数学归纳法教学设计(第一节教案)
数学归纳法教学设计(第一课时)
中学 数学 杂志
２ ０ １ ５年 第 １ １ 期
女 同学 ， 第 ２是 女 同学 ， 第３ 号 是女 同学 ， …… ， 第２ ５ 号 还是女 同学 ， 按 照这个 规律 排下 去 ， 咱班 就 都是 女
生 了．
姓氏遗传 性
奠基 孔子姓孔
正整数命题
当 ｎ＝ｔ ／ ， 。 时， 命题正确
对话 一 概 括 总 结 ” ， 由 于它 的重 要 环 节是 “ 交 流对
生用分 段 函数 表示 出来 ， 然 后 补充 图象 表示 方法 ， 并
不期望 学生用统 一的解 析式 表示． 教学 时 有一 个学 生
给出了解析式， （ ） ： 一［ 一 ÷］ ＋１ ， ０＜ ≤２ ０ ． 我在肯
们 在 自行研 究 函数 的图象时 ， 就 已经 不 自觉地 考虑 到 了这 些 问题 ， 这 正是 教 学设 计 的 目的所 在 ， 检 测学 生 是 否会用分 析一 般 函数 的方 法来 分 析含 参 数 的分 段 函数 的 图象 和性 质． 整 节 课 教 与 学 的活 动进 行 很 流
了细微 的偏 移 ！课 堂上 与学 生 对话 时 ， 教 师要 专 注 ，
要倾 听 ， 但也要把 握大方 向 ， 不 能被学生 带跑 了．
６ ． ３ 关于教 学效果
问法 进行教学对 教师 的要 求 比较 高 ， 我认 为并 不是所
有 数学 内容都 能很好地运 用诘 问法进 行教 学 ， 对话 法 则 相对容 易上 手 ， 如 果 问题 设置 合 理 ， 它也 能 较好 地 促 进学生 的元 认知 活动．
等方 面都 比较 成 功 ， 所 有 教学 设 计 的 内容 及 提 问也
６ ． ４ 关于教 学方法 在本节课 教学 过 程 中 ， 我一 直 比较 沉 得 住气 ， 在 给 出问题后 不 急 于 引导 ， 而 是让 学 生充 分地 思 考 ， 然
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图(1)
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第二章第六节“数学归纳法”。
详细内容包括数学归纳法的定义、数学归纳法证明的步骤、数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学问题，提高逻辑推理能力。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的定义和证明步骤。
难点：运用数学归纳法证明数学问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题（如：1+2+3++n的计算公式）引入数学归纳法。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的定义和证明步骤；（2）以等差数列求和公式为例，详细讲解数学归纳法证明过程。
3. 随堂练习让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的数学问题，如：1^2+2^2+3^2++n^2=(n(n+1)(2n+1))/6。
4. 课堂讲解（1）讲解数学归纳法在实际问题中的应用；（2）分析学生在随堂练习中遇到的问题，给出解答。
六、板书设计1. 板书数学归纳法的定义、证明步骤和应用。
2. 板书随堂练习的题目和解答过程。
七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2；（2）C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)++C(n,n)=2^n。
2. 答案：见教材课后习题解答。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的定义和证明步骤掌握程度，以及对实际问题的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生探索数学归纳法在解决更复杂数学问题中的应用，如：数列的通项公式、组合恒等式等。
重点和难点解析：1. 教学难点与重点的明确；2. 例题讲解的详细程度；3. 随堂练习的设计与指导；4. 作业设计中的题目难度与答案解析；5. 课后反思及拓展延伸的深度。
数学归纳法教学设计
2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：（一）知识与技能：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（二）过程与方法：通过数学归纳法的探究过程，培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，培养发现问题与提出问题的数学意识，培养数学学习中的合作交流的能力，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法．（三）情感态度与价值观：进一步培养严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无限的辩证关系，感悟数学的理性精神，欣赏数学的美与理．二、教学重点掌握数学归纳法证明问题的步骤，掌握数学归纳法的简单应用．三、教学难点应用数学归纳法第二个步骤中从k 到k+1的变化情况分析．四、教学过程（一）情境引入1、（1）学生先观看多米诺骨牌游戏过程（2）学生小组讨论并回答：骨牌全部倒下，需要哪些条件？结论：骨牌全部倒下需要两个条件：（1）第1块骨牌要倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
（3）学生思考：条件（2）的作用是什么？（4）再次观看多米诺骨牌游戏并提问学生：数学中有没有类似的情况？2、（1）学生思考讨论：{}()11,11,2,...1nn nnaa a a na+===+对于数列已知，猜想其通项公式并说说这个问题与多诺米骨牌游戏有什么类似之处。
（2）多诺米骨牌游戏的原理与1nan=这个猜想的证明方法的类比。
（3）数列的通项公式1nan=的证明过程。
（二）新课学习：【1】、学生根据上述例子小组讨论总结数学归纳法的定义。
结论：一般地证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：【2】例题讲解（一）结论：变式训练1、【3】例题讲解（二）变式训练2、用数学归纳法证明：【4】练习巩固五、知识小结1.（归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；2.（归纳递推）假设当n=k (k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立. 这种证明方法就叫做数学归纳法。
高三数学教案：数学归纳法
第一节 数学归纳法一、基本知识概要：1.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效. 基础题：1．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （B ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立2．设1111()()(1)()1232f n n N f n f n n n n n*=++++∈+-=+++ 有，则=-+)()1(n f n f （ D ）A ．121+n B ．221+nC ．221121+++n n D ．221121+-+n n3．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是（ B ）A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++C ．2)1(+kD ．]1)1(2)[1(312+++k k4．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅- ”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ B ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 5．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ C ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立【典型例题选讲】【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（Ⅰ）)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明]︒1. 当1=n 时，左边0)11(122=-⋅=，右边0201412=⋅⋅⋅=，∴左边=右边，1=n 时等式成立；︒2. 假设k n =时等式成立，即)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k)]12()12(2)12(1[)]()2(2)1(1[222222++++⋅++⋅+-⋅++-+-⋅=k k k k k k k k k )]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k )2()1(41)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即1+=k n 时等式成立， 根据︒︒21与，等式对*∈N n 都正确.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题： （Ⅰ）求证：)(53*∈+N n n n 能被6 整除. [证明]︒1. 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；︒2. 