2014-2015年考研数学二真题及答案解析
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(15)(本题满分10分)
求极限
(16)(本题满分10分)
已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小
值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域 计算 .
(18)(本题满分10分)
设函数 具有二阶连续导数， 满足 ，若 ，求 的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数 的区间 上连续，且 单调增加， .证明：
解法2
利用泰勒展开
由于泰勒展开系数的唯一性，得
可得
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数 连续， .若 =1， 则
【答案】2
【解析】改写 ,由变限积分求导法得
由 =1= ，
可得
综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用
(12)设函数 是微分方程 ，且在 处
取得极值3，则 =
【答案】
【解析】求 归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题
由特征方程 可得特征根 于
是得通解
【答案】B
【解析】由定义
所以 ，故 .
当 时， 是比 的高阶无穷小，所以 ，即 .
故选B
(2)下列曲线中有渐近线的是()
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】关于C选项： .
，所以 存在斜渐近线 .
故选C
(3)设函数 具有2阶导数， ，则在区间 上 （ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
单调不减，
取 ，得 ，即（II）成立.
(20)(本题满分11分)
设函数 ，定义函数列
，记 是由曲线 ，直线 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 .
【解析】
(21)(本题满分11分)
已知函数 满足 ，且 求曲线 所围成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为 ,所以 其中 为待定函数.
又因为 则 ，从而
由于二次型负惯性指数为1，所以 ，故 .
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求极限
【解析】
.
(16)(本题满分10分)
已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小
值.
【解析】由 ，得
………………………………………………………
(3)设函数 具有2阶导数， ，则在区间 上 （ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
(4)曲线 上对应于 的点处的曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5)设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6)设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有2阶连续偏导数，且满足 及 ，则 （ ）
【答案】D
【解析】令 ，则
,
, .
若 ，则 ， 在 上为凸的.
又 ，所以当 时， ，从而 .
故选D.
(4)曲线 上对应于 的点处的曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
故选C
(5)设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】因为 ，所以
故选D.
百度文库【答案】A
【解析】 .
记 ， ， .若 线性无关，则 ，故 线性无关.
举反例.令 ，则 线性无关，但此时 却线性相关.
综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关的必要非充分条件.
故选A
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
则 的特征值为 ， ( 重).
属于 的特征向量为 ； ，故 基础解系有 个线性无关的解向量，即 属于 有 个线性无关的特征向量；故 相似于对角阵 .
的特征值为 ， ( 重)，同理 属于 有 个线性无关的特征向量，故 相似于对角阵 .
由相似关系的传递性， 相似于 .
2015年全国硕士研究生入学统一考试
线性无关的 （ ）
(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
((9) __________.
(10)设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________.
(11) 设 是由方程 确定的函数，则 __________.
则 ,所以 在 内无极值，则极值在边界处取得.
故选A
(7)行列式 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
.
(8) 设 均为三维向量，则对任意常数 ,向量组 , 线性无关是向量组 线性无关的( )
(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
201
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是()
(A) (B) (C) (D)
(2)下列曲线中有渐近线的是()
(A) (B)
(C) (D)
【解析】由
，
由 ，代入得，
即
，
令 得
特征方程 得齐次方程通解
设特解 ，代入方程得 ，特解
则原方程通解为
由 ，得 ,则
.
(19)(本题满分10分)
设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：（I） ,
（II） .
【解析】（I）由积分中值定理
，
（II）直接由 ，得到
（II）令
由（I）知
又由于 单增，所以
(12)曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是__________.
(13)一根长为1的细棒位于 轴的区间 上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标 __________.
(14)设二次型 的负惯性指数为1，则 的取值范围为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(II)求满足 的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)
证明 阶矩阵 与 相似.
201
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是()
(A) (B) (C) (D)
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数 在(-∞,+∞)内
(A) (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“ ”型极限，直接有
,
在 处无定义，
且 所以 是 的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
则曲线 的拐点个数为AOB
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】 在(-∞,+∞)内连续，除点 外处处二阶可导。 的可疑拐点是 的点及 不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧 恒正，对应的点不是 拐点，B点两侧 ，对应的点就是 的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而( )是 的拐点。
(3)设函数 ( ).若
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】易求出
再有
于是， 存在 此时 .
当 ， ，
=
因此， 在 连续 。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数 在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数 的图形如右图所示，
(A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得
(C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得
(D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得
(7)行列式 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8)设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数 满足 则 与 依次是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】先求出
令
于是
因此
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，函数 在D上连续，则
(I) ,
(II) .
(20)(本题满分11分)
设函数 ，定义函数列
，记 是由曲线 ，直线 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 .
(21)(本题满分11分)
已知函数 满足 ，且 求曲线 所围成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积.
(22)(本题满分11分)
设矩阵 ， 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组 的一个基础解系；
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；
，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为
由 得
又由 可得
当 时， ，且有：
所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值
即： 的极大值为1，极小值为0.
