复杂网络-小世界模型

模型仿造过程
模型变化中统计特性的改变
复杂网络研究所关心的问题
• 如何定量刻画复杂网络
• 网络是如何发展成现在这种结构的 • 网络特定结构的后果是什么（包括网络结 构的鲁棒性和网络结构的动力学行为和以 及过程）
描述一个网络
N个节点，E条边 在这N个点之间E<=N(N-1)/2
描述一个网络
• 描述一个网络的最简便的方法就是通过矩 阵来描述 • 无向型 • 有向型
复杂网络
• 关于复杂性 大量个体所组成的复杂系统，在没有中心 控制、非完全信息、仅仅存在局域相互作 用的条件下，通过个体之间的非线性相互 作用，可以在宏观层次上涌现出一定的结 构和功能。
什么是复杂网络
• 复杂网络是对复杂系统的抽象和描述方式， 任何包含大量组成单元（或子系统）的复 杂系统，当把构成单元抽象成节点、单元 之间的相互关系抽象为边时，都可以当作 复杂网络来研究。 • 复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方 法它关注系统中个体相互关联作用的拓扑 结构，是理解复杂系统性质和功能的基础。
随机网络
• 随机网络虽然具有小世界性，但是聚集性 也很小。
小wk.baidu.com界网络
• 所以后来提出了一个兼具小世界性和高聚 集性的网络模型，他们通过将规则网络中 的每条边以概率 p 随机连接到网络中的一 个新节点上, 构造出一种介于规则网络和随 机网络之间的网络(简称W S 网络) , 它同时 具有较小的平均路径长度和较大的聚集系 数, 而规则网络和随机网络则分别是W S 网 络在p 为0 和1 时的特例。
规则网络
• (1)规则网络是指平移对称性晶格,任何一个 格点的近邻数目都相同 • (2)各个节点的具有相同的度值 • (3)如图为最近邻耦合网络：每个节点都与 它左右的K/2个节点相连 • (4)对大的N, K, 有：聚集系数C~3/4, 平均 路径长度L~无穷大
规则网络
• 规则网络具有大的聚集系数和大的最短平 均距离
Weighted networks
复杂网络的特性-度
• 在一个无向型的网络中一个节点i的度Ki就 是和节点i相连的边的数目：
• 这里
复杂网络的统计特性-平均路径 长度
平均路径长度： 网络研究中, 一般定义两节点间的距离为连接两者 的最短路径的边的数目; 网络的直径为任意两点间 的最大距离; 网络的平均路径长度l则是所有节点 对之间距离的平均值, 它描述了网络中节点间的分 离程度, 即网络有多小。复杂网络研究中一个重要 的发现是绝大多数大规模真实网络的平均路径长 度比想象的小得多, 称之为 “小世界效应”。
聚类系数
• 整个网络的聚类系数C就是所有节点i的聚类 系数Ci的平均值。 • 在很多类型的网络当中，随着节点数目的 增多，它的聚类系数会趋向于某一个非零 常数，在某种程度上有”物以类聚“的特 性。
复杂网络模型
• 研究表明，大多数的真实网络具有小世界 性（较小的最短路径）和聚集性（相对较 大的聚集系数）。
平均路径长度
• 尽管许多实际的复杂网络的节点数巨大， 网络的平均路径长度却小得惊人，具体地 说，一个网络称为是具有小世界效应的， 如果对于恒定的网络节点平均度，平均路 径长度L的增加速度至多与网络规模N的对 数成正比。
平均路径长度
聚类系数
• 假设网络中的一个节点i有Ki条边将它和其 他节点相连，这Ki个节点之间最多可能有 Ki(Ki-1)/2条边，而Ki个节点之间实际存在 的边数Ei和总的可能的边数Ki(Ki-1)/2之比 就定义为节点i的聚类系数Ci，即 • Ci=2Ei/(Ki(Ki-1))