多项式长除法精讲精练(供参考)
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学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。
定义4设 是一个数域， 是一个文字，形式表达式
其中 是数域 中的数， 是非负整数）
称为数域 上的一元多项式，通常记为 。 称为 次项的系数。
例如： 是多项式
不是多项式，因为 不是非负整数。
定义5如果数域 上多项式 ， 同次项系数都相等，称 与 相等记为：
第五讲 多项式
1.(一、多项式的整除概念)
2.(二、最大公因式)(本页)
3.(三、多项式的因式分解)
4.(四、重因式 五、多项式的函数)
5.(六、复与实系数多项式的因式分解)
6.(七、有理数域上的多项式)
如果多项式 既是 的因式, 又是 的因式, 那么 称为 与 的公因式.
定义 3
设 . 如果 上多项式 满足以下条件:
例 2设
求 , 并把它表示成 , 的一个组合.
解用辗转相除法:
第一步: 用 除 , 得商 , 余式 .
第二步: 用 除 , 得商 , 余式 .
第三步: 用 除 , 得商 , 余式 .
最后一个不为0的余式是 , 所以
最终得:
定义 4
如果 的最大公因式 , 则称 与 互素.
定理 4
两个多项式 互素的充分必要条件是存在 , 使得
定理 3
数域 上任意两个多项式 与 一定有最大公因式, 且除相差一个非零常数倍外, 与 的最大公因式是唯一确定的, 且 与 的任意最大公因式 都可以表示成 与 的一个组合, 即有 中的多项式 , 使得
当 与 不全为零时, 其最大公因式 , 而 与 的任一最大公因式必为 的形式, 其中 为 上非零数. 在这些最大公因式中有唯一的一个首项系数是1, 我们用 来表示. 如果 , 则最大公因式只有一个零多项式, 记作 (0,0)=0.
相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x2-(r+s)x+rs。
使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。
寻找多项式的切线
多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。[2]如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2的余式——也即，除以 x2-2rx+r2——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。
§2 一元多项式及整除性
下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。
(1)当 + 时
+
(2)当 时
证明：略。
明显地利用定理5不难证明
推论：若 则
一个三位数 1：三个数相加为20。2：百位上的数字比十位上的数大5。3：个位上的数是十位上数的3倍，这个3位数是什么？
设十位数为x，百位数（x+5），各位3x。相加为20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.
=
一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定
定义6在（1）中如果 ，称 为多项式 的次数，记为 。
零多项式不定义次数。
下面给出多项式加法与乘法：
设 是数域 是的多项式。 规定
。
易验证多项式加法与乘法满足下列算律：
加法交换律：
加法结合律：
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
关于多项式次数，我们有
定理2设 ， 是数域 上的两个多项式， 则
证明必要性 如果 与 互素, 那么 . 由定理3, 存在 , 使得
充分性. 如果 令 是 与 的最大公因式. 于是
从而, . 故 必为零次多项式. 所以 与 互素.
互素多项式的一些性质
(1) 若 , 且 , 则 .
(2) 若 , , 且 , 则
(提wk.baidu.com5.2)
我们可以自然地把最大公因式及互素等概念推广到任意多个多项式的情况.
4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项
5.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
除法变换
使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式P(x),D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），
2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x2· (x−3) =x3−3x2).
3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。((x3−12x2)−(x3−3x2) =−12x2+ 3x2=−9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
(1) 是 与 的公因式;
(2) 与 的任何公因式都是 的因式,
则称 是 与 的一个最大公因式.
引理
如果有等式
成立, 那么 , 和 , 有相同的公因式.
由于在上述引理中, 我们可得到次数比 的次数小的 . 因此求 , 的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式 , 的最大公因式的问题. 如此下去, 这就是下面辗转相除法的思想.
多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
例
写成以下这种形式：
然后商和余数可以这样计算：
1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x3÷x=x2).
