《数字信号处理导论_第2章》
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h(2)a(h1)a2
M
h(n) an n0 即 h(n)anu(n) n:0
IIR系统
例 y ( n ) a ( n ) x b ( n x 1 ) c ( n x 2 )
h ( n ) a ( n ) b ( n 1 ) c ( n 2 )
h(0) a
h(1) b h(2) c
连续系统：由电阻、电容、电感、运算放大 器等元器件组成的硬件系统；
离散系统：可以是一个数字系统，但也可以 仅仅是一个差分方程。
连续系统的描述： 微分方程, 卷积，转移函数（Laplace变换）, 频率响应（Fourier 变换）
离散系统的描述： 差分方程, 卷积，转移函数（Z 变换）, 频 率响应（DTFT, DFT）
let x(n) x1(n)x2(n)
则 y(n)T[x(n)]n[x1(n)x2(n)] nx1(n)nx2(n)
y1(n)y2(n) 线性！
由于： y(n )n x(n )T [x(n )]
所以： 系统对 x ( n ) 的输出是 n x ( n )
对x(n k) 的输出是 nx(n k)
而： y (n k ) (n k )x (n k )
第2章 离散时间系统
2.1 离散时间系统的基本概念 2.2 离散时间系统的输入输出关系 2.3 Z变换的定义 2.4 Z变换的收敛域 2.5 Z变换的性质/ 逆Z变换简介 2.6 离散系统的转移函数 2.7 离散系统的频率响应 2.8 离散系统的极零分析 2.9 滤波器的基本概念 2.10 离散系统的信号流图与结构 2.11 与本章内容有关的MATLAB文件
2.1 离散时间系统的基本概念
“系统（system）的作用是将输入信号按照需要 变为（或映射为）所需要的信号，即：
x(n) h ( n ) y(n)
y(n)T[x(n)]
离散时间系 统的两个主 要内容：
1. 系统的分析：给定系统，分析 其各种性能；
2. 系统的综合：给定系统技术指 标，设计出所要的系统
k
x(1)(n 1) x(0)(n) x(1)(n 1)
x(0)(n)
x(1)(n1)
x(1)(n1)
x(n)
x(0)h(n)
x(1)h(n1) x(1)h(n1)
y(n)
y(n)x(k)h(nk)
k
线性卷积
卷积是 LSI 系统的基本特点：
y(n) x(k)h(nk)
k
h(k)x(nk) x(n)h(n)
线性移不变系统的一般形式：
N
M
y(n) aky(nk) brx(nr)
k1
r0
1. ak , br 为常数
2. 无常数项
3. x(n),y(n) 为一次幂
4. 时间 n，也为一次幂
2.2 离散系统输入输出关系
x(n) h ( n ) y(n)
将 x ( n ) 作如下形式的分解：
x(n) x(k)(n k)
k0,m0
因果系统
y ( n ) f[ x ( n 1 )x ( ,n 2 ), ] 非因果系统
含意：一个实际的物理系统，其当前时刻 的输出只能和当 前时刻的输入、过去时刻
的输入与输出有关，而不能和将来时刻的 输入与输出有关。
h(n)0,n0 x(n)0,n0
4. 稳定性 Stability
若： |x(n)|R
所以： y(nk)T [x(nk)]
本系统不具备移不变性！
另外，系统 y(n)nx(n)
是因果的，但不是稳定的
例2： y(n )a y(n 1 )x(n )
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果 a 1
则该系统是稳定的。
例3： y(n)Ax(n)B
T[x1(n)] y1(n) Ax1(n)B T[x2(n)] y2(n) Ax2(n)B
例: y(n )a y(n 1 )x(n ) 差分方程
当前时刻 前一时刻
例:
y(n)M 1 M k01bkx(nk)
if M3:
y(n )1 3 [b 0x(n ) b 1 x(n 1 ) b 2x(n 2 )]
if b0b1b21:
