电路分析7

第七章 耦合电感与理想变压器7-1 试标出题图7-1所示耦合电感的同名端。

（a ） （b ） 题图7-12（） （'b ）（a ） 解：设电流同时从a 端和c 端流入，如图（'a ）所示。

根据右手定则，1i 和2i 产生的磁通方向如图a 所示。

每个线圈的自感磁通和互感磁通方向相反，所以根据同名端的含义可知：a 和c 端是异名端，a 和d 或b 和c 是同名端。

（b ） 解：设电流同时从a 端和c 端流入，如图（'b ）所示。

根据右手定则，1i 和2i 产生的磁通方向如图b 所示。

每个线圈的自感磁通和互感磁通方向相反，所以根据同名端的含义可知：a 和c 端是异名端，a 和d 或b 和c 是同名端。

7-2 列写题图7-2中各耦合电感的伏安关系。

（a ） （b ）题图7-2（a ）解：对图（a ）所示耦合电感，ab 端口1u 、1i 为关联参考方向，所以自感电压为正；1i 和2i 不是同时流入同名端，所以互感为负，cd 端口2u 、2i 为非关联，所以自感为负，1i 和2i 不是同时流入异名端。

所以互感为正，故可得其伏安关系：1211()di di u t L M dt dt =- ， 2122()di di u t L M dt dt=-+（b ）解：对图（b ）所示耦合电感，ab 端口1u 、1i 为关联参考方向，所以自感电压为Z ；1i 和2i 不是同时流入同名端，所以互感为负，cd 端口2u 、2i 为关联参考方向，所以自感电压为正，1i 和2i 同时流入异名端。

所以互感为负，故可得其伏安关系：1211()di di u t L M dt dt =- ， 2122()di di u t L M dt dt=-7-3 题图7.3 (a) 所示的耦合线圈，若1i 的波形为图7-3 (b)，试绘出u 2的波型。

（a ） （b ） 题图7-3解：由图b 可得：12033234145t di t dt t ⎧≤<⎪⎪=-≤<⎨⎪≤<⎪⎩， 又由耦合电感的伏安关系知： 2122()di di u t L M dt dt=-， 而 20,i = 3,M = 故 122033634345t di u t dt t -≤<⎧⎪=-=≤<⎨⎪-≤<⎩， 波形如（c ）图：1 23 4 5t /s（c ）7-4 求题图7-4所示各电路的等效电感。

（a ） （b ）题图7-4（a ）解：根据基尔霍夫定律和耦合电感的伏安关系可列出两回路的KVL 方程：1211220SjwL I jwM I U jwM I jwL I ∙∙∙∙∙⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 求解以上方程可得：2112()S M I jwL jw U L ∙∙-=所以：212113 2.52SU M Z jwL jw j w j w j w L I ∙∙==-=-=故： 2.5L H =等效（b ）解：图b 的去耦合等效电路如图c 所示。

(10)(11)//(23)1 1.2 2.2Z jw jw jw jw jw jw =++++=+=故： 2.2L H =等效（c ）7-5 电路如题图7.5所示，已知,2,3,12121Ω=Ω=Ω==L L R R ωωΩ=2M ω，A 01001 ∠=U ，求开关S 打开和闭合时的电流1I 。

题图7-5解：当开关S 打开，题图7-5的去耦等效电路如图（a ）所示，则：11212(2)11(3222)2977.47Z R R jw L L M j j =++++=++++⨯=+=所以：11110.8577.47U I Z ∙∙==≈∠-当开关S 闭合后，题图7-5的去耦等效电路如图（b ）所示，则：11122()()//[()]15(2)//(41) 1.8 1.4 2.2837.87Z R jw L M jw M jw L M R j j j j =+++-++=++-+=+≈∠j ωL所以：111100044.8537.872.2837.87U I Z ∙∙∠==≈∠-∠-+（a ） （b ）7-6 题图7-6所示电路，已测得开路电压,V 4=ab U 求U 和SI 。

SI ∙baab题图7-6 （b ）解：图7-6中耦合电感异名端相接，其去耦等效电路如图（b ）所示，又令40ab U ∙=∠ ，则有：(72)521002abU U j j j j j ∙∙=-⨯=⨯=-∠- V 而 (42)//(72)42Z j j j j =--=+所以：10010(42)(2)4220S U j I j Z j ∙∙-∠--====-++ ASI ab7-7 题图7-7所示电路，求电流1I 和电压2U 。

题图7-7解：根据基尔霍夫定律和耦合电感的伏安关系可列出两回路的KVL 方程：1212(12)8808(3232)0j I j I j I j j I ∙∙∙∙⎧++=∠⎪⎨⎪+-=⎩ ， 求解以上方程可得：10I ∙=，2I j ∙=- 所以：223232320U I j j j ∙∙=⨯=-⨯=∠7-8 题图7-8所示电路，已知电路已处于稳态，当t =0时,将开关S 打开，求t ≥0时的开路电压u 2(t)。

题图7-8解：当0t <时，电路处于稳态，此时电感相当于短路。

故：14010(0)110510//101010i A -=⨯=+++由换路定理知：11(0)(0)1i i A +-==当0t ≥时，对初级和次级回路分别列KVL 方程。

