《两角差的余弦公式》的说课稿
两角差的余弦公式说课稿
方法二
cos
件（不求结果）。 不求结果）。
学生经历了问题一和问题二的思考后， 学生经历了问题一和问题二的思考后， 问题3 问题3：如果已知任意两角 α , β ，能计算 α − β 的三角函数 初步奠定了学习本节内容的知识与思维的双 重基础，教师就可以适时的提出问题三， 重基础，教师就可以适时的提出问题三，从 α , β 的正余弦值来表示 、( α − β )吗? 值吗？ )吗 值吗？即能用 而使两角差的余弦与单角正 余弦的关系呼 而使两角差的余弦与单角正、 之欲出，引出本节课的主题。 之欲出，引出本节课的主题。
cos
二、自主探究，得出结论 自主探究，
这一部分是本节课的核心所在， 这一部分是本节课的核心所在，学生经 [0,2π ] ，你能在直角坐标系中构造出 提示1：已知 α , β ∈历了整个探索过程后，就可以将知识内化。 提示1 历了整个探索过程后，就可以将知识内化。 在此，三部曲的设计让知识具有层次性， 在此，三部曲的设计让知识具有层次性，探 的角吗？ 的角吗？ y 索具有条理性，思维具有递进性， 索具有条理性，思维具有递进性，难度实现 y 分散性。 分散性。
+
三者的内在联系 综合应用
+
严密的逻辑思维 创新意识
教学过程设计
分层作业 自主探究 总结反思 条理清晰 当堂检测 及时反馈 师生互动 深化理解 即时训练 巩固新知 自主探究 得出结论 创设情景 引入课题
一、创设情境，引入课题 创设情境，
某城市的电视发射塔建在市郊的一 座小山上.如图所示,小山高BC约为30米 座小山上.如图所示,小山高BC约为30米, BC约为30 在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离 在地平面上有一点A,测得A A,测得 约为67米 约为67米, 从A观测电视发射塔的视角 67 (∠CAD)约为45° (∠CAD)约为45°，求这座电视发射塔的 约为45 高度。 高度。
两角差的余弦公式说课稿
两角差的余弦公式说课稿一、教材分析本节课是高中数学必修4（人教A版）第三章3.1.1两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。
在学习本章之前学生已经学习了任意角的三角函数和诱导公式等知识，并学习了向量的相关知识，因此我准备优先选择运用向量的知识推导和证明两角差的余弦公式，降低新课难度，使学生容易接受。
本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，因此本节内容对于后续内容三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
二、学情分析本节课的主要内容就是“推导两角差的余弦公式”，用到的方法有三角函数线和向量法。
都属于必修4刚刚学过的基础知识，内容简单，容易理解和接受，这是学习本节课的有利因素。
π，这与两但是，使用向量法来推导公式虽然简单，而向量夹角范围是[0,]角差αβ-的范围并不一致，还要分类计论。
分类讨论是学生的弱项，客观上也成为学习本节的不利因素，也成为本节课的一个难点。
三、教学目标分析课标要求：了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；理解两角差的余弦公式.1．知识与技能目标理解用向量方法推导两角差的余弦公并能够初步运用.2．过程与方法目标在两角差余弦公式的推导过程中，进一步体会向量方法的作用，体会数形结合，分类讨论思想、化归思想的运用。
3．情感、态度与价值观目标①培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。
②通过观察、对比体会公式的对称美，给学生以美的陶冶。
四、教学重点、难点分析重点：两角差的余弦公式的推导与运用。
难点：两角差余弦公式的推导过程中两角差αβ-的范围的讨论。
解决难点的关键是，搞清向量夹角的范围，运用数形结合的思想，使角的关系变得形象直观，容易找到αβ-与向量的夹角θ之间的等量关系()2k αβθπ-+=，从而降代难度，化解难点。
五、教法与学法分析（1）坚持“低起点-小步子-引方法-勤反馈”四个基本原则；低起点旨在带所有学生入门，积极参与课堂，打消学困生的畏难情绪；小步子是指设置难度梯度的问题情境和练习题以及变式训练，让学生学得轻松，易于掌握；引方法是数学教学中需长期坚持的原则，数学非常体重方法的引导和思维的训练；勤反馈是课堂效率得以保障的重要途径，通过学生交流讨论，回答问题，以及上黑板做题，课堂小检测等方面及时反馈学生的掌握情况。
两角差的余弦公式说课稿
导和组织学生参与探索公式的建立和推导过程，鼓励
学生独立思考，让学生在参与推理的过程中感受成功
的快乐和提高逻辑推理能力 .