(17)(本题满分10分)
设平面区域 计算 .
【解析】D关于 对称，满足轮换对称性，则：
(18)(本题满分10分)
设函数 具有二阶连续导数， 满足 ，若 ，求 的表达式.
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B
【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将 化为累次积分。
D的极坐标表示为
因此
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7)设矩阵A= ,b= 。若集合 ，则线性方程 有无穷多解的充分必要条件为
【答案】
【解析】
(10)设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________.
【答案】1
【解析】 且为偶函数
则
又 且为奇函数，故
又 的周期为4，
(11) 设 是由方程 确定的函数，则 __________.
【答案】
【解析】对 方程两边同时对 求偏导
当 时,
故
故
(12)曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是__________.
下的标准形为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】设二次型矩阵为A,则
可见 都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是- 也是A的特征向量，特征值为-1，因此
因此在正交变换 下的标准二次型为
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。
二、填空题：( )小题，每小题4分，共24分。
(9)设 则
【答案】48
【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得
=
,
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导
(10)函数 处的n阶导数
【答案】
【解析】
解法1 用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式
其中 注意 ,于是
因此
(6)设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有2阶连续偏导数，且满足 及 ，则 （ ）
(A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得
(C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得
(D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得
【答案】A
【解析】记
【答案】
【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ，
于是 对应于
切线斜率
所以切线方程为
即
(13)一根长为1的细棒位于 轴的区间 上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标 __________.
【答案】
【解析】质心横坐标
(13)设二次型 的负惯性指数是1，则 的取值范围_________.
【答案】
【解析】配方法：
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】
是一个范德蒙德行列式，值为 ,如果 ，则
，此时 有唯一解，排除(A),(B)
类似的，若 ，则 ，排除(C)
当 时， ，
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(8)设二次型 在正交变换 下的标准形为 ,其中 ,若Q= 在正交变换
.
令 可得 ，当 时， 或 ，从而所求的体积为
(22)(本题满分11分)
设矩阵 ， 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组 的一个基础解系；
(II)求满足 的所有矩阵 .
【解析】
,
(I) 的基础解系为
(II)
的通解为
的通解为
的通解为
（ 为任意常数）
(23)(本题满分11分)
证明 阶矩阵 与 相似.
【解析】已知 ， ，
求极限
(16)(本题满分10分)
已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小
值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域 计算 .
(18)(本题满分10分)
设函数 具有二阶连续导数， 满足 ，若 ，求 的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数 的区间 上连续，且 单调增加， .证明：
解法2
利用泰勒展开
由于泰勒展开系数的唯一性，得
可得
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数 连续， .若 =1， 则
【答案】2
【解析】改写 ,由变限积分求导法得
由 =1= ，
可得
综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用
(12)设函数 是微分方程 ，且在 处
取得极值3，则 =
【答案】
【解析】求 归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题
由特征方程 可得特征根 于
是得通解
【答案】B
【解析】由定义
所以 ，故 .
当 时， 是比 的高阶无穷小，所以 ，即 .
故选B
(2)下列曲线中有渐近线的是()
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】关于C选项： .
，所以 存在斜渐近线 .
故选C
(3)设函数 具有2阶导数， ，则在区间 上 （ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
单调不减，
取 ，得 ，即（II）成立.
(20)(本题满分11分)
设函数 ，定义函数列
，记 是由曲线 ，直线 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 .
【解析】
(21)(本题满分11分)
已知函数 满足 ，且 求曲线 所围成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为 ,所以 其中 为待定函数.
又因为 则 ，从而
由于二次型负惯性指数为1，所以 ，故 .
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求极限
【解析】
.
(16)(本题满分10分)
已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小
值.
【解析】由 ，得
………………………………………………………
(3)设函数 具有2阶导数， ，则在区间 上 （ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
(4)曲线 上对应于 的点处的曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5)设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6)设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有2阶连续偏导数，且满足 及 ，则 （ ）
【答案】D
【解析】令 ，则
,
, .
若 ，则 ， 在 上为凸的.
又 ，所以当 时， ，从而 .
故选D.
(4)曲线 上对应于 的点处的曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
故选C
(5)设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】因为 ，所以
故选D.
百度文库【答案】A
【解析】 .
记 ， ， .若 线性无关，则 ，故 线性无关.
举反例.令 ，则 线性无关，但此时 却线性相关.
综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关的必要非充分条件.
故选A
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
则 的特征值为 ， ( 重).
属于 的特征向量为 ； ，故 基础解系有 个线性无关的解向量，即 属于 有 个线性无关的特征向量；故 相似于对角阵 .
的特征值为 ， ( 重)，同理 属于 有 个线性无关的特征向量，故 相似于对角阵 .
由相似关系的传递性， 相似于 .
