数学必修一练习题汇总(含答案)

第一章综合练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()
A．3 B．6
C．7 D．8
解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．
答案：C
2．下列五个写法，其中错误
．．写法的个数为()
①{0}∈{0,2,3}；②Ø{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝Ø
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：②③正确．
答案：C
3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值集合可表示为()
A．M∪F B．M∩F C．∁M F D．∁F M
解析：根式x－1＋x－2有意义，必须x－1与x－2同时有意义才可．
答案：B
4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于()
A．N B．M C．R D．Ø
解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
答案：A
5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为()
A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.
答案：D
6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于()
A．20－2x(0<x≤10) B．20－2x(0<x<10)
C．20－2x(5≤x≤10) D．20－2x(5<x<10)
解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.
答案：D
7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的()
甲
乙
图1
解析：水面升高的速度由慢逐渐加快．
答案：B
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()
①y＝f(|x|) ②y＝f(－x) ③y＝xf(x) ④y＝f(x)＋x
A．①③B．②③C．①④D．②④
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y ＝f(－x)为奇函数；③令F(x)＝xf(x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)．所以F(－x)＝F(x)．所以y＝xf(x)为偶函数；④令F(x)＝f(x)＋x，所以F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x
＝－[f (x )＋x ]．所以F (－x )＝－F (x )．所以y ＝f (x )＋x 为奇函数．
答案：D
9．已知0≤x ≤3
2，则函数f (x )＝x 2＋x ＋1( ) A ．有最小值－3
4，无最大值
B ．有最小值3
4，最大值1
C ．有最小值1，最大值19
4
D ．无最小值和最大值
解析：f (x )＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34，画出该函数的图象知，f (x )在区间[0，3
2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max ＝f (32)＝19
4.
答案：C
10．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如图2甲所示，则函数f (|x |)的图象是图2乙中的( )
甲
乙
图2
解析：因为y ＝f (|x |)是偶函数，所以y ＝f (|x |)的图象是由y ＝f (x )把x ≥0的图象保留，再关于y 轴对称得到的．
答案：B
11．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f (－3
2)<f (－1)<f (2)
B ．f (－1)<f (－3
2)<f (2)
C ．f (2)<f (－1)<f (－3
2)
D ．f (2)<f (－3
2)<f (－1)
解析：由f (x )是偶函数，得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f (2)<f (－3
2)<f (－1)．
答案：D
12.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f (52)的值是( )
A ．0 B.12 C ．1 D.5
2
解析：令x ＝－12，则－12f (12)＝12f (－12)，又∵f (12)＝f (－12)，∴f (12)＝0；令x ＝12，
12f (32)＝32f (1
2)，得f (32)＝0；令x ＝32，32f (52)＝52f (32)，得f (52)＝0；而0·f (1)＝f (0)＝0，∴f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (52)＝f (0)＝0，故选
A.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)
13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，A ＝{a ，c ，d }，B ＝{b ，d ，e }，则∁U A ∩∁U B ＝________. 解析：∁U A ∩∁U B ＝∁U (A ∪B )，而A ∪B ＝{a ，b ，c ，d ，e }＝U . 答案：Ø
14．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |－1≤x <2}，则∁U (A ∩B )＝________. 解析：A ∩B ＝{x |1≤x <2}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x <1或x ≥2}． 答案：{x |x <1或x ≥2}
15．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a 的取值范围为________．
解析：函数f (x )的对称轴为x ＝1－a ，则由题知：1－a ≥3即a ≤－2. 答案：a ≤－2
16．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是__________．
解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.
∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)<f(1)<f(0)．
答案：f(－2)<f(1)<f(0)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，
(1)当x∈N*时，求A的子集的个数；
(2)当x∈R且A∩B＝Ø时，求m的取值范围．
解：(1)∵x∈N*且A＝{x|－2≤x≤5}，
∴A＝{1,2,3,4,5}．故A的子集个数为25＝32个．
(2)∵A∩B＝Ø，
∴m－1>2m＋1或2m＋1<－2或m－1>5，
∴m<－2或m>6.