假设k n =时命题正确，即k k 53+能被6整除，∴当1+=k n 时，)5()55()133()1(5)1(3233k k k k k k k k +=+++++=+++6)1(3+++k k ，∵两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数，)1(3+∴k k 能被6整除，6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，由︒︒2,1知命题时*∈N n 都正确.例3、（优化设计P202例1）比较2n与n 2的大小()n N ∈剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n =1时，21＞12，当n =2时，22=22，当n =3时，23＜32， 当n =4时，24=42，当n =5时，25＞52， 猜想：当n ≥5时，2n ＞n 2. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =5时，25＞52成立.（2）假设n =k （k ∈N *，k ≥5）时2k ＞k 2，那么2k +1=2·2k =2k +2k ＞k 2+（1+1）k ＞k 2+C 0k +C 1k +C 1-k k =k 2+2k +1=（k +1） 2.∴当n =k +1时，2n ＞n 2. 由（1）（2）可知，对n ≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立.综上，得当n =1或n ≥5时，2n ＞n 2；当n =2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩. 例4、是否存在常数使 a 、b 、 c 等式2222222421(1)2(2)....(1)n n n n an bn c∙-+-+-=++对一切正整数n 成立？证明你的结论。
数学归纳法教学设计
数学归纳法（第一课时）教学设计天门市高中复读中心王克进一、教学设计１、教学内容解析：数学归纳法是直接证明的又一重要方法，应用十分广泛，一般说来，与正整数有关的命题，都可以考虑用数学归纳法推证.如在《数学5》中学过的等差数列和等比数列的通项公式，以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式等，都是通过不完全归纳推理得到的，这些结论都具有猜测的特征，其正确性还有待证明，因此就需要研究一种新的方法——数学归纳法.根据以上分析本节课教学重点确定为：数学归纳的步骤，运用数学归纳法证明一些与自然数有关的数学命题.2、学情诊断：在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理，再加上学生积累的实际经验，事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力.学生初学数学归纳法时往往把注意力集中在第二步（归纳递推）上，而对第一步（归纳奠基）感到可有可无.另外，归纳递推这一步中，“假设”可以当条件用且必须用到它是学生感到困惑的，教学中应注意用实例加以引导，帮助学生理解这两个步骤.根据以上分析本节课教学难点确定为：对数学归纳法的本质理解，以及运用数学方法解决实际问题。
3、教学对策分析：数学归纳法的原理是学生难以理解的，教学中可创设学生比较熟悉的问题情境来理解，从中提炼出数学归纳法原理.通过例1的教学，学生能熟悉用数学归纳法证明数学命题的过程及表述规范，形成模式化的方法.通过例2的教学，学生经历一次数学研究与发现的完整过程，既复习了归纳猜想又巩固了数学归纳法，达到学以致用的目的.问题情境，引出课题师生合作，探究新知归纳小结，概念提升布置作业二、教学过程设计（一）创设情境，引出课题问题情境同学们请看屏幕已知数列{}n a 满足，11=a ，nn n a a a +=+11（n = 1，2，…）猜想其通项公式 111=a 212=a 313=a 414=a 由前四项猜想na n 1=如何证明这个猜想呢？若从n=5开始验证，515=a 616=a 717=a 818=a ……而正整数有无数个，这样验证下去永无止境啊！有没有一种只通过有限个步骤的推理，而证明n 取所有正整数命题都成立的方法呢？这就是我们今天要探究的“数学归纳法”。
2024年数学归纳法一课件新课标人教A版选修2
2024年数学归纳法一课件新课标人教A版选修2一、教学内容本节课选自《2024年数学新课标人教A版选修2》的第四章第一节“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的定义、原理和步骤，以及数学归纳法在实际问题中的应用。
重点讲解数学归纳法的基本思想和操作方法，并通过典型例题使学生掌握该方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤和逻辑关系。
教学重点：数学归纳法的定义、原理和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用PPT展示一个数学问题：如何证明1+2+3++n = n(n+1)/2？引导学生思考如何解决这个问题。
2. 数学归纳法讲解（1）讲解数学归纳法的定义和原理。
（2）介绍数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤。
（3）通过例题讲解，让学生理解数学归纳法的具体操作。
3. 例题讲解（1）证明1+2+3++n = n(n+1)/2。
（2）证明对于任意正整数n，2^n > n。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题：证明对于任意正整数n，n(n+1)(n+2)是3的倍数。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义、原理和步骤3. 例题解答步骤4. 随堂练习题及答案七、作业设计1. 作业题目（1）证明对于任意正整数n，n^2 n 是偶数。
（2）证明对于任意正整数n，n^3 + (n+1)^3 是6的倍数。
2. 答案八、课后反思及拓展延伸2. 对学生进行课后辅导，解答他们在学习过程中遇到的问题。
3. 拓展延伸：鼓励学生运用数学归纳法解决其他数学问题，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
重点和难点解析1. 数学归纳法的基本步骤和逻辑关系。
2. 例题的选取和解题步骤。
数学归纳法(人教教案)docx
“数学归纳法”（第一课时）教学设计（修改稿）浙江省衢州高级中学何豪明一、内容和内容解析“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）》中的内容，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①；②若，则．那么是全体正整数的集合，即）也叫做归纳公理．设是一个与正整数有关的命题，我们把使成立的所有正整数组成的集合记为，如果要证明对于所有正整数都成立，只要证明即可．为此，根据归纳公理，首先证明（数学归纳法中的第一步“归纳奠基”正是进行这样的证明）；其次证明若，则（数学归纳法中的第二步“归纳递推”正是进行这样的证明）．这样即可得到，从而证明了命题对于一切正整数都成立．不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当时命题成立，利用这个假设，如果能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有的正整数，………，命题都成立.也就是说，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，……．即命题真命题真命题真命题真．因此可知命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法的思维模式是：“观察——归纳——猜想——证明”．数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．二、目标和目标解析本节课的目标是：1．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，在证明过程中，要分“两个步骤和一个结论”．其中第一步是归纳奠基，只需验证取第一个值（这里是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1，可以是2，或取别的正整数）时命题成立；第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性．把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立．因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总的结论．否则，还不能算是已经证明完毕．所以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步骤和一个结论”．应用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，将一块“骨牌”对应一个“命题”，某块骨牌“倒下”对应某个命题“成立”，从而培养学生的类比推理能力．三、教学问题诊断分析教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明．为突破以上教学难点，课堂教学中两条线索交替进行．一条是主线：“提出问题——分析问题——解决问题”；另一条是暗线：“课堂提问的规则——根据学号提问，并依次从小号到大号”．在这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是1，就如同第一个被提问到的学生不一定是1号的学生一样．若是2号，则下一个被提问的学生一定是3号．另外，设计命题：已知时，命题成立，求证：时命题成立．从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．