高等代数第四章矩阵练习的题目参考问题详解

第四章 矩阵习题参考答案

、、判断题

1.对于任意阶矩阵，，有.n A B A B A B +=+错.

2.如果则.2

0,A =0A =错.如.

2

11,0,011A A A ⎛⎫==≠

⎪--⎝⎭

但3.如果，则为可逆矩阵.

2

A A E +=A 正确.，因此可逆，且.

2()A A E A E A E +=⇒+=A 1A A E -=+4.设都是阶非零矩阵，且，则的秩一个等于，一个小于.

,A B n 0AB =,A B n n 错.由可得.若一个秩等于，则该矩阵可逆，另一个秩为

0AB =()()r A r B n +≤n 零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于.n 5．为阶方阵，若 则C B A ,,n ,AC AB =.

C B =错.如，有但.

112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭

,AC AB =B C ≠6．为矩阵，若则存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使

A n m ⨯,)(s A r =m P n Q .00

0⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=s

I PAQ 正确.右边为矩阵的等价标准形，矩阵等价于其标准形.

A A 7．阶矩阵可逆，则也可逆.

n A *A 正确.由可逆可得，又.因此也可逆，且

A ||0A ≠**||AA A A A E ==*A .11(*)||

A A A -=

8．设为阶可逆矩阵，则B A ,n .**)*(A B AB =正确.又

*()()||||||.AB AB AB E A B E ==.

()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====因此.由为阶可逆矩阵可得可逆，两边同时左乘()()*()(**)AB AB AB B A =B A ,n AB 式的逆可得AB .**)*(A B AB =、、选择题

1．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对A n B n ()T

B B =-称矩阵的是（B ）.

(A) (B) (C) (D) AB BA -AB BA +2

()AB BAB

(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当可交换时为对称矩阵.

,A B 2. 设是任意一个阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.

A n (A) (B) (C) (D) T A A T

A A -2

A T

A A

-3．以下结论不正确的是（ C ）.

(A)如果是上三角矩阵，则也是上三角矩阵；

A 2

A (B)如果是对称矩阵，则 也是对称矩阵；

A 2

A (C)如果是反对称矩阵，则也是反对称矩阵；

A 2

A (D)

如果是对角阵，则也是对角阵.

A 2

A 4．是矩阵, 是矩阵, 若的第列元素全为零，则下列结论正确

A m k ⨯

B k t ⨯B j 的是（B ）

(A) 的第行元素全等于零； (B)的第列元素全等于零；

AB j AB j (C) 的第行元素全等于零； (D) 的第列元素全等于零；

BA j BA j 5．设为阶方阵，为阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）,A B n E n (A) (B) 2

2

2

()2A B A AB B +=++2

2

()()A B A B A B -=+- (C) (D) 2

2

2

()AB A B =2

2

()()

A E A E A E -=+-

6．下列命题正确的是（B ）. (A) 若，则

AB AC =B C = (B) 若，且，则 AB AC =0A ≠B C =(C)若，且，则 AB AC =0A ≠B C = (D) 若，且，则AB AC =0,0B C ≠≠B C =7. 是矩阵，是矩阵，则（ B ）.A m n ⨯B n m ⨯(A)当时，必有行列式；m n >0AB ≠(B)当时，必有行列式m n >0AB =(C)当时，必有行列式；n m >0AB ≠(D)当时，必有行列式.

n m >0AB =为阶方阵，当时，因此，所以

AB m m n >(),(),r A n r B n ≤≤()r AB n m ≤<.

0AB =8．以下结论正确的是（ C ）

(A)如果矩阵的行列式,则；

A 0A =0A =(B)如果矩阵满足，则；

A 2

0A =0A =(C)阶数量阵与任何一个阶矩阵都是可交换的；

n n (D)对任意方阵，有,A B 2

2

()()A B A B A B

-+=-9．设是非零的四维列向量，为的伴随矩

1234,,,αααα1234(,,,),*A A αααα=A 阵，已知的基础解系为，则方程组的基础解系为（

C

0Ax =(1,0,2,0)T *0A x =）.

（A ）. （B ）.

123,,ααα122331,,αααααα+++（C ）. （D ）.

234,,ααα12233441,,,αααααααα++++

由的基础解系为可得.0Ax =(1,0,2,0)T 12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭

因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由

12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O

αααααααα===可得均为的解.

12,,αα34,αα*0A x = 10.设是阶矩阵，适合下列条件（ C ）时，必是可逆矩阵

A n A n I A -(A)

(B) 是可逆矩阵 (C) n A A =A 0

n

A =(B)主对角线上的元素全为零

A 11．阶矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）

n A (A) (B) (C) (D)

1A =0A =T

A A =0

A ≠ 12．均是阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）

,,A B C n (A)若是可逆矩阵，则从可推出A AB AC =BA CA

=(B)若是可逆矩阵，则必有A AB BA

=(C)若，则从可推出0A ≠AB AC =B C

=(D)若，则必有B C ≠AB AC

≠13．均是阶矩阵，为阶单位矩阵，若，则有（C ）

,,A B C n E n ABC E =(A) （B ） （C ） (D) ACB E =BAC E =BCA E =CBA E

=14．是阶方阵，是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）

A n *

A (A)若是可逆矩阵，则也是可逆矩阵；

A *

A (B)若是不可逆矩阵，则也是不可逆矩阵；

A *

A (C)若，则是可逆矩阵； （Ｄ）*

0A ≠A *

.

AA A =*.

n

AA A E A ==