组合数学 试题及答案10

组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2010 年 12 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一、(15分) 未来连续的5届世界杯由亚洲、欧洲、非洲、北美洲和南美洲轮流承办，一个洲只能承办一次。

假如亚洲不能承办第一届和第三届，欧洲不能承办第二届和第三届，非洲不能承办第四届，北美洲不能承办第五届，南美洲不能承办第二届和第四届。

问未来的5届世界杯有多少种不同的承办方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。

-----------------4分 1 5432E D C BA 由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C) =)6171771()5851(432432x x x x x x x x x +++++++++ ＝543211252281x x x x x +++++-----------------6分 所以安排方案数为 5! - 8·4! + 22·3! - 25·2! +11-1 -----------------4分 = 20 即共有20种。

-----------------1分 学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页二、（12分）一个车间打算用31天共组装50台机器，计划每天至少组装1台机器，证明：无论怎样安排组装计划表，必然存在相继的若干天，在这些天内其组装的总机器数恰好为11台。

证明：设1a 是第一天组装的机器数，2a 是第一，二天组装的机器数的和，j a 是第一，二，… ，第j 天组装的机器数的和，j =1,2,…,31。

-----------------3分 于是，序列311,...,a a 是严格递增序列(每天至少组装1台机器)，而且，11≥a ,5031=a 。

于是序列11,...,11311++a a 也是严格递增的序列，且611131=+a 。

-----------------2分 因此62个数311,...,a a ,11,...,11311++a a 都在1和61之间，由鸽笼原理知，这62个数中必有两个是相等的。

-----------------4分 由于311,...,a a 中任何两个数都不相等，故11,...,11311++a a 中任何两个数也是不相等的，因此，一定存在两个数,i j 使得i a ＝11+j a ，即i a －j a ＝11。

-----------------2分 因此，在第1,2,,j j i ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅这些天中，组装的总机器数恰好为11台。

-----------------1分 三、（10 分）用鸽笼原理证明：在人数为6的一群人中，一定有三个人彼些相识或者彼些不相识。

证明：先考虑这6个人中的任意一个人，不妨把这个人称作p 。

则其他的5个人可分为下面的两个集合F 和S 。

其中 F=与p 相识的人的集合 S=与p 不相识的人的集合 -----------------4分 由鸽笼原理知，这两个集合中至少有一个集合包含有3个人。

-----------------2分 若F 包含有3个人，则这三个人或者彼些不相识，或者有两个人彼些相识。

如果F 中有三个人彼此不相识，则定理结论成立。

如果F 中有两人相识，则由于这两个人都与p 相识，因此有三人彼此相识，故定理结论也成立。

-----------------2分 类似的，如果S 包含有3个人，则这三个人或者彼此相识，或者有两个人彼此不相识。

如果这三个人彼此相识，则结论成立。

如果有两个人彼此不相识，则由于这两人都与p 也不相识，因此有三人彼此不相识，故定理结论也成立。

-----------------2分 学号姓名学院…………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题 共 5 页 ，第 3 页四、（14 分）求方程⎩⎨⎧≤≤≤≤=++52,62214221321x x x x x 的非负整数解的个数。

解： 3x 的解一定是奇数，设所求的非负整数解的个数为M ，则M 为))()(()(320161********* +++++++++=x x x x x x x x x x x x f的21x 的系数。

-----------------7分=)(x f )1)(1)(1(421284864213 ++++++++++x x x x x x x x x x＝)1)(22323221(42201816141210864213 +++++++++++++x x x x x x x x x x x x x ＝)1196421(10864213 ++++++x x x x x x -----------------5分21x 的系数为9，故该方程的非负整数解的个数为9。

-----------------2分五、（15分）解下列递归关系⎩⎨⎧==-=----5,2)1(871021a a a a a n n n n 解 x 2-7x -8=0 有根 x 1= -1，x 2=8 ， -----------------2分所以 a n *=c 1(-1)n + c 28n -----------------2分 设n a = A n (-1)n ，代入原关系 -----------------2分A n (-1)n -7 A ( n -1)(-1)n -1 -8 A ( n -2)(-1)n -2=(-1)n⇒ A n + 7A ( n -1) - 8A ( n -2) =1 -----------------2分令 n =2：2A +7 A =1 ⇒ A =91 -----------------1分 所以 n a =9n (-1)n ， a n = c 1(-1)n + c 28n + 9n (-1)n -----------------2分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+⇒591822121c c c c ⇒ c 1=8198， c 2=8164 -----------------2分 ∴ a n = 8198 (-1)n + 8164.8n +9n (-1)n -----------------2分六、（12分）求1和2都出现奇数次且4出现偶数次的n 位十进制数的个数。

解：组合数学试题 共 5 页 ，第 4 页设a n 是由0,1,……,9组成的满足“1和2都出现奇数次”且“4出现偶数次”的长为n 的序列的个数， -----------------2分则a n 的指数母函数为：f e (x )=82)2()!22!11)(!4!21()!3!1(468107274223xx x x x xx xx e e e e e e e e e x x x x x x +-=⋅=+++++++－＋－＋－－ =!)46810(810n x n n n n n n +-∑-∞= -----------------4分所以 a n =）n n n n 46810(81+-- ，n ≥1 -----------------3分 以0为首项的长为n 的序列有a n －1个，在上述序列中去掉以0为首项的长为n 的序列便可得到1和2都出现奇数次且4出现偶数次的n 位十进制数的个数： -----------------2分a n －a n －1＝ ）－－－－1111436587109(81n n n n ⨯+⨯-⨯-⨯ -----------------1分七、（6 分）对1*m 棋盘的每个正方形用红、绿、蓝、橙四种颜色之一着色，设m a 表示没有任何两个着蓝色的正方形是相邻的着色的方式数。

求m a 所满足的递归关系（不用求解）。

解：⎩⎨⎧==≥+=--15,4)3(332121a a n a a a n n n―――――――――――――――――过程4分，结果2分；如果只有结果，可以给5分。

八、（16 分）假定全国4个片区共30所大学申报国家工程中心，其中，西部片区有6所大学，华北片区有10所大学，华东片区有9所大学，华南片区有5所大学。

假定同一片区的各所大学不加以区别，现在要从中选取9所大学入围。

（1）问理论上有多少种不同的选取方案？（2）现为了考虑不同片区的特殊情况，如果西部片区至少有3家入围，华北片区至少有2家入围，问理论上有多少种不同的选取方案？解 （1）等价于求集合S 0＝{6.A,10.B,9.C,5.D}的所有9-组合构成的集合。

-----------------2分 令集合S 为{,,,}A B C D ∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅的所有9-组合构成的集合。

则有 |S|=F(4,9) = 220。

组合数学试题 共 5 页 ，第 5 页 令 A 1表示S 中至少含有7个A 的元素构成的集合, A 2表示S 中至少含有6个D 的元素构成的集合， -----------------2分 于是 10)2,4(||1==F A ,20)3,4(||2==F A , 0||21=⋂A A -----------------1分 由容斥原理，所求的9-组合数为 A A 21 ∑∑+-==||21A A A j i i i S ----------------2分 =220 – (10+20)= 190 -----------------1分 （2）设r a 为选取r 所大学入围的方案数，故12(,,,,)r a a a 的母函数为 )...1()...1()...()()(52921098326543x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++⨯++++⨯+++++⨯+++= -----------------5分 ...34...95+++=x x -----------------2分 因此理论上有34种不同的选取方案。

-----------------1分 学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………。