四、教学支持条件分析在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学时应该充分注意这一教学条件，通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果．五、教学过程设计1.从思考题中引入课题思考题：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明．分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1: 摆放好多米诺骨牌，推倒第1块骨牌，观察发生的结果？思考游戏2: 摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3: 摆放好多米诺骨牌，先抽走第块骨牌，然后推倒第块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌不能拿走，因为第块骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性．问题1:为什么会有这些结果的发生？如果我们想要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？问题2:从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立.分析2：根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立.分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立.【设计意图】抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质.3.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立.问题3:(1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立？(2)为什么在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不可？【设计意图】进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的情形.分析：缺了第（1）步，就没有了归纳奠基；缺了第（2）步，就丧失了归纳递推的过程；缺了结论，整个数学归纳法的过程就不能顺利完成.“两个步骤和一个结论”缺一不可.其思维过程是，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，……．4.数学归纳法的应用例1：已知数列的第项，且，求证：.【设计意图】因为从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，所以设计这一例题，有利于突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．例2：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明.【设计意图】在应用的过程中理解数学归纳法.5.课堂练习练习1：已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．解：猜想：．证明：（1）当时，左边=，右边=1，所以猜想成立．（２）假设当时猜想成立,即，那么，，所以，当时猜想也成立．根据（１）和（２），可知猜想对任何都成立．问题4：请看练习1的三个变式，请问它们的分析过程合理吗？请问它的三个变式正确吗？变式1：等式对任意的正整数都成立吗？分析：假设当时命题成立,即，那么，，所以，当时命题也成立．所以等式（）成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳递推，没有归纳奠基是不行的．变式2：等式对任意的正整数都成立吗？分析：当时，左边=，右边=，所以等式（）成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳奠基，没有归纳递推也是不行的．变式3：等式对任意的正整数都成立吗？分析：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立．（2）假设当时等式成立,即那么，，所以当时，等式也成立，所以等式对任何都成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，不能没有归纳递推的过程（即证明命题时归纳假设一定要用上），因为它是运用“有限”手段，解决“无限”问题的关键．练习2：用数学归纳法证明．练习3：已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．【设计意图】进一步熟练数学归纳法证明命题的步骤，加深对数学归纳法本质的理解．6.课堂小结（1）数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．（2）数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可．（3）数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用上,解题目标要明确（也就是人们常说的“双凑”：凑假设和凑结论）.（4）数学归纳法体现的核心思想是什么？数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题．它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法．等等．【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，提高学生对本节课知识的整体认识．六、目标检测设计（1）用数学归纳法证明：①；②首项是，公差是的等差数列的通项公式是，前项和的公式的．【设计意图】通过数学归纳法的简单应用，体会其思维模式：“观察——归纳——猜想——证明”．（2）用数学归纳法证明命题:的步骤如下,其证明方法是否正确?并说明理由.证明:假设时命题成立,就是，那么,当时,,这就是说,当时命题也成立.根据数学归纳法,成立.【设计意图】数学归纳法证明命题时不能没有第一步，因为它是归纳奠基．（3）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命题时，两个步骤和一个结论，缺一不可．同时，归纳假设一定要用上．（4）已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．【设计意图】体现数学归纳法的思维模式：“观察——归纳——猜想——证明”．这就是数学归纳法的核心思想．（5）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命题时，第一步中的第一个值不一定是1．。
数学归纳法教案1
课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
2.会证明简单的与正整数有关的命题。
3.努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤作用，不易根据归纳假设作出证明。
2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
n1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
强调条件②的作用：)211a ++=)2322a --(12k a +-+(2221k -+【板书设计】这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的，我设计以下问题并和学生共同讨论回答。
22n n ++=I.数学归纳法是怎样运作的？（在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链，以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.）II.数学归纳法适用于证明什么样的的命题?（数学归纳法适用于证明：和正整数有关的命题。
）III.数学归纳法基本思想是什么？（在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
数学归纳法精品教案
数学归纳法精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第四章“数学归纳法”第一节，内容主要包括数学归纳法的定义、原理以及应用。
详细内容包括：1. 数学归纳法的概念及其基本步骤；2. 数学归纳法证明的基本形式；3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤；2. 学会使用数学归纳法证明等式和不等式；3. 能够运用数学归纳法解决简单的实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理能力。
教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：爬楼梯问题）引出数学归纳法，激发学生兴趣；2. 讲解：介绍数学归纳法的定义、步骤，结合例题进行讲解；a. 确定基础步骤；b. 归纳假设；c. 归纳步骤；3. 互动：让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的等式，如：1+2+3++n=n(n+1)/2；4. 练习：布置随堂练习，让学生独立完成，教师进行指导；六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念；3. 步骤：基础步骤、归纳假设、归纳步骤；4. 例题：1+2+3++n=n(n+1)/2；5. 练习：数学归纳法证明等式。
