小世界现象
小世界效应和无标度
小世界效应和无标度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：小世界效应和无标度网络是网络科学中两个重要的概念，它们在描述现实世界中的网络结构和特征时起着关键作用。
小世界效应指的是在一个网络中，任意两个节点之间的路径长度都很短，通常只需要经过少数几个中间节点就可以到达。
而无标度网络则是指网络中存在着少数节点连接着大量的节点，这些少数节点被称为“超级节点”，它们的度数远远大于普通节点。
小世界效应最早由美国社会学家米尔曼提出，他在研究人际关系网络时发现，人与人之间的联系非常紧密，平均只需要六步就可以将全球任何一个人与另一个人联系起来。
这就是著名的“六度分隔理论”，也是小世界效应的一个重要实例。
小世界效应在不仅仅存在于社交网络中，在科学合作网络、互联网、神经元网络等多种网络中也有着显著的表现。
小世界效应产生的原因主要有两点：首先是网络中存在一定数量的“桥梁节点”，它们连接着不同社区或簇，起到了联系不同部分的作用；其次是网络中出现了一些环路结构，使得信息传播更加迅速高效。
小世界效应在现实世界中的广泛存在说明了网络的紧密连接和高效传播的特点，为我们深入理解复杂网络结构提供了重要线索。
与小世界效应相对应的是无标度网络的概念。
无标度网络是指网络中存在着少数超级节点，它们连接着大量的普通节点。
这种网络结构不仅在度分布上呈现出幂律分布特征，而且在结构上呈现出高度离散性和不均匀性。
无标度网络的存在可以解释很多现实世界复杂系统中的现象，比如疾病传播、互联网中网页连接、社交网络中的大V用户等。
无标度网络的特点主要有两方面：一是网络中存在着极少数量的超级节点，它们的度数远远高于其他节点；二是网络中大部分节点的度数分布呈现出幂律分布，这意味着网络中有很多度数很低的节点，但同时也存在着极少数量的度数非常高的节点。
这种不均匀的分布使得网络的结构更具鲁棒性和稳定性，因为只要保留少数几个超级节点，整个网络就不会轻易瓦解。
小世界效应和无标度网络在现实世界中广泛存在，并对我们理解复杂网络结构和特性起着重要作用。
小世界效应和无标度-概述说明以及解释
小世界效应和无标度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分提供了关于小世界效应和无标度网络的背景和概要信息。
本节将介绍这两个概念的起源和基本定义，以及它们在网络科学领域的重要性和研究意义。
小世界效应是指在一个具有大量节点的网络中，任意两个节点之间的距离很短，通常只需要经过少数几个中间节点即可到达。
这个现象最早由社会学家斯坦利·米尔格拉姆在1967年的实验中发现，并在1998年由弗兰克和温图拉提出了更为系统的定义。
小世界网络在现实生活中存在广泛，例如社交网络、物流网络和互联网等，这种网络结构具有高效的信息传递和快速的交流特点。
无标度网络是另一个重要的网络拓扑结构，在这种网络中，节点的度数（即与其相连的边的数量）遵循幂律分布。
这意味着有少量的节点具有非常高的度数，而大多数节点的度数相对较低。
这种网络结构的重要性得到了巴拉巴西等学者的广泛研究和关注。
无标度网络具有高度的鲁棒性和抗击毁性，在信息传播、疾病传播和网络攻击等方面具有重要的应用价值。
小世界效应和无标度网络在网络科学领域被视为两个重要的研究课题。
研究人员通过模型构建、实证分析和理论解释等多种方法，探索了这两个概念之间的关系和相互作用。
理解小世界效应和无标度网络的特性和行为规律，有助于我们更好地理解和设计现实世界中的各种网络系统，并且对社会、经济和生物系统等领域的研究有着重要的启示作用。
在接下来的章节中，我们将从不同角度对小世界效应和无标度网络进行深入的研究和分析。
我们将讨论它们的定义、原理、特征，探索它们的影响和应用，并探究它们之间的关系和相互影响。
最后，我们将总结主要观点，评价小世界效应和无标度网络的意义和影响，并提出未来进一步研究的建议。
通过这篇长文的阅读，读者将对小世界效应和无标度网络有一个更全面和深入的了解。
文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、小世界效应、无标度网络、小世界效应和无标度网络的关系以及结论。
小世界现象知识点总结
小世界现象知识点总结小世界现象的发现对于我们理解复杂网络具有重要意义，不仅是在社交网络中，也存在于生物网络、信息网络等多种复杂系统中。
这里就小世界现象的产生机理、影响因素以及应用进行一些简要的总结。
一、小世界现象的产生机理1. 高聚类系数在复杂网络中，节点之间的连接往往倾向于形成高度集聚的结构，即大部分节点之间连接紧密，形成簇状分布。
这种高聚类系数的结构使得节点之间的路径长度相对较短，促进了小世界现象的产生。
2. 随机连接除了高聚类系数之外，复杂网络中还存在着部分节点之间的随机连接。
这些随机连接的存在使得节点之间的路径长度相对不那么长，从而促进了小世界现象的产生。
