郑君里信号与系统考研总复习

s 2m or fs 2 fm
fs 2 fm
抽样频率
Ts
1 2 fm
抽样间隔
fsmin 2 fm
奈奎斯特抽样频率
1
Tsmax 2 fm
奈奎斯特抽样间隔 BEST FOR You
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25
第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
»定义：
• 单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换
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卷积的性质 主要内容
代数性质 交换律 分配律 结合律
微分积分性质 与冲激函数或阶跃函数的卷积
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第三章 傅立叶变换
» 周期信号的傅立叶级数
• 三角函数形式、指数形式 • 典型信号的频谱：Gτ(t),δ(t), u(t), Sa(t)
0
0
e
std
t
tn s
est
0
n s
t n1 estd t
0
1 s
1 s
est
0
1 s2
n t n1 estd t s0
所以 L tn n L tn1 s
n2
L t 2
2 s
Lt
2 s
1 s2
2
s3
n3
n1
Lt t estd t 0
L t 3
3 s
f2t
1 2π
F1
F2
时间函数的乘积 各频谱函数卷积的1 2π 倍。
卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信
系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 BEST FOR You ORGANICS COMPANY
一般周期信号傅立叶变换的几点认识
FT 2π F n1 n1
1 fT t 的频谱由冲激序列组成;
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指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
称为指数形式
的傅立叶级数
f (t ) Fne jn1t
n
F(n ) 1
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt,
2
n (,)
Fn : 指数形式傅立叶级数的傅立叶系数 已知某函数时域图形，会求其傅立叶级数
Lt2
3 s
2 s3
6 s4
1 t de st s 0
所 以 BEST FOR You
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L tn
n! sn1
逆变换一般情况
A(s) (s p1 )k
k11 (s p1 )k
(s
k12 p1
)k 1
k1(k1) (s p1 )2
k1k s p1
线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
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第三章
•时域卷积定理
若 f1t F1 , f2t F2
则 f1t f2t F1 F2
时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。
•频域卷积定理
若 f1t F1 , f2 t F2
则
f1t
抽样频率
则 P( ) FT[ p(t)] 2 Pn ( ns ) n
其中
1 Pn Ts
Ts
2 Ts 2
p(t )e jnst dt
Fs ( )
1
2
F ( )* P( ) PnF (
BEST FOR You n
ns )
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1、 矩形脉冲抽样
» 即 p(t) 为周期矩形脉冲
»拉氏变换的性质
• 线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、s域平移、尺度 变换、初值、终值
»卷积特性 »拉氏逆变换
• 部分分式展开法（求系数）
»系统函数H(s)
• 定义（两种定义方式） • 求解（依据两种定义方式）
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第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析
➢ 零输入响应与零状态响应 ➢ 冲激响应与阶跃响应
关系！
➢ 卷积及其性质(方便求零状态响应)
说明：原课件中涉及到的0点跳变、冲激函数匹配法不做要求。
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系统分析过程
列写方程: 根据元件约束,网络拓扑约束
经
典
齐 法
次
解
：rh(t )满足高阶微分方程中右端激励e( 及其各阶导数都为零的齐次方程
p(t)
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τ
t
Ts
Pn
E
Ts
Sa( ns
2
)
0
s
2
Ts
0 s
Fs ( )
E
Ts
Sa( ns
n
2
)F (
ns )
F ()
Pn
s
Fs ( )
0
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s
s
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2、 单位冲激抽样
理想抽样
» 即 p(t) 为周期冲激脉冲
F ()
E
p(t)
(1)
0
1 Ts Pn Ts
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三角形式傅立叶级数的傅里叶系数：
1 T1
直流系数
a0 T1
2 T1
f (t)dt
2
余弦分量
系数
an
2 T1
T1
2 T1
f (t )cos(n1t )dt
2
正弦分量
系数
2 bn T1
T1
2 T1
f (t)sin(n1t)dt
2
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
典型信号的傅立叶变换对总结
EG t
ESa
2
sgnt
2
j
e t ut
e t
( t )2
Ee
1
j
2 2 2
-( )2
E e 2
t
1
ut
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1
2 1
j
傅立叶变换特性主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质
0
s
2
Ts
t
0
Fs ( )
1 Ts
F (
n
ns )
1 Pn
Ts
s
s
E Fs ( )
Ts
0
时域抽样等效于频域周期拓展 BEST FOR You ORGANICS COMPANY
s
s
总结
»周期信号的傅立叶变换
是f(t)傅里叶 级数的系数
n
F ( ) 2 Fn ( n0 ) n
周期信号的频谱是离散的
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z变换
第一章 绪论
1、信号的概念
2、分类：典型的连续时间信号：
• 指数、正弦、复指数、抽样、钟形、δ(t), u(t), eat, sin(ω0t), Sa(kt)