七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2；b. 证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。
2. 答案：a. 证明：当n=1时，等式左边为1，右边为1，等式成立；假设当n=k时等式成立，即1^3+2^3+3^3++k^3=(1+2++k)^2；当n=k+1时，等式左边为1^3+2^3+3^3++k^3+(k+1)^3，根据归纳假设，等式左边=(1+2++k)^2+(k+1)^3；右边为(1+2++k+(k+1))^2，展开后得到(1+2++k)^2+2(1+2++k)(k+1)+(k+1)^2；将等式左边与右边对应项进行比较，发现它们相等，因此当n=k+1时，等式也成立。
数学归纳法教学设计_第一课时_
数学归纳法教学设计(第一课时)金海燕(浙江省临海回浦中学,317000)教学思路:根据以往的经验,不管教师如何解释,学生对数学归纳法的原理往往迷惑不解,半信半疑,兴趣不大.为突破这一难点,这节课采用了幼儿玩具)))小木块为学生创设情境,深化学生对数学归纳法的领悟.本节课的教学方法是,让学生的思维从问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态.思维的浪花随着问题的深入起伏跳跃.教师仅作为/顾问、参谋、设计者0组织教学,并结合问题情境及/画骆驼0的故事,让学生感受到学习数学归纳法的必要性,认识到数学既源于生活,又应用于生活的应用价值.教学步骤:一、创设情境,提出问题(1)观察:6=3+3,8=5+3,10=3+ 7,12=5+7,14=3+11,,,78=67+11, ,.你能得出什么结论?(由此引出哥德巴赫猜想:任何不小于6的偶数都是两个奇质数的和,适时介绍陈景润的成就,激发学生的爱国热情.)(2)观察等差数列a n的前几项,a1= a1+0#d,a2=a1+1#d,a3=a1+2d,a4= a1+3d,,.你能得出什么结论?像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法,叫归纳法,它可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律,但是由它得出的结论并不一定可靠,必须想办法对所得的结论椭圆的两个焦点,N F1PF2=60b.试求&F1PF2的面积.发现部分学生有如下两种解法:方法1设P点坐标为(x0,y0),依题意,有x20 25+y209=1,¹(x0+4)2+y20+(x0-4)2+y20-2(x0+4)2+y20#(x0-4)2+y20# c os60b=64.º联立¹、º,解方程组求得y0=33._S&PF1F2=12|F1F2|#|y0|=12@8@33=33.方法2由椭圆方程知,a=5,c=4.由已知条件,得|PF1|+|PF2|=10,¹|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|#|PF2|#cos60b=4c2=64.º由¹2-º得:|PF1|#|PF2|=12._S&PF1F2=1|PF1|#|PF2|sin60b=12@12@32=33.引导学生对比两种解法:方法1虽然思路与解法自然,但未掌握好椭圆的定义,计算较复杂.方法2充分利用椭圆定义解题,能起到化繁为简的作用.通过探究使学生深刻体会到,正确理解和熟练运用数学概念,能优化解题方法,通过探究,更能使学生明辨是非,提高解题能力.在教学中,教师应努力创设具有启发性的教学情境,调动学生积极参与和主动探索解决问题的过程,使学生在情境中观察、分析、类比、思考,以/问题0来激发求知欲望,运用对比法,帮助学生区分容易混淆的概念,培养学生的发散思维能力和解决问题能力.#3#第10期高中数学教与学进行证明.但有些结论不能通过一一验证的办法加以证明,所以需要寻找新的方法,不用一一验证又能说明结论对每一个正整数都成立.二、实验演示,探索问题问题1现在桌上立着许多小木块,我们当然可以一块一块地把它们全部推倒,但现在只允许推倒一块,你有办法做到使它们全部倒下吗?如果有办法,小木块应怎样摆?应先去推倒哪一块?(让学生上来做这个游戏,推倒再摆,摆了再推,,,.然后适时引导,让学生/悟0出递推原理,并归纳出让竖立着的小木块全部倒下应满足两个条件:(1)第一块倒下;(2)若前一块倒下,则后一块也必倒下.适时介绍多米诺骨牌游戏并播放视频动画)在上述游戏中,去掉条件(2)(可从中抽掉两只木块),只有条件(1),能否保证这列木块全部倒下?若去掉条件(1),只有条件(2)呢?通过实验,使学生领悟到条件(1)是传递的基础,(2)是传递的依据,把木块倒下这样的事件看成是命题P成立,则有P(1)y P(2)y P(3)y,y P(n)y,,这是传递的过程,而传递的结果就是木块全部倒下.从小木块倒下及多米诺骨牌游戏中我们能受到什么启发呢?三、提升理念,形成新的知识体验在上述实验的基础上,引导学生思考:这样的思维方式是否可以应用到数学证明上来呢?你能设计出类似的方法来证明一个命题对所有的正整数都成立吗?问题2如何证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立?我们可以把命题比作木块,命题对所有正整数成立比作所有木块倒下,则要证明一个命题对所有的正整数都成立,只须满足下列条件:(1)证明当n=1时命题成立;(2)假设n=k(k\1,k I N*)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.由(1)和(2)知传递的过程是:P(1)正确(验证)k=1P(2)正确k=2P(3)k=3,y P(n)y,这一种证明方法就叫做数学归纳法,也是我们这节课学习的内容.(点明课题)上述无穷/链条0一环扣一环,形象地说明了数学归纳法证明P(n)正确的过程.因此,数学归纳法中的两个步骤缺一不可,第一步是传递的基础,第二步是传递的依据,缺了第一步传递就失去了基础,缺了第二步传递就失去了依据,也就无法传递下去.四、实践运用,解决问题例1观察图1,你能得出什么结论?并用数学归纳法证明你的结论(即1+3+5+,+ (2n-1)=n2(n I N*).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=12=1,等式是成立的;(2)假设当n=k时等式成立,就是1+3+5+,+(2k-1)=k2,那么1+3+5+,+[2(k+1)-1]=1+3+5+,+(2k-1)+2k+1=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)知,等式对任何n I N*都成立.例2用数学归纳法证明等差数列a n的通项公式a n=a1+(n-1)d对一切n I N*都成立.(与学生一起分析,过程略并板书)五、探索深化一个与正整数有关的命题不一定都是从1开始时,比如凸n边形的内角和公式f(n)= (n-2)#180b中,n可取的最小值是3,那么对于这种命题怎样用数学归纳法来证明呢?问题3如何用数学归纳法证明一个命题对于从n0开始的所有正整数n都成立呢?(1)证明n=n0时命题成立;(2)假设n=k(k\n0,k I N*)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.这是数学归纳法证题的两个步骤,在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.数学归纳#4#高中数学教与学2004年探索性问题的编制王宝泉(江苏省滨海中学,224500)探索性问题在高考数学试题中占有一定的比例,而且有上升的趋势,使得这类问题备受关注.探索性问题是相对于封闭性问题而言的,一般可分成这样几种:(1)从给定的题设探求相应的结论;(2)由给定的题断反溯应具备的条件;(3)改变题设或题断的某个部分,考察整个问题将会产生什么变化.由于探索性问题没有明确的结论,需要对题目中提供的各种信息进行观察、分析、概括、猜想,得出相应的结论并给予正确的证明,解决这类法的核心,就是在验证P(n0)成立的基础上,证明P(n)成立具有传递性(n\n0).证明中,恰当地运用归纳假设是关键.六、总结反思,深化认识11知识点用数学归纳法证明对于从n0开始的所有正整数都成立的两个步骤:(1)证明n=n0时命题成立;(2)假设n=k(k\n0,k I N*)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立;根据(1)、(2)知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.21思想方法运用了由特殊到一般,由有限到无限的化归思想,及观察)))猜想)))证明的数学方法.七、课外拓展,布置作业(1)阅读/画骆驼0故事.(用有限来表达无限,把数学归纳法原理恰到好处地融入在绘画技巧中,让学生领略到数学的奇妙美.)(2)完成巩固型作业.(略)(3)研究性作业.简析/画骆驼0故事中第3个徒弟胜出的原因.有关资料(根据具体情况取舍).(1)烽火传军情:古代边疆的士兵,每隔一定的距离建筑一高台,发现军情,一台就燃起烽火,邻台见后,也立即起火,这样军情就能很快传告全线士兵.(2)/画骆驼0的故事:有1个画家收了3个徒弟,一天,他想测试一下3个徒弟中到底哪个对绘画技巧掌握得最透彻.于是,他把3个徒弟叫做跟前,每人给了一张纸,说:你们要用最经济的笔墨,画出最多的骆驼.第一个徒弟马上就开始画了,他在卷子上密密麻麻地画了一群骆驼;第二个徒弟他为了节省笔墨,只画出许多骆驼头;第三个徒弟,他画了什么呢?他只是在纸上用笔勾出两座山峰,再从山谷中走出一只骆驼.后面还跟着一只只露出半截身子的骆驼,你们说谁对绘画技巧掌握得最好呢?教学反思在生活中体现数学归纳法这一思想的例子很多:体育课中的报数,自行车的放置等,但要从这些随处可见的生活例子中提炼出数学思想并用到数学证明上来并不是一件容易的事,历史上就经过了几千年.如何在这一短短的课堂中让学生领悟数学归纳法的实质是整堂课的难点.笔者通过开始的实验演示形象生动地说明数学归纳法的基本思想,然后讲解数学归纳法的两个步骤,最后揭示两个步骤的内在联系,逐步深入,使学生对数学归纳法的认识由表及里,深化理解.再在结束时通过小故事让学生领会到数学的美感,认识到很多理念都是从生活中提升出来的,平时应密切关注身边的事,多观察,多思考.#5#第10期高中数学教与学。
