高三数学一轮复习 第2讲 双曲线教案

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第二讲 双曲线

一、考情分析

解析几何是用代数的方法解决几何问题,体现了形数结合的思想,因而这一部分的题目的综合性比较强,它要求学生既能分析图形,又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形,这对学生能力的要求较高.

“圆锥曲线”是解析几何的重点内容,特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用.本讲主要是调动学生学习的主动性,注意交代知识的来龙去脉,教给学生解决问题的思路,帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力,掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想,培养良好的个性品质,以及勇于探索、敢于创新的精神,进一步提高学生“应用数学”的水平.

二、知识归纳

(一)椭圆的定义

(1)第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值等于常数()1222||a a F F <的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

特征式:()121222||MF MF a a F F -=<.

注:①若122||a F F =,则点的轨迹是以12F F 、为端点的两条射线; ②若122||a F F >,则这样的点不存在;

③若()121222||MF MF a a F F -=<,则点的轨迹仅是双曲线的一支. (2)第二定义:平面内动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的 比是常数()1e ∈+∞,,那么这个点的轨迹叫做双曲线.其中定点叫做焦 点,定直线叫做准线,常数e 就是离心率.

特征式:

()1M l

MF e e F l d →=>∉,.

注:若F l ∈时,表示过F 与l 相交的两条直线(不含点F ). (二)双曲线的方程

(1)双曲线的标准式方程:

()()()2

2

2

2

100x m y n a b a b ---

=>>,;

(焦点在x 轴的平行线上,中心在()m n ,的双曲线方程)

()()()2

2

2

2

100y n x m a b a

b

---

=>>,.

(焦点在y 轴的平行线上,中心在()m n ,的双曲线方程)

(2)双曲线的参数方程:

①()2222sec 100tan x a x y a b y b a b ϕϕ

=⎧⇔-=>>⎨=⎩,;

F1 F2

②()()()22

22

sec 100tan x m a x m y n a b y n b a b θθ

=+--⎧⇔-=>>⎨=+⎩,. (3)双曲线的向量式方程:()

121222||OM OF OM OF a a OF OF ---=<-.

(三)性质:对于双曲线()22

22100x y a b a b

-=>>,而言,

(1)范围及特征关系:x a ≥;2

2

2

a b c +=.

(2)对称性:图象既关于y 轴对称,又关于x 轴对称,也关于原点对称.原点叫双曲线的对称中

心,简称中心.x 轴、y 轴叫双曲线的对称轴.

(3)顶点:双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点.2(0)(0)A a A a -,,

,;加两焦点12(0)(0)F c F c -,,,与()12(0)0B b B b -,,,共有六个特殊点.21A A 叫双曲线的实轴,21B B 叫双曲线

的虚轴,长分别为22a b 、.a b 、分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长.

(4)离心率:双曲线焦距与实轴长之比)1c e e e a =

⇔=>. 注:双曲线形状与e 的关系:10b

e a →→,,双曲线的开阔程度越小;b e a

→+∞→+∞,,双曲线的开阔程度越大.

(5)双曲线的准线方程:对于22221x y a b -=,左准线21a l x c =-:;右准线2

2a l x c

=:;

对于22221y x a b -=,下准线21a l y c =-:;上准线2

2a l y c

=:.

(6)焦准距:焦点到准线的距离2222

a c a

b p

c c c c -=-==(焦参数). (7)通径:经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径,长度为2

2b a .

(8)渐近线:双曲线的渐近线方程是x a

b

y ±=(令22220x y a b -=即可).

(9)焦半径公式:

焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式:10MF a ex =+(左焦半径);20MF a ex =-(右焦半径);

焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式:10MF a ey =+(下焦半径);20MF a ey =-(上焦半径);

(规律:左加右减,上减下加.)

(10)焦点三角形:曲线上的点与焦点连线构成的三角形

F1

F2

α

β

γ

称焦点三角形;2

sin

2cot

2

sin

2

S b e αβ

γαβ∆+==

-;.(如何证明?) (四)等轴双曲线

(1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

(2)性质:①渐近线方程为:x y ±=;②渐近线互相垂直;③离心率2=

e .

(3)方程: )0(2

2

≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴,当0<λ时焦点在y 轴上. (五)共轭双曲线

(1)定义:如果双曲线1C 的实轴是双曲线2C 的虚轴,双曲线的虚轴2C 是双曲线1C 的实轴,这两个双曲线称为互为共轭双曲线.

(2)求法:2222

222211x y x y a b a b

-=←−

→-=-; (3)性质:若共轭双曲线12C C 、的离心率分别为12e e 、,则: ①

22

12111e e +=

;②12e e +≥;③122e e ≥

;④12

11

e e +≤ (六)双曲线系方程(焦点在x 轴的上,中心在原点)

(1)共焦点的双曲线系:()22

2210x y k c k k c +=<<-;

注:若2

k c >,则表示共焦点的椭圆系.

(2)共渐进线的双曲线系:()22

220x y a b λλ-=≠.

注:若()22

220x y a b

λλ+=>,则表示离心率相同的椭圆系.

三、精典例析

(一)活用定义

例1:定点()292A F ,,是双曲线22

1916

x y C -

=:

(1)求2PA PF +的最小值; (2)求23

5

PA PF +

的最小值. 解析:(1)双曲线221916x y C -

=:的离心率为5

3

e =,

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