《运筹学》线性规划
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第2章 线性规划
例1 穗羊公司的例子
I II 每周可使用量
A（千克）
B（吨） C（百工时）
1
2 4
2
1 3
5
4 9
单位产品利润（万元）
3
2
问该公司每周应生产产品I与产品II各多少单位，才能使每周的获利达 到最大？
假设产品I、II每周的产量分别是x1和x2，得到如下的数学模型
max z 3x1 2 x 2 x1 2 x 2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3x 2 9 x1 , x 2 0
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
x2 无约束，因此取两个变量 x2 0, x2 0 使得 x2 。在模型中，所有的 x2 都用 x2 x2 x2 x2 代替。
2 x1 x2 4
x1 2 x2 5
x1
4x1 3x2 9
图示目标函数
x2
max z 3 x1 2 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 s.t. 1 2 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
求最优解
2 x1 x2 4
每头 日需
10
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四 种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选 择，试决定总花费最小的购买方案。（列出模型）
养分 饲料 M N 每头日需 A 0.5 0.1 10 B 0.2 0.3 5 C 0.3 0.4 8 D 0 0.2 7 价格 300 200
(2) 变量
(3)目标函数是求最小值的，因此令z z (3x1 2 x2 x3 )
z ，即
3x1 2 x2 x3 2 x2 x3 3x 2 x2
(4)约束条件1是“ ”型的，并且右端的常数小于零。 因此先将其左边减取一个剩余变量 x4 化为等式，即
其中 x3 , x4 , x5 就是分别对第一、第二、第三个约束条件中 添加的松弛变量。
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
这里一共包含有n个决策变量，m个约束条件； 对目标函数既可以求最大的也可以求最小； 约束条件有, , =型； 决策变量通常非负，但也可以有其它情况； cj: 称为价值系数； bi: 资源常数（右端常数） aij称为技术系数、工艺系数
在今后的讨论中，为方便起见，还将用到线性规划模型一般 形式的各种简写的形式。 利用和号“ ”，线性规划模型的一般形式可写为：
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量 建立约束条件 建立目标函数
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
其中s.t.是英文词组subject to的缩写，表示“受限制于”的意 思，有时也约去不写出来。 该问题常称为生产计划问题或产品组合（product mix）问题。
例2 设有一批规格为10米长的圆钢筋，将它截成分别为3米， 4米长的预制构件的短钢筋各100根，问怎样截取最省料？ 因为，10米长的钢筋截为3米或4米长，共有三种截法： 截法Ⅰ：3 3 3 1 米 截法Ⅱ：3 3 4 0 米 截法Ⅲ：4 4 0 2 米 假设按截法Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ各截取10米长的钢筋分别为x1, x2, x3 根 则可以获得3米长的短钢筋的根数是3x1+2x2 4米长短钢筋的根数是x2+2x3 按问题要求它们应该不小于100根。 总共用料是x1 + x2 + x3 要达到最省料的目的，就必须使总用料最小。
1、有唯一的最优解 2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 s.t. 1 2 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
2x1+x2=4 D C
x1+2x2 =5 B 4x1+3x2 =9 O A x1
max z =3x1 + 5.7x2
绿色线段上的所有点 都是最优解,即有无穷多 最优解。Zman=34.2
它具有如下四个特征： ① 目标函数求max； ② 约束条件两端用“=”连结 ； ③ bi非负； ④ 所有决策变量xj非负。
2.2.3 将线性规划的模型化为标准形式
1、目标函数求最小值的情形 取原目标函数的相反数为新的目标函数，对原目标函数 求最小值的问题就等价于对这一新的目标函数求最大值的问题。
例如： 等价于
有关概念
可行解：
我们将满足线性规划问题的所有约束条件的变量x1和x2 的一组取值称为线性规划问题的一个可行解。通常用X表示。
可行域：
我们将可行解的集合称为可行域。
最优解：
因此我们求解线性规划问题，就是要求使得目标函数 取最优值（对例1，就是取最大值）的可行解，这样的可行解 就称为线性规划问题的最优解。 通常用X*表示。
min z 2 x1 3x2 x3
max z ' 2 x1 3x2 x3