在突破难点上，主要通过以下四个方面的师生活动 :
1.课本P 习题3.1A组第1(1)、(3)；2；3题. 137 课本P 习题3.1A组第4题. 2.（选做题） 137
五、评价分析
本节课的学生评价坚持形成性评价的原则 1.从学习兴趣、交流合作、情绪情感、逻辑推理能力 等方面对学生学习效果进行过程评价； 2.对出现困难的学生，指出其可取之处并耐心引导， 这样有助于培养他们面对挫折，敢于探索的精神； 3.当学生做的精彩，及时给予充分的鼓励，进一步 激发学生学习的潜能，提高他们的求知欲望； 4.通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在三维 目标方面进一步评价，反思教学，改进方法.
求 cos2 .
①深化对公式结构的认识; ②有意识培养学生见角找联系，而不是见角拆角， 盲目运用公式.
（六）、课堂小结
1.对公式的探索过程中你是怎么联系有关知识的？ 怎样进行探索的？运用了什么工具? 2.对公式 C( ) 的结构和功能的认识. . 3. 教师加以提炼和补充.
（七）、布置作业
①引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行
对比分析，把握思维方向；
②组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；
③对学生的探求活动适当指导，适时地给与帮助；
④完善推理过程——对 0, 的情况引导 学生完善.
四、过程分析
（一）、设置问题,引发思考
1.填空：
cos(
标准说课稿——两角差的余弦公式
《两角差的余弦公式》说课稿全宏莲一、教材分析本节课是高中数学必修4（人教版)第三章3.1。
1两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。
在学习本章之前我们刚刚学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为本章基础,运用向量知识论证，即降低了难度，使学生容易接受.又为学习后续三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决奠定了坚实基础.二、教学目标分析课程目标要求:理解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用；理解两角差的余弦公式。
1．知识与技能目标理解用向量方法推导两角差的余弦公并能够初步运用.2．过程与方法目标在两角差余弦公式的推导过程中,进一步体会向量方法的作用，体会分类讨论思想的应用.3．情感、态度与价值观目标感悟事物之间普遍联系和转化的关系。
三、教法分析利用引导探究的方法,在课程开始之初,提出问题，引发学生求知欲望。
利用讲授法为主的教学方法全面深入分析两角差的余弦公式的论证过程。
并用例题与课后练习巩固所学内容.四、学法分析积极主动参与两角差的余弦公式的论证过程，重点理解利用向量数量积论证公式的过程.着重记忆论证过程中分类讨论思想的运用。
并在教师的指导下，通过认真观察，积极思考，用数形结合的方法从直观上打开突破口，探究归纳出两角差的余弦公式。
五、教学重点、难点分析重点：两角差的余弦公式的推导与运用难点:两角差余弦公式的推导过程解决难点的关键是，搞清向量夹角的范围，运用数形结合的思想，使角的关系变得形象直观，容易找到与向量的夹角之间的等量关系,从而降低难度，化解难点。
六、教学用具分析几何画板课件七、教学过程分析（一）、温习平面向量的数量积是怎样定义的?坐标表示是怎样的？（二）、提问并引出本节内容1、cos45°=? cos30°=? cos15°=? 【cos15°= cos(45°—30°）】2、根据上述三个问题的联系，提出两角差的余弦公式（三）、两角差的余弦公式的论证A、利用刚刚学习的向量知识1．当时如图，则又∴2．当时思考:上面图中向量的夹角是怎样的？，范围是怎样的？（，且)正与向量夹角的范围相符,所以我们自然地列出了表达式，但是的范围可不可能超出呢？探究：将OA旋转到下图的位置，显然此时已经不是向量的夹角，在范围内，是向量夹角的补角.我们设夹角为，则＋＝此时，＝∴综上，对任意角都有B、利用我们刚接触三角函数时的单位圆上的三角函数线能否解决呢?同学们下课后可自己探讨。
《两角差的余弦公式》说课稿
《两角差的余弦公式》说课稿单位：汕头市潮阳区金玉中学姓名：黄晓武（高中数学）一、教材分析1、教材的地位和作用：《两角差的余弦公式》选自高一数学新教材必修4第3章第1节。
两角差的余弦公式是继本教材第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展，也是本章中用来推导其他公式的基础，对后续内容三角变换、三角函数式的化简、求值等三角函数问题的解决有重要的支撑作用，可以说它在教材中起着承前启后的重要作用。
通过本节课的学习，可以让学生再次感受到数学知识的相互联系，培养逻辑推理的能力，树立创新意识，提高数学素质。
2、教学目标：根据上述教材结构和内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征，制定以下教学目标：（一）知识与技能（1）理解两角差的余弦公式的推导；（2）掌握两角差的余弦公式的简单应用。
（二）过程与方法在两角差的余弦公式的推导过程中，进一步体会向量方法的作用、体会分类讨论思想和数形结合思想的应用。
（三）情感、态度与价值观通过主动探究、合作交流，让学生感受到探索的乐趣，在解题中体会数学的严谨性，逐渐形成理性思维。
3、教学重点：本节课的教学重点是两角差的余弦公式的推导以及两角差的余弦公式的简单应用。
4、教学难点：本节课的教学难点是两角差的余弦公式的推导。
下面，为了讲清重点、难点，使学生达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、教法分析教学过程是师生共同参与的过程，教师要善于启发学生的自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性，要有效地渗透数学思想方法，努力去提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法。
1、从基础出发：利用初中学习过的特殊角的余弦值来展开新课学习，有利于学生在轻松的状态下进入新课的学习。