数学归纳法教学设计
数学归纳法教学设计教学设计：数学归纳法一、教学目标：1.了解数学归纳法的定义和基本原理。
2.学会用数学归纳法解决数学问题。
3.掌握数学归纳法的应用技巧和方法。
4.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：1.数学归纳法的概念介绍。
2.数学归纳法的基本原理。
3.数学归纳法的应用实例。
三、教学过程：Step 1：导入（5分钟）1.引导学生回顾前几次课学习的内容，复习递归和数列的相关知识。
2.提问：递归和数列的特点是什么？我们能通过什么方法来证明一个问题在所有情况下都成立？Step 2：学习数学归纳法的定义和基本原理（15分钟）1.讲解数学归纳法的定义和基本原理。
Step 3：数学归纳法的应用实例（20分钟）1.给出一个具体的应用实例，如证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/22.讲解具体的步骤和方法，如何运用数学归纳法来证明这个等式。
3.引导学生自己动手完成证明过程，理解数学归纳法的应用步骤。
Step 4：巩固练习（25分钟）1.给学生一些类似的题目，要求他们用数学归纳法来解决。
2.检查学生的答案，引导他们分析解题过程和思路。
Step 5：归纳总结（10分钟）1.回顾数学归纳法的定义、原理和应用方法。
2.引导学生总结数学归纳法的特点和使用技巧。
3.提问：数学归纳法有什么优缺点？有哪些应用场景？四、教学资源准备：1.教学投影仪和电脑。
2.教学PPT或课件材料。
3.教师准备具体的数学归纳法应用实例和练习题。
五、教学评估：1.教师观察学生的学习兴趣和参与度。
2.课堂练习和讨论中学生的回答和解题思路。
3.学生个人批判性思维和分析问题的能力。
六、教学反思：数学归纳法是一种重要的数学思维方法，通过教学设计可以帮助学生理解和掌握这种方法的应用步骤和技巧。
在教学过程中，通过具体的应用实例和练习题，可以帮助学生更好地理解数学归纳法的作用和优势，并培养他们的逻辑思维和数学推理能力。
同时，教师还需要引导学生总结数学归纳法的特点和使用技巧，帮助他们更好地掌握这种方法，并将其应用于解决更复杂的问题。
人教版高中数学《数学归纳法》教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校构设原形情景 提高课堂教学效率——数学归纳法第一课时教学设计1教材分析1.1教材的地位与作用数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种非常重要的方法,它的地位和作用可以从三个方面来看：（1）中学数学的许多重要结论，如等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式，二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明．由归纳、猜想得出一些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步．（2）运用数学归纳法可以证明许多数学命题，既可以开阔学生的眼界，又可以使他们受到推理论证的训练．（3）数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到，因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础．1.2教学的重点与难点数学归纳法的基本思想，即先验证使结论有意义的最小的正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当1+=k n 时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数Λ,2,100++n n ，命题都成立，这是问题的重点和难点．数学归纳法原理及其简单的应用是本节课的教学重点．2教学目标分析2.1知识与技能培养学生分析问题、解决问题的能力，更重要的是可以开阔学生的眼界，还可以使他们受到推理论证的训练，也让学生感受到数学文化的熏陶，培养学生的科学文化素质．2.2过程与方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法．数学归纳法原理是很抽象的，但又与生活中的许多实例是相关的，可以例举大量的实例让学生感受或进行实验，即从做中学，从而上升到理论认识，这就需要抽象概括的能力．于是，学生就主动建构了数学归纳法的原理和解决问题的两个步骤．这样课堂教学方法不仅突破了教学的难点，同时也解决了数学课堂枯燥无味的感觉，培养了学生观察社会、热爱生活，真正发挥数学的文化教育功能．2.3情感态度与价值观教学中注重数学与文化的教学，让学生充分认识到数学中处处有人文精神，鼓励学生探索创造，充分体现课程改革的精神．3学情分析3.1学生学习本课内容的基础其实在上这节课之前时，学生早就接触过归纳法了．例如在高一年级学习数列时，经常遇到给出数列的前几项，求它的一个通项公式，用的方法就是数学归纳法，确定等差数列、等比数列的通项公式，用的也是归纳法．3.2学生学习本课内容的能力学生通过学习数列有关内容，已经掌握根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法．不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，但同时也应看到，它是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．3.3学生学习本课内容的心理根据皮亚杰(J ．Piaget)关于心理发展阶段学说,他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段,即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段．高三学生经过二年的高中学习，认知水平已经从形象转向抽象， 思维能力也得到了提高．他们有能力学会由特殊到一般的思维方式，并且使自己的感性认识上升到理性认识．4教学过程设计4.1构设原形情境当学生在学习某种新知识之前，如果他们先了解这项知识在生活中的原型材料，那么对知识的理解会自然，接受也坦然，记忆长远，学习态度也会表现得更主动更有兴趣．在教学时,我先让学生看了这样一段录象：新华社2000年12月31日和中央电视台2001年元月6日先后报道：在20世纪的的最后几分钟里,一项新的多米诺骨版吉尼斯纪录,在北京颐和园体育健康综合馆和网球馆诞生了．中国、日本和韩国的62名青年学生成功推倒了340多万张骨牌，一举打破了此前由荷兰人所保持的297万张的世界纪录．从电视画面可以看到，骨牌瞬时依次倒下的场面蔚为壮观，期间显示的图案丰富多彩，令人叹为观止，学生赞口叫绝．这就是“多米诺骨牌效应”，其中蕴含的科学道理简单地说，就是能确保前一张骨牌倒下则后一张骨牌必倒，这个较为新异的情景场面是数学归纳法原理的直观展示，有助于学生对数学归纳法原理的理解和证题步骤的把握．4.2挖掘生活原形，发现定义[追问1]：你们还可以举一些生活中的例子吗？[生1]：一排排放得很近的自行车，只要碰倒第一辆，就会倒下一排．[生2]：过年的时候,有放鞭炮的传统,只要前排的鞭炮响,则它的后一排鞭炮就会响．[生3]：一列由n 节车厢连接好的火车，第一节车厢运动，第二节车厢也跟着运动，第三节车厢也跟着运动K 第ｎ节车厢也跟着运动．K K（同学们的思维很活跃，课堂气氛好）[追问2]：那么这些游戏或生活中的实例要取得成功，必须有什么条件做保证呢？[生]：例如骨牌中，第一张牌被推倒，后面所有的都倒了．[追问3]：是这样吗？请同学们再思考．[生]：还应该有：任何相邻两张牌的距离不能太大，必须保证前一张牌倒后一张牌也必定倒，这样就有传递性，即进入循环递推系统．[师]：正确！用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得的命题的正确性的证明方法就叫做数学归纳法．即先证明当n 取第一个值0n （例如0n ＝１）时，命题成立．然后假设当k n =（0*,n k N k ≥∈）时，命题也成立，那么就证明这个命题成立．因为证明了这一点，就可以判定这个命题对于n 取第一个值后面的所有正整数也都成立．4.3问题解决，加深理解我们用上面的方法来证明题目：等差数列{}n a 的通项公式)()1(*1N n d n a a n ∈-+=证明： (1)当1=n 时,左边=1a ,右边=110a d a =⋅+,左边=右边,等式成立．(2)假设当k n =时等式成立,即d k a a k )1(1-+=,那么当1+=k n 时有:d k a d d k a d a a k k ]1)1[(])1([111-++=+-+=+=+∴当1+=k n ,公式成立.由(1)(2)知,公式对一切正整数均成立.4.4例题示范,学会应用用上面的方法来证明题目：等差数列{}n a 的通项公式)()1(*1N n d n a a n ∈-+= 证明：(1)当1=n 时,左边=1a ,右边=110a d a =⋅+,左边=右边,等式成立．(2)假设当k n =时等式成立,即d k a a k )1(1-+=,那么当1+=k n 时有:d k a d d k a d a a k k ]1)1[(])1([111-++=+-+=+=+∴当1+=k n ,公式成立.由(1)(2)知,公式对一切正整数均成立.4.5解法剖析,掌握原理例1 证明1+3+5+K +(32-n )+(12-n )=)(*2N n n ∈方法一:观察左边可知:它表示一个首项为1,公差为2的等差数列的前n 项和.∴左边=22)]12(21[n n n =-+=右边,故等式成立. 方法二:(1)当n =1时,左边=1,右边=112=,等式成立.(2)假设当k n =时,等式成立,即: 2)12(531k k =-++++Λ,当1+=k n 时,代入,2)12()32(531n n n =-+-++++Λ得:2)1()12(531+=+++++k k Λ,所以等式成立.