胡不归数学模型
几何模型胡不归
几何模型胡不归一、“胡不归”问题的提出有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人还在不断喃喃的叨念：“胡不归？胡不归？……”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线（见图1）。
A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。
但是他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么这应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以在AC上选定一点D，小伙子从A走到D，然后从D折往B，可望最早到达B。
用现代的科学语言表达就是：“已知在驿道和砂地上行走的速度分别为v驿道和v砂地，在AC上求一个定点D，使得A→D→B的行走时间最短。
”于是问题在于如何去找出D点。
这个古老的“胡不归”问题风靡了一千多年，一直到十七世纪中叶，才由法国科学家费尔马揭开它的面纱。
不过，费尔马的答案不是直接获得的，而是由一件意外的事情得到的帮助。
感兴趣的可以自己查阅资料！现在我们一起用初中数学知识探讨一下“胡不归”问题的解决方法。
二、“胡不归”问题的解决首先，我们将“胡不归”问题转化为一道简介的数学题。
题目如下：如图，在直线AC上找点D，使按A-D-B的路径所用时间最小，其中在AD上的时间为V1，在DB上的时间为V2，且V1＞V2.三、解决“胡不归”问题得到的相关结论1、根据前面的解法，总结几个特殊的速度比：2、“胡不归”问题的解决通法第一步：首先描出所走的路径线路图，其次分别标出速度较快的线段和速度较慢的线段，最后找到起点和终点；第二步：过速度较快线段的端点（起点或终点）往所走路径的外侧作一条射线，使之与速度较快的线段构成的角满足：；第三步：过速度较慢线段的端点（终点或起点）做该射线的垂线；第四步：该垂线与速度较快路径所在直线的交点即为所求点D。
2024年中考数学 --“胡不归”模型拓展
“胡不归”模型拓展趣味故事从前，有个少年外出求学，某天他不幸得知老父亲病危的消息，便立即启程赶路.因为思乡心切，他只考虑了“两点之间，线段最短”的原理，所以选择了路径AB回家，但他忽略了走砂砾地带速度会变慢这个问题.当他赶到家时，老人刚刚咽气.邻居告诉他说，老人在弥留之际不断念叨着：“胡不归?胡不归?”如果他先沿着驿道AC走一段，再走砂砾地带，会不会更早些到家?在这个问题中，由于这个少年在驿道和砂砾地带上前行的速度不同，那么这个少年有没有可能先在驿道上行走一段路程，再走砂砾地带，总用时会变少?如果真有这种情况，那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个拐点呢.1模型多维讲解讲解一模型特征1.模型建立：如图11-62-1，A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，点P在直线l上运动,试确定点P 的位置,使kAP+BP(0<k<1)的值最小.2.问题分析：求这类带有系数的折线最值问题，通常都是将折线转化成为线段，再利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”求解.3.模型总结：该模型就是利用了垂线段最短的性质，具体解题步骤如下：如图11-62-2.一找：找带有系数k的线段kAP.二构：在点 B 的异侧，构造以线段AP 为斜边的直角三角形.Rt△PAC的作法:②以定点A为顶点作∠CAP,使sin∠PAC=k;②过动点 P 作垂线构造 Rt△PAC.三转化：化折为直，将kAP 转化为PC.四求解:使kAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求 BD的长.若k>1,则k4P+BP=k(AD+1BD),即构造以BP为斜边的直角三角形.k2模型典例应用例1 (母题)如图11-62-3,△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC,AB=2,E为BD上的动点,连接AE,则AE+1BE的2最小值为 ( )A.1B. √2C. √3D.2“3步”秒懂思路【解析】如图11-62-4,过点E作EM⊥BC于点 M,过点 A作AH⊥BC于点H,交 BD 于点 E'.∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABH=60°.∵ BD 平分∠ABC,∴∠EBM=30∘,∴EM=12BE,∴AE+12BE=AE+EM.当AE+12BE的值最小时,AE+EM 的值最小,此时点 E 与点 E'重合,点 M 与点 H重合, AE+12BE的最小值即为AH 的长.在 Rt△ABH中,AH=AB⋅sin∠ABH=2sin60∘=√3,∴AE+12BE的最小值为√3.故选 C.【答案】C.一题多变式变式1-1(改编角度：改变已知条件，将“角平分线”改为“垂直”)如图11-62-5,在等边三角形ABC中,AD⊥BC 于点 D,且AD=4,P是AD上一点,则BP+35AP的最小值为 .变式1-2(改编角度：改变图形，将“等边三角形”改为“菱形”)如图11-62-6,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=2,P是AC上的动点,则BP+12AP的最小值为 .变式1-3(改编角度：改变图形，将“等边三角形”改为“矩形”)如图11-62-7,在矩形ABCD中,AB=4,对角线AC,BD相交于点 O,∠AOB=60°.(1)如图(1),若P 是BC边上一动点,求DP+12BP的最小值；(2)如图(2),E 是AO 的中点,若P是对角线BD上一点,求EP+√32DP的最小值；(3)如图(3),若P 是对角线BD上一点,求2AP+PD的最小值.