点集拓扑复习题(答案)教学内容

点集拓扑复习题(答案)

点集拓扑复习题

一、名词解释

1、同胚映射：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.

2、不连通空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.

3、拓扑：设X 是一个非空集合。X 的一个子集族τ称为X 的一个拓扑，如果它满足：

1．X 和空集∅都属于τ

2．τ中任意多个成员的并集仍在τ中

3．τ中有限多个成员的交集仍在τ中。

4、导集：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.

5、度量：设集合X 的一个映射:d X X R ⨯→.若对于任何,,x y z X ∈，有

（I ）（正定性）d (x,y ）≥0，且d (x,y)=0当且仅当 x = y ；

（Ⅱ）（对称性）d (x,y)= d (y,x ）；

（Ⅲ）（三角不等式）d (x,z ）≤d (x,y)+ d (y,z ）

则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。

二、证明题（4选3）

1、证明：度量空间X 中的开集且有以下性质：

（1）集合X 本身和空集∅都是开集；

（2）任意两个开集的交是一个开集；

（3）任意一个开集族的并是一个开集。

证明:

（1）根据定理 2.1.1(1)X 中的每一个元素x 都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X 满足开集的条件；空集∅中不包含任何点，也自然地可以认为它满足开集的条件．

（2）设U 和V 是X 中的两个开集．如果x U V ∈I ，则存在x 的一个球形邻域1(,)B x ε包含于U ，也存在X 的一个球形邻域2(,)B x ε包含于V ．根据定理

2.1.1(2)，x 有一个球形邻域(,)B x ε同时包含于1(,)B x ε和2(,)B x ε，因此

12(,)(,)(,)B x B x B x U V εεε⊂⊂I I

由于U V I 中的每一点都有一个球形邻域包含于U V I ，因此U V I 是一个开集．

（3）设A 是一个由X 中的开集构成的子集族．如果A x A ∈∈U A ，则存在0A ∈A 使得0x A ∈由于0A 是一个开集，所以x 有一个球形邻域包含于0A ，显然这个球形邻域也包含于A A ∈U A ．这证明A A ∈U A 是X 中的一个开集．

2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的

一个连通子集.

证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分

于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：

111111111(()())(()())

(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ

---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=

所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集，此外

1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分

3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的

开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.

证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.

又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分

由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分

4、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.

证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.

于是'

⊂y V y }{, …………………………………………………4分

由上面的讨论我们知道： Y Y }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=

-

因为}{x X -是一个不可数集，而

Y }{x X y u

V -∈' 是一个可数集，矛盾. 从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分

三、填空题

1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：

{,}T X φ=

2、每一个球形邻域都是 ；答案：开集

3、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间

4、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X L ,都具有性质P ,则积空间

12n X X X ⨯⨯⨯L 也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质

5、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓

扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射

四、选择题

1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②