综合(1)(2)等式对一切正整数n 均成立.[说明]方法一不是数学归纳法,方法二也不是数学归纳法,而且是错误的.这是因为,1+=k n 时的等式是有待于利用归纳假设和已知条件加以证明,不能直接将1+=k n 代入要求证的等式.4.5例题示范,学会应用例2:用数学归纳法证明:6)12)(1(321222++=++n n n . 先由学生自己独立完成,然后进行讲评,证明过程见课本64至65页. 例3:用数学归纳法证明:若,131211)(n n f ++++=Λ则).,2)(()1()2()1(+∈≥⋅=-++++N n n n f n n f f f n Λ[启发](1)分析要证的等式.当2=n 时,左边等于什么?右边等于什么?(2)有已知)(n f 的表达式,写出)(k f 与)1(+k f 的关系.证明:(1)当2=n 时,等式左边=312)1(2=+=+f ,等式右边=)2(2f ⋅=3)211(2=+,所以对2=n 时,等式成立.(2)假设k n =时,等式成立,即: )()1()2()1(k f k k f f f k ⋅=-++++Λ 由已知条件可得11)()1(++=+k k f k f , 右边=)1()1(++k f k (先写出右边,便于对照变形)那么当1+=k n 时,左边=)()1()2()1()1(k f k f f f k +-+++++Λ=)(1)]1()2()1([k f k f f f k ++-++++Λ(凑成归纳假设)=)(1)(k f k f k ++⋅(利用归纳假设得)=1)()1(++k f k = =1]11)1()[1(++-++k k f k =)1()1(++k f k =右边 ∴当1+=k n 时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切2≥n 的正整数等式都成立.[说明]验证并不是讲过场,要注意观察当n 取第一个正整数时,左边是什么,右边是什么;第二步的关键是将左边配凑成归纳假设,然后利用归纳假设.5教学设计说明数学来源于现实生活，数学的发展归结为现实所需．因而，在教学过程中，选择一些合适的教学内容，融入到现实的教学情境中，不仅可调动学生的非智力因素，让学生从内心情感上接受数学课，喜欢数学课，而且还可以培养学生用数学的眼光审视世界、用数学的方法解决现实问题．在教学中创设有趣的教学情景，激活学生的思维，无疑是提高课堂教学效率的一种好方法．。
《数学归纳法》的教学设计
《数学归纳法》的教学设计摘要：数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合。
为实现以上目标，教学设计基于数学归纳法的源头，基于学生头脑中蕴含的数学归纳法的萌芽，学生在教师的指导下自己发现、归纳出数学归纳法，并不断完善和深化，以达到知识、能力、思维、情感教学相互渗透、相互促进之目的。
关键词：数学归纳法原理过程命题步骤一、教材分析本课是数学归纳法的第一节课。
前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。
不完全归纳法它是研究数学问题、猜想或发现数学规律的重要手段。
但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。
因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。
数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。
并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。
二、教学目标1.经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法。
2.理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法；能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可，尤其是归纳假设在证明中的地位和作用；能体会到数学归纳法的实质和核心是递推。
3.能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与正整数有关的命题；能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用。
三、教学重难点1.重点。
（1）初步理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难点。
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
四、教学过程1.提出问题，培育萌芽。
数学归纳法教学设计第一课时
数学概括法教课方案（第一课时）丁京川教课目标一、知识与技术1.认识概括法，理解数学概括法的原理与实质，掌握数学概括法证题的两个步骤．2.会证明简单的与正整数有关的命题，特别是数列型的问题的证明．二、过程与方法经过实质情形引诱启示，以及多米诺骨牌游戏努力创建课堂欢乐的情境，使学生处于英勇怀疑，踊跃思虑的氛围，提升学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的成立过程，领会类比的数学思想．三、感情、态度与价值观经过本节课的教课，使学生意会数学思想和辩证唯心主义看法，激发学生学习热忱，提升学生数学学习的兴趣，培育学生英勇猜想，当心求证的辩证思想质量，培育学生数学抽象和逻辑推理的中心涵养 .教课重点数学概括法产生过程的分析—- 与多米诺骨牌效应类比理解，初步理解数学概括法的原理并能简单应用，明确用数学概括法证明命题的两个步骤和一个结论，三者缺一不行 .教课难点数学概括法中递推思想的理解.教课过程设计1创建情境，引入新课情境一：“老师的概括法”我校某老师所带班级学生的高考成绩公布后，他经过逐个核对成绩，发现全班所有同学都经过了省里划定的一本线，故得出结论：今年本班高考的一本上线率达100％。
而后，该老师就在朋友圈公布了这一信息。
情境二：俗语辨析：天下乌鸦一般黑。
乌鸦全都是黑色的吗？在日本的琦玉县就发现了一只浑身皆白的白乌鸦。
设计企图：设计情境一、二，分析情境，自然引出课题---- 概括法，激发学生的兴趣，调动学生学习的踊跃性．经过情境点出两种概括法的不一样特色. 很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔 .2 提出问题 , 引起思辩问题提出：数列 a n 中 , a1 1 , a n 1an( n∈N* ), 猜想a n通项公式是什1 a n么？你是怎么获得的？学生：经过求出 a2 1, a31, a41，猜想 a n 1 ．2 3 4 n教师：上述求解采纳的是什么概括法？可不行以用上述方法证明？如何填充不足？怎么给出靠谱的证明呢？设计企图：让学生领会不完好概括法价值表此刻哪里？不足之处如何去填充呢？结论正确性如何给出证明？学生必定会带着好多问题进入下一阶段探究 .3 提出问题，激发兴趣问题 1：阜阳一中正在举行“学衡水、见行动”活动，此中有一项为哪一项目标上墙，老师想在办公室单独给班级每位同学照相，请帮助老师设计一个单独给学生照相的流程，保证照相顺利进行。
数学归纳法教学设计完整版课件(1)
数学归纳法教学设计完整版课件一、教学内容本节课的教学内容选自高中数学教材《数学归纳法》章节。
详细内容包括：数学归纳法的定义、数学归纳法的基本形式、数学归纳法证明的步骤、数学归纳法在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的基本形式和证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决一些简单的数学问题，提高逻辑推理能力。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明步骤的理解和运用。
教学重点：数学归纳法的定义、基本形式和证明步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：课堂练习本、教材。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）提出问题：请问同学们，你们知道如何计算1+2+3++100的结果吗？（2）引导学生通过观察、猜想、验证等方法，得出1+2+3++100=5050。
2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的定义和基本形式。
（2）通过例题，演示数学归纳法证明的步骤。
3. 随堂练习（1）让学生独立完成教材中的练习题，巩固数学归纳法的证明步骤。
（2）教师对学生的解答进行点评，指出问题所在，引导学生掌握正确的证明方法。
4. 知识拓展（1）介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如：递推关系、数列求和等。
（2）让学生尝试运用数学归纳法解决实际问题。
六、板书设计1. 板书数学归纳法的定义、基本形式和证明步骤。
2. 在讲解例题时，将关键步骤和结论板书在黑板上。
七、作业设计1. 作业题目：（1）教材课后习题1、2、3。
（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
2. 答案：（1）教材课后习题答案见教材。
（2）证明：当n=1时，2^1 > 1，结论成立。
假设当n=k时，2^k > k成立，则当n=k+1时，2^(k+1) = 2×2^k > 2k > k+1。
所以，对于任意正整数n，2^n > n。
数学归纳法教案
数学归纳法教案
一、教学目标
1. 使学生理解数学归纳法的原理。
2. 使学生能够用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
二、教学重点
1. 数学归纳法的原理。
2. 用数学归纳法证明数学命题的步骤。
三、教学难点