18．(12分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠Ø且B⊆A，求a，b的值．
解：(1)当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1；
(2)当B含有一个元素时，由Δ＝0得a2＝b，
当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1
当B＝{－1}时，由1＋2a＋b＝0，得a＝－1，b＝1.
19．(12分)已知函数f(x)＝
x
ax＋b
(a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有
唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．
解：∵f(x)＝
x
ax＋b
且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．
∴ax 2＋(b －1)x ＝0(a ≠0)有唯一实数解．
故(b －1)2－4a ×0＝0，即b ＝1，又上式2a ＋b ＝2，可得：a ＝12，从而f (x )＝x 12x ＋1
＝2x
x ＋2，
∴f (－4)＝2×(－4)－4＋2
＝4，f (4)＝86＝43，即f [f (－4)]＝4
3.
20．(12分)已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋(a 2－2a ＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值．
解：f (x )＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a 22
＋2－2a .
(1)当a
2<0即a <0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得：a ＝1－ 2. (2)0≤a 2≤2即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2＝2－2a ＝3，解得：a ＝－12(舍去)． (3)a
2>2即a >4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得：a ＝5＋10， 综上可知：a 的值为1－2或5＋10.
21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：
问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？ 解：设甲、乙两地距离为x 千米(x >0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y 1和y 2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：
于是y 1＝8x ＋1000＋(x
50＋2)×300＝14x ＋1600， y 2＝4x ＋1800＋(x
100＋4)×300＝7x ＋3000. 令y 1－y 2<0得x <200.
①当0<x <200时，y 1<y 2，此时应选用汽车； ②当x ＝200时，y 1＝y 2，此时选用汽车或火车均可； ③当x >200时，y 1>y 2，此时应选用火车．
故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．
22．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．
(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；
(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．
解：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝2＋1＝3. (2)∵f (x )＋f (x －2)≤3，∴f [x (x －2)]≤f (8)，又∵对于函数f (x )有x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x >0x －2>0x (x －2)≤8
⇒2<x ≤4.∴x 的取值范围为(2,4]．
第二章综合练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
解析：原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·3
2lg2
lg3·
2lg3
lg5＝6. 答案：D
2．设f (x )＝⎩⎨⎧
2e x －
1，x <2，
log 3(x 2
－1)，x ≥2，
则f (f (2))的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (f (2))＝2e 1－1＝2e 0＝2. 答案：C
3．如果log 1
2x >0成立，则x 应满足的条件是( ) A ．x >1
2 B.1
2<x <1 C ．x <1
D ．0<x <1
解析：由对数函数的图象可得． 答案：D
4．函数f (x )＝log 3(2－x )在定义域区间上是( ) A ．增函数
B ．减函数
C ．有时是增函数有时是减函数
D ．无法确定其单调
解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数，内外两层的单
调性相反则为减函数．
答案：B
5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下() A．0.015克B．(1－0.5%)3克
C．0.925克 D.100
0.125克
解析：设该放射性元素满足y＝a x(a>0且a≠1)，则有1
2
＝a100得a＝(1
2)
1
100.
可得放射性元素满足y＝[(1
2)1
100]x＝(12)x100.当x＝3时，y＝(12)3100＝
100
(
1
2)
3＝1000.125.
答案：D
6．函数y＝log2x与y＝log 1
2x的图象()
A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于y＝x对称
解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B. 答案：B
7．函数y＝lg(
2
1－x
－1)的图象关于()
A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．y＝x对称
解析：f(x)＝lg(
2
1－x
－1)＝lg
1＋x
1－x
，f(－x)＝lg
1－x
1＋x
＝－f(x)，所以y＝lg(2
1－x
－1)关于原点
对称，故选C.
答案：C
8．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是() A．a c>b c B．log a b>log a c
C．c a>c b D．log b c<log a c
解析：y＝x c在(0，＋∞)上递增，因为a>b，则a c>b c；y＝log a x在(0，＋∞)上递增，因为b>c，则log a b>log a c；y＝c x在(－∞，＋∞)上递增，因为a>b，则c a>c b.故选D.
