小世界网络
小世界网络和无标度网络
⼩世界⽹络和⽆标度⽹络锚点的重要性线性⽹络中锚点的识别可以有许多⽤途，例如在具有线性拓扑的社区宽带⽹络中，其中⼀个锚点可以作为因特⽹的⽹关，进⽽优化社区⽹络中的整体传输时间。
⽤于军事或者应急响应场景中时，可以通过将其中⼀个锚点作为中⼼节点来添加⼀些LL，从⽽能够创建具有⼩APL值的⽹络拓扑。
锚点的识别也有利于车间通信。
对于⼀个给定的图，最⼩化APL等价于最⼩化图的总路径长度。
锚点的固定⽐例位置始终为0.2N或者0.8N.基于启发式⽅法的确定性链路添加两种确定性链路添加策略，即最⼤CC差异（MaxCCD），和顺序确定性LL添加。
两个节点之间的接近中⼼性差异CCD定义为两个节点的CC值之间的差。
MaxCCD策略在具有最⼤CCD的节点对之间添加LL。
APL表⽰在整个⽹络上节点对之间的路径长度平均值。
AEL刻画了⽹络上平均每条链路的长度。
节点的BC值表⽰其在⽹络中的重要性。
节点的CC值刻画了该节点与其他节点的接近程度。
平均⽹络时延：（Average Network Delay,ANeD）度量了⼀组数据从源节点传播到⽬的节点所需的平均时间。
ANeD等于传播时延和传输时延之和。
顺序确定性L添加是另⼀种基于启发式的确定LL添加⽅法，它将正则线性⽹络转化为由k条LL构成的⼩世界⽹络。
基于⼩世界特征的平均流容量增强启发式算法ACES布雷斯悖论⼩世界⽹络中的路由路由可以被定义为将⽹络中的特定信息从源节点转发到⽬的节点的过程。
分布式路由算法⾃适应分布式路由算法前瞻式路由算法⼩世界⽹络中的容量⽹络容量定义为可以在单位时间内从⽹络的⼀部分传输到另⼀部分的信息量。
增加⽹络容量是提⾼底层⽹络整体性能的关键挑战之⼀。
可以通过两种变换⽅式将正则⽹络转为⼩世界⽹络：重连现有链路NL；添加新链路LL第五章⽆标度⽹络⾃然界中⼴泛存在的⽆标度⽹络遵循幂律度分布。
多种创建⽆标度⽹络的⽅法：通过偏好连接；通过基于适应度的模型；通过改变内在适应度；通过相似性和流⾏度的局部优化；使⽤度指数1；通过贪⼼的全局优化。
复杂系统的理论模型
复杂系统的理论模型引言复杂系统是由相互作用的多个元素组成的系统，具有非线性、动态和自适应等特点。
理解和研究复杂系统的行为是许多学科领域的重要课题，例如物理学、生物学、社会学等。
本文将介绍复杂系统的理论模型，包括网络模型、智能体模型和进化模型等。
网络模型小世界网络小世界网络是一种介于规则网络和随机网络之间的模型。
它具有高聚集性和短平均路径的特点，能够很好地模拟许多现实世界中的复杂系统，如社交网络和神经网络等。
小世界网络的生成过程可以通过“重连”机制实现，即在规则网络的基础上，以一定的概率重新连接网络中的节点，使得网络具有更好的小世界性质。
无标度网络无标度网络是一种节点度数遵循幂律分布的网络模型。
在无标度网络中，只有少数节点具有极高的度数，而大多数节点的度数较低。
这种网络模型能够很好地模拟一些实际系统的特点，如互联网和蛋白质相互作用网络等。
无标度网络的生成机制可以通过优先连接机制实现，在每次增加新节点时，倾向于连接已有节点度数较高的节点。
阻尼网络阻尼网络是一种网络模型，节点之间通过连接进行信息传递，但每个节点都有一定的概率遗忘或丢失信息。
这种网络模型可以很好地描述现实世界中某些系统的特性，如人类记忆和信息传递系统等。
阻尼网络的研究可以通过网络传播模型、信息丢失模型等多个方面进行。
智能体模型有限状态机有限状态机是一种常见的智能体模型，它包含一组有限个状态和状态之间的转移规则。
有限状态机模型可以用于描述系统的决策过程和行为变化等，常用于模拟人工智能、自动控制以及计算机算法等领域。
神经网络神经网络是一种模拟人脑神经元结构和功能的模型，它由多个互连的神经元单元组成。
神经网络模型可以进行学习和适应，能够模拟复杂系统中的非线性和动态性质。
神经网络在机器学习、模式识别和数据挖掘等领域得到广泛应用。
进化算法进化算法是一种基于进化过程的智能体模型，它通过选择、交叉和变异等操作对解空间中的个体进行搜索和优化。
进化算法能够自主学习和适应环境，适用于复杂系统中的优化问题，如遗传算法和粒子群优化算法等。
小世界效应的网络舆情演化迁移元胞模型
小世界效应的网络舆情演化迁移元胞模型小世界网络是具有两个重要特性的网络，第一个特性是“短路径”，即通过少数转发节点，信息可以在网络中快速传递。
第二个特性是“聚集性”，即网络中的节点呈现群集化特征，同一社区内的节点联系紧密，而不同社区间联系相对较少。
小世界效应指的就是这种网络结构的特性，它在各种领域的研究中都有广泛应用。
网络舆情是指由网络传播所引发的针对某一主题或事件的舆论。
随着新媒体的发展，网络舆情已成为现代社会的重要问题之一。
研究网络舆情迁移的元胞模型是网络科学领域的一种重要研究方法，它可以帮助我们理解信息在网络中的传播过程，进而预测社会事件的发展趋势。
本文采用元胞自动机模型进行网络舆情演化迁移的分析，基于小世界网络的结构特点，综合考虑舆情节点的情感倾向、信息传播范围等因素，探究网络舆情演化过程中的关键因素和演化规律。
在模型的设计中，我们将网络中的节点分为三类：负面节点、中立节点和正面节点。
对于每个节点，我们设定其具有一定的个体情感倾向，并给出一个取值范围（-1到1之间）。
模型还考虑到每个节点的邻居节点，即与该节点相连的节点，包括近邻节点（直接相连）和远邻节点（通过其他节点连接）。
这种影响范围的设计是基于小世界网络的“短路径”特性。
在模拟过程中，我们假设负面节点的信息传播效率较高，即一个负面节点可以较快地将负面信息传递给其邻居节点；正面节点的信息传播效率较低；中立节点则不会主动传播信息，只有当其邻居节点传来信息时才会转发。
这是基于对不同节点类型信息传播特性的观察。
通过模拟可以发现，网络舆情的演化过程受到两个因素的影响：情感倾向和信息范围。
当负面节点数量较多、正面节点数量较少时，网络舆情往往呈现负面倾向；当正面节点数量占据优势时，网络舆情会逐渐向正面倾向演化。
在情感倾向相同的情况下，节点与邻居的联系紧密程度也会影响信息的传播效率。
在小世界网络中，有些节点既有短程联系，也有长程联系。
这种联系模式面临的挑战是如何在保证短程联系的同时，加强两个社区间的联系。
课题：WS小世界网络模型构造
课题：WS小世界网络模型构造姓名赵训学号 2班级计算机实验班一、WS 小世界网络简介1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念,并建立了WS模型。
实证结果表明,大多数的真实网络都具有小世界特性(较小的最短路径) 和聚类特性(较大的聚类系数) 。
