1.1.1分类计数原理与分步计数原理
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高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计(1)
答案：4 6 12
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
19
共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
20
类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
6
2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
7
1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
11
5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
19
共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
20
类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
6
2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
7
1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
11
5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件人教新课标
√A.9 B.2
C.20
D.6
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条.
A.3 B.4
C.5
√D.6
3.解答题
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数.
解：
由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2、分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
解答
由题意画图如下：
字母 A
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A.48个
分析：
B.36个
C.24个
D.18个
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随便，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随便，共有3×3×2×1=18种
所以共有36种.
课堂练习
1.填空
（1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 __1_1___种.
高考链接
1（202X年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数___A__ .
A. 14 B. 24
C. 28
D. 48
先分类，再分 步！
2. (202X年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B
分类加法与分步乘法计数原理-PPT
(1)4＋3＋2＝9（种）
(2)4×3×2＝24（种）
20
典例讲评
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画 中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上 的指定位置，求共有多少种不同的挂 法？
3×2＝6（种）
21
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数
原理，都是解决完成一件事的方法数的
计数问题，其不同之处在于，前者是针
例2 某班有男生30名，女生24名， 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加朗诵比赛，求共有多少种不同 的选派方法？
30×24＝720（种）
19
例3 书架有三层，其中第一层放有4本 不同的计算机书，第二层放有3本不同的 文艺书，第三层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不 同的取法？ （2）从书架的第一，二，三层各取1本 书，有多少种不同的取法？
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
34
例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
3种
N＝5×4×3＝60（种）
40
5. 用5种不同颜色给图中A，B，C，D四 个区域涂色，每个区域只涂一种颜色， 相邻区域的颜色不同，求共有多少种不 同的涂色方法？
54
A C3
(2)4×3×2＝24（种）
20
典例讲评
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画 中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上 的指定位置，求共有多少种不同的挂 法？
3×2＝6（种）
21
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数
原理，都是解决完成一件事的方法数的
计数问题，其不同之处在于，前者是针
例2 某班有男生30名，女生24名， 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加朗诵比赛，求共有多少种不同 的选派方法？
30×24＝720（种）
19
例3 书架有三层，其中第一层放有4本 不同的计算机书，第二层放有3本不同的 文艺书，第三层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不 同的取法？ （2）从书架的第一，二，三层各取1本 书，有多少种不同的取法？
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
34
例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
3种
N＝5×4×3＝60（种）
40
5. 用5种不同颜色给图中A，B，C，D四 个区域涂色，每个区域只涂一种颜色， 相邻区域的颜色不同，求共有多少种不 同的涂色方法？
54
A C3
1.1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件(优秀经典公开课比赛课件)
步计数原理
[学习目标] 1.通过实例，能总结出分 类加法计数原理、分步乘法计数原理(重 点)． 2.正确地理解“完成一件事情” 的含义，能根据具体问题的特征，选择 “分类”或“分步”(易混点)． 3.会用 分类加法计数原理或分步乘法计数原理 分析和解决一些简单的实际问题(难点)．
05798415
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同
的电话号码? 分析:
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