1. 理解数学归纳法的原理。
2. 如何用数学归纳法证明数学命题。
四、教学过程
1. 导入
通过举一些生活中的例子，如多米诺骨牌游戏，引出数学归纳法的概念。
2. 数学归纳法原理的讲解
数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它的基本思想是：先证明当 n=1 时命题成立，然后假设当 n=k 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立，从而得出对于任意正整数 n，命题都成立。
3. 数学归纳法的应用
通过具体的例子，如证明等差数列的通项公式，让学生掌握用数学归纳法证明数学命题的步骤。
4. 课堂练习
给出一些练习题，让学生用数学归纳法证明一些简单的数学命题，加深对数学归纳法的理解。
5. 小结
对数学归纳法的原理和应用进行总结，强调数学归纳法在数学证明中的重要性。
五、教学方法
1. 讲授法
2. 演示法
3. 练习法
六、教学资源
1. 数学教材
2. 教学课件
3. 练习题
七、教学评价
通过课堂提问和课后作业的方式，对学生的学习情况进行评价。
数学归纳法教学设计(第一课时)
数学归纳法教学设计（第一课时）作者：文卫星来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第06期教学目标1.理解数学归纳法的原理，了解完全归纳法与不完全归纳法的联系与区别；2.用数学归纳法证题时能规范书写；3.能体验数学归纳法的本质是用有限步的证明达到无限步验证，完成了从有限到无限的过渡.感悟数学归纳法是中国文化（善于归纳）与西方文化（长于推理）的完美结合.教学重点数学归纳法原理的理解和证明过程的规范书写.教学难点数学归纳法原理的理解.教学过程一、实例引入，提出问题师：我们班有48名同学，有48个学号.第1号是女同学，第2是女同学，第3号是女同学，……，第25号还是女同学，按照这个规律排下去，咱班就都是女生了.（设计目的运用生活中实例说明不完全归纳法得到的结论不一定正确，既说明道理又有趣.受到女生欢迎而遭到男生“抗议”.）师：看来刚才这种从特殊到一般的归纳是不对的，犯了以偏概全的错误.从这儿我们得到两个结论：（1）我们班学号在1～25号的都是女同学；（2）我们班都是女同学.第一个结论是正确的.结论的内容是根据学号在前25的事实所作的完全概括，没有越出已知的事实，因此是正确的.这种把研究对象一一都考查到了的推理方法叫做完全归纳法.第二个结论是不正确的.因为学号为26号是男生，这种根据部分事实推出更加一般的事实的推理方法叫做不完全归纳法.由不完全归纳法得到的结论不一定正确.师：刚才是生活中的例子，再看数学中的例子：在数列{an}中，若a1=1，an+1=12-an（n∈N*），求{an}的通项公式.（设计目的本题学生不会直接解答，但通过不完全归纳法很快得到：a1=1，a2=1，a3=1，…，猜想an=1）师：以上虽然得到an=1，但没有给出严格证明，这在数学上还不能被认为是正确的.怎么证明这个看似显然的结论？总不能一一验证下去，要另辟蹊径.[JP〗二、生活经验，探索问题师：张先生的儿子姓什么？（预设：有的说按传统习惯，姓氏在男性亲属中具有“遗传性”，张先生的儿子应该姓张.有的说，不一定，按法律规定他儿子也可以随母亲姓）师：大家说的有道理.假如他儿子姓张，且要使他以后的各代孙子都姓张，需要满足什么条件？（学生讨论预设：要保证他以后各代孙子都姓张，一是他家各代一定要有男孩，二是即要生男孩，还要孩子必须随父姓.然后请一个学生发言）生：以后各代都有男孩，且都子随父姓.姓氏遗传性正整数命题奠基孔子姓孔当n=n0时，命题正确递推子随父姓，代代相传设n=k（k∈N*且k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立结论孔子后代都姓孔命题从n0起的所有正整数n，结论都成立（设计目的用生活中的事例引入，一是能调动学生参与的兴趣，二是能把这些例子迁移到教学中，促进与加深对所学内容的理解）师：对，子随父性，代代相传.但在目前的计划生育政策的条件下，一般人很难保证做到（当然也没有必要做到），但圣人孔子家族能做到吗？我们来考察孔子后代姓什么.由于孔子大陆的后代受计划生育影响，不妨考察他的海外后代姓氏情况.孔子的第80代孙子有的现居住在海外，按目前情况判断，孔子的80代孙及以后各代孙子都姓孔，这话对吗？生：对，因为生活在大陆以外的华人不受计划生育政策的影响，且有子随父姓的习惯，至于每代都有男孩，根据遗传学规律，应该不成问题.师：我们能从这个生活中的问题中提炼出什么？设法把它抽象成数学问题（学生讨论，教师参与，预设学生形成结论：人的代数是正整数，某位男子姓什么，由于子随父姓，代代相传，那么他的后代也姓什么，然后类比到正整数的命题.把结论整理成表，见上）三、类比规律，生成原理数学归纳法原理：对涉及正整数n的命题，若能证明：（1）当n取第一个值n0（n0∈N*）时，命题成立；（2）设n=k（k∈N*且k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，就可以断言该命题从n0起的所有正整数n结论都成立.这种方法为数学归纳法.师：同学们请注意，递推步中为何要设“当n=k时”，而不是n=其它的字母？生：用什么字母无所谓，不用k，就用s、t等都可以.师：是否因为孔子的“孔”汉语拼音声母是“k”，就用“k”了！（这当然是玩笑，目的是调节课堂气氛，同时引起学生对这一步的关注）四、学以致用，初尝战果例1 设数列{an}的公差为d，用数学归纳法证明：an=a1+（n-1）d.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=n2.（设计目的让学生尝试用数学归纳法解题，主要观察其解题格式是否规范，是否忽略第一步，第二步是否用归纳假设.例2第二步学生会使用等差数列的求和公式而导致“假证”，用实物投影仪展示学生的典型错误，最后教师在黑板上规范写出解答过程，让学生一同书写）阅读材料2则：阅读1 数学魔术：0=1！设n∈N*，先证：2+4+6+…+2n=n2+n+1.设n=k时命题成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+1，则n=k+1时，2+4+6+…+2k+2（k+1）=k2+k+1+2（k+1）=（k+1）2+（k+1）+1，命题也成立，因而对n∈N*，2+4+6+…+2n=n2+n+1成立.又由等差数列求和公式得2+4+6+…+2n=n2+n，所以0=1.阅读2 设f（n）=4729494n+1，当n∈N*时，它是一个完全平方数吗？依次令n=1、2、3…等自然数，开始的时候，可以计算出f（n）的值都不是一个完全平方数，这样下去到n是一个41位的数，即当n=50、549、485、234、315、033、074、477、819、735、540、408、986、339时，所得f（n）的右边也不是一个完全平方式，考察了这么多次，似乎可以下结论：不论n是任何自然数，f（n）的值都不可能是一个完全平方数，但有人发现当取值在增加1时，即n=50、549、485、234、315、033、074、477、819、735、540、408、986、339、340的时候，f（n）=109、931、986、732、829、734、979、866、232、821、433、543、901、088、049，它是一个45位数的完全平方数.（洪波，《怎样应用数学归纳法》上海教育出版社，1979年7月版）通过带领学生阅读，分析错误原因，强调用数学归纳法解题两个步骤缺一不可.同时这两个例子也很有趣，可以活跃课堂气氛（因为这时通常在下半节课，学生会疲劳）.五、归纳总结，追求理性通过上述二例已经看到数学归纳法的妙用，以下先总结用数学归纳法解题步骤及格式规范：（1）验证n=1时，命题成立（2）假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立二者缺一不可（3）结论：对一切的正整数n，命题都成立再对数学归纳法作更深入的理解：归，特殊入手规律窥.再猜想，凯旋而回.纳，理性思索求通法.两步论，不容出差（cha读去声）.法，归纳递推行天下.正整数，一个不落（la读去声）.妙！两步完成无穷跳.有思想，还看今朝！六、解答引例，巩固提高引例（2）解 a1=1，a2=1，a3=1，…，猜想an=1.证明：①当n=1时，已经验证猜想正确.②设n=k（k∈N*且k≥1），ak=1成立，则当n=k+1时，ak+1=12-ak=12-1=1，即当n=k+1时，猜想也成立.由①、②知，an=1（n∈N*）都成立.本例中的黑体字在前面例题中也一样要强调.七、梳理知识，形成思想1.归纳法归纳法2.中国数学归纳法原理老子在《道德经》说：“道生一，一生二，二生三，三生万物.”类似例子又如愚公所说：“子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也.”这些都是中国数学归纳法原理.祖先的这些原理都是宏观的，显示古代中国人的智慧，只是由于时代的局限缺乏具体的操作性，而西方人的数学归纳法原理则给我们解决问题提供具体方法，即通过两步论证替代需要无限步验证的难题.这是人类智慧的结晶！最后，我们用一幅对联来结束本课：一生二，二生三，三生万物父生子，子生孙，孙生万代生生不息.。
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§2.3.1 数学归纳法（第一课时）【教材分析】数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具，本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。
【学情分析】学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。
另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。
【教学目标】１、知识与技能目标：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