2、探究法：利用刚学习过的向量知识来推导两角差的余弦公式，让学生在探究的过程中再次感受到学过的知识是很有价值的，可以辅助我们解决未知的问题，也让学生在探究的过程中得到成就感，从而再次增加学生对数学的兴趣。
两角差的余弦公式 说课稿 教案
两角差的余弦公式教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简.在数学中通过恒等变换，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来.三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。
由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教A 版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。
本节课的作用承前启后,非常重要。
二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。
但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C (α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式。
由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。
根据学生的认知结构和心理特点，我制定了本课的学习目标如下：1．知识与技能（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。
（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。
2．过程与方法（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。
（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。
3．情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。
《两角和与差的余弦》 说课稿
《两角和与差的余弦》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是《两角和与差的余弦》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析1、教材的地位和作用“两角和与差的余弦”是三角函数中的重要内容，它是后续学习两角和与差的正弦、正切以及二倍角公式的基础，在三角函数的化简、求值、证明中有着广泛的应用。
通过对这一内容的学习，能够进一步加深学生对三角函数的理解，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。
2、教材内容的处理教材通过单位圆中的三角函数线以及向量的数量积两种方法来推导两角和与差的余弦公式。
在教学过程中，我将引导学生从不同的角度去思考问题，体会数学知识之间的内在联系，培养学生的创新意识和探究精神。
二、学情分析1、知识基础学生已经掌握了三角函数的基本定义、诱导公式以及向量的基本运算等知识，具备了一定的数学思维能力和运算能力。
2、学习能力高二的学生已经具备了一定的自主学习能力和探究能力，但对于抽象的数学公式的推导和理解还存在一定的困难。
3、心理特点学生对新鲜事物充满好奇心，喜欢探索未知的领域，但在学习过程中容易出现畏难情绪，需要教师给予适当的引导和鼓励。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解两角和与差的余弦公式的推导过程。
（2）掌握两角和与差的余弦公式，并能熟练运用公式进行化简、求值和证明。
2、过程与方法目标（1）通过对公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
（2）通过公式的应用，提高学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
四、教学重难点1、教学重点两角和与差的余弦公式的推导和应用。
2、教学难点两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是向量法的推导。
五、教法与学法1、教法根据本节课的教学内容和学生的实际情况，我将采用启发式教学法、探究式教学法和讲练结合法相结合的教学方法。
两角差的余弦公式 说课稿 教案 教学设计
两角和与差的正切（二）新课讲解：1．两角和的正切sin cos cos sin tan()cos cos sin sin αβαβαβαβαβ++=-sin cos cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=-即：tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=- （()T αβ+）2．两角差的正切tan()αβ-tan tan()1tan tan()αβαβ+-=--tan tan 1tan tan αβαβ-=+即：tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ （()T αβ-）说明：①()T αβ±公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+．3．例题分析：例1．求值：（1）11tan 12π； （2）tan 285．解：（1）11tan 12πtan tan()1246πππ=-=--tan tan 461tan tan 46ππππ-=-+12==-（2）tan 285tan(36075)tan 75=-=-tan 45tan 3021tan 45tan 30+=-=--．例2．求1tan151tan15+-值。
解：1tan151tan15+-=tan 45tan151tan 45tan15+-tan(4515)tan 603=+==．例3．求tan 70tan 503tan 70tan 50+-值。
解：原式tan(7050)(1tan 70tan 50)=+-70tan 50tan 70tan 50)=-70tan 50=．例4．已知一元二次方程20ax bx c ++=(0,)a a c ≠≠的两个根为tan ,tan αβ， 求tan()αβ+的值。