3. 低直径复杂网络中通常具有较低的直径，即从网络中任意一个节点到另一个节点的最短路径长度相对较短。
这种低直径结构也是小世界现象产生的重要机理之一。
以上三个机理共同作用，为小世界现象的出现提供了基础。
在这种结构下，大部分节点之间的路径长度相对较短，使得网络具有“小世界”特征。
二、小世界现象的影响因素1. 网络拓扑结构网络的拓扑结构对于小世界现象起着至关重要的影响。
例如，在完全随机网络中，虽然节点之间平均路径长度较短，但高聚类系数较低，因此不符合小世界现象的特征。
而在星型网络中，尽管节点之间的路径长度较短，但缺乏随机连接和丰富的簇状结构，也不符合小世界现象的特征。
2. 网络动态性网络的动态性也会影响小世界现象的产生。
例如，在社交网络中，人与人之间的联系会发生变化，网络的拓扑结构会随之产生变化，从而影响小世界现象的表现。
3. 节点之间的联系规律节点之间的联系规律也会对小世界现象产生影响。
例如在社交网络中，人们更倾向于与朋友、亲戚等亲密关系的人进行联系，这种联系规律也会对小世界现象起到一定的影响。
以上因素共同作用，决定了小世界现象在不同网络中的表现形式。
三、小世界现象的应用小世界现象不仅仅是一种网络结构的特征，也在许多实际问题中有重要的应用价值。
第20章 小世界现象
• 通过认识的人，不一定有多熟悉 • 中间路径：5-7步
网页之间的“社交”
•全球互联网超过几百亿的网页，比人口总数多 •问题
– 网页之间，有怎样的关系，也有“小世界”现象吗？
• Albert, Jeong, Barabási（1999）; Barabási
（2013）
– 没有关系的两个网页之间的直径为18.59次点击
• 体现了同质连接和弱关系连接的概念，于是可以看 成是现实社会网络的一个合理近似
• 可以证明：在这样的网络中，任意两节点之间存在 短路径的概率很高
• 也可以证明，Watts-Strogatz模型不能很好地体现 第二个要求
– 短视搜索的路径太长，尽管短路径存在
在线测试题
• 下述说法哪些是正确的？小世界现象意味着：
B
5 • 从0开始，以A为目标的短视搜
索：0-C-B-A
A
6 • 而不能是：0-F-A
9
8
7
“短视搜索”没走“最短路径”！
F
0
1
测试：短视搜索
E
2
D C B
A
3 • 左图，距离（差别）由环上的 相对位置定义，例如，节点0
4 和A的距离为6
• 试给出从0开始，以9为目标的 5 一条短视搜索路径，它是0和9
– 人类社会网络的直径比较小 – 在人类社会网络中，人们之间的平均距离比较小 – 上述都不对
小结
• 对于重要的社会现象，如果可以用一个数学模型来 解释，尽管这个模型概括不了现象的所有细节，也 是很值得追求的
• Watts-Strogatz模型，抽象地表达了社会网络成因 的基本特征，从理论上说明了小世界现象（一个方 面）的必然性。
第20章 小世界现象_59608478
15
Watts-Strogatz模型Байду номын сангаасin paper）
The different characteristics among the three
type networks
a perfectly ordered network: a high L and a high C a randomly connected network: a low L and a low C a small world network: a low L and a relatively high C
想象大量节点排布成均匀网格状
连接近邻:确定性，连接远程:随机性
19
Watts-Strogatz模型
模型体现了同质连接和弱关系连接的概念，可
以看成是现实社会网络的一个合理近似
可以证明：在这样的网络中，任意两点之间存
在短路径的概率很高 也可以证明，Watts-Strogatz模型不能很好 地体现第二个要求
Jon Kleinberg (网络、群体与市场)
Navigation in a Small World Nature. 2000, 406(6789): 845. （被引用1227次）
WSK模型引入一个衡量远程弱连接跨越距离的
“尺度”
节点在r个网格步内与其他节点相互连接 节点的k个随机边以到该节点的距离衰减的方式生 成，由聚集指数q控制
14
Watts-Strogatz模型（in paper）
Two characteristics distinguish a small-
world network
a low average path length L
教案05(小世界现象)
2．小世界现象的普遍性（电子邮件转发、网页之间的社交）（10分钟）
3．小世界的WS模型（20分钟）
4.短视搜索的概念及实现方法（10分钟）
5.WSK模型（10分钟）
6.WSK模型的大数据验证过程（15分钟）
7.课堂作业（10分钟）
作业指导
课后练习
教学后记
《网络群体与市场》教案五