3、信号的运算：
• 移位、反褶、尺度变换、微分运算、相加、相乘
4、奇异信号：
• 单位斜变、 阶跃、冲激（特性）、冲击偶
1
s p1
第四章
» 因果系统的s域判决条件： • 稳定系统：H(s)的全部极点位于s平面左半平面（不包括虚轴）； • 不稳定系统：H(s)的极点落于s平面的右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点； • 临界稳定系统： H(s)的极点落于s平面的虚轴上，且只有一阶极点。
求k11，方法同第一种情况：
k11 F1(s) s p1 (s p1 )k F (s) s p1
求其他系数，要用下式 ：
1 di1 k1i (i 1)! d si1 F1(s)
i 1,2,3,k
s p1
当i 2,
d K12 d s F1(s) s p1
当i 3,
1 d2
K F ( s) 13 2 BEST FOR You 2 d s O R G A N I C S C O M P A N Y
sin( t) 1 (e jt e jt )
2j
cos(t) 1 (e jt e jt )
2
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第一章 绪论
关于冲激信号
(at) 1 (t) a
尺度变换特性
(t) f (t) f (0) (t) (t t0) f (t) f (t0) (t t0)
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3. 傅立叶变换对
傅立叶正变换 F ( ) f (t )e jtdt = F [f(t)]
傅立叶反变换
f
(t)
1
2
F e jtd
=
F-1[F(ω)]
简写 f t F
时域信号
f(t)的频谱
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eα st
1
0
αs αs
3.单位冲激信号
0
σ α
L
t
0
t
estd
t
1
全s域平面收敛
L t t0
0
t t0 estd t est0 BEST FOR You
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4．tnu(t)
L t n t n estd t 0
1 s
t
est
信号与 系统
总复习
信号
系统
连续信号 离散信号
连续系统 离散系统
抽样定理
典型的时间信号 信号的运算 奇异信号 信号的分解
序列的概念 典型的离散信号
信号的运算
微分方程
差分方程
完全解=齐次解+特解 完全解=齐次解+特解
=零状态相应
=零状态相应
+零输入相应
+零输入相应
卷积运算
卷积和运算
三大变换
傅立叶变换
拉普拉斯变换
t
)
特解：rp (t )的函数形式与激励函数形式有关
解
方
程双零法零 零状 输态 入::利可用利卷用积经积典分法法求求解
变换域法: Z变换，在Z域求解微分方程
经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问
题有待进一步解决—— h(t)；
卷积法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。 (新方法)：与冲激函数、阶BES跃T FO函R Y数ou 的卷积
» 傅立叶变换
• 非周期信号的傅立叶变换 • 傅立叶变换的性质
• 对称性，线性、尺度变换特性、时移性（符号相同），频移性（符号相反） • 奇偶虚实性、微分特性、积分特性
• 卷积定理 • 周期信号的傅立叶变换——与单脉冲 信号的傅立叶级数的系数的关系 • 抽样信号的傅立叶变换——与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信号的
傅立叶变换的关系
» 抽样定理
• 时域抽样定理、频域抽样定理——注意2倍关系！！
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第三章 傅立叶变换
» 周期信号的傅立叶级数
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
n1
称为f (t)的傅立叶级数（三角形式）
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（一）冲激响应 h (t)
1）定 义 系统在单位冲激信号δ(t) 的激励下产生
的零状态响应。 2）求 解 形式与齐次解相同
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第二章
卷积定义：
f
t
f1
f2 t
d
利用卷积可以求解系统的零状态响应。
rzs t et ht et ht
(t) f (t)dt f (0)
(t
t0 ) f (t)dt
f (t0)
(t) (t)
偶函数
f (t) * (t) f (t); f (t) * (t t0 ) f (t t0 )
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第二章 连续时间系统的时域分析
➢ 微分方程式的建立与求解
位置: n1 谐波频率
强度 : 2πF n1 与f (t)的傅立叶级数相应的系数F (n1 )成正比,
周期信号的频谱是离散谱
2 谱线的幅度不是有限值, 因为F 表示的是频谱密度。
周期信号的F 只存在于 n1处, 是冲激函数
表明在无限小的频带范围内，取得了无限大∞的频谱值。
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收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t)eσt 0
t
σ σ0
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三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu( t )
2.指数函数
0
1
estd
t
1 est 1 s 0 s
L eα t eα testd t
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典型周期信号傅立叶变换
» 周期单位冲激序列的傅里叶变换 » 周期矩形脉冲序列的傅氏变换
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(二) 抽样信号的傅立叶变换
fs (t) p(t) f (t)
若采用均匀抽样，抽样周期为Ts， 则 p(t) 是一个周期为Ts 的周期信号
5、信号的分解：
• 脉冲分量、
6、系统模型及其分类 7、线性是不变系统的基本特性：
• 线性（叠加性、均匀性）、时不变特性、微分特性、因果特性
8、系统分析方法：
• 输入输出描述法、状态变量描述法
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两对关系式
欧拉 公式
推出 公式
e jt cos(t) j sin( t) e jt cos(t) j sin( t)
❖ 抽样信号的傅立叶变换
n
Fs ( ) PnF ( ns ) n
是抽样脉冲序列p(t) 傅里叶级数的系数
抽样（离散）信号的频谱是周期的
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(二） 奈奎斯特（Nyqist）抽样率 fs 和抽样间隔Ts
从前面的频谱图可以看出，从抽样信号重建原信号的 必要条件： 抽样频率大于等于原信号最高频率的2倍