排课问题分析

摘要：

本题要求我们对多约束条件的典型组合进行分析，求解，并作最优化处理。基于此种原因，我们先对各个元素间的冲突做预处理，进行约束条件的规划，再通过matlab软件将教室、教师、课程和时间间的约束条件统一化，构成R-T-C表（详见附表），再将各个元素进行优先级的计算，从而根据排课的优化模型，求出最优解。

经过对所给的表格，数据的深入分析，我们可以得知，教师明显缺少，比如课程学时要求有160个课时，然而教师能上的课时仅有116个课时，所以开始排课时，不考虑教师，向教师中安排课程。由于同类课程最好不要放在一起，同时根据老师的需求和教室的开放时间进行分配，经过与我们实际的课表的排课情况的分析，比如隔一天排同一课，课程类别不同的课程不在同一时间上课，我们可以大致的排出一个按教室上课的表，即R-T-C表。通过对R-T-C表的分析，发现有很多课没老师上和老师没课上的情况，我们就对其进行相应的，合理的调整。最后发现还是老师要外聘。将外聘14名老师去上相应没人上的科目，具体情况见附表。

最后，我们得到了一张相对优化的，以教室为准的课表（详见附表），从而解决问题（1）的要求。对于我们课表的安排，发现再没对晚自习有其他条件约束是不会对所排的课表有所影响。

关键词：排课问题组合规划多目标函数数据量化优先级

一、问题重述

对于有课程40门，教师共有25名，教室18间的条件下合理的安排课程表，而课程、教师、教室的具体属性及要求详见附表（表1，表2，表3）

对于课表德编排，题目有如下规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排8节课（上午4节，下午4节），特殊情况下可以编排10节课（晚上2节），每门课程以2节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。

要求所要解决的问题：

1.请你结合实际情况建立数学模型，通过编程计算，给出较为合理的课表编排方案，分

析你所给出的方案的合理性。

2.如果不准晚上排课，排课结果是否有所变化，如何变化

3.对教师聘用，教室配置给出合理化建议。

二、问题分析

随着现代教学的改革及各项教育工程的实施，新的教育体制对课表的编排提出了更高的要求。但现实生活中，排课问题屡屡皆是，小学如此，中学如此，大学更是如此，不仅科目多样，而且教室、老师多变，这使得排课问题往往是很令人费解的。经过分析，排课问题就是的多资源组合问题，问题的求解就是找出各个元素间的对应关系。进而将各个元素间的联系进一步确定，转化成一个可以量度其大小的值，从而确定优先级，而我们又将如何确定各元素间的关系，目标函数的确定

根据已有知识可以知道，本题主要分析的是建立一个排课的优化模型。而它是一个在课程类别、教师编号、教师及时间上的一个四维空间模型，在各种约束条件下的组合规划问题，其实质就是解决各因素间的冲突问题。在模型建立后，我们有根据什么参量得到排课的最优解。

三、基本假设

模型假设：

1、学校的教师和教室资源及学生班结构在一个学期内不会有的变动

2、所有的教室都在同一个校区，且1～2节课的教室到3～4节课的教室的路程不超过

10min

3、在一学期内，任课教师身体都非常健康，不存在因病因事缺课的情况

4、各种教学资源（课桌、多媒体、机房电脑）在一学期内都不会发生故障，影响上课

5、在上课期间，老师、学生都不迟到，不影响上课质量

6、当有3个课时时，我们当做2个课时处理，及3节连堂上

符号说明： 相关名词解

释：

时间段效率：经

上网查询及对相关资料的查阅，我们得知一天内听课效率最高的是上午8～10，下午1～3，故我们定义上午1～2的听课效率为3，其余见

附表。

教室利用率：为

充分利用教室资源，我们定义：教

室利用率

=

教室最大容纳量

上课总人数

，

四、问题的分析及模型的建立

问题分析（1）

从数学角度上讲，本题主要分析建立一个排课模型，而它是一个在课程类别、教师编号、教师及时间上的一个四维空间模型，在各种约束条件下的组合规划问题，其实质就是解决各因素间的冲突问题。在此为了简化处理，先从课程类别、教室编号入手，建立一个关于C-R 的关系表，再采用化零为整的思路建立我们的目标函数——优化模型，最后，我们根据各因素对排课模型的优先度，求解出排课模型的最优解。

在对问题初始化分析时，我们发现课程类别、教室编号、教师、上课时间存在这么一个对关系：

1）1—1的对应关系 2）1—n 的对应关系 3）n —n 的对应关系

进而，我们再对它们之间的属性分析，根据它们间的联系求出一种相对合理的排课方案，

最后，对方案的合理性进行分析。

模型的建立

经过分析，我们需将所有课程尽量合理的安排在一个星期内。首先我们将一个星期划分为五天，记作1、2、3、4、5，将一天分为四个部分，记作1、2、3、4，进而，我们将得到一个5×4的矩阵。其中，j=1、2、3、4、5分别表示星期一、星期二、星期三、星期四、星期五；i=1、2、3、4分别表示1～2节课、3～4节课、5～6节课、7～8节课。即有：

我们记作P （T R C ）是一个T ×R ×C 维的数列矩阵，表示T 老师在R 教室上C 课， 我们定义P （T R C ）=1时，即老师、教室、课程三者都相互符合是记作1 而P （T R C ）=0时，即老师、教室、课程三者中有一项不符合记作0 规定：A(TR)表示T 老师到R 教室上了一次课是，即2个节 B(TR)表示T 老师到R 教室上总课时

约束条件：

1）每一个时间段都不能多于一个老师在一个教室上课，此时应满足的条件是：

1)(25

1∑=≤t TRC P n ∈N （N=1、2、3…25）

2）每位老师在每一天不能同时对同一个班上上两次课， 3）某位老师在某一间教室上课时，安排的课就该在这间教室排完，此时应满足的条件是： 当一位老师连续两天对同一个班上两次课以上的次数越少、课程安排在听课效率高的时间段次数越多和老师与老师之间的冲突（满意度）次数越少，此时定义：

Q=∑∑∑

===18140

1

25

1)(r c t TRC P

同时有满足以上的约束条件，Q 将取到最优值，即此时安排的课表最优化

排课的预处理

1) 同一教师在同一时间内不能安排两门课

同一教室在同一时间内不能安排两门课

同一时间内安排的课时总数不能大于教室的课时总数 所提供的教室属性安排课程的所需教室属性一致 2) 优化级的计算：

考虑到课表的安排是为了按时保量的完成教学任务，而其影响因素有众多，这里我们主要考虑一下三种：

1）时间段效率 2）教室利用率 3）教师满意度

所以我们对课表的安排原则将依据优先级的大小进行排课。 先对以上三个因素进行量化处理可得到：