2、过程与方法目标：（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。
3、情感态度与价值观目标：通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。
【教学重点】数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解。
【教法准备】讲授法，引导发现法，合作探究法。
【教具准备】传统板书与多媒体辅助教学相结合。
【教学过程】一、创设情境，引出课题1、复习旧知，铺垫新知：（1）不完全归纳法：地主花重金请了一名先生教儿子识字，第一天学了“一”，第二天学了“二”，之后，地主儿子想：“一”是一横，“二”是二横，那“三”肯定是三横，第三天果不其然是三横，于是地主儿子对地主说：不必学了，很简单，已经全会了。
地主大喜，为吹嘘儿子聪明，大摆宴席。
席间，一乡绅想讨好地主，就说让地主儿子给他写个名帖，没想到这让地主儿子出尽了洋相，因为那位乡绅的名字叫“万百千”。
（2）完全归纳法：大家来看，我这里有一盒粉笔，我逐根进行抽取。
抽出第一根是白色的，抽出第二根也是白色的，请问怎样验证盒中的其他粉笔也都是白色的？（逐一取出剩下的粉笔，进行验证）注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
师：①（出示投影）不完全归纳法→结论不可靠；完全归纳法→结论可靠。
②以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）2、问题情境，方法引入： 情境一：632112⨯⨯=； 22235126⨯⨯+= 2223471236⨯⨯++=；222245912346⨯⨯+++=； 222225611123456⨯⨯++++=； ……思考：①第n 个等式，应怎样表示？ （222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n ） ②上述结论一定可靠吗？能完成证明吗？注：①对于第一个问题，由于学生在学习求曲边梯形面积时已经用过，再结合归纳推理，学生很容易得出结论；②第二个问题，学生利用现有知识，无法完成证明。
（可以让学生尝试运用完全归纳法，并点题）师：在上面的解答中，我们只通过有限的步骤就得出了结论，这样的结论不一定可靠，用的是不完全归纳法；而要使结论可靠，需要用到完全归纳法，但逐一去验证又很难完成，能否找出一种方法，既使步骤有限，又使结论可靠呢？大家想不想知道这种方法？（追问引出课题：数学归纳法）②其实这种方法来源于生活，请同学们看多米诺骨牌的视频：情境二：（播放多米诺骨牌视频）问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？二、师生合作，探究新知：探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一：第一张骨牌倒下；条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
注：此问题由学生合作交流完成，必要时，教师重新播发视频或给予提示。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 有些启发？ （证明本题对任意正整数都成立相当于验证让骨牌全部倒下的条件）注：通过以上合作交流，以及使骨牌全部倒下的两个条件，此时，师生共同探究得到解决引例的方法：（1）第一块骨牌倒下相当于证明当1n =时，命题成立；（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，更一般地，相当于当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
师：（投影）证明222(1)(21)1236n n n +++++=2…+n 的两个步骤： （1）证明当1n =时，命题成立；（2）假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
探究三：第一块骨牌不倒行不行？假如从第二块或第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样？（第一块骨牌必须倒，才能让所有的骨牌倒下。
如果从第二块或第三块开始倒，那么只能让该块骨牌后面的全部倒下。
）注：此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时，0n 是使命题成立的最小正整数，0n 不一定取1，也可以取其它正整数。
师：（板书） “数学归纳法”一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时，命题也成立。
只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述方法叫做数学归纳法。
三、解答例题，初步应用例1、用数学归纳法证明222*(1)(21)123()6n n n n N +++++=∈2…+n 证明：（1）当1n =时，左边211==，右边1(11)(211)16⨯+⨯⨯+==，等式成立； （2）假设当*),1(N k k k n ∈≥=当时，等式成立，即：222(1)(21)1236k k k +++++=2…+k ， 则当n=k+1时，222222(1)(21)123(1)(1)6(1)(276)6(1)(2)(23)6(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k +++++++=+++++=+++=+++++=2…+k 即：当1n k =+时，等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立。
注：上例让学生独立完成，师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。
练习：1、课本P95、1（复习等差数列的定义式：如a n+1-a n =d ,(n ∈N +)2、用数学归纳法证明“2n >n 2+1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取（ ）A 、2B 、3C 、5D 、63、用数学归纳法证明：)1n ,(12131211>∈<-+∙∙∙+++* N n n n 第一步要证明的不等式是 。
例2、已知数列411⨯，741⨯，1071⨯，…，)13)(23(1+-n n ，…，计算S 1，S 2，S 3,S 4，根据计算结果，猜想Sn 的表达式，并用数学归纳法进行证明。
练习：数列{a n }中，a1=1,且221+=+n n n a a a （a n+1=2a n /a n +2）(n ∈N +) (1)求a 2,a 3,a 4的值；（2）归纳{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明。
思考：针对第（2）问，不用数学归纳法能否证明？注：数学归纳法并不是解决与正整数有关问题的唯一方法。
总结：（1）验证是基础：找准起点，验证的初始值n 0不一定是1；（2）递推是关键：正确分析所给式子的结构及由n=k 到与之相邻的下一个正整数时，项的变化是证明成功的保障（在这一步中，利用假设是核心，在应用数学归纳法证明中，一定做到让归纳假设“粉墨登场”，有它的参与证得的n=k+1时的成立才建立了递推关系即逻辑推理链，实现了在验证命题n=n 0正确的基础上, 利用命题本身具有传递性，运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
否则就不是数学归纳法）四、反馈练习，加深理解：用数学归纳法证明：135+++2…+(2n-1)=n五、归纳小结，概念提升：,问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。
2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想；3、数学归纳法一般步骤：4、应用数学归纳法要注意以下几点：（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法； 注：（归纳奠基要打牢, 归纳递推不能少, 归纳假设要用到）六、布置作业：1、书面作业：P96习题2.3Ａ组，第1题（1）2、思考：习题2、3，A 组第1题其它证明方法。
注：第1题书面作业帮助学生巩固数学归纳法，第2题可以利用数列求和，让学生比较两种方法，说明数学归纳法并不是解决与正整数有关问题的唯一方法，同时也提醒学生利用数学归纳法证明的第二步不能用数列求和公式。
【板书设计】【教后反思】补充：错例辨析，突出重点：1、求证：所有的奇数都是2的倍数。
证明：假设第m 个奇数为k ，且k 为2的倍数，则第m+1个奇数为k + 2，而k+2也是2的倍数，所以命题成立。
2、用数学归纳法证明：135+++2…+(2n-1)=n证明：（1）当1n =时，左边1=，右边211==，等式成立；§2.3.1 数学归纳法（一） 例1：…… 学生板演 数学归纳法： 证明：…… ……1. …… ……2. ……………… 归纳递推归纳奠基 成立，证明当1n k =+时命题也成立 验证0n n =时命题成立 命题对从0n 开始所有的正整数n 都成立（2）假设当n k =（k ≥1,k ∈N*）时，135+++2…+(2k-1)=k ，那么： 2[12(1)1](1)135(1)2k k k ++-++++=+…+(2k-1)+(2k+1)=，则当1n k =+时也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立。
注：①对例1，师先让学生讨论一下数学归纳法中没有第一步行不行，进而说出这个例子，让学生理解当0n n =时，命题成立的重要性，没有第一步，就如同空中阁楼，是不可靠的。
另外在例1中，让学生明白假设是错误的，此处并不是把假设当作条件来用，数学归纳法的第二步其实是一个条件命题，第一步已经验证是正确的，如果有怀疑，第二步中k 可以取n 0，这其实是在证明一个传递性。