11(1010)0.20di i dt++=---------------------------------------（1） 120.1di u dt=-------------------------------------------------------（2） 由（1）可解得：10011()(0)ti t i e-= A又11(0)(0)1i i A +-==, 所以： 1001()t i t e -= A -----（3）V08 ∠2将（3）代入（2）可得：1001002()0.110tt de u t e dt--==-V 0t ≥7-9 电路如题图7-9所示,试求电流相量I。

题图7-9解：由理想变压器的伏安关系知：'1112I I I n ∙∙∙==12(1)2U nU n I I ∙∙∙∙==⨯⨯=由KCL 知：'''111I I I ∙∙∙=+故：11200112212U U I ∙∙∠-=+整理得：20262I I I ∙∙∙-=+, 求解得：20I ∙=∠A7-10 在题图7-10所示电路中，试求Z L 为多大时可获得最大功率，最大功率为多少?题图7-10解：（1）将次级线圈的电阻移到初级线圈中，由于匝数之比为1:2，所以各阻抗变为原有的0.25倍，如图b 所示。

V 010 ∠ j10Ω12Ω1Ω020 ∠（2）将图b 中的负载4LZ 断开，如图c 所示，求开路电压ab U ∙，由图可知：10(2.54)7.5 2.52.5 2.54ab U j j j ∙=⨯-=-+-（3）求戴维南等效阻抗ab Z ，如图（d ）所示：15(1)2.52.5//(2.54)8ab j Z j j +=+-= 由最大功率传输条件知:15(1)48L ab Z j Z --== 即：7.5(1)L Z j =-Ω时，L Z 获得的功率最大，其最大功率为： 222max07.5 2.525154348ab U P R +===⨯WLΩab（b ）（c ）ab（d ）7-11 题图7-11所示电路，已知,mV 040 ∠=SU 求电流I 。

题图7-11＋1ΩSU解：设网孔电流分别为：1I ∙、2I ∙、3I ∙，并设理想变压器电压分别为：1U ∙、2U ∙，如图所示列写网孔方程：1232320.25(1)0(1)S U j I U U j I j I j I j I ∙∙∙∙∙∙∙∙⎧=++⎪⎪=-⎨⎪=+-⎪⎩---------------------------------------------------（1）又由理想变压器的伏安关系知：1212U I ∙∙∙∙⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入方程组（1），求解得：045140(1)45j I j ∙-=-=-=mA所以：045145j I I ∙∙-==-=mA7-12 在题图7-12所示电路中，若2U =SU ，求理想变压器的变比n 。

题图7-12解：设网孔电流分别为：1I ∙、2I ∙，并设理想变压器电压分别为：'1U ∙、'2U ∙，如图所示列写网孔方程： '11'2228S U I U U I ∙∙∙∙⎧=+⎪⎨⎪=⎩-----------------------------------------------------（1） 又由变压器伏安关系知：'12218U nU I n I ∙∙∙∙⎧=⎪⎨⎪=⎩----------------------------------------------------------（2） 将（2）代入（1）整理得：SU ＋－2U2111'212888S U I n I nI U nI ∙∙⎧=+=⎪⎨⎪=⎩ 又'22U U ∙∙=，而由题意知， 2S U U ∙∙=故'2S U U ∙∙=, 则有：2111288I n I nI +=, 整理得：2(21)0n -=， 解得： 10.52n == 7-13 试求题图7-13所示电路中的电流相量I。

题图7-13解：设网孔电流分别为：1I ∙、2I ∙，并设理想变压器电压分别为：1U ∙、2U ∙，如图所示列写网孔方程：0112122(1010)1050010(1050)I U I I j I U ∙∙∙∙∙⎧++-=∠⎪⎨⎪-+-=⎩ 辅助方程为：1212122U U I I ∙∙∙∙⎧=⎪⎨⎪=⎩， 联立求解得： 12(1)I j ∙=+，21I j ∙=+所以：012145I I I j ∙∙∙=-=+=A050 ∠7-14 如题图7-14所示电路，原电路已处于稳态，当t = 0时，开关S 闭合，求t>0时的电压u (t)。

题图7-14解：利用理想变压器的阻抗和电源搬移特性，将初级电路全部搬移到次级，可得图（b ）（1） 在0t <时，S 是断开的，电路已达到稳态，电感此时相当于短路：61(0)[60.75]0.75(0.51)//1.5(0.51)32(64)243u V-=-⨯⨯+++=-⨯⨯=由换路定则有：(0)(0)2u u +-==V（2） 在t =∞时，电路重新达到稳态，电感仍相当于短路，此时，开关S 是闭合的，由分压原理知：()0u ∞=V（3） 求时间常数τ，R 为从电感两端看进去的戴维南等效电阻，如图c 所示：0.75//(0.51)0R =+=Ω 1.530.5L S R τ=== 利用三要素公式可得：3()()[(0)(0)]0(20)20ttt u t u u u eee t ττ-+---=∞+-=+-=>＋－u (t )u(t)（b）（c）。