y ( n ) x ( n ) x ( n 1 ) x ( n 2 ) 3
x(n) x1(n)x2(n)
T[x(n)]A[x1(n)x2(n)]B Ax1(n)Ax2(n)B
y1(n)y2(n)
所以本系统是非线性系统
例4：系统
y(n) x(n 1) y(n) x(n2) y(n) x(n)
线性、移不变性、因果性、稳定性是对 系统的基本要求。希望能掌握判断的方 法。非线性系统的研究不在本课的范围。
定义 有： | y(n)|Q R, Q
含意：输入有界，输出也有界 , BIBO Bounded-input, Bounded-output
：多个判断方法
如何判断：线性？移不变？ 因果？稳定？
例1: y(n)nx(n)
y1(n) T[x1(n)] nx1(n) y2(n) T[x2(n)] nx2(n)
h(n){a,b,c}
h(3) 0
有限长：FIR 系统
1. 线性 Linear T[x1(n)]y1(n) T[x2(n)]y2(n)
T [x 1 ( n ) x 2 ( n ) ] y 1 ( n ) y 2 ( n )
含意：该系统满足迭加原理
2. 移不变性 Shift Invariant
x(n) h(n ) y(n)
令 x(n)(n)
则 y(n)h(n)
h ( n ) 描述了离散系统的特征，是重要 的“物理量”，h由( n ) 可得到
H(z), H(ej)
例: y(n ) a(n y 1 ) x(n ) h(1)0
h (n ) a(n h 1 ) (n )
h(0) 1 h(1)a(h 0)a
T[x(n)]y(n) T[x(nk)]y(nk)
Linear-Shift Invariant System LSI
含意： 移不变性质保证对给定的输入，系 统的输出和输入施加的时间无关。
等同于:
T[(n)]h(n) T[(nk)]h(nk)
移不变性的图示说明：
3. 因果性 Causality
y(n)f[x(n),x(nk),y(nm)]
k
计算步骤：
xຫໍສະໝຸດ Baidun) : N h(n) : M y(n) :
1. 将 n 换成 k ，得 x(k), h(k) ；
M
h(n) an n0 即 h(n)anu(n) n:0
IIR系统
例 y ( n ) a ( n ) x b ( n x 1 ) c ( n x 2 )
h ( n ) a ( n ) b ( n 1 ) c ( n 2 )
h(0) a
h(1) b h(2) c
连续系统：由电阻、电容、电感、运算放大 器等元器件组成的硬件系统；
离散系统：可以是一个数字系统，但也可以 仅仅是一个差分方程。
连续系统的描述： 微分方程, 卷积，转移函数（Laplace变换）, 频率响应（Fourier 变换）
离散系统的描述： 差分方程, 卷积，转移函数（Z 变换）, 频 率响应（DTFT, DFT）
let x(n) x1(n)x2(n)
则 y(n)T[x(n)]n[x1(n)x2(n)] nx1(n)nx2(n)
y1(n)y2(n) 线性！
由于： y(n )n x(n )T [x(n )]
所以： 系统对 x ( n ) 的输出是 n x ( n )
对x(n k) 的输出是 nx(n k)
而： y (n k ) (n k )x (n k )
第2章 离散时间系统
2.1 离散时间系统的基本概念 2.2 离散时间系统的输入输出关系 2.3 Z变换的定义 2.4 Z变换的收敛域 2.5 Z变换的性质/ 逆Z变换简介 2.6 离散系统的转移函数 2.7 离散系统的频率响应 2.8 离散系统的极零分析 2.9 滤波器的基本概念 2.10 离散系统的信号流图与结构 2.11 与本章内容有关的MATLAB文件
2.1 离散时间系统的基本概念
“系统（system）的作用是将输入信号按照需要 变为（或映射为）所需要的信号，即：
x(n) h ( n ) y(n)
y(n)T[x(n)]
离散时间系 统的两个主 要内容：
1. 系统的分析：给定系统，分析 其各种性能；
2. 系统的综合：给定系统技术指 标，设计出所要的系统
k
