20.(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P 和Q (万元),这两项利润与投入的资金x (万元)的关系是P =x 3,Q =103x ,该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元,其中投入养殖业为x 万元,获得总利润y (万元),写出y 关于x 的函数关系式及其定义域.解:投入养殖加工生产业为60-x 万元.由题意可得,y =P +Q =x 3+10360-x ,由60-x ≥0得x ≤60,∴0≤x ≤60,即函数的定义域是[0,60].21.(12分)已知某种产品的数量x (百件)与其成本y (千元)之间的函数关系可以近似用y =ax 2+bx +c 表示,其中a ,b ,c 为待定常数,今有实际统计数据如下表:(1)试确定成本函数y =f (x );(2)已知每件这种产品的销售价为200元,求利润函数p =p (x );(3)据利润函数p =p (x )确定盈亏转折时的产品数量.(即产品数量等于多少时,能扭亏为盈或由盈转亏)解:(1)将表格中相关数据代入y =ax 2+bx +c , 得⎩⎪⎨⎪⎧36a +6b +c =104100a +10b +c =160,400a +20b +c =370解得a =12,b =6,c =50.所以y =f (x )=12x 2+6x +50(x ≥0).(2)p =p (x )=-12x 2+14x -50(x ≥0). (3)令p (x )=0,即-12x 2+14x -50=0, 解得x =14±46,即x 1=4.2,x 2=23.8,故4.2<x <23.8时,p (x )>0;x <4.2或x >23.8时,p (x )<0, 所以当产品数量为420件时,能扭亏为盈; 当产品数量为2380件时由盈变亏.22.(12分)某企业常年生产一种出口产品,根据需求预测:进入21世纪以来,前8年在正常情况下,该产品产量将平衡增长.已知2000年为第一年,头4年年产量f (x )(万件)如表所示:(1)画出2000~2003年该企业年产量的散点图;(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型,并求之.(3)2006年(即x =7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响,年产量应减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2006年的年产量应该约为多少?解:图2(1)散点图如图2:(2)设f (x )=ax +b .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a +b =43a +b =7,解得a =32,b =52, ∴f (x )=32x +52.检验:f (2)=5.5,|5.58-5.5|=0.08<0.1;f(4)=8.5,|8.44-8.5|=0.06<0.1.∴模型f(x)=32x+52能基本反映产量变化.(3)f(7)=32×7+52=13,由题意知,2006年的年产量约为13×70%=9.1(万件),即2006年的年产量应约为9.1万件.必修1综合练习一、选择题(每小题5分,共60分)1.集合A ={1,2},B ={1,2,3},C ={2,3,4},则(A ∩B )∪C =( ) A .{1,2,3} B .{1,2,4} C .{2,3,4}D .{1,2,3,4}解析:∵A ∩B ={1,2},∴(A ∩B )∪C ={1,2,3,4}. 答案:D2.如图1所示,U 表示全集,用A ,B 表示阴影部分正确的是( )图1A .A ∪B B .(∁U A )∪(∁U B )C .A ∩BD .(∁U A )∩(∁U B )解析:由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁U A )∩(∁U B ). 答案:D3.若f (x )=1-2x ,g (1-2x )=1-x 2x 2(x ≠0),则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A .1B .3C .15D .30解析:g (1-2x )=1-x 2x 2,令12=1-2x ,则x =14,∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1-116116=15,故选C. 答案:C4.设函数f (x )=⎩⎨⎧(x +1)2(x <1),4-x -1(x ≥1),则使得f (-1)+f (m -1)=1成立的m 的值为( )A .10B .0,-2C .0,-2,10D .1,-1,11解析:因为x <1时,f (x )=(x +1)2,所以f (-1)=0.当m -1<1,即m <2时,f (m -1)=m 2=1,m =±1.当m -1≥1,即m ≥2时,f (m -1)=4-m -2=1,所以m =11.答案:D5.若x =6是不等式log a (x 2-2x -15)>log a (x +13)的一个解,则该不等式的解集为( ) A .(-4,7)B .(5,7)C .(-4,-3)∪(5,7)D .(-∞,-4)∪(5,+∞)解析:将x =6代入不等式,得log a 9>log a 19,所以a ∈(0,1).则⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -15>0,x +13>0,x 2-2x -15<x +13.解得x ∈(-4,-3)∪(5,7).答案:C 6.若函数f (x )=12x +1,则该函数在(-∞,+∞)上是( ) A .单调递减无最小值 B .单调递减有最大值 C .单调递增无最大值D .单调递增有最大值解析:2x +1在(-∞,+∞)上递增,且2x +1>0, ∴12x +1在(-∞,+∞)上递减且无最小值. 答案:A7.方程(13)x =|log 3x |的解的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:图2在平面坐标系中,画出函数y 1=(13)x 和y 2=|log 3x |的图象,如图2所示,可知方程有两个解.答案:C8.下列各式中,正确的是( ) A .(-43)23<(-54)23B .(-45)13<(-56)13C .(12)12>(13)12D .(-32)3>(-43)3解析:函数y =x 23在(-∞,0)上是减函数,而-43<-54,∴(-43)23>(-54)23,故A 错; 函数y =x 13在(-∞,+∞)上是增函数,而-45>-56,∴(-45)13>(-56)13,故B 错,同理D 错.答案:C9.生物学指出:生态系统在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级,在H 1→H 2→H 3这个食物链中,若能使H 3获得10 kJ 的能量,则需H 1提供的能量为( )A .105 kJB .104 kJC .103 kJD .102 kJ解析:H 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1102=10,∴H 1=103.答案:C10.如图3(1)所示,阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H ),则该函数的图象是如图3(2)所示的( )图3解析:当h =H2时,对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半,且随着h 的增大,S 随之减小,故排除A ,B ,D.答案:C11.函数f (x )在(-1,1)上是奇函数,且在(-1,1)上是减函数,若f (1-m )+f (-m )<0,则m的取值范围是( )A .(0,12) B .(-1,1) C .(-1,12)D .(-1,0)∪(1,12)解析:f (1-m )<-f (-m ),∵f (x )在(-1,1)上是奇函数,∴f (1-m )<f (m ),∴1>1-m >m >-1, 解得0<m <12,即m ∈(0,12). 答案:A12.(2009·山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎨⎧ log 2(1-x ),f (x -1)-f (x -2),x ≤0x >0,则f (2009)的值为( )A .-1B .0C .1D .2解析:由题意可得:x >0时,f (x )=f (x -1)-f (x -2),从而f (x -1)=f (x -2)-f (x -3). 两式相加得f (x )=-f (x -3),f (x -6)=f [(x -3)-3]=-f (x -3)=f (x ), ∴f (2009)=f (2003)=f (1997)=…=f (5)=f (-1)=log 22=1. 答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.log 2716log 34的值是________.解析:log 2716log 34=23log 34log 34=23.答案:2314.若函数y =kx +5kx 2+4kx +3的定义域为R ,则实数k 的取值范围为__________.解析:kx 2+4kx +3恒不为零.若k =0,符合题意,k ≠0,Δ<0,也符合题意.所以0≤k <34.答案:⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪0≤k <3415.已知全集U ={x |x ∈R },集合A ={x |x ≤1或x ≥3},集合B ={x |k <x <k +1,k ∈R },且(∁U A )∩B =Ø,则实数k 的取值范围是________.解析:∁U A ={x |1<x <3},又(∁U A )∩B =Ø, ∴k +1≤1或k ≥3, ∴k ≤0或k ≥3.答案:(-∞,0]∪[3,+∞)16.麋鹿是国家一级保护动物,位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年,第一年(即1986年)只有麋鹿100头,由于科学的人工培育,这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y =a log 2(x +1)给出,则到2016年时,预测麋鹿的只数约为________.解析:当x =1时,y =a log 22=a =100,∴y =100log 2(x +1), ∵2016-1986+1=31,即2016年为第31年, ∴y =100log 2(31+1)=500, ∴2016年麋鹿的只数约为500. 答案:500三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)用定义证明:函数g (x )=kx (k <0,k 为常数)在(-∞,0)上为增函数. 