2、约束条件为不等式 (a)
2 x1 3x2 x3 2
转化为
2 x1 3x2 x3 xs 2
xs表示决策中尚未使用的那部分资源，因此称这一变量为松弛变量。
（b）
3x1 2 x2 4 x3 3
转化为：
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
它表示决策结果超过了实际需要的部分，因此常称它为剩余变量。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价值，因此它们在 目标函数中的系数都应该为零。在后面的讨论中，有时也将松弛变量和 剩余变量统称为松弛变量。
3、约束条件右端常数为负数 只需将这一约束条件两端同 乘“-1”就可化为一个等价的约束条件，其右端常数满足标 准形式的要求。
例2的模型就是
min w x1 x 2 x3 3x1 x 2 100 s.t. x 2 2 x3 100 x , x , x 0 1 2 3
例2 中的问题常称为下料问题。
线性规划的三个要素： 决策变量 目标函数 约束条件 其次线性规划模型必须满足如下两个要求： ① 目标函数必须是决策变量的线性函数； ② 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式。
其中
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max( 或 min) z CX AX (或 ，或 )b s.t. X 0 其中 X , C , b 同上Fra Baidu bibliotek而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
系数）构成的 m n 矩阵：
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2
4、决策变量不满足非负约束 （a）
x1 0
x1 则x1 0 x1
x3 （b） 如x3无约束，则令 x3 x3
例如，将例1中的线性规划模型化为标准形式就是：
max z 3 x1 2 x2 5 x1 2 x2 x3 2 x x x4 4 1 2 x5 9 4 x1 3 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
。
课堂练习 某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取 所需的A、B、C、D四种养分。有关数据如下表，现 饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选择，试决 定总花费最小的购买方案。（列出模型） 饲料 养分 A M 0.5 N 0.1
B 0.2 0.3 5
C 0.3 0.4 8
D 0 0.2 7
价格 300 200
max( 或 min) z c j x j
j 1
n
n aij x j (或 ，或 )bi , i 1, 2,..., m s.t. j 1 x 0, j 1, 2,..., n j
利用向量，可以将一般形式表示为：
max( 或 min) z CX n Pj x j (或 ，或 )b s.t. j 1 X 0
最优值：
即最优的目标函数值, 通常用z*表示
图解法步骤: 建立平面直角坐标系 图示约束条件,求可行域 图示目标函数 求最优解
建立直角坐标系
x2
图示约束条件，求可行域
max z 3 x1 2 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2 Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10 0.2x1 +0.3x2 ≥5 0.3x1 +0.4x2 ≥8 0.2x2 ≥7 x1 , x2≥0
s.t.
2.3 线性规划的图解法
对只包含两个决策变量的线性规划问题，可以用图解法 来求解。图解法顾名思义就是通过作图来求解的方法，它简 单直观、并有助于说明一般线性规划问题求解的基本原理。
最优解
等值线向右上方移动，函数值变 大。在其即将离开可行域时达到 B（3/2,1）点。所以最优解为：
x1 3 2 , x2 1
此时最优值为：
x1 2 x2 5
1 z* 3 x 2 x 6 2
1 2
4x1 3x2 9
x1
2.2.2 线性规划求解的可能结局
然后在两端乘以-1得 x1 2 x2 3x3 x4 2 也就是
x1 2 x2 3x3 x4 2 2 x2 2 x2 3x3 x4 2 x1
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量 x5 使它化为等式： 2 x1 3x2 2 x3 x5 2 也就是
a1n a2 n amn
在今后的讨论，常将矩阵 A 称为线性规划问题的（约束条件） 系数矩阵。明显地系数矩阵 A 与矩阵 P j 之间存在关系： A P1 P2 Pn
2.2.2 线性规划的标准形式
max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s.t. a x a x a x b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
3x 2 3x 2 2 x3 x5 2 2 x1