[学习目标] 1.通过实例，能总结出分 类加法计数原理、分步乘法计数原理(重 点)． 2.正确地理解“完成一件事情” 的含义，能根据具体问题的特征，选择 “分类”或“分步”(易混点)． 3.会用 分类加法计数原理或分步乘法计数原理 分析和解决一些简单的实际问题(难点)．
05798415
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同
的电话号码? 分析:
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
1.1.1分类计数原理与分布计数原理
选修2——3 第一章 计数原理
1.1分类计数原理与分步计数原理
分类计数原理：完成一件事情，有n类方法，在第1类
方法中又有m1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类 方法中，又有m2种方式，……第n类方法中有mn种方式 可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：
N m1 m2 mn (加法原理)
练习3:用0,1,2,3,4,5这6个数字：可以组成多少个 大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．
解法二：（从反面解）
类型二：映射问题
例1.集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从A到B的映射 有多少个？
3×3×3×3=81 变式1.集合A={1,2,3,4},B={5,6,7}, 从A到B可构 造多少个满射？
第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任 选一个，故这类选法共有8种．
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只 会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中பைடு நூலகம்出，这类选法共有6×2＝12种，
（2）分类计数原理是完成一件事情分成几类， 每一种方式都能做完这件事情
（3）分步计数原理是完成一件事情分成了几 步，每一步里的方法都不能做完这件事情
怎样区分“完成一件事”是分类问题还是分步问题？
找出你觉得能表示“分类”或“分步”特征的词或短句
或 或门
和 与门
分类
类类独立
分步
步步进行
再来练一练
1．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文 书5本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少
种不同的取法？9×7＋9×5＋7×5＝143
2．集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4} ．从A,B 中各取1个元素 作为点P(x,y) 的坐标． （1）可以得到多少个不同的点？ 3×4＋4×3＝24 （2）这些点中，位于第一象限的有几个？2×2＋2×2＝8
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
狐狸共有多少种不同的方法，可以从草地 逃回到自己的房子（安全地）
5种方法 a 1a 2 草地 a3 a5 a4
小岛
2种方法 b1
b2
房 安全地 子
问题剖析 要完成什么事情 完成这个事情要分几步
(2) 草地到安全地
两步 不能 5种 2种
每步方法能否独立完成这件事情
每步方法中分别有几种不同的方法
完成这件事情共有多少种不同的方法 5×2=10种
(1) 草地到安全地 两类 能 2种 3种
完成这件事情共有多少种不同的方法 2+3=5种
互不相容
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中
有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方 法,那么完成这件事共有:N=m+n 种不同的方法。
思考 原理使用的前提条件是什么?
你能举出生活中的一些分类 计数问题吗?
问1.一个书架共有三层，第1层放有4本不 同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺 书，第3层放有2本不同的体育书。从书架 上任取1本书，有多少种不同的取法？ 分析: 分三类： 第一类：从第1层取，有4种方法; 第二类：从第2层取，有3种方法; 第三类：从第3层取，有2种方法。 所以从书架上任取1本书共有 4+3+ 2 =9 种不同的取法
练1.三种作物种植在如图所示的五块实验田里， 每块实验田种植一种作物且相邻的试验田不能 种植同一种作物，不同的种植方法共有 _________种？ 练2.求乘积 (a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4+b5)(c1+c2+c3+c4)的展 开式的项数
练3.将标有数字1、2、3、4、5的五张卡片放 入标有数字1、2、3、4、5的五个盒子中，每 个盒子放一张卡片，且卡片上的数字与盒子的 数字均不相同，则共有多少种不同的放法？
分类计数原理与分步计数原理课件
决策分析
在决策分析中，分步计数原理可以帮助我们分析问题并制定最优策略。例如，在制定一个 计划或方案时，可以将整个任务分解成若干个步骤，然后根据分步计数原理计算每一步的 成本和效益，最终确定最优方案。
分步计数原理的实例解析
例子1
工厂生产线上有3个工人分别负责3个不同的工序，每个工人完成自己的工序需要1小时。求完成整条生产线需要 多少小时？根据分步计数原理，最终需要的时间是每个工人完成工序所需时间的乘积，即1小时 × 1小时 × 1小 时 = 1小时。
在软件测试中，分类计数原理可以 用于确定不同测试用例的数量和覆 盖范围。
在物理学中的应用
粒子运动
在研究粒子在封闭容器内的运动 时，分步计数原理可以用于计算 粒子在不同状态下的数量和分布
情况。
原子结构
在研究原子结构时，分类计数原 理可以用于确定不同电子层和亚
层的电子数量和分布情况。
量子力学
在量子力学中，分类计数原理和 分步计数原理可以用于描述微观
在某些情况下，分类计数原理和 分步计数原理可以相互转化。
两者都基于组合数学的基本思想， 即从n个不同元素中取出m个元
素的所有组合方式。
原理之间的区别
分类计数原理
考虑的是完成一件事情的不同类的方式，各类方式之间是相 互独立的，即不论采取哪一类方式，都能独立完成这件事情 。计算方法是各类方式数之和。
分步计数原理
04
分类计数原理与分步计数原理的实际
应用
在日常生活中的应用
购物选择
在超市购物时，我们常常面临多种品 牌和种类的选择。分类计数原理可以 帮助我们快速计算出不同品牌和种类 商品的数量。
旅行计划
社交活动
在组织社交活动时，我们可以使用分 类计数原理来安排不同类型的人员参 与活动，以满足不同的需求和期望。
在决策分析中，分步计数原理可以帮助我们分析问题并制定最优策略。例如，在制定一个 计划或方案时，可以将整个任务分解成若干个步骤，然后根据分步计数原理计算每一步的 成本和效益，最终确定最优方案。
分步计数原理的实例解析
例子1
工厂生产线上有3个工人分别负责3个不同的工序，每个工人完成自己的工序需要1小时。求完成整条生产线需要 多少小时？根据分步计数原理，最终需要的时间是每个工人完成工序所需时间的乘积，即1小时 × 1小时 × 1小 时 = 1小时。
在软件测试中，分类计数原理可以 用于确定不同测试用例的数量和覆 盖范围。
在物理学中的应用
粒子运动
在研究粒子在封闭容器内的运动 时，分步计数原理可以用于计算 粒子在不同状态下的数量和分布
情况。
原子结构
在研究原子结构时，分类计数原 理可以用于确定不同电子层和亚