传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性,但并不具有小世界特性;而ER 随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。
因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。
Watts 和Strogatz建立的WS小世界网络模型就介于这两种网络之间,同时具有小世界特性和聚类特性,可以很好的来表示真实网络。
二、WS小世界模型构造算法1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。
2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。
其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。
在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡，如图a所示。
图a相应程序代码（使用Matlab实现）ws_net.m （位于“代码”文件夹内）function ws_net()disp('WS小世界网络模型')N=input('请输入网络节点数');K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数');p=input('请输入随机重连的概率');angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N;x=100*cos(angle);y=100*sin(angle);plot(x,y,'r.','Markersize',30);hold on;%生成最近邻耦合网络；A=zeros(N);for i=1:Nif i+K<=Nfor j=i+1:i+KA(i,j)=1;endelsefor j=i+1:NA(i,j)=1;endfor j=1:((i+K)-N)A(i,j)=1;endendif K<ifor j=i-K:i-1A(i,j)=1;endelsefor j=1:i-1A(i,j)=1;endfor j=N-K+i:NA(i,j)=1;endendenddisp(A);%随机化重连for i=1:Nfor j=i+1:Nif A(i,j)==1pp=unifrnd(0,1);if pp<=pA(i,j)=0;A(j,i)=0;b=unidrnd(N);while i==bb=unidrnd(N); endA(i,b)=1;A(b,i)=1;endendend%根据邻接矩阵连线for i=1:Nfor j=1:Nif A(i,j)==1plot([x(i),x(j)],[y(i),y(j)],'linewidth',1); hold on;endendendhold offaver_path=aver_pathlength(A);disp(aver_path);对应输出（取网络节点数N=16，K=2；p分别取0，0.1，1）。
浅谈小世界网络
浅谈小世界网络20世纪末，很多科学家发现研究过的自然、社会和技术网络中，大都具有这些特征：高度的集群性、不均衡的度分布以及中心节点结构。
这些特征的出现不是偶然的，为什么现实世界中的网络会具有这些特征呢？这是网络科学的主要问题，目前基本上已经通过建立网络的发展模型解决了。
其中有两类模型被深入地进行了研究，分别是小世界网络和无尺度网络，这里结合原始论文谈谈对小世界网络的认识。
1998年，邓肯·瓦特和斯托加茨在《自然》杂志上发表了关于小世界网络模型的论文Collectivedynamics of‘small-world’ n etworks，首次提出并从数学上定义了小世界概念，并预言它会在社会、自然、科学技术等领域具有重要的研究价值。
所谓小世界网络，就是相对于同等规模节点的随机网络，具有较短的平均路径长度和较大的聚类系数特征的网络模型。
以前，人们认为网络分为完全规则网和完全随机网，这两类网络具有各自的特征。
规则网具有较大的特征路径长度，聚类系数也较大，而随机网络具有较小的特征路径长度，但是聚类系数较小。
难道特征路径长度较大（小）一定伴随着较大（小）的聚类系数？另外，很多现实中的网络如电网，交通网络，脑神经网络，社交网络，食物链等都表现出小世界特性，即具有较小的特征路径长度。
Watt采用一种随机重连边的方法，以探求位于规则网和随机网的中间地带。
如图：规则网有N个节点,每个节点与K个最近邻节点相连（K是偶数）。
上图的规则网有20个节点，每个节点与相邻的4个节点互联。
然后，对每条边进行以概率P进行随机重连（0<=P<=1）。
P=0时对应规则网，P=1时对应完全随机网，通过调整P的值可以得到位于两种网络中间的网络模型，然后探究其特征。
通过实验并统计网络呈现出的特征，得到下图（归一化处理后）。
可见，在P较小时(P<0.01)，特征路径长度急剧下降，而聚类系数几乎没有变化。
这样，我们发现这些网络具有较短的特征路径长度和较大的聚类系数，我们称其为“小世界网络”。
小世界网络
在 NW 模型中由于基础的规则网络的连接始终没有变化，是一种有序的连接关系，而随机连接构成的随机网络，构成一种无序的连接关系。它们的合理叠加描述了客观世界具有的这种有序和无序的混杂特征。而且由于 NW 模型中没有键断开，很好的解决了WS 模型中出现孤立点的问题。
本文为了使人们更好地了解小世界网络模型,在简单介绍小世界网络的研究背景的前提下对小世界网络结构理论由规则网络，随机网络逐步发展到小世界网络的过程做了简要的阐述。本文还介绍了小世界网络的平均路径长度，群集系数和度的分布，并且对于小世界网络在Internet,舆论方面的应用做了一些初步的介绍。
关键词：复杂网络 小世界网络 流言传播 Internet小世界网络
Abstract
In recent years, the academic research on complex networks is ascendant. In particular, two international pioneeringresearchestriggeranupsurge of considerableworkon complex networks.In1998,Wattsand Strogatzpublishedtheir original articlein the journalnamedNATURE. The small world network modelwasintroducedin this article.