答案：D
9．已知f(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则f(x)是()
A．增函数B．减函数
C．常数函数D．不单调的函数
解析：由于x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以a>1.因而f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．答案：A
10．设a＝4
24，b＝
3
12，c＝6，则a，b，c的大小关系是()
A．a>b>c B．b<c<a C．b>c>a D．a<b<c
解析：a＝4
24＝
12
243，b＝
12
124，c＝6＝
12
66.∵243<124<66，
∴12
243<
12
124<
12
66，即a<b<c.
答案：D
11．若方程a x＝x＋a有两解，则a的取值范围为() A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．Ø
解析：分别作出当a>1与0<a<1时的图象．
(1)当a>1时，图象如下图1，满足题意．
(2)当0<a<1时，图象如上图2，不满足题意．
答案：A
12．已知f (x )是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．(1
10，1)
B ．(0，1
10)∪(1，＋∞) C ．(1
10，10)
D ．(0,1)∪(0，＋∞)
解析：由于f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f (－1)＝f (1)，且f (x )在(－∞，0)上是增函数，应有⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，－1<lg x <1，
解得1
10<x <10.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________. 解析：由互为反函数关系知，f (x )过点(－1,2)，代入得a －1＝2⇒a ＝1
2. 答案：12
14．方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________． 解析：log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4
x ＋1
，解得x ＝±5(负值舍去)，∴x ＝ 5.
答案： 5
15．设函数f 1(x )＝x 1
2，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2007)))＝________.
解析：f 1(f 2(f 3(2007)))＝f 1(f 2(20072))＝f 1((20072)－1)＝[(20072)－1]1
2＝2007－1. 答案：1
2007
16．设0≤x ≤2，则函数y ＝4x －1
2－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________．
解析：设2x ＝t (1≤t ≤4)，则y ＝12·4x －3·2x ＋5＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋1
2. 当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×4＋12＝52. 答案：52 12
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，求(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值． 解：(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(
12＋3
＋1)－2＋(
12－3
＋1)－2＝(
3＋32＋3
)－2＋(
3－32－3
)－2＝16
(7＋432＋3＋7－432－3
)＝16[(7＋43)(2－3)＋(7－43)(2＋3)]＝16×4＝23. 18．(12分)已知关于x 的方程4x ·a －(8＋2)·2x ＋42＝0有一个根为2，求a 的值和方程其余的根．
解：将x ＝2代入方程中，
得42·a －(8＋2)·22＋42＝0，解得a ＝2. 当a ＝2时，原方程为 4x ·2－(8＋2)2x ＋42＝0，
将此方程变形化为2·(2x )2－(8＋2)·2x ＋42＝0. 令2x ＝y ，得2y 2－(8＋2)y ＋42＝0. 解得y ＝4或y ＝
2
2
. 当y ＝4时，即2x ＝4，解得x ＝2； 当y ＝22时，2x ＝22，解得x ＝－1
2. 综上，a ＝2，方程其余的根为－1
2.
19．(12分)已知f (x )＝2x －1
2x ＋1，证明：f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
证明：设任意x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1
－2x 2－12x 2＋1
＝
(2x 1－1)(2x 2＋1)－(2x 2－1)(2x 1＋1)
(2x 1＋1)(2x 2＋1)
＝
2x 1－2x 2－(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)
＝
2(2x 1－2x 2)
(2x 1＋1)(2x 2＋1)
.∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，即2x 1－2x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间(－∞，＋∞)
上是增函数．
20．(12分)已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，且f (1
2)＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集．
解：f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上递增，f (1
2)＝0，
∴f (x )在(－∞，0)上递减，f (－12)＝0，则有log a x >12，或log a x <－1
2. (1)当a >1时，log a x >12，或log a x <－12，可得x >a ，或0<x <a
a ； (2)当0<a <1时，log a x >12，或log a x <－12，可得0<x <a ，或x >a
a . 综上可知，当a >1时，f (log a x )>0的解集为(0，a
a )∪(a ，＋∞)； 当0<a <1时，f (log a x )>0的解集为(0，a )∪(a
a ，＋∞)．
21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 都满足f (x ＋y )＝f (y )＋(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式；
(3)当x ∈[0，1
2]时，f (x )＋3<2x ＋a 恒成立，求a 的范围．
解：(1)令x ＝1，y ＝0，则f (1)＝f (0)＋(1＋1)×1，∴f (0)＝f (1)－2＝－2. (2)令y ＝0，则f (x )＝f (0)＋(x ＋1)x ，∴f (x )＝x 2＋x －2.