层的电子数量和分布情况。
量子力学
在量子力学中，分类计数原理和 分步计数原理可以用于描述微观
在某些情况下，分类计数原理和 分步计数原理可以相互转化。
两者都基于组合数学的基本思想， 即从n个不同元素中取出m个元
素的所有组合方式。
原理之间的区别
分类计数原理
考虑的是完成一件事情的不同类的方式，各类方式之间是相 互独立的，即不论采取哪一类方式，都能独立完成这件事情 。计算方法是各类方式数之和。
分步计数原理
04
分类计数原理与分步计数原理的实际
应用
在日常生活中的应用
购物选择
在超市购物时，我们常常面临多种品 牌和种类的选择。分类计数原理可以 帮助我们快速计算出不同品牌和种类 商品的数量。
旅行计划
社交活动
在组织社交活动时，我们可以使用分 类计数原理来安排不同类型的人员参 与活动，以满足不同的需求和期望。
第1章 计数原理
4 3 2
0 i 4 ,0 j 3,0 k 2 ,0 l 1
4
于是,要确定 75600 的一个约数,可分四步完成,即 i, j , k , l 分别在各自的范围内任取一个值, 这样 i 有 5 种取法, j 有 4 种取法, k 有 3 种取法, l 有 2 种取法,根据分步计数原理得约数的个数 为 5×4×3×2=120 个. 巩固练习： 1.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可 通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 2.书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书． （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ 3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多 次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 ② ① ③ 图一 B. 160 C. 96 ④ D. 60 ① ③ ② 图二 ④ ②
教学重点 教学难点
教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列。 教学过程： 学生探究过程： （1）高二（1）班准备从甲，乙，丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，有多少 种不同的结果？ （2）从 1，2，3 三个数字中选出两个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？ （3）北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？ 上面三个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？ 我们把上面问题中被取的对象叫做元素。 于是， 所提出的问题就是从 3 个不同的元素 a、 b、 c 中任取 2 个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。 第一问用树形图表示: 班长 甲 乙 丙 副班长 乙 丙 甲 丙 甲 乙 即共有 6 种不同的结果：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 事实上，这 6 种选法分别是从甲、乙、丙三个学生中选出两个学生，并按一定的顺序 排成一列（班长排在第 1 位，副班长排在第 2 位）而得到的。 数学建模 一般地，从 n 个不同的元素中取出 m（m﹤n）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 下列问题是排列问题吗？ （1）从 1，2，3，4 四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ （2）从 1，2，3，4 四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ （3）从 1 到 10 十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ （4）平面上有 5 个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条直线？可确定多少条 射线？ （5）10 个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 排列的定义中包含两个基本内容： 一个是“取出元素”； 二是“按照一定顺序排列”， “一 定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义， 两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 例题讲解 例 1. 写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有排列。
0 i 4 ,0 j 3,0 k 2 ,0 l 1
4
于是,要确定 75600 的一个约数,可分四步完成,即 i, j , k , l 分别在各自的范围内任取一个值, 这样 i 有 5 种取法, j 有 4 种取法, k 有 3 种取法, l 有 2 种取法,根据分步计数原理得约数的个数 为 5×4×3×2=120 个. 巩固练习： 1.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可 通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 2.书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书． （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？ 3.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多 次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 ② ① ③ 图一 B. 160 C. 96 ④ D. 60 ① ③ ② 图二 ④ ②
教学重点 教学难点
教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列。 教学过程： 学生探究过程： （1）高二（1）班准备从甲，乙，丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，有多少 种不同的结果？ （2）从 1，2，3 三个数字中选出两个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？ （3）北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？ 上面三个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？ 我们把上面问题中被取的对象叫做元素。 于是， 所提出的问题就是从 3 个不同的元素 a、 b、 c 中任取 2 个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。 第一问用树形图表示: 班长 甲 乙 丙 副班长 乙 丙 甲 丙 甲 乙 即共有 6 种不同的结果：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 事实上，这 6 种选法分别是从甲、乙、丙三个学生中选出两个学生，并按一定的顺序 排成一列（班长排在第 1 位，副班长排在第 2 位）而得到的。 