1.2.1 规则网络
规则模型就像一个规则可循的晶格点阵，模型中各点的连接相同。最简单的规则模型是完全有序的一维点阵。如果将一维点阵中各个点的 K 个邻居连接起来，很明显各个点的邻居又互为邻居体现集团化特征，对点阵采用循环边界条件则会形成环（如图2）。
小世界网络
4.2 小世界网络4.2.1 小世界网络简介1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念，并建立了WS模型。
实证结果表明，大多数的真实网络都具有小世界特性（较小的最短路径）和聚类特性（较大的聚类系数）。
传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性，但并不具有小世界特性；而随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。
因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。
Watts和Strogatz建立的小世界网络模型就介于这两种网络之间，同时具有小世界特性和聚类特性，可以很好的来表示真实网络。
4.2.2 小世界模型构造算法1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。
2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。
其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。
在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p 的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡。
相应程序代码（使用Matlab实现）ws_net.m （位于“代码”文件夹内）function ws_net()disp('小世界网络模型')N=input('请输入网络节点数');K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数');p=input('请输入随机重连的概率');angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N;x=100*cos(angle);y=100*sin(angle);plot(x,y,'r.','Markersize',30);hold on;%生成最近邻耦合网络；A=zeros(N);disp(A);for i=1:Nif i+K<=Nfor j=i+1:i+KA(i,j)=1;endelsefor j=i+1:NA(i,j)=1; endfor j=1:((i+K)-N) A(i,j)=1; endendif K<ifor j=i-K:i-1 A(i,j)=1;endelsefor j=1:i-1A(i,j)=1; endfor j=N-K+i:N A(i,j)=1; endendenddisp(A);%随机化重连for i=1:Nfor j=i+1:Nif A(i,j)==1pp=unifrnd(0,1); if pp<=pA(i,j)=0; A(j,i)=0;b=unidrnd(N); while i==bb=unidrnd(N); endA(i,b)=1; A(b,i)=1; endendendend%根据邻接矩阵连线for i=1:Nfor j=1:Nif A(i,j)==1plot([x(i),x(j)],[y(i),y(j)],'linewidth',1); hold on;endendendhold offaver_path=aver_pathlength(A);disp(aver_path);4.2.3小世界网络模型平均路径长度与聚类系数对于纯粹的规则网络，当其中连接数量接近饱和时，集聚系数很高，平均路径长度也十分短。
人类大脑网络拓扑结构研究
人类大脑网络拓扑结构研究人类大脑是世界上最复杂、最神秘的器官之一，它包含数以亿计的神经元和连接它们的突触。
在过去几十年里，科学家们一直致力于研究人类大脑的网络拓扑结构。
通过这些研究，我们可以更好地理解大脑是如何工作的，同时也为解决一些与大脑疾病相关的问题提供了新的线索。
首先，人类大脑的网络拓扑结构是基于神经元之间的连接方式来定义的。
这些连接形成了一个复杂的网络，决定了信息在大脑中的传播路径。
在过去的研究中，科学家们利用各种先进的技术，如功能磁共振成像（fMRI）、弥散张量成像（DTI）等，来探索人类大脑的网络拓扑结构。
研究表明，人类大脑的网络拓扑结构是小世界网络。
小世界网络是一种介于完全随机网络和完全规则网络之间的中间状态。
这种网络结构具有特定的特征，即高度聚合性和短路径长度。
高度聚合性意味着大脑中的神经元更有可能与彼此直接连接，而不是通过较长的路径间接连接。
短路径长度表示在大脑网络中，通过相对较少的跳数就能够实现信息传播。
研究还发现，人类大脑的网络拓扑结构具有高度的鲁棒性和灵活性。
鲁棒性是指网络在遭受一定程度的破坏或攻击时仍能保持其功能的能力。
大脑的网络结构具有冗余连接和多路径传输的特点，这使得它能够有效地应对各种外界干扰和损伤。
而灵活性则体现在网络能够根据不同的需求和任务进行自适应调整，以实现更高效的信息传递和处理。
同时，人类大脑的网络拓扑结构还与认知功能密切相关。
研究表明，不同认知功能之间存在着不同的网络拓扑结构。
例如，语言处理和视觉感知等功能在大脑网络中的连接方式和特征不同。
这些研究结果为我们理解人类的认知过程和脑机制提供了重要线索。
除了上述发现，近年来，人类大脑网络拓扑结构的研究还涉及到一些新的领域，如脑连接组学和功能网络重构。
脑连接组学是一门研究大脑网络连接特征的学科，它可以通过测量大脑图像数据中的连接性和拓扑结构来推断大脑的功能和认知过程。
功能网络重构则是利用图论和复杂网络理论的方法，通过分析大脑图像数据中的功能连接来重构大脑的网络拓扑结构。