章节名称
第20章小世界现象
计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课时
2
教学目标
1.掌握小世界现象及小世界现象背后的内涵
2.掌握研究小世界现象的两种经典算法及大数据验证过程
教学重难点
1.短视搜索、rank算法
2.从现象到问题，从模型构建到大数据验证的研究路线和方法
教学准备
课堂作业：小世界现象中rank算法
教学过程
小世界模型平均路径长度
小世界模型平均路径长度小世界模型是网络科学中的一个重要概念，它描述了现实生活中许多网络系统的特征。
其中一个重要指标就是平均路径长度，它衡量了网络中两个节点之间的平均距离。
本文将围绕小世界模型平均路径长度展开讨论，介绍小世界现象、小世界网络的生成机制以及平均路径长度的计算方法。
一、小世界现象小世界现象是指在许多实际网络中，节点之间的平均距离相对较小，远远小于节点总数。
这意味着网络中的节点之间存在着短路径，人们可以通过少数的步骤就能够相互联系。
小世界现象的典型代表是社交网络，比如Facebook、微信等。
在这些社交网络中，我们可以通过共同的朋友或者兴趣爱好迅速找到彼此。
二、小世界网络的生成机制小世界网络的生成机制主要包括随机连接和局部重连两个过程。
首先，随机连接阶段，网络中的节点随机地与其他节点建立连接，形成一个随机网络。
然后，在局部重连阶段，节点会重新连接到与其距离较近的节点，以形成更为紧密的联系。
通过这两个过程的迭代，网络中形成了许多短路径，从而呈现出小世界现象。
三、平均路径长度的计算方法平均路径长度是衡量小世界网络结构特征的一个重要指标。
它表示网络中任意两个节点之间的平均距离。
计算平均路径长度的方法是首先计算网络中每对节点之间的最短路径长度，然后将这些最短路径长度进行平均。
在大型网络中，计算所有节点对之间的最短路径长度是不现实的，因此可以使用一种近似的方法，例如随机选取一部分节点对进行计算，然后将结果进行平均。
四、小世界模型在实际中的应用小世界模型不仅仅是对网络结构的一种描述，它也广泛应用于各个领域。
在社交网络中，小世界模型可以用来解释信息传播的速度和路径选择；在物理学领域，小世界模型可以用来研究粒子之间的相互作用；在生物学领域，小世界模型可以用来研究蛋白质相互作用网络等。
总结：小世界模型平均路径长度是衡量网络中节点之间距离的重要指标。
小世界现象描述了许多实际网络中的特征，而小世界网络的生成机制包括随机连接和局部重连两个过程。
信息化环境的“小世界”现象与学习资源设计研究
信息化环境的“小世界”现象与学习资源设计研究作为信息科技时代新事物的虚拟世界，在保留现实社会特性的同时，也不断衍生和变化出独特的网络社会现象。
在信息化环境中，Web2.0、博客等技术应用展示出虚拟环境中群体行为“丰富的技术支持、快速的信息传播、巨大的信息聚能”等新特征，并迅速迁移到包括教育在内的诸多领域，产生了广泛的影响。
本文将从社会性视角来阐释信息化环境的“无尺度”与“小世界”新特征，并指出它对信息化环境中学习资源设计的应用启示。
一、信息化环境中的社会性现象分析从创始至今，与互联网相关的各种研究就从来没有间断过。
特别是近年来，由于应用方式的变革，使得信息化空间(cyberspace)出现了新的“地貌”(Tlandscape)。
对于网络等信息化环境中的社会性现象研究更倍受瞩目，特别是“无尺度”与“小世界”的研究，更取得了前所未有的创新性发现，迅速引起诸多学科的集体关注和广泛共鸣。
1网络环境中的“无尺度”与“小世界”在早期研究中，研究者们通常把互联网看成是一个随机网络(指数网络)，认为尽管网络连结是随机安置的。
但由此形成的网络却是高度民主和指数分布的，即绝大部分节点的连结数目会大致相同或相差不远，很少会出现连接数目比平均数高许多或低许多的节点。
近几年来多个学科领域的研究者们发现了网络中的无尺度(scale free)现象：互联网是由少数具有高连结性的页面串连起来的，80％以上页面的连结数不到4个，而只占节点总数不到万分之一的极少数节点，却有着1000个以上的连结。
这些数据说明，许多网络都是由少数一些具有众多连结的关键节点所支配的，研究者把这种分布现象称为无尺度现象，而把包含这种重要节点(或称集散节点)的网络称之为“无尺度”网络。
另一方面，网络技术的新应用又呈现出网络环境的“小世界”(smallworld)现象。
事实上，20世纪60年代就有了关于小世界现象的研究。
当时，索拉·普尔与曼弗雷德·科享(solaPool&Mantled Kochen)曾从图论和数学角度对此进行了初步分析，指出：即使结构化程度很高的人群中的相识关系链的特征路径长度也不比完全无组织人群中的特征路径长度长很多。
复杂网络中的小世界现象及网络控制
复杂网络中的小世界现象及网络控制在当今互联网高度发达的时代，我们不难发现，网络已经成为了人们生活中不可或缺的一部分。
如此庞大而精密的网络背后，隐藏着一种神秘的现象——小世界现象。