(3)由f (x )＋3<2x ＋a ，得a >x 2－x ＋1.设y ＝x 2－x ＋1，则y ＝x 2－x ＋1在(－∞，1
2]上是减函数，所以y ＝x 2－x ＋1在[0，12]上的范围为3
4≤y ≤1，从而可得a >1.
22．(12分)设函数f (x )＝log a (1－a
x )，其中0<a <1. (1)求证：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f (x )>1.
解：(1)证明：设任意x 1，x 2∈(a ，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log a (1－a x 1
)－log a (1－a
x 2
)
＝log a 1－a x 11－a x 2＝log a 1－a x 2＋a x 2－a
x 1
1－a
x 2＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a x 2－a x 11－a x 2＝log a (1＋ax 1－ax 2x 1x 2－ax 1)＝log a [1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )]．∵x 1，x 2∈(a ，＋∞)且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,0<a <x 1<x 2，x 2－a >0.∴a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )<0，∴1
＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )<1，又∵0<a <1，∴log a [1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )]>0，∴f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝log a (1－a x )在(a ，＋∞)上为减函数．
(2)因为0<a <1，所以f (x )>1⇔log a (1－a
x )>log a a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧
1－a
x >0，①1－a
x <a .②
解不等式①，得x >a 或
x <0.解不等式②，得0<x <a 1－a .因为0<a <1，故x <a 1－a ，所以原不等式的解集为{x |a <x <a
1－a
}．
第三章综合练习一、选择题(每小题5分，共60分)
1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是() A．0B．1
C．2D．4
解析：∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0，
∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．答案：C
2．函数y＝1＋1
x的零点是()
A．(－1,0) B．－1 C．1 D．0
解析：令1＋1
x
＝0，得x＝－1，即为函数零点．
答案：B
3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()
解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．
答案：C
4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值()
A．大于0 B．小于0
C．无法判断D．等于零
解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
答案：C
5．函数f (x )＝e x －1
x 的零点所在的区间是( ) A ．(0，1
2) B ．(1
2，1) C ．(1，3
2)
D ．(3
2，2)
解析：f (12)＝e －2<0， f (1)＝e －1>0，∵f (12)·f (1)<0，∴f (x )的零点在区间(1
2，1)内． 答案：B
6．方程log 1
2x ＝2x －1的实根个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．无穷多个
解析：方程log 12x ＝2x －1的实根个数只有一个，可以画出f (x )＝log 1
2x 及g (x )＝2x －1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.
答案：B
7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝0.1x 2－11x ＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于( )
A ．55台
B ．120台
C ．150台
D ．180台
解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3000) ＝－0.1x 2＋36x －3000
＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值． 答案：D
8．已知α是函数f (x )的一个零点，且x 1<α<x 2，则( ) A ．f (x 1)f (x 2)>0 B ．f (x 1)f (x 2)<0 C ．f (x 1)f (x 2)≥0
D ．以上答案都不对
解析：定理的逆定理不成立，故f(x1)f(x2)的值不确定．
答案：D
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水()
A．10吨B．13吨
C．11吨D．9吨
解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.
则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，
∴x＝9.
答案：D
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为() 答案：A
11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则()
A．k＝0 B．k>1
C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0
解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.
答案：D
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
那么方程2x＝x2的一个根所在区间为()
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
解析：设f(x)＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；
在x＝2.2时，2x<x2，即f(2.2)<0.
综上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．
解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．
答案：(2,3)
14．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－1
2，
1
3，则a＝__________，b＝__________.
解析：由韦达定理得－1
2
＋1
3
＝b
a
，且－1
2×
1
3
＝1
a.解得a＝－6，b＝1.
答案：－6 1
15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l，则这块场地面积y与场地一边长x的关系为________．
图1
解析：由题意知场地的另一边长为l－2x，
则y＝x(l－2x)，且l－2x>0，即0<x<l
2.