网络拓扑知识：小世界网络拓扑的特征与应用
网络拓扑知识：小世界网络拓扑的特征与应用网络拓扑是指网络中不同节点之间连接的形式和方式。
小世界网络，又称“六度分隔理论”，是指在一个网络中，任意两个节点之间的距离不到几个步骤，这种网络结构是由多个密集连接在一起的“群集”和少量连接距离较远的“枢纽”节点组成的。
小世界网络拓扑的特征是，这种网络具有密集连接和随机连接两种属性。
密集连接的节点形成群集，枢纽节点则连接不同的群集，从而形成了一个具有高效率和短路径的网络。
小世界网络的应用十分广泛。
在社交网络中，小世界网络的结构可以解释为“六度分隔理论”，即人际之间的关系网相当密切。
在社交网络中，小世界网络的结构可以用来描述人们之间的联系，这样在社交媒体营销中，可以利用这种结构，通过社交网络快速地传达信息和推广产品。
在科学研究领域，小世界网络被广泛应用于描述生物、神经元和蛋白质等巨大的复杂系统之间的联系。
例如在生物网络中，小世界网络可以被应用于描述基因表达及其蛋白质之间的关系；在神经网络中，小世界网络可被利用于描述神经元之间的连接方式，以及神经网络的特性等。
此外，在电力网络、航空网络等大型系统中也可以应用小世界网络的拓扑结构，如在电力网络中，小世界网络可以用来预测电力系统的失效和优化电力传输；在航空网络中，小世界网络可以用来优化航班调度和预测航班延误等。
小世界网络拓扑的发现已经成为了我们更好地理解网络结构的基础。
在当前信息时代，如何从这种拓扑结构中挖掘更多有价值的信息，是一个值得继续探讨的问题。
在小世界网络中，节点间的关系一直在变化，这使得这种网络具有较好的鲁棒性和动态特性。
与其他网络拓扑相比，小世界网络在不同的应用领域具有更好的适应性，因而在未来的研究中，它将发挥着重要的作用。
无标度复杂网络、小世界及相关随机过程的开题报告
无标度复杂网络、小世界及相关随机过程的开题报告一、研究背景和意义网络科学在过去几十年中得到了迅速的发展和广泛的应用。
网络模型是研究网络结构和动态性质的关键工具。
最早的网络模型是随机图模型，用于描述随机连接的网络。
此后，研究者提出了更加逼近实际网络的模型，其中包括无标度网络和小世界网络。
无标度网络是一类具有幂律分布的度分布的复杂网络，其度分布的异质性非常明显。
这类网络存在少数高度连通的“超级节点”，而绝大多数节点的度数相对较小。
无标度网络的一些性质，如鲁棒性和快速传播等，在复杂网络中具有重要的应用价值。
因此，研究无标度网络的拓扑结构和相关的随机过程对于深入理解复杂网络的结构和动态行为，具有重要的理论和应用价值。
另一方面，小世界网络是介于随机网络和规则网络之间的一类网络。
小世界网络的度分布不是幂律分布，但其具有很小的平均路径长度和高度聚集的特点。
这些特征使其成为高效的信息传递和系统控制的网络拓扑结构。
研究小世界网络的拓扑结构和相关随机过程有助于更好地理解信息传递和系统控制等问题。
因此，本文将从无标度网络和小世界网络两个方面，探讨复杂网络的结构和动态行为，从而深入理解复杂网络的本质和应用价值。
二、研究内容本文将分为以下几个部分：1. 复杂网络的基本概念和理论基础。
介绍复杂网络的基本概念和度分布的幂律分布特征及其在理论上的意义。
2. 无标度网络的拓扑结构和相关随机过程。
详细介绍无标度网络的拓扑结构和其展现出来的“超级节点”特征，以及无标度网络的重要性质，包括鲁棒性、快速传播、群集行为等。
同时，讨论无标度网络的一些基本随机过程，如优先连接、重复连接、撤销连接等。
3. 小世界网络的拓扑结构和相关随机过程。
详细介绍小世界网络的基本特征，如平均路径长度、聚集系数等，并讨论小世界网络的重要随机过程，如随机重连和半随机重连等过程。
4. 无标度网络和小世界网络的结合。
介绍二者的相似点和区别，探讨它们对信息传递和系统控制的影响。
(完整版)小世界网络简介及及MATLAB建模
小世界网络MATLAB建模1.简介小世界网络存在于数学、物理学和社会学中，是一种数学图的模型。
在这种图中大部份的结点不与彼此邻接，但大部份结点可以通过任一其它节点经少数几步就可以产生联系。
若将一个小世界网络中的点代表一个人，而联机代表人与人之间是相互认识的，则这小世界网络可以反映陌生人通过彼此共同认识的人而起来产生联系关系的小世界现象。
在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很“遥远”的人，其实与你“很近”。
小世界网络就是对这种现象的数学描述。
用数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。
除了社会人际网络以外，小世界网络的例子在生物学、物理学、计算机科学等领域也有出现。
许多经验中的图可以用小世界网络来作为模型。
因特网、公路交通网、神经网络都呈现小世界网络的特征。
小世界网络最早是由邓肯·瓦茨（Duncan Watts）和斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）在1998年引进的，将高聚合系数和低平均路径长度作为特征，提出了一种新的网络模型，一般就称作瓦茨-斯特罗加茨模型（WS模型），这也是最典型的小世界网络的模型。
由于WS小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性，纽曼(Newman)和瓦茨(Watts)提出了NW小世界网络模型，该模型是通过用“随机化加边”模式来取代WS小世界网络模型构造中的“随机化重连”。
在考虑网络特征的时候，使用两个特征来衡量网络：特征路径长度和聚合系数。
特征路径长度（characteristic path length）：在网络中，任选两个节点，连同这两个节点的最少边数，定义为这两个节点的路径长度，网络中所有节点对的路径长度的平均值，定义为网络的特征路径长度。
这是网络的全局特征。
聚合系数(clustering coefficient)：假设某个节点有k个边，则这k条边连接的节点之间最多可能存在的边的个数为k(k-1)/2，用实际存在的边数除以最多可能存在的边数得到的分数值，定义为这个节点的聚合系数。