两角差的余弦公式说课稿省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
在教学过程步骤，采取先提出问题，再逐 步展开方式，能够充分调动学生学习主动 性，让学生探索含有明确目标性，降低盲 目性。在得到两角差余弦公式后，使学生 深入体会代数思想深刻性。经过对公式对 比，能够加深学生对公式特征印象，同时 体会公式线形美与对称美，给学生以美陶 冶。作业布置中，突出了学生学习个体差 异现实，使学有余力学生产生挑战心理感 受，也为下一节内容学习做准备。
3、经过本节学习使学生体会探究乐趣，认识世间万物联络与 转化，养成用辨证与联络观点看问题。创设问题情景，激发 学生分析、探求学习态度，强化学生参加意识，从而培养学 生分析问题、处理问题能力和代换、演绎、数形结合等数学 思想方法。
第4页
三、教法学法分析
1、教法分析： 依据学生情况，本节课特点，按照高中学生认知规律，
D
射塔视角（∠CAD)约为45°.求这座
电视发射塔高度.
C
45°
A B
第9页
2.问题串引导教学：
（1）请学生猜测cos( ) ?
（2）利用前面学过单位圆上三角函数线，怎样
用 、三角 函数来表示
cos(呢 ？) ?
（3）利用向量知识，又能怎样推导发觉
cos( ) ?
（4）细心观察公式 cos( )结构，它有哪些特征？ 其中角取值范围怎样？
（5）怎样正用、逆用、灵活利用公式进行求值计 算？
第10页
3.例题讲解：
例1、利用差角余弦公式求 cos15 ,cos75
例2、化简
（1）cos 42 cos18 sin 42 sin18
（2）cos 70 sin 40 sin 70 cos 40
例3、已知sin 象限角，求
co54s，( 2)
说课稿《两角差的余弦公式》
LiberalArtsGuidance2019年02月（总第329期）文理导航Ｎｏ．０２，２０１９ＳｅｒｉａｌＮｏ．329■理科讲堂/数学一、教材分析本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修4第三章第一节内容，教学课时为1课时。
它是第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延伸和拓展，其中心任务是通过已学过的知识，探索建立两角差的余弦公式。
它不仅是前面学过的诱导公式的推广，也是后面其他两角和差公式推导的基础和核心，只有对两角差的余弦公式有了深刻的认识，才能以此为基础推导出两角和的余弦公式，才能变换出其他公式。
具有承上启下的作用，也是三角恒等变换这一章中的重要内容之一。
二、核心素养目标分析1.教学目标（1）必备知识会用向量的数量积推导两角差的余弦公式，理解两角差的余弦公式的结构特征；熟记两角差的余弦公式，通过公式推导引导学生发现数学规律，从而能用两角差的余弦公式解决相关的数学问题，通过本节课的学习更好的体会向量在代数几何方面解决问题的方式和方法，构建新的知识体系。
（2）关键能力培养学生严密而准确的数学表达能力以及逆向思维、发散思维能力、观察能力、逻辑推理能力和合作学习能力。
（3）人文价值全面贯彻党的教育方针，以立德树人为根本任务，服务选才，引导教学，培养学生创新精神、团队合作意识和良好的学习兴趣。
根据新课程标准的要求，从提高学生的素质和能力出发，结合学生心理发展的要求，培养学生独立的人格以及工匠精神和钻研精神；根据高中数学核心素养要求，培养学生学会学习，健康生活。
2.学科素养在单位圆内的向量的数量积的运算过程中培养学生数学抽象素养；从推导两角差的余弦公式的过程中培养学生逻辑推理素养；在利用单位圆与向量解决问题的过程中培养学生数学建模素养；在两角差的余弦公式的应用中培养学生数学运算素养。
通过以上对学生数学素养的培养，使学生能够用数学的眼光看世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界。
九年级数学《两角差的余弦公式》说课稿
(1)cos(πα)=? (2)cos(2πα)=? 大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角 π和 2π被一般角取代， (3)cos(α-β)=? 大家猜想了多种可能，其中有同学猜想 cos(α-β)=cosαcosβ那幺这些结论是否成立? 我们一起来用计算器验证。 在这里我们做了与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起 模拟计算下大家猜想的几组结论。首先任意取一组α，β角，模拟 计算出 cos(α-β);cosα-cosβ;sinαsinβ;cosα-sinβ;由结果推翻假设(反证法)，那幺 cos(α-
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 余余异号正正 化简求值： (1)cos105 度 cos15 度+sin105 度 sin15 度=cos90 度=0 (2)cos(θ+20 度)cos(θ-40 度)+sin(θ+20 度)sin(θ-40 度)=cos60=1/2 (3)cos35 度 cos10 度-sin35 度 sin10 度=cos45 度 回顾反思：
两角差的余弦公式 说课稿 教案 教学设计
两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、教学目标知识与技能在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．过程与方法通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．二．重点难点重点两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．难点灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．三、教材与学情分析1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的．在这些公式的推导中，教书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．2．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等．