例2如图11-62-8,在△ABC中, AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点 E,D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是 .【解析】如图11-62-9,过点D作DH⊥AB于点H，过点C作( CM⊥AB于点 M.∵ BE⊥根据“胡不归”模型作辅助线.AC,∴∠AEB=90∘.:tanA=BEAE=2,设AE=a,则BE=2a.由勾股定理,得10²=a²+4a2,∴a2=20,∴a=2√5或a=−2√5(舍去),. ∴BE=2a=4√5.:AB=AC,,【链知识】等腰三角形两腰上的高相等.DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4 √5.【答案】4√5.3模型巩固练习1.如图11-62-10,在△ABC中,∠B=45°,AB=4,P为直线BC上一点.当BP+2AP 有最小值时,∠BAP的度数为 .BP+2.如图11-62-11,在△ABC 中,AB=AC=10,∠A=30°,BD是△ABC的边AC上的高,P是BD 上的动点，则√32CP的最小值是 .3.如图11-62-12,在平行四边形 ABCD 中,∠A=60°,AB=6,AD=2,P 为边CD上一点,则√3PD+2PB的最小值为 .x−√3的图像分别交x轴、y轴于点A,B.若 C 为 x轴4.如图11-62-13，在平面直角坐标系中，一次函数y=√33上的一个动点,则2BC+AC 的最小值为 .5.模型迁移如图11-62-14,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A(-4,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,连接AC.(1)求抛物线的解析式.(2)P 是线段AC 上方抛物线上的一个动点，E是x轴上的一个动点,连接PA,PC,PE,当△PAC的面积最大时，求BE的最小值.PE+√22。
胡不归和阿氏圆数学模型
胡不归和阿氏圆数学模型
胡不归和阿氏圆数学模型是由胡不归与阿氏共同提出的一个数学
模型。
该模型用于描述和分析物体在胡不归的假设条件下的运动轨迹。
其中，胡不归的假设条件是指物体在运动过程中受到的外部力可以忽
略不计，即在理想的情况下进行研究。
而阿氏圆则是由阿氏提出的一
个圆形轨迹模型，用于描述物体在惯性系下的运动轨迹。
在该模型中，胡不归和阿氏假设物体在运动过程中不受外力作用，因此物体会沿着一个圆形轨迹进行运动。
这个圆形轨迹被称为阿氏圆。
胡不归和阿氏通过对物体运动的分析和计算，得出了一些关于运动轨
迹的重要结论。
根据该模型，物体在阿氏圆上的运动满足某些特点。
首先，在给
定的时间段内，物体在阿氏圆上的运动速度是恒定的。
其次，在同一
圆上不同位置的物体所处的时间间隔是相等的。
最后，在阿氏圆上的
任意两点之间，物体所经过的弧长与圆心之间的夹角成正比。
胡不归和阿氏圆数学模型在物体运动的研究和应用中具有重要的
意义。
通过这个模型，我们可以更加深入地理解物体在惯性系下的运
动特点。
同时，该模型也能够为我们提供一种计算物体运动轨迹和速
度的方法，从而对各种相关问题进行分析和解决。
总的来说，胡不归和阿氏圆数学模型为我们提供了一种简单而有
效的描述物体运动的工具，为物理学和工程学的发展做出了重要贡献。
胡不归模型例题
胡不归模型例题一、胡不归模型概述胡不归模型是一种用于解决复杂问题的数学模型，广泛应用于各个领域。
它的核心思想是基于大数据分析和机器学习算法，通过对问题的输入数据进行处理和分析，从中提取规律和模式，最终得出问题的解决方案。
二、胡不归模型的基本原理胡不归模型的基本原理可以总结为以下几点：1. 数据收集与预处理在使用胡不归模型之前，首先需要收集和准备相应的数据。
数据可以来自于各种渠道，如传感器、数据库、互联网等。
收集到的原始数据需要进行预处理，包括数据清洗、数据去噪、数据平滑等，以保证数据的质量和准确性。
2. 特征提取与选择在数据预处理之后，需要对数据进行特征提取和选择。
特征是指能够反映问题本质的数据属性。
通过对数据进行分析和挖掘，可以提取出一些具有代表性的特征。
3. 模型训练与优化在得到特征之后，可以开始进行模型的训练和优化。
胡不归模型可以使用各种算法，如神经网络、决策树、支持向量机等。
通过将数据输入模型，不断调整模型的参数和结构，最终得到一个较为准确的模型。
4. 模型评估与应用在模型训练完成后，需要对模型进行评估和验证。
评估指标可以包括准确率、召回率、F1值等。
如果模型的表现良好，可以将其应用到实际问题中，对新数据进行预测和分析。
三、胡不归模型例题解析为了更好地理解胡不归模型的应用，下面以一个实际例题进行解析。
1. 问题描述假设我们需要设计一个自动驾驶系统，能够根据道路上的交通标志和标线实现车辆的自主导航和避障。
2. 数据收集与预处理首先，我们需要在车辆上安装各种传感器，如摄像头、雷达等，用于实时获取道路上的信息。
收集到的原始数据需要进行预处理，包括图像去噪、边缘检测、图像分割等。
3. 特征提取与选择通过对预处理后的图像进行特征提取和选择，我们可以得到一系列能够反映交通标志和标线信息的特征。
例如，可以提取交通标志的颜色、形状和大小等特征。
4. 模型训练与优化使用胡不归模型，我们可以选择一个合适的算法，如卷积神经网络，对提取到的特征进行训练和优化。
胡不归数学模型初中解法
胡不归数学模型初中解法
胡不归数学模型是一个初中数学问题，我们可以通过以下步骤来解决它。
1. 首先，我们要了解胡不归数学模型的定义。
胡不归是一种数学游戏，规则如下：从任意一个正整数开始，按照一定的规则进行操作，直到最终得到数字胡不归。
操作规则为：如果当前数字是奇数，则将其乘以3再加1；如果当前数字是偶数，则将其除以2。
重复这个操作直到得到胡不归。
2. 给定一个初始数字，我们可以利用循环来进行操作，直到得到胡不归。
我们使用一个变量来保存当前数字的值，并根据当前数字的奇偶性进行不同的操作。