小世界网络
NW 模型：Newman 在 WS 小世界模型的基础上，通过捷径额外链接建构了另一种小世界模型，称为 NW 小世界模型[15]。其构建方法为：在规则网络的基础上，按确定平均连接度个数，添加随机选择的点（随机网络），不再拆开规则网络的连接。实际上，NW 小世界模型是规则网络和随机网络的叠加（见图6）。
第二章 小世界网络的特性
Watts和Strogatz的开创性文章引发了研究小世界网络和Watts-Strogatz(WS)模型特性的热潮。通过进一步研究Newman和Watts对WS模型的作了改进，其中边被加入随机选取的两点之间，但却不从规则网中移除。这一模型比原始Watts-Strogatz模型容易分析，因为它不会形成孤立的群集，但是在原始模型中有可能发生。对于足够小的p和大N，这一模型等价于WS模型。接下来我们将总结关于小世界网络的主要特性。
首先,网络的现象涵盖极其广泛,因此,对网络的研究极具意义。其次,复杂网络的研究,在大量网络现象的基础上抽象出两种复杂网络:一种即小世界网络,另一种即无标度网络。这两种网络都同时具有两个基本特征:高平均集聚程度、小的最短路径。对这两种网络的研究，有利于人们理解现实世界中的网络现象。
科学家在研究复杂网络的过程中,通过在规则网络的基础上,断开其中某些顶点的链接,然后导入随机链接其中若干顶点的方法,结果构造出来的网络立刻就具有了小世界的特性。
对于规则环状网格和随机网络之间添加随机再连接的过程，没有改变图中的顶点数或者边数。N 个顶点的环，每个顶点通过随机的边连接到它的 k 个最近的邻居。我们选择一个顶点和它的边，以顺时针方向连接它和它最近的邻居，然后以概率 p 重新连接这条边到一个环上随机选择的顶点，不允许重复，否则我们不动这条边。我们通过沿着环顺时针移动来重复这个过程，在轮流的过程中每个点都要考虑到直到一圈结束。接着再考虑顺时针连接它们第二近邻顶点的边。沿着这个循环操作并且在每一圈以后逐步向远距离的邻居行进，直到原始网格中的每一条边都被考虑过（见图4）。
小世界网络与无标度网络的社区结构研究!
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［8， 19］ 平均 布 ! 作为判断网络小世界现象的主要参数，
聚类系数和平均路径长度可以利用公式计算 ! 度分 布是否符合幂律是无标度特性判断的主要指标， 然 而实际网络度分布的判定因无法利用理论计算实现 而相对困难， 多依据对数图形或采用拟合的方法判
［95， 96］ 断 也可以 ! 模块性是度量网络社区结构的指标，
网络可以表示为 ， ! 3（ " ， #） 即网络成员的集合， 其中 " 表示给定节点， # 表示 边， 即网络成员关系的集合 ! $ 3 4 " 4 是网络成员数 目， （ %&’ ） 是相应的邻接矩阵， 对于 5， !3 6 矩阵 ! ，
小世界效应
大量的实证研究表明，许多真实网络都具有小世界效应，有的甚至具有所谓的超小世界效应，小世界网络模型正是模拟了真实网络的这一特点。
1998年Watts和Strogatz提出了一种小世界网络模型（WS)的构造方法：对规则网络中每一个节点的所有连边，以一定的概率P断开一个端点，然后重新连接到其他任意一节点上，如图2．1。
当重连概率P=0时，网络是一个规则网络；P=1时形成的网络为完全随机网络；当0<P<1时，形成的网络为小世界网络。
小世界网络是介于完全规则网络和完全随机网络之间的网络，既具有与规则网络类似的类聚特性，又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度，即同时具有大的簇团系数和小的平均最短距离。
对WSd"世界网络统计特性模拟研究的结果如图2．3所示，当P=0等于零时，即对于规则网络来说，簇团系数C(P)和最短距离，(p)都较大，当P=l时，即对于随机网络来说，系统的簇团系数和最短距离都较小，而存在一个很大的P的区域，系统同时具有大的簇团系数和较小的最短距离，此即是世界效应。
WS小世界网络的构造，P=0时，是一规则网络，P=1时是完全随机网络，0<P<1时，是一小世界网络，同时具有固定连边和长程随机连边。
随着对网络研究的深入，人们发现真实网络在许多性质上与随机网络仍然有比较大的差别。
在现实世界中很多网络并不能抽象成为规则网络，也不能抽象成为随机网络，而是一种介于规则网络和随机网络之间的一种网络。
这些网络存在我们称之为“小世界效应”的特性。
对于“小世界效应’’的研究可以追溯到1967年。
在那一年，著名的心理学家Mil掣锄在HaⅣard大学做过一个简单的实验。
这个实验的过程可以进行如下简述：Mil孕锄随机的将一些信件分发给内布拉斯加少}I(Nebraska)的一些实验参与者，这些信件的送往的目的地是马萨诸塞州(Massachusetts)的首府波士顿(Boston)(之所以这么选择，是因为Mil留am认为这两个地方相距甚远)。
复杂网络的特性与应用研究
复杂网络的特性与应用研究复杂网络是指由大量节点和边组成的非线性网络。
在复杂网络中，节点之间相互连接形成了复杂的拓扑结构，这种结构使得网络的行为表现出多样性和非线性，产生了许多有趣的特性。
本文将介绍一些复杂网络的特性和应用研究。
一、小世界网络小世界网络是指在网络中，节点之间的连接呈现出高度的局部聚集性和短路径的全局连通性。
这种结构是由于存在一些“枢纽节点”，这些节点具有极高的度数，连接了大量的节点。
小世界网络在现实世界中广泛存在，例如社交网络、互联网等。
小世界网络的特点是具有高度的效率和鲁棒性。
在网络中引入大量的短程边可以加速信息传播的速度，而且在攻击或随机故障的情况下，小世界网络仍然可以维持连通性和稳定性。
二、无标度网络无标度网络是指节点的度分布呈现出幂律分布的网络。
换句话说，少数节点具有极高的度数，而绝大多数节点的度数较低。
无标度网络可以模拟许多现实世界中的现象，如互联网中的超链接结构、社交网络中的社区结构等。