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x 2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5
例1 穗羊公司的例子
I II 每周可使用量
A（千克）
B（吨） C（百工时）
1
2 4
2
1 3
5
4 9
单位产品利润（万元）
3
2
问该公司每周应生产产品I与产品II各多少单位，才能使每周的获利达 到最大？
假设产品I、II每周的产量分别是x1和x2，得到如下的数学模型
max z 3x1 2 x 2 x1 2 x 2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3x 2 9 x1 , x 2 0
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
x2 无约束，因此取两个变量 x2 0, x2 0 使得 x2 。在模型中，所有的 x2 都用 x2 x2 x2 x2 代替。
2 x1 x2 4
x1 2 x2 5
x1
4x1 3x2 9
图示目标函数
x2
max z 3 x1 2 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 s.t. 1 2 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
求最优解
2 x1 x2 4
每头 日需
10
课堂练习
某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取所需的A、B、C、D四 种养分。有关数据如下表，现饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选 择，试决定总花费最小的购买方案。（列出模型）
养分 饲料 M N 每头日需 A 0.5 0.1 10 B 0.2 0.3 5 C 0.3 0.4 8 D 0 0.2 7 价格 300 200
(2) 变量
(3)目标函数是求最小值的，因此令z z (3x1 2 x2 x3 )
z ，即
3x1 2 x2 x3 2 x2 x3 3x 2 x2
(4)约束条件1是“ ”型的，并且右端的常数小于零。 因此先将其左边减取一个剩余变量 x4 化为等式，即
其中 x3 , x4 , x5 就是分别对第一、第二、第三个约束条件中 添加的松弛变量。
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
这里一共包含有n个决策变量，m个约束条件； 对目标函数既可以求最大的也可以求最小； 约束条件有, , =型； 决策变量通常非负，但也可以有其它情况； cj: 称为价值系数； bi: 资源常数（右端常数） aij称为技术系数、工艺系数
在今后的讨论中，为方便起见，还将用到线性规划模型一般 形式的各种简写的形式。 利用和号“ ”，线性规划模型的一般形式可写为：
运筹学建模步骤: 识别问题 定义决策变量 建立约束条件 建立目标函数
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下：
max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
其中s.t.是英文词组subject to的缩写，表示“受限制于”的意 思，有时也约去不写出来。 该问题常称为生产计划问题或产品组合（product mix）问题。
例2 设有一批规格为10米长的圆钢筋，将它截成分别为3米， 4米长的预制构件的短钢筋各100根，问怎样截取最省料？ 因为，10米长的钢筋截为3米或4米长，共有三种截法： 截法Ⅰ：3 3 3 1 米 截法Ⅱ：3 3 4 0 米 截法Ⅲ：4 4 0 2 米 假设按截法Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ各截取10米长的钢筋分别为x1, x2, x3 根 则可以获得3米长的短钢筋的根数是3x1+2x2 4米长短钢筋的根数是x2+2x3 按问题要求它们应该不小于100根。 总共用料是x1 + x2 + x3 要达到最省料的目的，就必须使总用料最小。
1、有唯一的最优解 2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 s.t. 1 2 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
2x1+x2=4 D C
x1+2x2 =5 B 4x1+3x2 =9 O A x1
max z =3x1 + 5.7x2
绿色线段上的所有点 都是最优解,即有无穷多 最优解。Zman=34.2
它具有如下四个特征： ① 目标函数求max； ② 约束条件两端用“=”连结 ； ③ bi非负； ④ 所有决策变量xj非负。
2.2.3 将线性规划的模型化为标准形式
1、目标函数求最小值的情形 取原目标函数的相反数为新的目标函数，对原目标函数 求最小值的问题就等价于对这一新的目标函数求最大值的问题。
例如： 等价于
有关概念
可行解：
我们将满足线性规划问题的所有约束条件的变量x1和x2 的一组取值称为线性规划问题的一个可行解。通常用X表示。
可行域：
我们将可行解的集合称为可行域。
最优解：