3. 我们可以使用一个while循环来进行操作，直到得到胡不归。
循环的结束条件可以是当前数字等于胡不归，即我们找到了胡不归。
4. 在循环中，我们可以使用if-else语句来判断当前数字的奇偶性，并根据结果进行相应的操作。
如果当前数字是奇数，我们将它乘以3再加1；如果当前数字是偶数，我们将它除以2。
5. 在每次操作后，我们更新当前数字的值，并继续循环直到最终得到胡不归。
总结起来，胡不归数学模型的解题步骤是：给定一个初始数字，使用循环和条件判断来进行操作，直到得到胡不归为止。
通过这种方法，我们可以解决胡不归数学模型问题。
胡不归模型的数学题型
胡不归模型的数学题型
胡不归模型的数学题型主要是求解具有特定形式的问题，即AP+k·BP，其中P是某一定点，A和B是另外两个点，k是一个常数。
这种问题常常出现在几何和代数领域。
以一个具体的例子来说明：假设A、B两人在同一条路上骑车，A在路的起点处开始骑，速度为10km/h，B从距起点20km的地方开始骑车，速度为20km/h。
问B需要多长时间才能追上A？
解析：设B追上A的时间为t，则A骑车的路程为10t，B骑车的路程为20+(20t-10t)=10t+20。
因为A、B在同一地点相遇，所以他们骑车的路程相等，即10t=10t+20。
解得t=2。
这实际上就是一个胡不归模型的问题，求解该类问题一般采用构造辅助线的方法，将问题转化为几何问题或者代数问题，然后求解。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归”一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
胡不归数学模型及应用
胡不归数学模型及应用1. 引言胡不归数学模型（Noticeable Absence-Returning Hu Model）是一种数学模型，用于研究人们在某个领域中离开和回归的行为模式。
该模型基于胡不归现象，即人们在某个领域中的暂时离开，最终又回归的现象。
该模型通过对离开和回归的人群进行统计和建模，可以提供有关胡不归行为的预测和分析。
2. 胡不归数学模型的基本原理胡不归数学模型基于一系列假设和数据，通过使用数学方法对胡不归行为进行建模和分析。
以下是该模型的基本原理：2.1 假设1：胡不归时间服从指数分布胡不归数学模型首先假设人们离开某个领域并最终回归的时间服从指数分布。
这意味着在任何给定时间段内，人们离开和回归的概率是恒定的。
2.2 假设2：胡不归行为是独立事件胡不归数学模型假设离开和回归的事件是彼此独立的。
这意味着人们的离开不会影响其他人的离开，人们的回归也不会受其他人回归的影响。
2.3 基本公式根据上述假设，胡不归数学模型可以使用指数分布的公式进行建模。
假设λ是离开和回归的速率参数，表示在单位时间内离开或回归的人数。
那么在任何给定时间t内，离开的人数可以表示为：离开人数= λ * e^(-λt)同样地，回归的人数也可以通过类似的公式计算。
3. 胡不归数学模型的应用胡不归数学模型可以应用于各种领域，以预测和分析胡不归行为。
以下是该模型的几个应用案例：3.1 人口流动研究胡不归数学模型可以在人口流动研究中应用。
通过对人们在某个地区的离开和回归进行建模，可以预测未来的人口流动趋势，为城市规划和社会政策制定提供科学依据。
3.2 社交网络分析胡不归数学模型可以用于分析社交网络中的胡不归行为。
通过对人们在社交网络中的离开和回归进行建模，可以研究人际关系的演化过程，发现潜在的社交网络演化规律。
3.3 网络服务质量评估胡不归数学模型可以应用于网络服务质量评估。
通过对用户在网络上的离开和回归进行建模，可以评估网络服务的稳定性和可靠性，为改进网络服务提供参考。
“将军饮马”模型升级版--胡不归模型和阿氏圆--教师版
“将军饮马”模型升级版--胡不归模型和阿氏圆一、胡不归---动点在直线上PA +k ·PB 最小【知识点】从前，有一个身在他乡的小伙子，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B (如图所示)，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？⋯”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
t =DA v 1+DB v 2(v 1>v 2)要最小，提系数(提大不提小)t =DA v 1+DB v 2=1v 2DB +v 2v 1DA，--这边告诉我们如果二者系数都不等于1，记得提取大系数！设v 2v 1=k <1，则只需DB +kDA 最小实际问题中，这个k (我们已经令它小于1)经常是特殊角三角函数值。
因此只要以DA 为斜边作sin ∠DAQ =k 即可，再将三点拉直到一直线上，就能满足题意(点到直线之间垂线段最短)。
如答图示意。
简记:胡不归,正弦作个角,作高求长即可.特别提醒：当k >1时，kAP +BP =k AP +1kBP 按常规模型算即可知识点原图答图以下为例题：1∠AOB =30°，OM =2，D 为OB 上动点，求MD +12OD 的最小值．思路引领：作∠BON =∠AOB =30°，过点M 作MC ⊥ON 于点C ，交OB 于点D ′，当MC ⊥ON 时，(此时点D ′即为点D )MD +12OD =MD +CD 的值最小，最小值是CM 的长，答案详解：如图，作∠BON =∠AOB =30°，过点M 作MC ⊥ON 于点C ，交OB 于点D ′，∴CD ′=12OD ′所以当MC ⊥ON 时，(此时点D ′即为点D )MD +12OD =MD +CD 的值最小，最小值是CM 的长，∴在Rt △OCM 中，∠OMC =30°，OM =2∴OC=1，∴CM=3．答：MD+12OD的最小值为3．2如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是()A.25B.45C.53D.10试题分析：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tan A=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．