什么是小世界现象呢？在复杂网络中，大部分节点彼此并不直接相连，如果我们通过网络中的某个节点一步一步地寻找与它距离较远的其他节点，那么需要经过很多步才能到达目的地。
但是，当我们通过某一个中间节点来寻找其他节点时，会发现距离往往非常近，这就是小世界现象。
小世界现象最早由美国社会学家斯兰恩（Stanley Milgram）在20世纪60年代进行的一项实验中发现。
他向美国人民邮寄了一些信封，要求收信人将信封转交给他们认为能够使信封尽快送到目的地的人。
通过这个实验，斯兰恩得出了结论：平均情况下，任意两个美国人之间的距离为6个人。
小世界现象的出现原因有很多，其中最重要的一点是网络中存在着不同规模的团簇。
团簇内部节点彼此之间密切相连，形成了高密度的区域，而团簇之间的连接则相对较少。
这样，我们就可以通过从当前节点出发，寻找到它所在团簇的某个节点，进而通过邻近的节点，花费较少的代价就能够到达网络中的其他区域。
小世界现象对于我们的生活有很多启示，尤其在社交网络和信息传播方面。
社交网络中，我们可以通过自己已知的朋友或者关注的人，了解到更多的信息和人脉。
在信息传播方面，小世界现象也为我们提供了更加高效的方式，例如通过社交媒体等渠道传递信息，可以更快地达到更多的人。
然而，小世界现象也存在着一些问题和挑战。
对于网络控制而言，小世界现象往往会导致出现所谓的“蝴蝶效应”，即微小的变化可能会在网络中迅速扩散，引起重大的影响。
这种现象有时会出现在金融市场、社会安全等领域，给人们带来严重的后果。
因此，我们需要认识到小世界现象的复杂性，开展网络控制和安全方面的研究。
如何应对小世界现象对网络控制的影响，是当前互联网发展的一个重要问题。
一方面，我们需要通过加强网络安全防护、提高用户的网络安全意识等手段，降低网络威胁的风险；另一方面，我们也需要进一步研究网络控制的新方法和技术，包括基于机器学习、人工智能等技术的网络安全预测和分析技术，以及分析网络节点的关联性和影响力，制定更加精准有效的网络控制策略等。
六度空间
六度空间的思考
1、有哪些特质你才能借助六度空间传播？
六度空间理论一流行，最先打主意的就是商家。这种人际关系链在商家的眼里就是口 碑的传播链。借助六度空间理论最成功的营销，截止目前为止是谷歌的Gmail的邀请注册。 在邀请码刚刚出现的时候，一个邀请甚至可以卖到60美金，很多人惊呼这是最伟大的营销。 然而，到了今天，谁还在意这些邀请？很简单，一开始Gmail邀请码是稀缺物品，所以价值 高昂，加上Gmail当时带有Google的强势品牌用户认同感，拥有Gmail成了荣誉的象征，被 追捧不奇怪。正是这种荣誉成为了Gmail邀请在六度分割网络中疯狂传播的激励。然而随着 Gmail的高度普及，这种荣誉感逐步下降，最终降低了激励，从而使传播陷入了停滞状态。
六度空间
Байду номын сангаас谢谢
六度空间的证明
关于这个理论有很多文章介绍，最经典的一个故事是一家德国报纸接受了一 项挑战，要帮法兰克福的一位土耳其烤肉店老板，找到他和他最喜欢的影星 马龙·白兰度的关联。结果经过几个月，报社的员工发现，这两个人只经过不 超过六个人的私交，就建立了人脉关系。原来烤肉店老板是伊拉克移民，有 个朋友住在加州，刚好这个朋友的同事，是电影《这个男人有点色》的制作 人的女儿在女生联谊会的结拜姐妹的男朋友，而马龙·白兰度主演了这部片子。
六度空间
六度空间的含义
小世界现象(又称小世界效应)，也称六度空间理论、六度分隔理论(英文:Six Degrees of Separation)。假设世界上所有 互不相识的人只需要很少中间人就能建立起联系。后来1967年哈佛大学的心理学教授斯坦利·米尔格拉姆根据这概念 做过一次连锁信件实验，尝试证明平均只需要五个中间人就可以联系任何两个互不相识的美国人。
苏航、韦莎——小世界现象及其应用
对于小p,每个捷径对L有一个高度非线性作用，不但缩小 了它连结的一对点之间的距离，而且也缩小了它们所处的 邻域之间的距离，以及邻域的邻域之间的距离等。相比之 下，从一个集群邻域中移去一条边以建立一个捷径最多对 C有线性作用；因此，即使L(p)急速下降，对于小P来说 ，C(p)仍然几乎不变。
上海交通大学 图像通信研究所
小世界网络构建的叠加层拓扑图
上海交通大学 图像通信研究所
小世界网络应用层组播的流量管理
单速率算法中:发送端只用一种速率发送数据,整个组播组 的吞吐量受瓶颈接收端的限制。 多速率算法允许发送端使用多种发送速率，从而在接收端 之间产生更灵活的带宽分配。 分层组播:数据被分为多个层，分别使用不同的组播组进 行发送。接收端选择订阅适当的层，订阅的层越多，数据 质量越高。 分区域组播：对于每一个骨干节点，视其为新的数据源， 分别向其下层的骨干节点发送确认信息，下层骨干节点在 接收到确认信息的同时向上层节点发送反馈。骨干节点根 据反馈回来的延时将下层的节点分为高速中速低速等不同 的区域。
上海交通大学 图像通信研究所