另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教五、教学过程1、导入新课思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与cos(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝55，α∈(0，π2)，cosβ＝1010，β∈(0，π2)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，但是如果求cos(α＋β)的值就得想法转化为公式C(α－β)的形式求，此时思路受阻，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．2、新知探究①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出．②在公式C(α－β)中，角β是任意角，请学生思考角α－β中β换成角－β是否可以？此时观察角α＋β与α－(－β)之间的联系，如何利用公式C(α－β)推导cos(α＋β)＝？③分析观察C(α＋β)的结构有何特征？④在公式C(α－β)、C(α＋β)的基础上能否推导sin(α＋β)＝？sin(α－β)＝？⑤公式S(α－β)、S(α＋β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？⑦分析观察公式T(α－β)、T(α＋β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α，β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α－β)与cos(α＋β)中角的内在联系，学生有的会发现α－β中的角β可以变为角－β，所以α－(－β)＝α＋β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α＋β化成差角α－(－β)的形式〕．这时教师适时引导学生转移到公式C(α－β)上，这样就很自然地得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.所以有如下公式cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α＋β)．对问题②，教师引导学生细心观察公式C(α＋β)的结构特征，可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α－β)进行记忆，并填空cos75°＝cos(__________)＝__________＝__________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式 实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6) 化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α＋cos 2α＝1 互化，此法让学生课下进行)，因此有sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.在上述公式中，β用－β代之，则sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α＋β)、S (α－β)．Sin （α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β，sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β.对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美．为强化记忆，教师可让学生填空，如sin(θ＋φ)＝____________________，sin 2π7cos 5π7＋cos 2π7sin 5π7＝__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α＋β)、S (α－β)后，自然想到两角和与差的正切公式，怎么样 推导出tan(α－β)＝？，tan(α＋β)＝？呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出 ．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子、分母同除以cos αcos β得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有 tan(α－β)＝tan α＋tan －β1－tan αtan －β＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1 tan tan -+， tan （α－β）＝βαβαtan tan 1 tan tan +-. 对问题⑥，学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋ π( ∈ )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆． 对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意 不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β )处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如 化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sinπ2－βcos π2－β＝cos βsin β 处理等．3. 应用示例例1已知sin α＝－35，α是第四象限角，求sin(π4－α)，cos(π4＋α)，tan(π4－α)的值． 活动 教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cos α，tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．解 由sin α＝－35，α是第四象限角，得cos α＝1－sin 2α＝1－－352＝45. ∴tan α＝sin αcos α＝－34. 