无标度网络的特点是具有高度的鲁棒性和易受攻击性。
因为少数的高度连接节点对于整个网络的连通性至关重要，所以在攻击或随机故障的情况下，无标度网络的稳定性会受到很大的影响。
三、复杂网络的应用研究复杂网络的应用研究具有广泛的领域，包括社交网络、生物网络、金融网络、交通运输网络等。
在社交网络中，复杂网络可以用来研究人际关系的网络结构和信息传播的机制。
在生物网络中，复杂网络可以应用于研究基因相互作用网络、蛋白质相互作用网络等生物信息学问题。
在金融网络中，复杂网络可以用于分析金融市场的稳定性和研究风险管理策略。
在交通运输网络中，复杂网络可以应用于交通拥堵的模拟和路网优化问题等。
总之，复杂网络是现代科学研究中不可缺少的工具之一。
通过对其特性和应用研究的深入探索，我们可以更好地理解和应对现实中面临的各种问题。
第五章 小世界网络
5.1.1 Watts Strogatz (WS)过程
• 给定节点数n，重连概率p，k=2。生成一个 k-规则网络。有m=2n条链路。
• 对每一条链路，以概率p重连。
5.1.2 一般的WS过程
5.1.3 小世界网络的度序列
• Barrat, A. and M. Weigt, On the properties of small-world network models, Eur. Phys. J. B 13:547 (2000).
min{d k ,k}
h(d) B(k,i, (1 p))P(1, d k i); d k i1
• 小世界网络是具有高聚类系数、相对较小 的平均路径长度、可变化的熵的稀疏网络
• Milgram六度分离。
• WS（Watts,Strogatz,1998）提出小世界网络 模型。
• 小世界网络介于规则网络和随机网络之间 。许多实际网络都是小世界网络。其研究 有广泛应用价值。
5.1 生成一个小世界网络
• 从k-规则网络开始。
小世界网络模型
作为从完全规则网络向完全随机图的过渡，Watts和Strogtz于1998年 引入了一个小世界网络模型，称为WS小世界模型。其构造算法如下 ：
①从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一 个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2个节点相连，K是偶数 。
第5章小世界网络
5 1生成一个小世界网络 5 1 1Watts Strogatz (WS)过程 5 1 2一般的WS过程 5 1 3小世界网络的度序列 5 2小世界网络属性 5 2 1熵与重联概率 5 2 2熵与密度 5 2 3小世界网络的路径长度 5 2 4小世界网络的聚类系数 5 2 5小世界中的紧度 5 3相变 5 3 1路径长度和相变 5 3 2材料中的相变 5 4小世界网络中的导航 5 5小世界网络中的弱联系 5 6分析 练习
小世界网络
系数和更低的平均路径长度。
小世界网络的平均路径长度受制于导入的随机性，但是其他属性如聚 类系数受制于起始网络的拓扑。
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5.2 小世界网络属性 来自与重联概率对于小概率p，随机性上升非常快，然后当p接近100%时就平缓下 来。接近一半熵的增加发生在1%和10%之间。
对于足够大的重联概率p，熵随着p呈对数地增长。
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5.5 分析
小世界网络是可扩展的、高度聚类的、相对稀疏的。
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Thanks
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5.2 世界网络属性
小世界中的紧度 紧度随着密度的增加而增加，到达某一点，然后向下再向上，随之网 络开始更像k-规则网络而非小世界网络。向下再向上之后，重新变的 规律性，紧度再次提高直到接近100%峰值为止。
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5.2 世界网络属性
小世界中的紧度 随机网络在密度接近100%之前没有规律性；小世界网络具有大量与 密度无关的规则性——随着密度的增加规则性对平均紧度的影响会增 加。在大约50%左右到达“临界点”，这就导致小世界行为更像k-规 则网络而非随机网络。这种规则性在决定紧度时成为最重要的因素。 一般来讲，超过20%密度，聚类倾向于增加平均紧度，而随机性倾向 于减少平均紧度。
变的更加随机化了，并且它的平均路径长度接近随机网络，但是小世 界的平均路径长度决不会小于同等随机网络的。 快速减少平均路径长度及具有较大的聚类系数是小世界网络的独特特 点。小世界的路径长度随着重联概率的增加而收缩，达到p=100%为
极限。
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5.2 小世界网络属性
小世界网络的路径长度
5.2 小世界网络属性
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小世界网络的聚类系数 聚类随着熵的增加而减少，因为聚类是一种结构(有序)，而重联 链路是一种随机性(无序)。增大重联概率就增大了无序，也就降 低了聚类。熵与k-规则网络的最初顺序相反。 保持重联概率不变而让密度变化。聚类系数会随着密度的提高而 缓慢提高，因为提高密度会使网络更加接近完全网络（完全网络 的聚类系数是1.0）。聚类系数随着密度接近100%而渐近1.0。
《大话脑成像》系列之十五——浅谈小世界网络
《大话脑成像》系列之十五——浅谈小世界网络大嘎吼，我系从庆古甜落，介四离重美砍过的船新版本大话，几需砍像三轰钟，离造会跟我一样，爱像介个系累。