基于小世界模型的应用层组播
Internet网络的平均距离L 是随网络大小 N 对数 增长的 ,它明显具有小世界效应。 从结构上看 , Internet 的实际结构介乎于规则网络 和随机网络 ,表明其具有小世界效应。
Internet 具有集团化、 聚类的特征，具有小世界 网络的特性 借鉴小世界网络的特点，进行组播
六度分离
六度分离“六度分离”是社会学家在研讲究社会网络(social networks)时提出的一个概念。
“六度分离”在学术上称为“小世界现象”或“小世界问题”。
该问题源于社会学家、哈弗大学的心理学教授Stanley Milgram(1934～1984)在1967年作的实验：“追踪美国社交网络中的最短路径”。
他要求每个参与者设法寄信给一个住在波士顿附近的“目标人物”，规定每个参与者只能转发给一个他们认识的人。
Milgram发现完整的链平均长度为6个人。
比如我们可以设想寄一封信给“莱温斯基”，够远吧？我设想的路径是：首先,我寄信给我的同学,他的父亲是外交官,由他寄信给他的父亲,外交官自然认识我国的外交部长,我国的外交部长一定认识克林顿,最后由克林顿寄信给莱温斯基即可。
正好是6个人。
按照这个概念，生活在这个世界上的每个人只需要很少的中间人（平均6个）就可以和全世界的任何一个人建立起联系。
我们可以把每个人看作是一个节点(node)，认识的人之间可以画上一条边(side)，最后会形成一个网络(net)。
每个节点可以有多少条边？或者每个人可以有多少个朋友？如果我们做这个调查的话，可能很困难，每个人对朋友的定义不一样，你认为是朋友，但我认为不是，这样获得的数据是有疑问的，有很多说不清楚的地方。
不过，现在有互联网，就好办多了，只要加在QQ好友栏的就算好友，假使我们真的做这样一个统计的话，我估计这个数字可能会比6 大，可能是8、9等等。
毕竟有不少人QQ上只几个名字，而现实生活中，我们认识的人肯定比“几个”要多多了。
现在，有不少人琢磨利用“六度分离”作交友网站。
另外P2P软件的下载也利用了“六度分离”，全世界的电脑连成了一个网络，网络上任意两台电脑，通过一个包含6台电脑的路径就可互相下载对方的资源了。
电影：六度分离(1993)Six Degrees ofSeparation，片子对六度分离的理论有提及，但是并没有通篇去阐述。
小世界现象
小世界现象
"六度分离"现象在学术上称为小世界现象，定义是:若网络中任意两点间的平均距离L 随网络格点数N 的增加呈对数增长，即L ~ l n N ，且网络的局部结构上仍具有较明显的集团化特征，则称该网络具有小世界效现象。
小世界现象最初由匈牙利作家F.Karinthy在1929年提出了"小世界现象"的论断。
他认为，地球上的任何两个人都可以平均通过一条由5位联系人组成的链条而联系起来。
在20世纪60年代，美国哈佛大学社会心理学教授斯坦利·米尔格兰姆(Stanley Milgram ) 通过设计一个连锁信件实验，提出了著名的"六度分隔(Six Degrees of Separation) 假说"，大意为任何两个欲取得联系的陌生人之间最多只隔着5个人，便可完成两人之间的联系。
当年，米尔格兰姆给内布拉斯加州奥马哈市随意选择的300多人发信，要求他们把他的这封信寄给波士顿市一个独一无二的"目标"人，分别由每个人独自联系。
米尔格兰姆告诉每个发信人有关目标人的信息,包括姓名、所在地、职业，如果发信人不认识这个目标人，他们把这封信寄给他们认为有可能认识目标人的熟人。
依此类推形成了发信人的链条，链上的每个成员都力图把这封信寄给他们的朋友、家庭成员、或同事熟人，以便使信件尽快到达目标人。
米尔格兰姆发现，有60个链条最终到达目标人，链条中平均步骤大约为6 ，即点与点之间连线数为6，米尔格兰姆由此得出结论:任意两个人都可通过平均5个熟人联系起来。
小世界现象
d-q:
为什么 q =2 时模型效果最佳？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
考虑节点v 随机落到距离在d到2d环内区域的概率 节点数与d2成正比（均匀分布，节点数与面积成比例）
q=2意味着随机连接到其中一个节点的概率与d-2 成比例
因此从v发出的随机连接落到该区域的概率与d无关 意味着（1）无论一个转发节点与目标节点相距多远，他都可能有一个离目 标距离近一半的朋友；（2）信件离目标越近，与目标有边的可能性就越大 这也意味着远 程朋友数在人 口数中的占比 随距离平方递 减 节点数与d2成正比， 连接到每个节点的概 率与d-2成正比， 于是到这个区域的概 率与d无关
同质性（选择，社会影响），三元闭包 家庭成员，邻里关系，同学，同事 对应社会网络中的大量的“三角形” 体现某种“亲近”（例如地理范围的） 弱联系 偶然的原因，认识的“远程”朋友 对其所在的圈子并不一定熟悉
一种什么样的形式化网络，既体现这两种力量的 作用，也便于我们分析其中是否有小世界现象？
小世界现象
（六度分隔）