证明:设x 1<x 2<0,则g (x 1)-g (x 2)=k x 1-k x 2=k (x 2-x 1)x 1x 2.∵x 1<x 2<0,∴x 1x 2>0,x 2-x 1>0,又∵k <0,∴g (x 1)-g (x 2)<0,即g (x 1)<g (x 2),∴g (x )=kx (k <0,k 为常数)在(-∞,0)上为增函数.18.(12分)已知集合P ={x |2≤x ≤5},Q ={x |k +1≤x ≤2k -1},当P ∩Q =Ø时,求实数k 的取值范围.解:当Q ≠Ø,且P ∩Q =Ø时,⎩⎪⎨⎪⎧ 2k -1<2,2k -1≥k +1,或⎩⎪⎨⎪⎧k +1>5,2k -1≥k +1.解得k >4;当Q =Ø时,即2k -1<k +1,即k <2时,P ∩Q =Ø.综上可知,当P ∩Q =Ø时,k <2或k >4.19.(12分)已知f (x )为一次函数,且满足4f (1-x )-2f (x -1)=3x +18,求函数f (x )在[-1,1]上的最大值,并比较f (2007)和f (2008)的大小.解:因为函数f (x )为一次函数,所以f (x )在[-1,1]上是单调函数,f (x )在[-1,1]上的最大值为max{f (-1),f (1)}.分别取x =0和x =2,得⎩⎪⎨⎪⎧4f (1)-2f (-1)=18,4f (-1)-2f (1)=24,解得f (1)=10,f (-1)=11,所以函数f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=11.又因为f (1)<f (-1),所以f (x )在R 上是减函数,所以f (2007)>f (2008).20.(12分)已知函数f (x )=ax 2-2ax +2+b (a ≠0),若f (x )在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a ,b 的值;(2)若b <1,g (x )=f (x )-mx 在[2,4]上单调,求m 的取值范围. 解:(1)f (x )=a (x -1)2+2+b -a . ①当a >0时,f (x )在[2,3]上单调递增.故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)=2f (3)=5,即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a -4a +2+b =29a -6a +2+b =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =0 ②当a <0时,f (x )在[2,3]上单调递减.故⎩⎪⎨⎪⎧f (2)=5f (3)=2,即⎩⎪⎨⎪⎧4a -4a +2+b =59a -6a +2+b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =3. (2)∵b <1,∴a =1,b =0,即f (x )=x 2-2x +2,g (x )=x 2-2x +2-mx =x 2-(2+m )x +2,由题意知2+m 2≤2或2+m2≥4,∴m ≤2或m ≥6. 21.(12分)设函数y =f (x ),且lg(lg y )=lg3x +lg(3-x ). (1)求f (x )的解析式和定义域; (2)求f (x )的值域; (3)讨论f (x )的单调性.解:(1)lg(lg y )=lg[3x ·(3-x )],即lg y =3x (3-x ),y =103x (3-x ).又⎩⎪⎨⎪⎧3x >0,3-x >0,所以0<x <3,所以f (x )=103x (3-x )(0<x <3).(2)y =103x (3-x ),设u =3x (3-x )=-3x 2+9x =-3⎝⎛⎭⎪⎫x 2-3x +94+274=-3(x -32)2+274.当x =32∈(0,3)时,u 取得最大值274,所以u ∈(0,274],y ∈(1,10274].(3)当0<x ≤32时,u =-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+274是增函数,而y =10u是增函数,所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,32上f (x )是递增的;当32<x <3时,u 是减函数,y =10u 是增函数,所以f (x )是减函数.22.(12分)已知函数f (x )=lg(4-k ·2x )(其中k 为实数), (1)求函数f (x )的定义域;(2)若f (x )在(-∞,2]上有意义,试求实数k 的取值范围. 解:(1)由题意可知:4-k ·2x >0,即解不等式:k ·2x <4, ①当k ≤0时,不等式的解为R ,②当k >0时,不等式的解为x <log 24k ,所以当k ≤0时,f (x )的定义域为R ; 当k >0时,f (x )的定义域为(-∞,log 24k ).(2)由题意可知:对任意x ∈(-∞,2],不等式4-k ·2x >0恒成立.得k <42x ,设u =42x , 又x ∈(-∞,2],u =42x 的最小值1.所以符合题意的实数k 的范围是(-∞,1).。

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