2015年全国硕士研究生入学统一考试
线性无关的 （ ）
(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
((9) __________.
(10)设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________.
(11) 设 是由方程 确定的函数，则 __________.
则 ,所以 在 内无极值，则极值在边界处取得.
故选A
(7)行列式 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
.
(8) 设 均为三维向量，则对任意常数 ,向量组 , 线性无关是向量组 线性无关的( )
(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
201
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是()
(A) (B) (C) (D)
(2)下列曲线中有渐近线的是()
(A) (B)
(C) (D)
【解析】由
，
由 ，代入得，
即
，
令 得
特征方程 得齐次方程通解
设特解 ，代入方程得 ，特解
则原方程通解为
由 ，得 ,则
.
(19)(本题满分10分)
设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：（I） ,
（II） .
【解析】（I）由积分中值定理
，
（II）直接由 ，得到
（II）令
由（I）知
又由于 单增，所以
(12)曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是__________.
(13)一根长为1的细棒位于 轴的区间 上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标 __________.
(14)设二次型 的负惯性指数为1，则 的取值范围为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(II)求满足 的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)
证明 阶矩阵 与 相似.
201
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是()
(A) (B) (C) (D)
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数 在(-∞,+∞)内
(A) (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“ ”型极限，直接有
,
在 处无定义，
且 所以 是 的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
则曲线 的拐点个数为AOB
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】 在(-∞,+∞)内连续，除点 外处处二阶可导。 的可疑拐点是 的点及 不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧 恒正，对应的点不是 拐点，B点两侧 ，对应的点就是 的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而( )是 的拐点。
(3)设函数 ( ).若
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】易求出
再有
于是， 存在 此时 .
当 ， ，
=
因此， 在 连续 。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数 在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数 的图形如右图所示，
(A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得
(C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得
(D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得
(7)行列式 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8)设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数 满足 则 与 依次是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】先求出
令
于是
因此
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，函数 在D上连续，则
(I) ,
(II) .
(20)(本题满分11分)
设函数 ，定义函数列
，记 是由曲线 ，直线 及 轴所围成平面图形的面积，求极限 .
(21)(本题满分11分)
已知函数 满足 ，且 求曲线 所围成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积.
(22)(本题满分11分)
设矩阵 ， 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组 的一个基础解系；
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；
，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为
由 得
又由 可得
当 时， ，且有：
所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值
即： 的极大值为1，极小值为0.
(17)(本题满分10分)
设平面区域 计算 .
【解析】D关于 对称，满足轮换对称性，则：
(18)(本题满分10分)
设函数 具有二阶连续导数， 满足 ，若 ，求 的表达式.
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B
【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将 化为累次积分。
D的极坐标表示为
因此
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7)设矩阵A= ,b= 。若集合 ，则线性方程 有无穷多解的充分必要条件为
【答案】
【解析】
(10)设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则 __________.
【答案】1
【解析】 且为偶函数
则
又 且为奇函数，故
又 的周期为4，
(11) 设 是由方程 确定的函数，则 __________.
【答案】
【解析】对 方程两边同时对 求偏导
当 时,
故
故
(12)曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是__________.
下的标准形为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】设二次型矩阵为A,则
可见 都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是- 也是A的特征向量，特征值为-1，因此
因此在正交变换 下的标准二次型为
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。
二、填空题：( )小题，每小题4分，共24分。
(9)设 则
【答案】48
【解析】由参数式求导法
再由复合函数求导法则得
=
,
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导
(10)函数 处的n阶导数
【答案】
【解析】
解法1 用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式
其中 注意 ,于是
因此
(6)设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有2阶连续偏导数，且满足 及 ，则 （ ）
(A) 的最大值和最小值都在 的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在 的内部上取得
(C) 的最大值在 的内部取得，最小值在 的边界上取得
(D) 的最小值在 的内部取得，最大值在 的边界上取得
【答案】A
【解析】记
【答案】
【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ，
于是 对应于
切线斜率
所以切线方程为
即
(13)一根长为1的细棒位于 轴的区间 上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标 __________.
【答案】
【解析】质心横坐标
(13)设二次型 的负惯性指数是1，则 的取值范围_________.
【答案】
【解析】配方法：
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】
是一个范德蒙德行列式，值为 ,如果 ，则
，此时 有唯一解，排除(A),(B)
类似的，若 ，则 ，排除(C)
当 时， ，
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(8)设二次型 在正交变换 下的标准形为 ,其中 ,若Q= 在正交变换
.
令 可得 ，当 时， 或 ，从而所求的体积为
(22)(本题满分11分)
设矩阵 ， 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组 的一个基础解系；
(II)求满足 的所有矩阵 .
【解析】
,
(I) 的基础解系为
(II)
的通解为
的通解为
的通解为
（ 为任意常数）
(23)(本题满分11分)
证明 阶矩阵 与 相似.
【解析】已知 ， ，