答案：y＝x(l－2x)(0<x<l 2)
16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每
过滤一次可使杂质含量减少1
3，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，
lg3＝0.4771)
解析：设过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－1
3)n ≤0.1% 即(23)n ≤0.12，∴n lg 2
3≤－1－lg2， ∴n ≥7.39，∴n ＝8. 答案：8
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．
解：设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意知：c ＝3，－b
2a ＝2.
设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 21＋x 2
2＝10，
∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，∴(－b a )2－2c a ＝10，∴16－6
a ＝10， ∴a ＝1.代入－b
2a ＝2中，得b ＝－4.∴f (x )＝x 2－4x ＋3. 18．(12分)求方程x 2＋2x ＝5(x >0)的近似解(精确度0.1)． 解：令f (x )＝x 2＋2x －5(x >0)． ∵f (1)＝－2，f (2)＝3，
∴函数f (x )的正零点在区间(1,2)内．
取(1,2)中点x 1＝1.5，f (1.5)>0.取(1,1.5)中点x 2＝1.25，f (1.25)<0. 取(1.25,1.5)中点x 3＝1.375，f (1.375)<0.
取(1.375,1.5)中点x 4＝1.4375，f (1.4375)<0.取(1.4375,1.5)． ∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
∴方程x 2＋2x ＝5(x >0)的近似解为x ＝1.5(或1.4375)．
19．(12分)要挖一个面积为800 m 2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m 的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．
解：设所建矩形鱼池的长为x m ，则宽为800
x m ，于是鱼池与路的占地面积为 y ＝(x ＋2)(800x ＋4)＝808＋4x ＋1600x ＝808＋4(x ＋400x )＝808＋4[(x －20
x )2＋40]．
当x ＝
20
x
，即x ＝20时，y 取最小值为968 m 2. 答：鱼池与路的占地最小面积是968 m 2.
20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P 和Q (万元)，
这两项利润与投入的资金x (万元)的关系是P ＝x 3，Q ＝10
3x ，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x 万元，获得总利润y (万元)，写出y 关于x 的函数关系式及其定义域．
解：投入养殖加工生产业为60－x 万元．由题意可得，y ＝P ＋Q ＝x 3＋10
360－x ，
由60－x ≥0得x ≤60，∴0≤x ≤60，即函数的定义域是[0,60]．
21．(12分)已知某种产品的数量x (百件)与其成本y (千元)之间的函数关系可以近似用y ＝ax 2＋bx ＋c 表示，其中a ，b ，c 为待定常数，今有实际统计数据如下表：
(1)试确定成本函数y ＝f (x )；
(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x )；
(3)据利润函数p ＝p (x )确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)
解：(1)将表格中相关数据代入y ＝ax 2＋bx ＋c ， 得⎩⎪⎨⎪
⎧
36a ＋6b ＋c ＝104100a ＋10b ＋c ＝160，400a ＋20b ＋c ＝370
解得a ＝12，b ＝6，c ＝50.所以y ＝f (x )＝1
2x 2＋6x ＋50(x ≥0)．
(2)p ＝p (x )＝－1
2x 2＋14x －50(x ≥0)． (3)令p (x )＝0，即－1
2x 2＋14x －50＝0， 解得x ＝14±46，即x 1＝4.2，x 2＝23.8，
故4.2<x <23.8时，p (x )>0；x <4.2或x >23.8时，p (x )<0， 所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈； 当产品数量为2380件时由盈变亏．
22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：
(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．
(3)2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？
解：
图2
(1)散点图如图2：
(2)设f (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝4
3a ＋b ＝7，
解得a ＝32，b ＝5
2， ∴f (x )＝32x ＋5
2.