于是有sin(π4－α)＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22×45－22×(－35)＝7210， cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×45－22×(－35)＝7210， tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝－34－11＋－34＝－7.点评 本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯． 变式训练1. 不查表求cos75°，tan105°的值． 解 cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30° ＝22×32－22×12＝6－24， tan105°＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60°tan45°＝3＋11－3＝－(2＋3)． 2．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2sin(α＋π4)等于( ) A.75 B.15 C.72D ．4 答案 A例2已知sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π2)．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．活动 教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S (α－β)、C (α＋β)、T (α＋β)应先求出cos α、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．解 由sin α＝23，α∈(π2，π)，得cos α＝－1－sin 2α＝－1－232＝－53，∴tan α＝－255. 又由cos β＝－34，β∈(π，3π2)，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－－342＝－74， ∴tan β＝73.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×(－34)－(－53)×(－74)＝－6－3512. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝(－53)×(－34)－23×(－74)＝35＋2712. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－255＋731－－255×73＝－65＋5715＋235＝－325＋27717. 点评 本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2.引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识．解 设电视发射塔高CD ＝x 米，∠CAB ＝α，则sin α＝3067， 在Rt △ABD 中，tan(45°＋α)＝x ＋3030tan α. 于是x ＝30tan 45°＋αtan α－30， 又∵sin α＝3067，α∈(0，π2)，∴cos α≈6067，tan α≈12. tan(45°＋α)＝1＋tan α1－tan α≈1＋121－12＝3，∴x ＝30×312－30＝150(米)． 答 这座电视发射塔的高度约为150米.例3在△ABC 中，sin A ＝35(0°<A <45°)，cos B ＝513(45°<B <90°)，求sin C 与cos C 的值． 活动 本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的．同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力．教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子．教师要提醒学生注意角的范围这一隐含条件．解 ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝180°－(A ＋B )．又∵sin A ＝35且0°<A <45°，∴cos A ＝45. 又∵cos B ＝513且45°<B <90°，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝35×513＋45×1213＝6365， cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×1213－45×513＝1665. 点评 本题是利用两角和差公式， 解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用，解决三角形问题时，要注意三角形内角和等于180°这一隐含条件.六、课堂小结。
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推广完善：令 为 、 的夹角， 则
无论哪种情况,都有
小结:两角差的余弦公式： (其中 为任意角，简记为 )
思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆?(对学生的回答给予及时肯定）
4、严谨证明：
(利用向量）
前一章我们刚刚学习完向量，并用向量知识解决了相关的几何问题,这里，我们能否用向量知识来推导两角差的余弦公式呢？我们来仔细观察猜想的结构,我们在什么地方见到过类似结构?在向量部分,求角的余弦有什么方法吗?
（学生：向量的数量积！）
证明：在平面直角坐标系xＯy内作单位圆Ｏ,以Ox为始边作角 ,它们终边与单位圆Ｏ的交点分别为Ａ、B，则：
(3)在课堂上营造民主、开放、平等的教学氛围,注重教学评价的多元性,将简单的结果评价上升为对过程的评价;将一味的知识评价拓展为能力评价,突出学生的主体性，实现显形教学与隐性教学的双重评价，为全面发展学生打下基础．
(４)通过计算机技术，给学生提供一种验证猜想合理性的途径. （教学媒体设计)
课堂结构设计:
= , =
=
∴ = （0≤ ≤ )
思考:1、 作为两向量的夹角，有没有限制条件?