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既然讲网络，大家不妨看看你需要学会的脑网络数据处理课程先，对，是广告。
（点击就送装备):第五届磁共振脑网络数据处理班1.基本概念网络是由网络节点和网络边构成。
在介绍小世界网络之前，不妨了解一下要用到的基本概念吧。
网络节点：网络构成中的一种元素，在核磁成像研究中，节点可以是某个脑区，或者以体素为单位作为节点。
网络边：网络构成中的另一种元素，一条边连接网络中的两个节点。
在MRI研究中，边的定义多种多样，比如功能连接、纤维束连接、协变连接等。
邻居节点：一个节点i的邻居节点指的是在网络中，和该节点i直接相连接的节点。
节点度：指的是一个节点连接边的条数。
该节点连接边越多，其度越大。
聚类系数：刻画网络中一个节点的所有邻居节点间的连接紧密程度。
当所有邻居节点间都有连接时，该节点的聚类系数值最大。
聚类系数刻画网络局部连接程度。
最短路径：在网络中从一个节点出发，要到达另外一个节点所需的最小步长。
最短路径刻画网络信息传递的快慢。
路径值越小，信息传递越快。
连接代价（wiring cost）：从物理空间距离（笛卡尔坐标系中两点间的距离）角度来看，代价可理解为信息从一个节点传递到另外一个节点所消耗的资源。
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4.2 小世界网络4.2.1 小世界网络简介1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念，并建立了WS模型。
实证结果表明，大多数的真实网络都具有小世界特性（较小的最短路径）和聚类特性（较大的聚类系数）。
传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性，但并不具有小世界特性；而随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。
因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。
Watts和Strogatz建立的小世界网络模型就介于这两种网络之间，同时具有小世界特性和聚类特性，可以很好的来表示真实网络。
4.2.2 小世界模型构造算法1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。
2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。
其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。
在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p 的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡。
相应程序代码（使用Matlab实现）ws_net.m （位于“代码”文件夹内）function ws_net()disp('小世界网络模型')N=input('请输入网络节点数');K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数');p=input('请输入随机重连的概率');angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N;x=100*cos(angle);y=100*sin(angle);plot(x,y,'r.','Markersize',30);hold on;%生成最近邻耦合网络；A=zeros(N);disp(A);for i=1:Nif i+K<=Nfor j=i+1:i+KA(i,j)=1;endelsefor j=i+1:NA(i,j)=1; endfor j=1:((i+K)-N) A(i,j)=1; endendif K<ifor j=i-K:i-1 A(i,j)=1;endelsefor j=1:i-1A(i,j)=1; endfor j=N-K+i:N A(i,j)=1; endendenddisp(A);%随机化重连for i=1:Nfor j=i+1:Nif A(i,j)==1pp=unifrnd(0,1); if pp<=pA(i,j)=0; A(j,i)=0;b=unidrnd(N); while i==bb=unidrnd(N); endA(i,b)=1; A(b,i)=1; endendendend%根据邻接矩阵连线for i=1:Nfor j=1:Nif A(i,j)==1plot([x(i),x(j)],[y(i),y(j)],'linewidth',1); hold on;endendendhold offaver_path=aver_pathlength(A);disp(aver_path);4.2.3小世界网络模型平均路径长度与聚类系数对于纯粹的规则网络，当其中连接数量接近饱和时，集聚系数很高，平均路径长度也十分短。
例如完全耦合网络，每两个节点之间都相连，所以集聚系数是1，平均路径长度是1。
然而，现实中的复杂网络是稀疏的，连接的个数只是节点数的若干倍，远远不到饱和。
如果考虑将节点排列成正多边形，每个节点都只与距离它最近的 2K 个节点相连，那么在K比较大时，其集聚系数为：()()()()13232214K K C i K K --=≈-虽然能保持高集聚系数，但平均路径长度为： ()4N l O N K ≈= 平均路径长度与节点数成正比。
纯粹的随机网络有着很小的平均路径长度，但同时集聚系数也很小。
可是现实中的不少网络虽然有很小的平均路径长度，但却也有着比随机网络高出相当多的集聚系数。
因此瓦茨和斯特罗加茨认为，现实中的复杂网络是一种介于规则网络和随机网络之间的网络。
他们把这种特性称为现实网络的小世界特性，就是：1. 有很小的平均路径长度：在节点数N 很大时，平均路径长度近似于随机网络；2. 有很高的集聚系数：集聚系数大约和规则网络在同一数量级，远大于随机网络的集聚系数。