数学建模 一般地，从 n 个不同的元素中取出 m（m﹤n）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 下列问题是排列问题吗？ （1）从 1，2，3，4 四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ （2）从 1，2，3，4 四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ （3）从 1 到 10 十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ （4）平面上有 5 个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条直线？可确定多少条 射线？ （5）10 个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 排列的定义中包含两个基本内容： 一个是“取出元素”； 二是“按照一定顺序排列”， “一 定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义， 两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 例题讲解 例 1. 写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有排列。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做
第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事有
N＝m1 · m2· …· mn 种不同的方法．原理的核心是每一个步 ________________ 骤都依次完成后，这件事情才能完成． 例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层 有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人
栏 目 链 接
且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，
在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好
分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方 法，必属于某一类且仅属于某一类．
栏 目 链 接
变 式 迁 移
1．(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学
为数学科代表，则不同选法的种数有( A．50种 B．26种 C．24种 D．616种 (2)一项工作可以用A或B这两种方法中的一种方法完 成，有4人会用A方法完成，另外8人会用B方法完成，从中 选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( A．12种 B．32种 C．24种 D．64种 )
栏 目 链 接
高三(3)
31
20
51
(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同 的选法？ (2)从(1)班、(2)班女生中或从(3)班男生中选一名学 生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解析：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三(1)班任选一名学生，有54种不同选 法； 第2类，从高三(2)班任选一名学生，有50种不同选 法； 第3类，从高三(3)班任选一名学生，有51种不同选
)
A．8个 B．9个 C．10个 D．12个
变 式 训 练
解析：根据分步乘法计数原理，得不同的值
第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事有
N＝m1 · m2· …· mn 种不同的方法．原理的核心是每一个步 ________________ 骤都依次完成后，这件事情才能完成． 例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层 有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人
栏 目 链 接
且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，
在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好
分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方 法，必属于某一类且仅属于某一类．
栏 目 链 接
变 式 迁 移
1．(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学
为数学科代表，则不同选法的种数有( A．50种 B．26种 C．24种 D．616种 (2)一项工作可以用A或B这两种方法中的一种方法完 成，有4人会用A方法完成，另外8人会用B方法完成，从中 选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( A．12种 B．32种 C．24种 D．64种 )
栏 目 链 接
高三(3)
31
20
51
(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同 的选法？ (2)从(1)班、(2)班女生中或从(3)班男生中选一名学 生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解析：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三(1)班任选一名学生，有54种不同选 法； 第2类，从高三(2)班任选一名学生，有50种不同选 法； 第3类，从高三(3)班任选一名学生，有51种不同选
)
A．8个 B．9个 C．10个 D．12个
变 式 训 练
解析：根据分步乘法计数原理，得不同的值
分类计数原理和分步计数原理
应用这两个原理的关键是看完成这件 事情是“分类”还是“分步”。 例1、某班共有男生28名、女生20名， 从该班选出学生代表参加校学代会。 （1)若学校分配给该班1名代表，有多少种 不同的选法？ （ 2） 若学校分配给该班2名代表，且男女生代表 各1名，有多少种不同的选法？
例2、在下面两个图中，使电路接通的 不同方法各有多少种？ A
B
A
B （ 2）
（ 1）
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册 时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1 个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数 字中的一个。这样的密码共有多少个？
N m1 m2 mn
种不同的方法。分类计数原理又 Nhomakorabea为加法原理。