这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .[1]得到的。
应用:多项式的因式分解
有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用rational root theorem得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。
定义4设 是一个数域， 是一个文字，形式表达式
其中 是数域 中的数， 是非负整数）
称为数域 上的一元多项式，通常记为 。 称为 次项的系数。
例如： 是多项式
不是多项式，因为 不是非负整数。
定义5如果数域 上多项式 ， 同次项系数都相等，称 与 相等记为：
第五讲 多项式
1.(一、多项式的整除概念)
2.(二、最大公因式)(本页)
3.(三、多项式的因式分解)
4.(四、重因式 五、多项式的函数)
5.(六、复与实系数多项式的因式分解)
6.(七、有理数域上的多项式)
如果多项式 既是 的因式, 又是 的因式, 那么 称为 与 的公因式.
定义 3
设 . 如果 上多项式 满足以下条件:
例 2设
求 , 并把它表示成 , 的一个组合.
解用辗转相除法:
第一步: 用 除 , 得商 , 余式 .
第二步: 用 除 , 得商 , 余式 .
第三步: 用 除 , 得商 , 余式 .
最后一个不为0的余式是 , 所以
最终得:
定义 4
如果 的最大公因式 , 则称 与 互素.
定理 4
两个多项式 互素的充分必要条件是存在 , 使得
定理 3
数域 上任意两个多项式 与 一定有最大公因式, 且除相差一个非零常数倍外, 与 的最大公因式是唯一确定的, 且 与 的任意最大公因式 都可以表示成 与 的一个组合, 即有 中的多项式 , 使得
当 与 不全为零时, 其最大公因式 , 而 与 的任一最大公因式必为 的形式, 其中 为 上非零数. 在这些最大公因式中有唯一的一个首项系数是1, 我们用 来表示. 如果 , 则最大公因式只有一个零多项式, 记作 (0,0)=0.
相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x2-(r+s)x+rs。
使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。
寻找多项式的切线
多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。[2]如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2的余式——也即，除以 x2-2rx+r2——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。
§2 一元多项式及整除性
下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。
(1)当 + 时
+
(2)当 时
证明：略。
明显地利用定理5不难证明
推论：若 则
一个三位数 1：三个数相加为20。2：百位上的数字比十位上的数大5。3：个位上的数是十位上数的3倍，这个3位数是什么？
设十位数为x，百位数（x+5），各位3x。相加为20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.
=
一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定
定义6在（1）中如果 ，称 为多项式 的次数，记为 。
零多项式不定义次数。
下面给出多项式加法与乘法：
设 是数域 是的多项式。 规定
。
易验证多项式加法与乘法满足下列算律：
加法交换律：
加法结合律：
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
关于多项式次数，我们有
定理2设 ， 是数域 上的两个多项式， 则
证明必要性 如果 与 互素, 那么 . 由定理3, 存在 , 使得
充分性. 如果 令 是 与 的最大公因式. 于是
从而, . 故 必为零次多项式. 所以 与 互素.
互素多项式的一些性质
(1) 若 , 且 , 则 .
(2) 若 , , 且 , 则
(提wk.baidu.com5.2)
我们可以自然地把最大公因式及互素等概念推广到任意多个多项式的情况.
4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项
5.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
除法变换
使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式P(x),D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），
2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x2· (x−3) =x3−3x2).
3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。((x3−12x2)−(x3−3x2) =−12x2+ 3x2=−9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
(1) 是 与 的公因式;
(2) 与 的任何公因式都是 的因式,
则称 是 与 的一个最大公因式.
引理
如果有等式
成立, 那么 , 和 , 有相同的公因式.
由于在上述引理中, 我们可得到次数比 的次数小的 . 因此求 , 的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式 , 的最大公因式的问题. 如此下去, 这就是下面辗转相除法的思想.
多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
例
写成以下这种形式：
然后商和余数可以这样计算：
1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x3÷x=x2).
这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .[1]得到的。
应用:多项式的因式分解
有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用rational root theorem得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。