Stanley Milgram, 1933-1984
The Small-world Problem, Psychology Today, 1967
2
Stanley Milgram 的实验
几百名“初始者”，要求每人努力通过转发让一个指定的人收 到一封信； 向每个初始者提供了目标收信人的姓名、地址、职业等个人信 息； 规定：参与者只能将信件直接发给能直呼其名的熟人，并请他 继续转发。因此，如果一个参与者不认识目标收信人，则他不 能直接将信寄给他； 要求参与者力争让这信件能尽早达到目的地； 结果，约三分之一的信件经过平均六次转发到达了目标
复杂网络的性质与演化规律研究
复杂网络的性质与演化规律研究随着计算机与网络技术的不断进步，网络系统变得越来越复杂，复杂网络因此成为了一种研究热点。
复杂网络有很多独特的性质，例如小世界现象、无标度分布、社团结构、同步现象等等。
这篇文章将会探讨这些性质的含义和演化规律。
一、小世界现象小世界现象最早由美国社会学家米尔曼和沃茨在20世纪90年代提出。
它所指的是社会网络中平均路径长度短，即两个节点之间的平均距离较短。
在随机网络中，平均路径长度与节点数量呈正比例关系，即路径长度较长。
而在完全连接的网络中，平均路径长度与节点数量呈反比例关系，即路径长度很短。
而在现实社交网络中，节点数量可能达到数百万或数千万级别，很难完全连接，也很难保证随机相连，因此小世界网络出现得更为普遍和合理。
此外，小世界网络的另一个显著特征是聚类系数较高。
聚类系数是指一个节点的邻居中有多少对之间也相互连接。
在随机网络中，节点之间的连接分布是随机的，因此聚类系数较低。
而在完全连接的网络中，节点之间的连接分布完全相同，因此聚类系数为1。
在现实网络中，节点往往有固定的社区结构，网络中的节点容易形成团体内部联系紧密、团体之间联系稀少的性质，因此聚类系数较高。
二、无标度分布无标度网络的节点度数分布呈现幂律分布，即节点度数呈现长尾现象。
这意味着网络中有少数节点度数非常高，而大多数节点的度数较低。
这些高度连接的节点被称为“中心节点”或“枢纽节点”。
网络中的这个枢纽节点数量较少，但是它们在网络中的作用巨大，因为它们连接了网络中许多节点。
例如，在互联网结构中，如果几个路由器失败，互联网的整个链路将会中断。
三、社团结构社团是指网络中密切相连的节点集合，一些节点形成的团体，这是由于其性质或功能的相似性造成的。
同一社团内节点之间往往非常相似，而不同社团的节点则差别很大。
社团结构是指复杂网络中组成这些社团的规律。
细想之后就会发现，同一类节点往往有着相似的性质、功能、状态和行为，因此它们之间会有更多的联系。
小世界效应和无标度
小世界效应和无标度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：小世界效应和无标度网络是现代网络理论中的两个重要概念，它们分别描述了网络中节点之间的联系方式和网络的特征。
在网络科学中，研究人员通过研究这两个概念，可以更好地理解网络的结构和行为，为网络优化提供理论基础。
让我们来了解一下小世界效应。
小世界效应是由心理学家斯坦利·米洛格拉德切（Stanley Milgram）在上世纪60年代提出的，他的著名实验称为“六度分隔实验”。
在这个实验中，米洛格拉德切要求参与者将一份信件通过他们认识的人传递给一个目标个体，但只能通过社交关系转交，而不是直接发送给目标人。
实验结果显示，平均只需要六个中间人就可以将信件传递给目标个体。
这就是“六度分隔定理”的由来，人们之间的联系非常紧密，构成了一个小世界网络。
小世界效应实际上是描述了一个节点与其他节点之间的短距离联系。
在一个小世界网络中，节点之间的平均路径长度很短，即使网络规模很大。
这种短距离联系的存在，使得信息在网络中传播得非常迅速。
对于社交网络、互联网和脑神经网络等复杂系统来说，小世界效应是一个普遍存在的现象。
下面我们来看一下无标度网络。
无标度网络是指网络中节点的度分布符合幂律分布的网络。
在一个无标度网络中，绝大多数节点的度数很小，但有少数节点的度数非常大，呈现出“富者愈富”的特征。
这种特殊的度分布使得网络更加鲁棒和稳健，即使有少数节点被破坏或移除，网络仍然可以保持连接性。
无标度网络的典型例子就是互联网和社交网络。
在这些网络中，有少数“超级节点”拥有大量的连接，而大部分节点只有少量的连接。
这种网络结构使得信息在网络中传播更为高效，同时也增强了网络的抗干扰能力。
小世界效应和无标度网络之间存在着一些联系。
事实上，许多现实世界中的网络同时具备小世界效应和无标度特性。
社交网络中的节点之间联系紧密，呈现出小世界效应；少数“意见领袖”节点拥有大量的粉丝，呈现出无标度的度分布。
小世界现象检索
小世界现象检索
小世界现象又称为六度空间理论、小世界效应、小世界理论、六度分割理论，是一个数学领域的猜想。