相应程序代码（使用Matlab 实现）ws.m （位于“代码”文件夹内）clc;clear all;format long;n=1000;k=5;L=zeros(14,20);C=zeros(14,20);for i=1:14p(15-i,1)=1/2^(i-1);end% p=zeros(1,14);% p1=zeros(14,20);% LWS=zeros(14,1);% CWS=zeros(14,1);%%生成最近邻耦合网络A=zeros(n);for i=1:nfor j=i+1:i+kjj=j;if j>njj=mod(j,n);endA(i,jj)=1; A(jj,i)=1;endend%%计算平均路径长度L(0)D1=A;D1(find(D1==0))=inf; %将邻接矩阵变为邻接距离矩阵，两点无边相连时赋值为inf，自身到自身的距离为0.for i=1:nD1(i,i)=0;endm=1;while m<=n %Floyd算法求解任意两点的最短距离for i=1:nfor j=1:nif D1(i,j)>D1(i,m)+D1(m,j)D1(i,j)=D1(i,m)+D1(m,j);endendendm=m+1;endL0=sum(sum(D1))/(n*(n-1)); %平均路径长度%%计算聚类系数C(0)Ci0=zeros(n,1);for i=1:naa1=find(D1(i,:)==1); %寻找子图的邻居节点if isempty(aa1)Ci0(i)=0;elsem1=length(aa1);if m1==1Ci0(i)=0;elseB1=D1(aa1,aa1); % 抽取子图的邻接矩阵Ci0(i)=length(find(B1==1))/(m1*(m1-1));endendendC0=mean(Ci0);for z=1:14% p(z)=1/2^(z-1);for g=1:20%%生成最近邻耦合网络B=zeros(n);for i=1:nfor j=i+1:i+kjj=j;if j>njj=mod(j,n);endB(i,jj)=1; B(jj,i)=1;endend%随机化重连% for i=1:n% p_rand=rand(1,1);% b=find(B(i,:)==1);% for j=1:length(b)% j1=b(j);% if p_rand<p(z,1) %% 生成的随机数小于p，则边进行随机化重连,否则，边不进行重连% B(i,j1)=0;B(j1,i)=0;% bb=randint(1,1,[1,n]);% if B(i,bb)==0&&B(bb,i)==0&&bb~=i %重连条件% B(i,bb)=1;B(bb,i)=1;% end% end% end% endfor i=1:nfor j=1:kp_rand=rand(1,1);if p_rand<p(z,1)bb=randint(1,1,[1,n]);if B(i,bb)==0&&B(bb,i)==0&&bb~=i %重连条件j2=j+i;if j2>nj2=mod(j2,n);endB(i,j2)=0;B(j2,i)=0;B(i,bb)=1;B(bb,i)=1;endendendend%%计算平均路径长度aver_L% n1=size(A,2);D=B;D(find(D==0))=inf; %将邻接矩阵变为邻接距离矩阵，两点无边相连时赋值为inf，自身到自身的距离为0.for i=1:nD(i,i)=0;endm2=1;while m2<=n %Floyd算法求解任意两点的最短距离for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)>D(i,m2)+D(m2,j)D(i,j)=D(i,m2)+D(m2,j);endendendm2=m2+1;end% if length(infline)>0% D(infline,:)=[];% D(:,infline)=[];% n2=size(D,2);% L(z,g)=sum(sum(D))/(n2*(n2-1));%求出平均路径% elseL(z,g)=sum(sum(D))/(n*(n-1));%求出平均路径% end%%计算聚类系数aver_CCi=zeros(n,1);for i=1:naa=find(D(i,:)==1); %寻找子图的邻居节点if isempty(aa)Ci(i)=0;elsem3=length(aa);if m3==1Ci(i)=0;elseBB=D(aa,aa); % 抽取子图的邻接矩阵Ci(i)=length(find(BB==1))/(m3*(m3-1));endendendC(z,g)=mean(Ci);endendfigureLWS=mean(L,2);CWS=mean(C,2);semilogx(p,LWS/L0,'ro');hold on;semilogx(p,CWS/C0,'b*');4.2.4 小结在网络理论中，小世界网络是一类特殊的复杂网络结构，在这种网络中大部分的节点彼此并不相连，但绝大部份节点之间经过少数几步就可到达。
在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很“遥远”的人，其实与你“很近”。
小世界网络就是对这种现象（也称为小世界现象）的数学描述。
用数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。
除了社会人际网络以外，小世界网络的例子在生物学、物理学、计算机科学等领域也有出现。
许多经验中的图可以由小世界网络来作为模型。
万维网、公路交通网、脑神经网络和基因网络都呈现小世界网络的特征。
小世界网络模型反映了朋友关系网络的一种特性，即大部分的人的朋友都是和他们住在同一条街上的邻居或在同一单位工作的同事。
另一方面，也有些人是住得较远的，甚至是远在异国他乡的朋友，这种情形对应于小世界模型中通过重新连线产生的远程连接。