一种小世界网络上L_SIRS类疾病传播模型

第32卷　第12期2010年6月武　汉　理　工　大　学　学　报JOURNA L OF WUHAN UNIVERSIT Y OF TECHN OLOG Y Vol.32　No.12　J un.2010DOI :10.3963/j.issn.167124431.2010.12.031一种小世界网络上L 2SIRS 类疾病传播模型周佳华1,周双全2,黄樟灿1(1.武汉理工大学理学院,武汉430070;2.海军工程大学电子工程学院,武汉430033)摘　要:　提出了一种感染节点可能随机感染与其不存在边连接的陌生节点的L 2SIRS 模型,利用平均场理论对疾病传播行为进行分析,求出该类型疾病传播的临界阈值,并与不具有远程感染的传统SIRS 类疾病传播模型进行比较,该文所研究的模型具有更小的临界值。

利用计算机对其进行数值模拟及仿真,结果表明,远程感染的概率对疾病的传播具有重要的影响,随着感染节点随机感染陌生节点概率的增大,网络的传播阈值会逐渐减小直至消失。

关键词:　小世界网络;　SIRS ;　传播临界值;　远程感染;　仿真中图分类号:　O 231.5;　N 945.1文献标识码:　A 文章编号:167124431(2010)1220133204Analyze of L 2SIRS Model in the Small 2world N et workZHO U Jia 2hua 1,ZHO U S huang 2quan 2,HUA N G Zhang 2can 1(1.School of Sciences ,Wuhan University of Technology ,Wuhan 430070,China ;2.School of Electronic Engineering ,Naval University of Engineering ,Wuhan 430033,China )Abstract :　In the model with the long 2distance in the small 2world network ,The infected nodes not only infect their neigh 2bors but also infect other nodes with the certain probability.Base on this ,the L 2SIRS model which the infected nodes may con 2nect with the nodes which is not their neighbors ,With the mean 2field theory analyzes the spread of the disease ,it is easy to get the critical threshold of immunization.Then compare it with the traditional SIRS model ,and simulate it with computer ,the re 2sults show that the probability of long 2distance spread is very important to the spread of the disease ,with the increasing of the probability of the infected nodes infect their strangers ,the critical threshold will decrease until die away.K ey w ords :　small 2world network ;　SIRS model ;　critical threshold ;　long 2distance ;　simulation收稿日期:2010201230.基金项目:国家天元基金(10726031).作者简介:周佳华(19852),女,硕士生.E 2mail :jiahua0916@20世纪末,Watts 和Strogatz 在规则的最近邻耦合网络和ER 随机图的基础上,提出了更能体现真实网络的小世界模型(WS 模型)[1],自此,复杂网络理论迅速发展起来,在复杂网络上来研究疾病的传播也越来越受关注。

流行病的研究已有较长的历史,自1927年K ermack 与Mc K endrick 提出的仓储模型[2]到20世纪中叶的蓬勃发展[3],对传染病的研究已提出了多种传播模型[4,5],其中建立微分方程模型则是对传染病的流行规律进行研究的一种重要方法。

在典型的传播模型中,种群内的个体被抽象为几类,每一类都处于一个典型的状态,其基本状态包括:易感状态(susceptible)、感染状态(infected)、被移除状态(recovered)等,并通过这些状态之间的不同转化过程来建立模型从而进行研究。

如SI模型[6],SIS模型[7],SIR模型[8]等。

传统的模型均是假定当人群中存在感染时,所有的感染者都以一定的概率有可能被感染,即假设所有人之间都存在接触,显然,这在一定程度上与现实不相符,因为一个人不可能跟所有其他人都存在接触,复杂网络上的传播动力学解决了这一问题:将人群抽象为网络的节点,而边则代表了人群之间的联系,只有存在联系的节点(熟人)之间才能相互传染疾病,而没有联系的节点(陌生人)之间不会传染。

如文献[9]是在复杂网络上建立手足口疾病的SEI(susceptible2eclipse2infected)模型来了解其传播的潜在机制,文献[10]则在局域网内讨论了SIS类疾病传播模型,文献[11]研究的是小世界网络上流行病的传播,文献[12]考虑了复杂网络上疾病传播的不同状态以及其间的传播机制。

文献[13]研究了复杂网络上标准SIRS模型的传播行为,而文献[14]则是在文献[13]的基础上进一步考虑直接免疫。

然而,实际生活中熟人(有边连接)和陌生人(无边连接)的划分是不确定的,陌生人之间经常因为某些原因互相接触(比如在公共场合),从而变为熟人,即网络的拓扑结构并非一经确定就不再改变的。