检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1；
f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴模型f(x)＝3
2x＋
5
2
能基本反映产量变化．
(3)f(7)＝3
2×7＋
5
2
＝13，
由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．
必修1综合练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4}
D ．{1,2,3,4}
解析：∵A ∩B ＝{1,2}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}． 答案：D
2．如图1所示，U 表示全集，用A ，B 表示阴影部分正确的是( )
图1
A ．A ∪
B B ．(∁U A )∪(∁U B )
C ．A ∩B
D ．(∁U A )∩(∁U B )
解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁U A )∩(∁U B )． 答案：D
3．若f (x )＝1－2x ，g (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12的值为( )
A ．1
B ．3
C ．15
D ．30
解析：g (1－2x )＝1－x 2
x 2，令12＝1－2x ，则x ＝14，∴g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝
1－116
116
＝15，故选C. 答案：C
4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
(x ＋1)2(x <1)，
4－x －1(x ≥1)，则使得f (－1)＋f (m －1)＝1成立的m 的值为( )
A ．10
B ．0，－2
C ．0，－2,10
D ．1，－1,11
解析：因为x <1时，f (x )＝(x ＋1)2，所以f (－1)＝0.当m －1<1，即m <2时，f (m －1)＝m 2＝1，m ＝±1.当m －1≥1，即m ≥2时，f (m －1)＝4－
m －2＝1，所以m ＝11.
答案：D
5．若x ＝6是不等式log a (x 2－2x －15)>log a (x ＋13)的一个解，则该不等式的解集为( ) A ．(－4,7)
B ．(5,7)
C ．(－4，－3)∪(5,7)
D ．(－∞，－4)∪(5，＋∞)
解析：将x ＝6代入不等式，得log a 9>log a 19，所以a ∈(0,1)．则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－2x －15>0，x ＋13>0，
x 2－2x －15<x ＋13.解
得x ∈(－4，－3)∪(5,7)．
答案：C 6．若函数f (x )＝
1
2x ＋1
，则该函数在(－∞，＋∞)上是( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最大值 C ．单调递增无最大值
D ．单调递增有最大值
解析：2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x ＋1>0， ∴
1
2x ＋1
在(－∞，＋∞)上递减且无最小值． 答案：A
7．方程(1
3)x ＝|log 3x |的解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：
图2
在平面坐标系中，画出函数y 1＝(1
3)x 和y 2＝|log 3x |的图象，如图2所示，可知方程有两个解．
答案：C
8．下列各式中，正确的是( ) A ．(－43)23<(－54)2
3
B ．(－45)13<(－56)13
C ．(12)12>(13)12
D ．(－32)3>(－4
3)3
解析：函数y ＝x 23在(－∞，0)上是减函数，而－43<－54，∴(－43)23>(－54)2
3，故A 错； 函数y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数，而－45>－56，∴(－45)13>(－56)1
3，故B 错，同理D 错．
答案：C
9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3这个食物链中，若能使H 3获得10 kJ 的能量，则需H 1提供的能量为( )
A ．105 kJ
B ．104 kJ
C ．103 kJ
D ．102 kJ
解析：H 1⎝ ⎛⎭⎪⎫
1102＝10，∴H 1＝103.
答案：C
10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图象是如图3(2)所示的( )
图3
解析：当h ＝H
2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A ，B ，D.
答案：C
11．函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f (1－m )＋f (－m )<0，则m
的取值范围是( )
A ．(0，1
2) B ．(－1,1) C ．(－1，1
2)
D ．(－1,0)∪(1，1
2)
解析：f (1－m )<－f (－m )，
∵f (x )在(－1,1)上是奇函数，∴f (1－m )<f (m )，∴1>1－m >m >－1， 解得0<m <12，即m ∈(0，1
2)． 答案：A
12．(2009·山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨
⎧ log 2(1－x )，
f (x －1)－f (x －2)，
x ≤0x >0
，则f (2009)
的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：由题意可得：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，从而f (x －1)＝f (x －2)－f (x －3)． 两式相加得f (x )＝－f (x －3)，f (x －6)＝f [(x －3)－3]＝－f (x －3)＝f (x )， ∴f (2009)＝f (2003)＝f (1997)＝…＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1. 答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13.log 2716
log 34的值是________．
解析：log 2716log 34＝2
3log 34
log 34＝23.
答案：2
3
14．若函数y ＝kx ＋5
kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围为__________．
解析：kx 2＋4kx ＋3恒不为零．若k ＝0，符合题意，k ≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k <3
4.