因此我们求解线性规划问题，就是要求使得目标函数 取最优值（对例1，就是取最大值）的可行解，这样的可行解 就称为线性规划问题的最优解。 通常用X*表示。
min z 2 x1 3x2 x3
max z ' 2 x1 3x2 x3
2、约束条件为不等式 (a)
2 x1 3x2 x3 2
转化为
2 x1 3x2 x3 xs 2
xs表示决策中尚未使用的那部分资源，因此称这一变量为松弛变量。
（b）
3x1 2 x2 4 x3 3
转化为：
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
它表示决策结果超过了实际需要的部分，因此常称它为剩余变量。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价值，因此它们在 目标函数中的系数都应该为零。在后面的讨论中，有时也将松弛变量和 剩余变量统称为松弛变量。
3、约束条件右端常数为负数 只需将这一约束条件两端同 乘“-1”就可化为一个等价的约束条件，其右端常数满足标 准形式的要求。
例2的模型就是
min w x1 x 2 x3 3x1 x 2 100 s.t. x 2 2 x3 100 x , x , x 0 1 2 3
例2 中的问题常称为下料问题。
线性规划的三个要素： 决策变量 目标函数 约束条件 其次线性规划模型必须满足如下两个要求： ① 目标函数必须是决策变量的线性函数； ② 约束条件必须是含决策变量的线性等式或不等式。
其中
用矩阵的记号可以将线性规划模型一般形式写成：
max( 或 min) z CX AX (或 ，或 )b s.t. X 0 其中 X , C , b 同上Fra Baidu bibliotek而矩阵 A 是由各约束条件的系数（技术
系数）构成的 m n 矩阵：
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2
4、决策变量不满足非负约束 （a）
x1 0
x1 则x1 0 x1
x3 （b） 如x3无约束，则令 x3 x3
例如，将例1中的线性规划模型化为标准形式就是：
max z 3 x1 2 x2 5 x1 2 x2 x3 2 x x x4 4 1 2 x5 9 4 x1 3 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
。
课堂练习 某蓄场每日要为每头牲畜购买饲料，以使其获取 所需的A、B、C、D四种养分。有关数据如下表，现 饲料可从市场上出售的M、N两种饲料中选择，试决 定总花费最小的购买方案。（列出模型） 饲料 养分 A M 0.5 N 0.1
B 0.2 0.3 5
C 0.3 0.4 8
D 0 0.2 7
价格 300 200
max( 或 min) z c j x j
j 1
n
n aij x j (或 ，或 )bi , i 1, 2,..., m s.t. j 1 x 0, j 1, 2,..., n j
利用向量，可以将一般形式表示为：
max( 或 min) z CX n Pj x j (或 ，或 )b s.t. j 1 X 0
最优值：
即最优的目标函数值, 通常用z*表示
图解法步骤: 建立平面直角坐标系 图示约束条件,求可行域 图示目标函数 求最优解
建立直角坐标系
x2
图示约束条件，求可行域
max z 3 x1 2 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
答案：设购买M饲料x1，N饲料x2 Min Z=300 x1 +200x2 0.5 x1 +0.1x2≥10 0.2x1 +0.3x2 ≥5 0.3x1 +0.4x2 ≥8 0.2x2 ≥7 x1 , x2≥0
s.t.
2.3 线性规划的图解法
对只包含两个决策变量的线性规划问题，可以用图解法 来求解。图解法顾名思义就是通过作图来求解的方法，它简 单直观、并有助于说明一般线性规划问题求解的基本原理。
最优解
等值线向右上方移动，函数值变 大。在其即将离开可行域时达到 B（3/2,1）点。所以最优解为：
x1 3 2 , x2 1
此时最优值为：
x1 2 x2 5
1 z* 3 x 2 x 6 2
1 2
4x1 3x2 9
x1
2.2.2 线性规划求解的可能结局
然后在两端乘以-1得 x1 2 x2 3x3 x4 2 也就是
x1 2 x2 3x3 x4 2 2 x2 2 x2 3x3 x4 2 x1
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量 x5 使它化为等式： 2 x1 3x2 2 x3 x5 2 也就是
a1n a2 n amn
在今后的讨论，常将矩阵 A 称为线性规划问题的（约束条件） 系数矩阵。明显地系数矩阵 A 与矩阵 P j 之间存在关系： A P1 P2 Pn
2.2.2 线性规划的标准形式
max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s.t. a x a x a x b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
3x 2 3x 2 2 x3 x5 2 2 x1
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x 2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5