针对这一情况,文献[15]提出了一种考虑陌生人可能与感染节点发生接触的SIS传播模型。

改进的模型基于如下随机远程感染机制:感染节点在将疾病以一定概率传给未被感染的邻居节点的同时,对不存在边连接的陌生节点也以一定概率接触并感染。

在现实生活当中,许多疾病在治愈后会拥有对该病毒的免疫性,也就是说,患过该种病的个体在一定时间内将不再患病,因此,该文提出了一种小世界网络上考虑非邻居节点可能与感染节点发生接触的SIRS模型,称之为L2SIRS模型。

并将该模型与传统的SIRS传播模型进行了比较。

1　基本假设及疾病传播机制假定节点总数固定不变,考虑将节点分为易感S、染病I、具有免疫R这3种状态且各状态的节点均匀混合,在均匀网络中,由于度高度峰化,且其扰动很小,于是将网络中各节点的度都近似为平均度<k>,即k i≈<k>。

设网络规模N→∞,给定网络初始时处于各状态的节点的比例S(0)、I(0)、R(0),在每个时间步,任意处于易感状态的节点若存在感染的邻居节点,则将以概率β被感染,每个感染节点在网络中以概率ω(称为陌生节点感染率)随机感染一个陌生节点,同时感染节点以概率γ被治愈,且在一定时间内对该病毒具有免疫力,而具有免疫力的节点则以δ的概率失去免疫,恢复为易感状态。

整个过程如图1所示。

2　小世界网络上具有远程感染的SIRS类疾病的数学模型定义时刻t网络中各状态节点密度为S t,I t,R t,当t→∞时,各状态的个体的稳态密度分别为S,I,R,由以上讨论可得d S td t=-β<k>I t S t-ωI t+δR td I td t=β<k>I t S t+ωI t-γI td R td t=γI t-δR t(1) 由归一化条件S t+I t+R t=1可将式(1)化成d S(t)d t=-β<k>I t S t-ωI t+δ1-S t-I td I td t=β<k>I t S t+ωI t-γI t(2)431 武　汉　理　工　大　学　学　报 2010年6月 为了求得各状态节点的稳态密度,令式(2)右端等于0,可求得其平衡点为(S,I)=(1,0)或(S,I)=γ-ωβ<k>,δβ<k>-γ+ωγ+δβ<k> 情形1　(S,I)=(1,0),这时式(2)对应的Jacobi矩阵为J=-δ0-β<k>-ω-δβ<k>+ω-γ 当J=-δ(β<k>+w-γ)>0,tr(J)=-δ+β<k>+w-γ<0时,由解的稳定性判定方法可知(S,I)=(1,0)是方程的稳定平稳解。

因此,当β<k><r-ω即βγ<1<k>-ωγ<k>时,系统稳定于解1,0。

情形2　(S,I)=γ-ωβ<k>,δβ<k>-γ+ωγ+δβ<k>对应的Jacobi矩阵为J=-δβ<k>-γ+ωγ+δ-δδβ<k>-γ+ωγ+δ-γ+δ0 当J>0,即βγ>1<k>-ωγ<k>时,tr J<0,上述解是稳定的。

小世界网上的L2SIRS模型的疾病传播阈值为λc=βγ=1<k>-ωγ<k>,不仅取决于网络的拓扑结构,还取决于随机感染的概率ω,与一般的不带随机远程感染的SIRS模型相比,传播临界值将减小ωγ<k>,而且当ω→γ时,λc→0。

当ω=0时,对应于文献[14]的SIRS模型。

当λ<λc时,系统稳定于平衡点1,0,疾病最后将消亡;当λ≥λc时,系统稳定于平衡点γ-ωβ<k>,δβ<k>-γ+ωγ+δβ<k>,这时I∞=δβ<k>-γ+ωγ+δβ<k>,与文献[14]中不带随机远程感染的SIRS模型相比,稳态密度高了δωγ+δβ<k>。

3　仿真实验3.1　仿真结果取定参数γ=1,δ=0.3,ω=0.1,β=0.5,利用计算机可求得系统(1)的数值解如图2所示。

由图2可知,随着时间的增加,易感节点所占的比例先是逐渐减小,然后又逐渐增大,最后趋于稳定,而感染节点以及免疫节点所占的比例均是先增大再减小然后趋于稳定,这说明随着时间的发展,疾病的传播逐渐被控制。