答案：⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫k ⎪⎪⎪
0≤k <34
15．已知全集U ＝{x |x ∈R }，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，
且(∁U A )∩B ＝Ø，则实数k 的取值范围是________．
解析：∁U A ＝{x |1<x <3}，又(∁U A )∩B ＝Ø， ∴k ＋1≤1或k ≥3， ∴k ≤0或k ≥3.
答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)
16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．
解析：当x ＝1时，y ＝a log 22＝a ＝100，∴y ＝100log 2(x ＋1)， ∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年， ∴y ＝100log 2(31＋1)＝500， ∴2016年麋鹿的只数约为500. 答案：500
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)用定义证明：函数g (x )＝k
x (k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数． 证明：设x 1<x 2<0，则g (x 1)－g (x 2)＝k x 1－k x 2＝k (x 2－x 1)
x 1x 2.
∵x 1<x 2<0，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，
又∵k <0，∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，∴g (x )＝k
x (k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数．
18．(12分)已知集合P ＝{x |2≤x ≤5}，Q ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，当P ∩Q ＝Ø时，求实数k 的取值范围．
解：当Q ≠Ø，且P ∩Q ＝Ø时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1<2，2k －1≥k ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＋1>5，
2k －1≥k ＋1.解得k >4；当Q ＝Ø
时，即2k －1<k ＋1，即k <2时，P ∩Q ＝Ø.综上可知，当P ∩Q ＝Ø时，k <2或k >4.
19．(12分)已知f (x )为一次函数，且满足4f (1－x )－2f (x －1)＝3x ＋18，求函数f (x )在[－1,1]
上的最大值，并比较f (2007)和f (2008)的大小．
解：因为函数f (x )为一次函数，所以f (x )在[－1,1]上是单调函数，f (x )在[－1,1]上的最大值为max{f (－1)，f (1)}．分别取x ＝0和x ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧
4f (1)－2f (－1)＝18，
4f (－1)－2f (1)＝24，解得f (1)＝10，f (－1)
＝11，所以函数f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝11.又因为f (1)<f (－1)，所以f (x )在R 上是减函数，所以f (2007)>f (2008)．
20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小
值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上单调递增．
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2f (3)＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4a ＋2＋b ＝29a －6a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝0 ②当a <0时，f (x )在[2,3]上单调递减．
故⎩⎪⎨⎪⎧
f (2)＝5f (3)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
4a －4a ＋2＋b ＝59a －6a ＋2＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝3
. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，
由题意知2＋m 2≤2或2＋m
2≥4，∴m ≤2或m ≥6. 21．(12分)设函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式和定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性．
解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，即lg y ＝3x (3－x )，y ＝103x (3－x )．又⎩⎪⎨⎪⎧
3x >0，3－x >0，所以0<x <3，所以f (x )＝103x (3－x )(0<x <3)．
(2)y ＝103x (3－x )
，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2
＋9x ＝－3⎝
⎛⎭⎪⎫x 2
－3x ＋94＋274＝－3(x －32)2＋274.当x ＝32∈(0,3)时，u 取得最大值274，所以u ∈(0，274]，y ∈(1,10274]．
(3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u
是增函数，所以在⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32上f (x )是递增的；当3
2<x <3时，u 是减函数，y ＝10u 是增函数，所以f (x )是减函数．
22．(12分)已知函数f (x )＝lg(4－k ·2x )(其中k 为实数)， (1)求函数f (x )的定义域；
(2)若f (x )在(－∞，2]上有意义，试求实数k 的取值范围． 解：(1)由题意可知：4－k ·2x >0，即解不等式：k ·2x <4， ①当k ≤0时，不等式的解为R ，
②当k >0时，不等式的解为x <log 24
k ，所以当k ≤0时，f (x )的定义域为R ； 当k >0时，f (x )的定义域为(－∞，log 24
k )．
(2)由题意可知：对任意x ∈(－∞，2]，不等式4－k ·2x >0恒成立．得k <42x ，设u ＝4
2x ， 又x ∈(－∞，2]，u ＝4
2x 的最小值1.所以符合题意的实数k 的范围是(－∞，1)．。