2、如果 不在［0, ］这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明?（引导学生找到 与夹角 之间的关系）
【设计意图】让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法在数学探究过程中的简洁性。
思考：１、 作为两向量的夹角，有没有限制条件?
2、你能找到哪些与 有关的条件?
3、能否利用这些条件求出 ？如果能，提出你的猜想.
4、怎样检验这Leabharlann 猜想是否正确?【设计意图】生活实例引入,体现数学与实际生活的联系，也与物理（功的定义）、哲学（透过现象看本质）等相关学科相联系，增强学生的应用意识,激发学生的学习热情,同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程．
(２）过程与方法：
创设问题情景,调动学生已有的认知结构,激发学生的问题意识,展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动,让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想;在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯;在公式的理解记忆过程中,让学生发现数学中的简洁、对称美;在公式的运用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力．
请同学们课后自己在单位圆中画出 、 ,并考虑如何用角 的正弦线、余弦线来表示 的余弦线？
这个问题作为课后思考题,请同学们课下相互讨论,共同探索。
【设计意图】根据教学实际,对教材进行适当安排，把单位圆三角函数线证法留作课后学生思考，为学生的课后探讨留有空间。
【设计意图】引导学生关注两个向量的夹角θ与α-β的联系与区别,并通过观察和讨论，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识,感受数学思维的严谨性.
（介绍单位圆的三角函数线法）
除了以上的证明方法，是否还有其它证法呢？
我们发现, 这里涉及的是三角函数，是 这个角的余弦问题，那我们还能不能考虑在单位圆里用三角函数线来推导呢?
2、教学手段:
(1）从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位．
(2)本节课的教法采用了“一个主题两种教学”的设计模式．一个主题:公式探究与应用，两种教学：显形教学(知识能力教学)、隐性教学（情商培养),实践两种教学相互促进的人性化教学理念．
2、提出猜想:
从特殊情况去猜测公式的结构形式.
令
令
分析：可见,我们的公式的形式应该与 均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢?请同学们根据下表中数据，相互交流讨论,提出你的猜想．
用具体值检验猜想的合理性.
令 则 ＝
三角函数
三角函数值
猜想:
【设计意图】鼓励学生发挥想象力,大胆猜测,然后再去验证其合理性,增强学生探索问题、挑战困难的勇气．
《两角差的余弦公式》的说课稿
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两角差的余弦公式说课稿
教材分析
1、教材所处的地位和作用：
《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展。其中心任务是通过已学知识,探索建立两角差的余弦公式。它不仅是前面已学的诱导公式的推广，也是后面其它和(差）角公式推导的基础和核心，具有承前启后的作用,是本章的重点内容之一。
2、重点，难点以及确定的依据:
对本节课来说,学生最大的困惑在于如何得到公式.所以，本节课的教学重点是:两角差的余弦公式的探究和应用；
教学难点是：两角差的余弦公式的由来及证明;引导学生通过主动参与,独立探索。
教学目标设计
(1）知识与技能：
本节课的知识技能目标定位在公式的向量法证明和应用上;学会运用分类讨论思想完善证明;学会正用、逆用、变用公式;学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中,让学生自主地对知识进行重组、构建，形成属于自己的知识结构体系.
(3）情感、态度与价值观:
体验科学探索的过程,鼓励学生大胆质疑、大胆猜想,培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气,培养创新精神和良好的团队合作意识. 通过对猜想的验证,对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神.
教法设计
１、学情分析：
学生刚刚学习了同角三角函数的变换及平面向量的知识，对用举反例推翻猜想、运用单位圆、用向量解决三角问题已经有了一定的基础,但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明的水平.
引入课题，提出猜想，实验探究,严谨证明,例题训练，课堂小结
教学过程设计
1、引入课题:
例:如图所示,一个斜坡的高为６m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力Ｆ与水平方向的夹角为６０°，且大小为1０N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m，求力F作用在物体上的功W.
解： W =
= 30 ．
提问:１、解决问题需要求什么?