答案详解：解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tan A=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=25或-25(舍弃)，∴BE=2a=45，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=45(等腰三角形两腰上的高相等)，∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=55，∴DH=55BD，∴CD+55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥45，∴CD+55BD的最小值为45．方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得55BD=DM，从而得到CD+55BD=CM=45．所以选：B．二、阿氏圆---动点在圆上PA+k·PB最小【知识点】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面内存在两个定点A、B,则所有满足PAPB=K(k>0且≠1)的点P运动轨迹为一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称为阿氏圆。
胡不归模型的数学题型
胡不归模型的数学题型胡不归模型是一种应用于数学领域的数学题型，它的特点是通过对给定的数学问题进行分析和推导，最终得出胡不归的结论。
胡不归模型的名称源自胡不归先生，他是一位著名的数学家，他提出了胡不归模型，并应用于解决了许多数学问题。
在胡不归模型中，我们需要根据给定的数学题目，进行逻辑推理和数学推导，最终得出一个结论。
胡不归模型可以应用于各种数学题型，包括代数、几何、概率等方面的问题。
在代数方面，胡不归模型可以应用于解方程、求解不等式等问题。
例如，我们可以使用胡不归模型来解决如下的代数问题：已知方程x^2 + 2x + 1 = 0，求解x的取值范围。
首先，我们将方程进行因式分解，得到(x + 1)^2 = 0。
然后，我们可以根据胡不归模型的原理，得出结论x + 1 = 0，即x = -1。
因此，x的取值范围为{-1}。
在几何方面，胡不归模型可以应用于解决平面几何和立体几何的问题。
例如，我们可以使用胡不归模型来解决如下的几何问题：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求解斜边的长度。
首先，我们可以利用勾股定理得到斜边的长度。
根据胡不归模型的原理，我们得出结论：斜边的长度为5cm。
在概率方面，胡不归模型可以应用于解决概率的计算问题。
例如，我们可以使用胡不归模型来解决如下的概率问题：已知一枚硬币被扔了10次，出现正面的次数为8次，求解出现反面的次数的概率。
根据胡不归模型的原理，我们可以得出结论：出现反面的次数的概率为2/10，即1/5。
通过以上的例子，我们可以看出胡不归模型的应用广泛，并且可以解决各种数学题型。
胡不归模型的优点在于它的简洁和实用性，通过逻辑推理和数学推导，我们可以得出准确的结论。
总结起来，胡不归模型是一种应用于数学领域的数学题型，它通过逻辑推理和数学推导，解决各种数学问题。
无论是代数、几何还是概率问题，胡不归模型都可以发挥重要的作用。
胡不归模型的应用可以提高我们的数学思维和解题能力，是数学学习中不可或缺的一部分。
中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)
中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)在数学中，经典几何模型是考试中经常出现的题型之一。
其中，胡不归最值模型是一种常见的最值问题。
这类问题通常涉及到形如“PA+kP”的式子，可以分为两类问题：胡不归问题和阿氏圆问题。
胡不归问题的故事源于一个少年外出求学，得知父亲病危后，他立即赶回家。
虽然他所在的位置到家的路上有一片砂石地，但他仍然义无反顾地走了这条路。
当他到家时，父亲已经去世了，他深感悔恨并痛哭流涕。
邻居告诉他，父亲在临终前一直念叨着“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）。
这个故事启发我们思考如何求解“PA+kP”型问题中的最值。
以胡不归问题为例，我们需要求解一个动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得AC+BC的值最小，即求BC+kAC的最小值。
为了解决这个问题，我们可以构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH=kAC。
这样，我们可以将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小。
在解决“PA+kP”型问题时，关键是构造与kP相等的线段，将“PA+kP”型问题转化为“PA+PC”型。
而这里的P必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP的等线段。
举个例子，如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值为5.这个问题的关键在于处理“CD+BD”的式子，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sin ABE⊥AB交AB于H点，则DH=BD/5.通过构造HD，我们可以将问题转化为求CD+CH的最小值，其中CH=kAC，k=sin∠DAN=BD/5.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即CD+BD的最小值为5.综上所述，胡不归最值模型是一类常见的最值问题。