该理论指出：你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个，也就是说，最多通过五个中间人你就能够认识任何一个陌生人。
美国学者斯坦利·米尔格朗曾就此问题做过一个实验：从堪萨斯州和内布拉斯加州的某些地点寄出一批信件，想要送到波士顿的两个目的地的其中之一，并对这批信件进行追踪。
这些信件只能寄给当前持信者知道名字的人，并且基于该收信人比当前持信人更有可能认识最终收信人这一推测。
要求每一个中间人都报告他们收到信件的情况，实验结论是：一条中介链的长度大约为六。
所以，小世界现象有时也可以说成是：你和这个星球上的任何人之间最多只有六度的分隔。
小世界现象在实际生活中也常常出现，比如在一次聚会或某个公共场所里遇到一个完全陌生的人，短暂交流后，却出乎意料地发现彼此认识同一个人，这时人们就会感慨这世界真小。
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模型中节点间有两
每
Watts-Strogatz模型
个距离的概念：网 格距离和网络距离
两
点 • 定义一种图（网络），体现上述因素
之 间
– 有许多“三角形”和少数随机的“远程边”
有
一
个
“
网
格
距
离”想象大量节点排布成均匀网格状 连接近邻：确定性，连接远程:随机性
些基本原理？
• 能否依据社会网络的某些基本原理，构建出反映这种性质
的网络模型？
后续研究
• 不少重复研究，包括Milgram（1970）自己 • 拓展
– 运用书信所做的研究具有重复性，电子邮件呢？ – Dodds, Muhamad, and Watts（2003）
• 60,000个电子邮件用户 • 通过给熟人转发电子邮件的方式，将邮件送达13个国家的18位收件人
v
道人们成为朋友的概率真的随空间距离递
减，并且递减强度幂次q真的等u 于2吗？
存在社会关系的概率与 空间距离的关系的示意
3/4, 3/10, 4/12, 3/14
利用在线社会网络进行验证
• 真实大规模在线社会网络是否体现了这个（W-S-K ）网络模型的优化性质？
两人成为朋友的概率与其空间距离的平方成反比 • 如果是，则说明随机形成的社会网络可能具有某种
人类社会的小世界现象
• 社会网络中两节点间包含丰富的短路径
– 任意两节点间存在短路径的概率很高
• 短视搜索能够有效地找到这些短路径
– 短视搜索：在达到目标节点过程中，每一步只能看到 邻居节点
对于“十分稀疏的”社会网络来说，这并不是必然的
从现象到问题
• 问题
– 为什么社会网络具有这样的性质？它们源于社会网络的 哪些基本原理？
，具有着不同的“可连通性”（社会含义）
– 社会地位高的人，具有更多的“关系资源”，更好的连通性
本质的参数！ • 但，在线社会网络的节点间如何谈空间距离？
来自LiveJournal的实验数据
• 50万用户，含邮政编码信息（地理信息） • 但他们是不均匀分布
的，不符合模型的假 设，需要做一些“适 配性”工作
LiveJournal中用户的地理位置分布
社会网络中结合地理距离的节点相对排名
• 可以看成是节点在地理上均匀分布时区域范围概念的一种推广，“排名”与 “距离”有对应关系
• 第二次：从Nebraska的Omaha到Boston的Shanron的股票经纪人Jeffrey Travers
“实验”
• S. Milgram（1967）
– 结果
• 平均中间人数：5
资料来源：Milgram 1967
小世界现象
• 小世界问题
– 在Milgram的研究之前，人们感觉到世界很小，却没有证据
核心-边缘结构
资料来源：Borgatti and Everett. 1999: 377
资料来源：Borgatti and Everett. 1999: 380
理论与现实
• 理论上
– 处在网络结构中的节点，不同的节点如果有相同的聚集系数，其
被连接到的概率应该是一样的
• 现实中
– Milgram（1967）的第一次就已经暗示了，寻找地位较低的人（
– 发现
• 通过认识的人，不一定有多熟悉 • 中间路径：5-7步
网页之间的“社交”
•全球互联网超过几百亿的网页，比人口总数多 •问题
– 网页之间，有怎样的关系，也有“小世界”现象吗？
• Albert, Jeong, Barabási（1999）; Barabási（2013
）
– 没有关系的两个网页之间的直径为18.59次点击
• 这就使我们能一般性地处理节点在地理上分布不均匀的问题了
这• 意要味验着证的，是大量微观社交关系的建立总体上呈现一这种最样优
化特• 征在，均匀或地者理说分布大情量形，人一群个的节点随在机任一社距会离活上的动朋相友数当量于在一同等台距计离算 机，完节成点总了数一中种的占优比化随距计离算平（方递实减现（1了/d2最） 优参数）－－这可以 看• 成此是时社等价会于计要算看的一个实例，也是体现社会系统中微观与 宏观• 关一 中系个的节占的点比实在随例任排一名！排递名减上（的1/r朋）友（即有连接）数量在同等排名节点总数