x(1)(n 1) x(0)(n) x(1)(n 1)
x(0)(n)
x(1)(n1)
x(1)(n1)
x(n)
x(0)h(n)
x(1)h(n1) x(1)h(n1)
y(n)
y(n)x(k)h(nk)
k
线性卷积
卷积是 LSI 系统的基本特点：
y(n) x(k)h(nk)
k
h(k)x(nk) x(n)h(n)
线性移不变系统的一般形式：
N
M
y(n) aky(nk) brx(nr)
k1
r0
1. ak , br 为常数
2. 无常数项
3. x(n),y(n) 为一次幂
4. 时间 n，也为一次幂
2.2 离散系统输入输出关系
x(n) h ( n ) y(n)
将 x ( n ) 作如下形式的分解：
x(n) x(k)(n k)
k0,m0
因果系统
y ( n ) f[ x ( n 1 )x ( ,n 2 ), ] 非因果系统
含意：一个实际的物理系统，其当前时刻 的输出只能和当 前时刻的输入、过去时刻
的输入与输出有关，而不能和将来时刻的 输入与输出有关。
h(n)0,n0 x(n)0,n0
4. 稳定性 Stability
若： |x(n)|R
所以： y(nk)T [x(nk)]
本系统不具备移不变性！
另外，系统 y(n)nx(n)
是因果的，但不是稳定的
例2： y(n )a y(n 1 )x(n )
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果 a 1
则该系统是稳定的。
例3： y(n)Ax(n)B
T[x1(n)] y1(n) Ax1(n)B T[x2(n)] y2(n) Ax2(n)B
例: y(n )a y(n 1 )x(n ) 差分方程
当前时刻 前一时刻
例:
y(n)M 1 M k01bkx(nk)
if M3:
y(n )1 3 [b 0x(n ) b 1 x(n 1 ) b 2x(n 2 )]
if b0b1b21:
y ( n ) x ( n ) x ( n 1 ) x ( n 2 ) 3
x(n) x1(n)x2(n)
T[x(n)]A[x1(n)x2(n)]B Ax1(n)Ax2(n)B
y1(n)y2(n)
所以本系统是非线性系统
例4：系统
y(n) x(n 1) y(n) x(n2) y(n) x(n)
线性、移不变性、因果性、稳定性是对 系统的基本要求。希望能掌握判断的方 法。非线性系统的研究不在本课的范围。
定义 有： | y(n)|Q R, Q
含意：输入有界，输出也有界 , BIBO Bounded-input, Bounded-output
：多个判断方法
如何判断：线性？移不变？ 因果？稳定？
例1: y(n)nx(n)
y1(n) T[x1(n)] nx1(n) y2(n) T[x2(n)] nx2(n)
h(n){a,b,c}
h(3) 0
有限长：FIR 系统
1. 线性 Linear T[x1(n)]y1(n) T[x2(n)]y2(n)
T [x 1 ( n ) x 2 ( n ) ] y 1 ( n ) y 2 ( n )
含意：该系统满足迭加原理
2. 移不变性 Shift Invariant
x(n) h(n ) y(n)
令 x(n)(n)
则 y(n)h(n)
h ( n ) 描述了离散系统的特征，是重要 的“物理量”，h由( n ) 可得到
H(z), H(ej)
例: y(n ) a(n y 1 ) x(n ) h(1)0
h (n ) a(n h 1 ) (n )
h(0) 1 h(1)a(h 0)a
T[x(n)]y(n) T[x(nk)]y(nk)
Linear-Shift Invariant System LSI
含意： 移不变性质保证对给定的输入，系 统的输出和输入施加的时间无关。
等同于:
T[(n)]h(n) T[(nk)]h(nk)
移不变性的图示说明：
3. 因果性 Causality
y(n)f[x(n),x(nk),y(nm)]
k
计算步骤：
xຫໍສະໝຸດ Baidun) : N h(n) : M y(n) :
1. 将 n 换成 k ，得 x(k), h(k) ；