初中胡不归3种模型例题
初中胡不归3种模型例题
以下是三种初中数学胡不归问题的模型例题：
1.速度与时间的胡不归问题：
甲乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在C点，然后两人继续前行，到达对方出发地后立即返回，第二次相遇在D点。
已知AC = 600m，BD = 600m，则AB的长度是多少？
2.距离与时间的胡不归问题：
小明从家到学校，原计划每分钟走60米，15分钟可以到达。
实际上，他每分钟比原计划多走10米，实际到达学校需要多长时间？
3.路程与时间的胡不归问题：
小明和小刚同时从甲、乙两地相向而行，小明每分钟走50米，小刚每分钟走60米。
两人第一次相遇在C点，然后继续前行，分别到达对方出发地后立即返回，第二次相遇在D点。
已知CD =
140m，求甲、乙两地的距离。
解决这类问题时，首先需要理解题目的基本情况，然后根据运动的基本公式建立数学模型。
如果涉及多个未知数，还需要建立方程组进行求解。
数学模型胡不归解题思路
数学模型胡不归解题思路哎呀，今天咱们聊聊“数学模型胡不归”的解题思路，听起来是不是有点高深，其实没那么复杂，咱们就像聊天一样，轻松聊聊。
数学模型这东西，听着像个怪兽，实则就是把现实生活中的问题用数学的语言给描述出来。
你可以想象成用图纸描绘大楼的结构，只有这样，才能确保在风吹雨打的时候，这座大楼能屹立不倒。
好啦，先说说这个“胡不归”是个什么情况。
简而言之，就是当我们面对一个问题，常常不知道从哪里下手，像是一只迷路的小猫，四处乱窜。
先别急，咱们可以先搞清楚问题的本质，搞清楚想解决的是啥。
就好比你要煮一碗面，得先知道你是想吃什么口味的，是清汤还是炸酱，是不是还想加个蛋。
没有明确的目标，光是随便放料，最后只会得到一碗奇怪的东西。
咱们得收集数据。
就像考察市场一样，要知道人们喜欢什么，才好做出受欢迎的产品。
数学模型也是，得有数据支撑才行。
比如说，天气预报要收集气温、湿度、风速等数据，才能准确预测明天会不会下雨。
要是你光靠瞎猜，那结果可就扑朔迷离了。
数据的采集很重要，往往能让我们洞悉事情的真相，像是打开了新世界的大门。
一旦有了数据，接下来就是分析。
分析过程就像把一个谜团一层一层剥开，找到隐藏在里面的真相。
这里面可以用到各种数学工具，比如统计学、概率论，甚至是一些高大上的公式。
不过，别担心，听上去很复杂，其实就是在解剖问题的过程，找出其中的规律和联系。
有些时候，就像找寻宝藏一样，稍微用点心，就能发现意想不到的惊喜。
建模的过程也是很有趣的，就像在搭积木。
每一个数据、每一个假设，都是积木的一部分。
你可以选择不同的方式搭建，搭得高了，可能就能看到更远的风景。
建模的时候，要灵活运用你脑海里的想象力，别让那些公式束缚了你的手脚。
只有大胆尝试，才能找到最合适的结构。
数学模型不仅仅是冷冰冰的公式，更是你创造力的体现。
接下来的步骤就是验证模型了。
模型建立好了，接下来就得看看它的预测能力如何。
这个过程就像是给你的菜品进行品尝，看看味道是不是正。
胡不归数学模型
胡不归数学模型胡不归”问题的数学模型有一位年轻人外出务工，某天得知父亲病危，便立即赶回家。
他略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，选择走直线路径，但忽视了走折线路程多但速度快的实际情况。
当他赶到家时，老人已经去世，而且在弥留之际不断念叨着“XXX不归……XXX不归……”。
这个问题引起了人们的思考：年轻人是否能够节省路上的时间提前到家？如果可以，应该选择怎样的路线？这就是流传千百年的“胡不归”问题。
如图所示，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土。
为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为v1米/秒，砂土速度为v2米/秒），年轻人需要在AC上选取一点D，再折往至B。
很多人会有一个疑问，年轻人究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题。
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为T，则T=AD/v1+DB/v2.由此可得，提取一个常数k得T=k(AD/v1+DB/v2)。
若想总的时间最少，就要使得k最小，即使得AD/v1+DB/v2最小。
XXX所示，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为θ，且AE=x。
作DG⊥AE于点G，则AD=x/sinθ，DB=BG/sinθ。
将AD和DB代入上式，即可得到T的表达式为T=k(x/v1+BG/v2)。
因此，我们要找的点D就是使得T最小的点。
此时，DG+BG的长度最小，即DG的长度最小。
再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点E'。
则点D的最小值为E'D。
综上，所需时间的最小值为Tmin=k(x/v1+BG/v2)=k(AD/v1+DB/v2)。
年轻人想要尽快回家，应沿着驿道到达E'，然后再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面。
解决此类问题的一般方法：第一步：将所求的线段和改写成a/x+b/y的形式；第二步：构造一个角，使得a/x+b/y最小；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算。
2023年中考数学几何模型之胡不归模型(讲+练)(解析版)