Watts-Strogatz模型的意义和局限
• 证明了模型网络中任意两个节点之间存在短路径的 概率很高，即“小世界”。
• 但不能解释Milgram等人实验反映出的小世界现象 的另一个层面：在短视搜索情况下能找到短路径
– 在模型上执行短视搜索，常常导致较长路径
体会“短视搜索”概念
国务院
需要一个懂 得社会调查 的专家
通过局部，理解全局；通过微观，理解宏观
在小世界问题上我们面对的是
在人类社会网络上的 大量实验结果表明， 短视搜索是有效的， 这说明现实社会网络 结构支持这种做法
在WS社会网络模型 上的理论分析表明， 短视搜索效果不好， 这说明该模型没能抓 住现实网络的某个重 要特点
因此，需要一种社会网络模型
• 既反映任意节点对之间短路径的存在性，也支持 在这种信件转发方式下短路径的可实现性
近乎完美的验证！（PNAS, 2005） 真实社会网络的测量参数与模型最优参数相当吻合！
核心-边缘结构模型
• Borgatti and Everett（1999）观察到，在社会网络
中
– 地位较高的人，被连接在一个密集连接的核心 – 地位较低的人，都分散在网络的外围
• 核心 - 边缘结构
– 不仅是理论上的 – 现实社会中，同样普遍存在
神学院学生的妻子），会更加困难
– 人们观察到，媒体寻人较之个体寻人有更高的成功率 – 回想“结构洞”，处于结构洞位置上的人，其被找到的概率，远远大
于一般节点上的人
社会意义
• 如果处于更高社会地位、且在结构洞位置上呢？故
– 网络结构本身是重要的，尤其是在可计算性上 – 同样重要的是，网络结构的社会属性 – 具有相同网络结构，却有着不同社会属性的网络，在现实社会中
– q：控制远程连接的概率随距离递减的强度
v
w
µ1
dq v,w
u
不同q值对随机连接长度的影响
q值较小，随机边倾向于较远
q值较大，随机边倾向于较近
pµ 1 dq
• Watts-Strogatz模型对应于q=0
该模型的最佳工作参数（q）
• 理论结果：当q=2 时，分散搜索达到最 佳效果
• 仿真实验：由几亿个 节点组成的网络中， 考察不同的q值在分 散搜索中的效果
– 设计
• 选择一个随机起点，观察需要经过多少个中间人，
能够到达目标点
资料来源：Milgram 1967
– 规则
• 参与者只能将信件转发给能直呼其名的熟人，并请他继续转发；如果一个参与者
不认识目标收信人，则他不能直接将信寄给他；
• 参与者需力争让信件能尽早达到目的地
• 第一次：从Kansas的Wichita到哈佛大学神学院某学生的妻子
Watts-Strogatz模型（Nature,1998）
• 体现了同质连接和弱关系连接的概念，于是可以看 成是现实社会网络的一个合理近似
• 可以证明：在这样的网络中，任意两节点之间存在 短路径的概率很高
• 也可以证明，Watts-Strogatz模型不能很好地体现 第二个要求
– 短视搜索的路径太长，尽管短路径存在
• MIT的师生试图证明这一点，不过，没有结果 • 来自Harvard的Milgram，用信件传递，得到了一个平均数
• 小世界现象
– Milgram的研究证明
• 世界是小的（六度分隔）；社会网络中包含丰富的短路径 • “自动寻找”短路径；“有意识的转发”能“自动地”找到这些短路径
启发
• 为什么社会网络具有这样的性质？它们源于社会网络的哪
Nature 2000
横轴为参数q，纵轴为从一个节点到达 另一个节点所需的平均时间（跳步）
在WSK网络模型上的最优参数q=2
最优：在模型中导致很短的搜
索路径
w
v
Pr[v has an edge to w] µ 1 dq
v,w
Milgram的实验表明，现实社会网络中，分 u
散搜索的路径也很w 短。于是很值得好奇：难
北京 大学
X 大学
社会 学系
社会 学系
邱泽奇
(1)有目标；(2)每一步，只有局部知识；(3)与目标的比对
短视搜索（分散搜索）
• 相对于我们已经熟悉的“广度优先搜索”（无目标 ），这是一种有目标的基于局部信息的搜索，具有 如下特点
– 每个节点有一个特征，任何两个节点之间的特征可以谈差 别（距离）（不同于图论中定义的距离！）
网络中需要什么样的结构特征来体现这样的要求？
• 两个节点无论相距多远，都要有机会很快接近； • 两个节点的距离越近，存在直接连接的机会越大
Watts-Strogatz-Kleinberg模型
• 在Watts-Strogatz模型基础上，让两个节点之间 存在随机边的概率与它们网格距离的某个幂次 （q）成反比
“实验” • S. Milgram（1967）
– 现象：俗语 “My it's a small world.” – 问题：两个互不相识的人，如果想认识，中间需要经过几个人 – 意义：a certain mathematical structure in society
“实验”
• S的短视搜
索：0-C-B-A
A
6 • 而不能是：0-F-A
9 8 7 “短视搜索”没走“最短路 径”！