代数学基础学习笔记

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第一章 代数基本概念
习题解答与提示(P54)
1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明:
对任意 a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到 ba=ab,
由此可见群 G 为交换群.
2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1]
对任意 a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2]
对任意 a,b G, a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知 G 为交换群.
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3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合 条件:
(1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 a=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b; 证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]
设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2) 可知若 i j(I,j=1,2,…,n),有
akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意 at G, 存在 am G,使得
akam=at. 由<2>和<4>知对任意 at G, 存在 as G,使得
asak=at. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思
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路比较清楚。 [方法 2]
为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内 存在幺元(单位元)，并且证明 G 内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设 G={a1,a2,…,an}. (Ⅰ) 证明 G 内存在幺元.
<1> 存在 at G，使得 a1at=a1.(这一点的证明并不难，这 里不给证明);
<2> 证明 a1at= ata1; 因为
故此
a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2 a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1)2,
a1(ata1)at= a1(a1at)at. 由条件(1),(2)可得到
a1at= ata1. <3> 证明 at 就是 G 的幺元;
对任意 ak G, 由条件(2)可知
a1(atak) =(a1at)ak=a1ak
类似可证
atak=ak.
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akat=ak. 因此 at 就是 G 的幺元. (Ⅱ) 证明 G 内任意元素都可逆；
上面我们已经证明 G 内存在幺元，可以记幺元为 e，为了
方便可用 a,b,c,…等符号记 G 内元素.下面证明任意 a G，
存在 b G，使得
ab=ba=e.
<1> 对任意 a G，存在 b G，使得 ab=e;
(这一点很容易证明这里略过.)
<2> 证明 ba=ab=e;
因为
a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e
再由条件(2),(3)知
ba=ab.
因此 G 内任意元素都可逆.
由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知 G 在该乘法下成一群.
4. 设 G 是非空集合并在 G 内定义一个乘法 ab.证明:如果乘 法满足结合律,并且对于任一对
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元素 a,b G,下列方程 ax=b 和 ya=b
分别在 G 内恒有解，则 G 在该乘法下成一群. 证明：
取一元 a G,因 xa=a 在 G 内有解, 记一个解为 ea ,下面 证明 ea 为 G 内的左幺元. 对任意 b G, ax=b 在 G 内有解, 记一个解为 c,那么有 ac=b ,所以
eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b, 因此 ea 为 G 内的左幺元. 再者对任意 d G, xd=ea 在 G 内有解,即 G 内任意元素对 ea 存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此 G 在该乘法下成一 群.
[总结] 群有几种等价的定义:
(1) 幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群. (2) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算
满足结合律, 并且 G 内包含幺元, G 内任意元素都有逆 元,则称 G 为该运算下的群. (3) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算 满足结合律, 并且 G 内包含左幺元, G 内任意元素对左 幺元都有左逆元,则称 G 为该运算下的群.
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(4) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算 满足结合律, 并且对于任一对元素 a,b G,下列方程 ax=b 和 ya=b
分别在 G 内恒有解，则称 G 为该运算下的群. 值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该 半群一定是群.
5. 在 S3 中找出两个元素 x,y,适合 (xy)2 x2y2.
[思路] 在一个群 G 中，x,y G, xy=yx (xy)2 x2y2(这 一点很容易证明).因此只要找到 S3 中两个不可交换的元素 即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素. 解: 取
那么
x=
, y=
(xy)2
= x2y2.
[注意] 我们可以通过 mathematica 软件编写 Sn 的群表,输出程
序如下: Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)
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