专题14动点最值之胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？2驿道看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A 在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG ⊥AE 于点G，则，将转化为DG ＋DB ，再过点B 作BH ⊥AE 于点H 此时DG ＋DB 的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC，CH =kAC ．M M将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例题1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D是线段BE 上的一个动点，则CD的最小值是_______．ABCDE【解析】∵tan A=2，∴△ABE 三边之比为1:2，∴sin ，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH ．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE ．例2.如图，△ABC 在直角坐标系中，AB ＝AC，C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为（）A．（0，）B．（0，C．（0，）D．（0）【答案】D【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间，要使t最小，就要＋CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以，所以，所以点D的坐标应为例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan ∠EBA＝A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【答案】【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，解方程组得或，则E点坐标为，∴∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为．【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则2PB PD的最小值等于________．A BCDP【解析】已知∠A =60°，且sin60°=2，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得2PH PD，∴2PB PD =PB +PH ．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．【变式训练2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则的最小值是.【解析】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝90°，设AE ＝a ，BE ＝2a ，则有：100＝a 2＋4a 2，∴a 2＝20，，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB，∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴∴CD ＋DH≥CM，.【变式训练3】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD上的一动点，则的最小值等于________．过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP＝∠DAB＝60°，∴当点B、P、Q三点共线时，有最小值，的最小值为.课后训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC ＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°，∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°，∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动，∴当点G运动到OQ上时，GH 取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为故选：C．2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，故选：B．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则＋PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【解答】（1）（2）；【解析】（1）由题意解得，∴抛物线解析式为，∵（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB＋PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝，∴＋PD＝PH＋PD＝DH PB＋PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴＋PD的最小值为；4.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE 上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）（3）AB＝【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝，∴OC＝，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴＋OD＝DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝．∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．5.如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）（2或；（3）当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线经过点B（4，0），∴4＋b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：当x＝﹣5时，y＝，∴D（﹣5）．∵点D（﹣5）在抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），得x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，∴P（x，＋），代入抛物线解析式y（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，，∴，解得，∵k＞0，∴，综上所述，或．（3）作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，点M，∵lBD：∴F X＝A X＝﹣2，∴F（﹣2）．。
胡不归与阿氏圆数学模型
胡不归与阿氏圆数学模型
胡不归与阿氏圆是指二次曲线簇，其中包括椭圆、抛物线和双曲线三
类曲线。
这些曲线在平面直角坐标系中可以用二次方程形式表示出来。
例如，椭圆的一般方程式为某^2/a^2+y^2/b^2=1，该方程描述了一个轮廓为
椭圆的所有点的位置。
胡不归与阿氏圆的研究始于公元前6世纪的希腊。
古代希腊的数学家
把圆视为完美的几何图形，并通过许多构造方法展示了圆的美丽和复杂性。
由于椭圆、抛物线和双曲线可以通过圆的投影或切割而产生，它们被称为“圆锥曲线”。
在数学领域中，胡不归与阿氏圆是几何和代数之间的桥梁。
几何上，
它们被用于描述圆锥、轮廓线和声波传播等。
代数上，二次方程是一种重
要的代数类型，它可以被用于描述物质的物理特性和变化。
在实际应用中，胡不归与阿氏圆在工程学、物理学、天文学等领域都
有广泛的应用。
例如，在机械学中，圆锥曲线常常被用于描述滑动接触问
题中的接触面形状。
在天文学中，椭圆轨道被用于描述星体的运动。
在电
子学中，抛物线轨迹可以描述变速器加速的特性。
总之，胡不归与阿氏圆是一对重要的数学模型，它们的研究涉及到几
何和代数的多个领域。
这些模型在实际应用中有着广泛的应用，对于解决
众多实际问题具有重要意义。
2025中考数学二次函数压轴题专题练习22 胡不归模型(学生版+解析版)
专题22胡不归模型一、知识导航在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP矿这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1)胡不归问题，（2)阿氏固．本文简单介绍“胡不归“模型【故丰介绍l从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据＇，两点之间线段最短＂，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？(“胡“同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？A VZ R驿道［棋型建立）如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI'在直线MN上运动的速度为忆，且冈＜忆，A、BAC BC为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使－－＋—－的值最小V2 V,MBA V2 CN（问题分析）AC B C l V V了三(B C+t AC]，记k=t即求BC+kAC的最小值．（问题解决I构造射线AD使得sin乙D儿'V=k,CH/ A C=k, CH=kAC.M A勺、＂、、,'CCH、、、令si11a＝一＝k H、、AC、、、、、、忽CH=kAC BN将问题转化为求B C+CH最小值，过B点作BH上AD交J\1N于点C,交A D于H，点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．B， ， ，，M A义”、、、、、、、'佥H、、、、、艾N（棋型总结】在求形如“PA+kP矿的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“1刃＋肘功”型问题转化为“PA+PC'型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段石如图， 6.ABC中，AB=AC=IO,ta叭＝2,BE_I_AC于点E,D是线段BE上的一个动点，则CD+—-BD的晟5小值是A8c乔（分析）本题关键在于处理”__:_BD",考虑tanA:o2,t,. ABE三边之比为1:2✓5,石上AB交AB于H点，则DH=－-BD,5石sin乙钮E—，故作D H5A Ac8c问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD+DH=CH= 8£=4✓5【小结1本题简单在于题目已经将B A线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线D H即可斛决问题，若稍作改变，将图形改造如下·B二三则需自行构造a,如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关锭所在．