问题二：从甲地到乙地，要从甲地选乘火 车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一 天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中， 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
这个问题与前一个问题有什么区别？
在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的 任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这 个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个 步骤，才能从甲地到乙地．
4、（1）8张卡片上写着0,1,2,…,7共8 个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可 组成多少个不同的三位数？
（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、 2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在 一起，共有多少个不同的三位数？ 5、自然数2520有多少个正约数？ 6、书架上原来并排放着5本不同的书， 现要插入三本不同的书，那么不同的插法有 多少种？
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)
解析： (1)选一名学生有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班选一名，有50种不同的方法； 第二类：从高二（2）班选一名，有60种不同的方法； 第三类：从高二（3）班选一名，有55种不同的方法.
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法； 第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法； 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成才算做完这件事．
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法客？车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析：完成从南宁到北海这件事有2类方案， 所以，从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法； 第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法； 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成才算做完这件事．
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法客？车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析：完成从南宁到北海这件事有2类方案， 所以，从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
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分析:
05798415
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
加法原理
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。
在解题有时既要分类又要分步。
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
课堂练习
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
26+10=36
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也
可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火 车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同 的选法？
例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后面
每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的
电话号码?
1.1.1分类计数原理
与分步计数原理
2004年夏季在德国举行的第十 八届世界杯足球赛共有32支队伍参 加。他们先分成八个小组进行循环赛， 决出16强，这16强按确定的程序进 行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外 还决出了三、四名。
问：一共安排了多少场比赛？
思考？
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号，总共能够编出多少 种不同的号码？
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学 生物学 化学 医学 物理学
B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不 同的投法？
4、已知 a {3, 4,6},b {1, 2,7,8}, r {8,9}
则方程(x a)2 ( y b)2 r2可表示不同的圆的 个数有多少？
课堂练习
5、已知二次函数 y ax2 bx c. 若
a,b, c {3, 2, 0,1, 2,3}. 则可以得到多少个
字母 A
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去 C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个 阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号，总 共能编出多少个不同的号码？
分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能 与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且 它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的 号码。
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多 少种不同的挂法？
课堂练习
1、在所有的两位数中，个位数字比十位数 字大的两位数有多少个？
2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每 人1本，有多少种不同的分法？
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有
m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的 方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
甲地
乙地 N1=2×3=6
N2=4×2N2 =14
丁地
2.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有