B二三渗石，l sina＝一－B夕AIII、、I、$IIIIIIHIIcI三、中考真题演练I.(2023山东中考真题）已知抛物线y=-x2+b入＋c与x轴交于A,B两点，与y轴交千点C(0,4)，其对称轴为x=－一．3y A｀l�l(1)求抛物线的表达式：(3)如图2,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC,线段BC千点E,图2F，过点F作FG..lx轴，垂足为G,求FG＋丘F P的最大值．2.(2023黑龙汀绥化中考真题）如困，抛物线Y,＝少:2+bx+c的图象经过A(-6,0),8(-2,0), C(0,6)三点，且一次函数y＝虹＋6的图象经过点B.-8 -7l广X-8-7I 2(l)求抛物线和一次函数的解析式．(3将抛物线Y,=a.,\2 +bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线Y2，此抛物线的图象与X轴交于M,N两点(M点在N点左侧）．点P是抛物线Y2上的一个动点且在过线NC下方已知点P的横坐标为m.过点P作PD上NC于点D求m为何值时，CD+�PD有最大值，最大值是多少？2(2023四川内江中考真题）如图，在平面丑角坐标系中，抛物线y=w.2+b入＋c与x轴交千B(4,0),C(-2,0) 两点与y轴交于点A(0,-2)I •(I)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作轴的平行线交AB千点K,过点P作y轴的平行线l交r轴于点D,求与－PK+PD的最大值及此时点P的坐标；24.(2023天津中考真题）已知抛物线y=-入2+bx+c(b,c为常数，c>I)的顶点为P,与X轴相交于A,bB两点（点A在点B的左侧），与Y轴相交于点C,抛物线上的点M的横坐标为m,且－c<m＜一，过点M2作C,垂足为N(I)若b=-2,c=3.＠求点P和点A的坐标；＠当仙V＝石时，求点M的坐标；(2)若点A的坐标为（气',0)，且MPII A C,当A N+3M N=9✓2时，求点M的坐标k5. (2023福建泉州模拟预测）如图，已知抛物线y=�(x+2)(x-4)(k为常数，且k>O)与X轴从左至右8§依次交千A,8两点，与Y轴交于点C,经过点B的宜线y=－—-x+b与抛物线的另一交点为D.y yX备用图(I)若点D的横坐标为－5,求抛物线的函数表达式；(2)在（l)条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒l个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？6.(2023广西柳州二模）已知抛物线y＝少:2+b入＋c(a丑0)过点A(LO),8(3,0)两点，与Y轴交于点C, OC=3,。
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“胡不归”问题数学模型
话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭。
邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归……胡不归……” 这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题。
如图，A 是出发点，B 是目的地，直线AC 是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为1v 米/秒，砂土速度为2v 米/秒），小伙子需要在AC 上选取一点D ，再折往至B 。
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题。
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则， 由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A 在驿道下方作射线AE ，夹角为，且，
作DG ⊥AE 于点G ，则，
将转化为DG ＋DB ，
再过点B 作BH ⊥AE 于点H ，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DG ＋DB 的最小值为BH ， ，
综上，所需时间的最小值为
， 少年想要尽快回家，应沿着驿道到达
点之后，再沿着B 路线回家，或许还能见到父亲的最后一面。
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值； 第四步：计算.
例：(2019年长沙T12)如图，△ABC 中，
AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，
D 是线段B
E 上的一个动点。
求CD ＋5
5BD 的最小值。
练习题
1.在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，P 是边AC 上的一个动点，则12PA+PB 的最小值是 。
2.四边形ABCD 是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则AM+12
BM 的最小值是 。
变式思考：（1）本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？
（2）本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？
3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A(-1,0)，B(0,3-)，C(2,0)，其对称轴与x 轴交于点D 。
(1) 求二次函数的表达式及顶点坐标；
(2) 若P 是y 轴上的一个动点，连接PD ，
求
12
PB PD +的最小值。
B A
C
P
A C
B D
M。